7.5 正態(tài)分布 課件下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

7.5正態(tài)分布選擇性必修三

第七章隨機(jī)變量及其分布高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的重要貢獻(xiàn)不勝枚舉．德國(guó)的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布的曲線，這就傳達(dá)了一個(gè)信息：在高斯的科學(xué)貢獻(xiàn)中，對(duì)人類文明影響最大的是正態(tài)分布．那么,什么是正態(tài)分布？正態(tài)分布的曲線有什么特征？情景引入離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，

(兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布等)

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用什么來(lái)描述？人的身高、體重、肺活量；電視機(jī)的壽命；小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量；零件的尺寸；某地每年7月的平均氣溫、降水量；居民的月均用水量……它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸回顧舊知

正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是很重要的分布。我們知道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個(gè)不同值，它等于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于0，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值，它等于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為0，所以通常感興趣的是它落在某個(gè)區(qū)間的概率。我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量(continuousrandomvariable).離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。新知探究問(wèn)題：自動(dòng)流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控的因素，任意抽取一袋食鹽的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會(huì)存在一定的誤差(實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差，則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測(cè)人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了100袋食鹽，獲得誤差X(單位：g)的觀測(cè)值如下：(1)如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？新知探究(2).如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍?huà)誤差X的分布?(1)如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布，如圖所示.其中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，觀察圖形可知：誤差觀測(cè)值有正有負(fù)，并大致對(duì)稱地分布在X=0的兩側(cè)，而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.隨著樣本數(shù)據(jù)量越來(lái)越大，讓分組越來(lái)越多，組距越來(lái)越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來(lái)越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線.頻率分布折線圖光滑的鐘形曲線新知探究可用圖中的鐘形曲線(曲線與水平軸之間的區(qū)域的面積為1)來(lái)描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2，-1]內(nèi)的概率，可用圖中黃色陰影部分的面積表示.(2)如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍?huà)誤差X的分布？(3)由函數(shù)知識(shí)知，右圖中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù).那么，這個(gè)函數(shù)是否存在解析式呢？新知探究100個(gè)數(shù)據(jù)(食鹽質(zhì)量誤差)100個(gè)數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖輪廓n(n>>100)個(gè)數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖輪廓接近一條光滑的鐘型曲線正態(tài)密度曲線新知探究正態(tài)密度曲線（簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線）0YX相應(yīng)的函數(shù)解析式為：稱為正態(tài)密度函數(shù)

形成概念一歸納：正態(tài)密度函數(shù)深化概念一y012-1-2x-33μ=0σ=1對(duì)任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為X~N(u,σ2).特別地,當(dāng)u=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若X~N(u,σ2),則如上圖所示,X取值不超過(guò)x的概率P(X)為圖中區(qū)域A的面積,而P(a≤X<b)為區(qū)域B的面積.深化概念二參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，參數(shù)σ反映了隨機(jī)變量的分布相對(duì)于均值的離散程度.在實(shí)際問(wèn)題中，參數(shù)μ和σ可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).深化概念二正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位,它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中.在現(xiàn)實(shí)生活中,很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布例如：某些物理量的測(cè)量誤差某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等一定條件下生長(zhǎng)的小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量自動(dòng)流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容)某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等一般都近似服從正態(tài)分布深化概念正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。正態(tài)分布—高爾頓板實(shí)驗(yàn)深化概念高爾頓板實(shí)驗(yàn)天津市春季學(xué)期中小學(xué)精品課程資源正態(tài)分布—高爾頓板實(shí)驗(yàn)深化概念右圖所示的就是一塊高爾頓板示意圖.在一塊木板上釘上若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落過(guò)程中與層層小木塊碰撞，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi)如果把球槽編號(hào)，就可以考察到底是落在第幾號(hào)球槽中.重復(fù)進(jìn)行高爾頓板試驗(yàn),隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,掉入各個(gè)球槽內(nèi)的小球的個(gè)數(shù)就

越來(lái)越多?,堆積的高度也會(huì)越來(lái)越高?.各個(gè)球槽的堆積高度反映了小球掉入各球槽的個(gè)數(shù)多少?深化概念——高爾頓板1、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（）

A.B.C.D.B正態(tài)密度的函數(shù)表示式概念鞏固2、辨析：給出下列兩個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請(qǐng)找出其均值m和標(biāo)準(zhǔn)差s

m=0,s=1m=1,s=2概念鞏固具有兩頭低、中間高、左右對(duì)稱的基本特征012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2思考:一個(gè)正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定,這兩個(gè)參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?正態(tài)曲線的性質(zhì)探究新知012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2(1)對(duì)稱性:曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.(2)最值性:曲線在x=μ處達(dá)到峰值(最高點(diǎn))x=mx=mx=m(3)當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近軸.

當(dāng)x∈(－∞,μ]時(shí),為增函數(shù).當(dāng)x∈[μ,+∞)時(shí),為減函數(shù).值域?yàn)檎龖B(tài)曲線的性質(zhì)探究新知一個(gè)正態(tài)分布由參數(shù)和完全確定，這兩個(gè)參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?探究新知

3

1

2σ=1μ=-1μ=0

μ=1若固定,隨值的變化而沿x軸平移,故稱為位置參數(shù)；xy當(dāng)參數(shù)取定值時(shí)探究新知

=0.5

=1=2μ=0

若固定,

大時(shí),曲線“矮而胖”；小時(shí),曲線“瘦而高”,故稱為形狀參數(shù).所以σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.xy(2).當(dāng)參數(shù)取定值時(shí)探究新知(σ越小,峰值越高,曲線越高瘦,X的分布越集中)知識(shí)歸納例.李明上學(xué)有時(shí)坐公交車,有時(shí)騎單車,他各記錄了50次坐公交車和騎單車所花的時(shí)間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時(shí)30min,樣本方差為36;騎單車平均用時(shí)34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.(1)估計(jì)X，Y的分布中的參數(shù)；(2)根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫(huà)出X和Y的分布密度曲線；解：(1)隨機(jī)變量X的樣本均值為30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6，

隨機(jī)變量Y的樣本均值為34，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2，

用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ，

可得X~N(30，62)，Y~N(34，22).典例提升例：李明上學(xué)有時(shí)坐公交車,有時(shí)騎單車,他各記錄了50次坐公交車和騎單車所花的時(shí)間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時(shí)30min,樣本方差為36;騎單車平均用時(shí)34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.(3)如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?

如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)X~N(30，62)，Y~N(34，22).若有38min可用，則騎單車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎單車；若只有34min可用，則坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)選擇坐公交車.(3)應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖知，P(X≤38)<P(Y≤38)，P(X≤34)>P(Y≤34).典例提升典例提升

3

原則：在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量X只取(

-3

,

+3

)之間的值.盡管正態(tài)變量X的取值范圍是R，但X的取值幾乎總是落在區(qū)間[

-3

,

+3

]內(nèi)；取值落在此區(qū)間以外的概率大約只有0.0027，為小概率事件，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.拓展提升3σ原則：練習(xí)1：設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，則X的密度函數(shù)為_(kāi)______________,P(X≤0)=_________，P(|X|≤1)=________,P(X<1)=_________，P(X>1)=________.(精確到0.0001.)0.50.68270.84140.1586方法：把普通的待求區(qū)間向(μ?σ，μ+σ)，(μ?2σ，μ+2σ)，(μ?3σ，μ+3σ)這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用3個(gè)特殊概率、0.5、1等求出相應(yīng)概率.鞏固訓(xùn)練練習(xí)2.若X~N(5,1),求P(6<X<7).解:因?yàn)閄～N(5,1),故正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=5對(duì)稱,鞏固訓(xùn)練練習(xí)3：某市高二年級(jí)男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52)，隨機(jī)選擇一名本市高二年級(jí)的男生，求下列事件的概率：(1)P