北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

通州區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)期中質(zhì)量檢數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷無效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的.1.若，則在處的導(dǎo)數(shù)（）A.2 B.0 C. D.12.下列式子錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.3.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于（）A. B.15 C. D.204.過點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.5.如圖，函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①的極小值點(diǎn)有且只有1個(gè)；②是的極大值點(diǎn)；③的圖象在處切線的斜率等于零；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.則正確命題的序號(hào)是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④6.4名同學(xué)選報(bào)天文、合唱、羽毛球三個(gè)社團(tuán)，每人報(bào)一個(gè)，僅有2名同學(xué)報(bào)同一社團(tuán)的報(bào)名種數(shù)為（）A.12 B.24 C.36 D.727.若函數(shù)在上存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.8.如圖，圓和直角三角形的兩邊相切，射線從處開始，繞點(diǎn)逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)（到處為止）時(shí)，所掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積是時(shí)間的函數(shù)，它的圖象大致為（）A. B.C. D.9.若將一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”.如等；那么用數(shù)字可以組成五位“回文數(shù)”且這個(gè)五位數(shù)的各位數(shù)字之和為11，則這樣的五位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A10 B.12 C.14 D.610.平面直角坐標(biāo)系上將橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)點(diǎn)記為格點(diǎn)，點(diǎn)從格點(diǎn)出發(fā)，每次運(yùn)動(dòng)到另一格點(diǎn)時(shí)，沿水平或豎直方向移動(dòng)一個(gè)單位，則點(diǎn)經(jīng)過6次移動(dòng)回到格點(diǎn)的移動(dòng)路徑總數(shù)為（）A81 B.200 C.400 D.480第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.__________.12.5件產(chǎn)品中有2件次品，從中抽取3件，恰好有1件次品的抽法有__________.13.若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足條件的一組的值可以是__________.14.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為__________，該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為__________.15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù).，使得恰有3個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.設(shè).（1）若，求和的值；（2）若，求的值.17.2025年1月2日至2025年3月30日期間，北京本地燃油機(jī)動(dòng)車尾號(hào)限行規(guī)定為周一周二周三周四周五2和73和84和95和01和6（機(jī)動(dòng)車車牌尾號(hào)為英文字母的按0號(hào)管理）已知甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是，五人住處相近，故商議拼車出行，按此限行規(guī)定，周一到周五每天任選一輛符合規(guī)定的車出行.（用數(shù)字作答）（1）求不同的用車方案總數(shù)；（2）若每車只能用一天且甲車在周一出行，求不同的用車方案總數(shù).18.已知函數(shù)，若是的極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.19.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的值；（2）記點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，求三角形面積的最大值.（3）在（2）的條件下，請(qǐng)判斷是否存在點(diǎn)，使得三角形為直角三角形？若存在，直接寫出滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù).20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)任意，都有成立，求整數(shù)的最大值.21.已知函數(shù).（1）證明：是曲線與曲線存在唯一交點(diǎn)的充要條件；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.

通州區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)期中質(zhì)量檢數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷無效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的.1.若，則在處的導(dǎo)數(shù)（）A.2 B.0 C. D.1【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后直接代入計(jì)算即可.【詳解】由可得,因此.故選：A2.下列式子錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式表計(jì)算可得AC正確，再由乘法運(yùn)算可求得B正確，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，易知，可得A正確；對(duì)于B，可得，即B正確；對(duì)于C，易知，即C正確；對(duì)于D，顯然，可知D錯(cuò)誤.故選：D3.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于（）A. B.15 C. D.20【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，再令通項(xiàng)中的次數(shù)為，進(jìn)而求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，即

，令，解得.可得常數(shù)項(xiàng)為.故選：B.4.過點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得在切點(diǎn)處的切線方程并代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則可得，此時(shí)切線斜率為，因此切線方程為，代入點(diǎn)可得，即，解得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C5.如圖，函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①的極小值點(diǎn)有且只有1個(gè)；②是的極大值點(diǎn)；③的圖象在處切線的斜率等于零；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.則正確命題的序號(hào)是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】由圖象可知不等式和的解，即可得出的單調(diào)性和極值.【詳解】由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，、為函數(shù)的極大值點(diǎn)，故①④正確；②錯(cuò)誤；因，則的圖象在處切線的斜率不等于零，故③錯(cuò)誤.故選：B6.4名同學(xué)選報(bào)天文、合唱、羽毛球三個(gè)社團(tuán)，每人報(bào)一個(gè)，僅有2名同學(xué)報(bào)同一社團(tuán)的報(bào)名種數(shù)為（）A.12 B.24 C.36 D.72【答案】C【解析】【分析】利用分組分配先將4人分成三組，再進(jìn)行全排列即可得出結(jié)果.【詳解】4名同學(xué)選報(bào)三個(gè)社團(tuán)，僅有2名同學(xué)報(bào)同一社團(tuán)，可將4名同學(xué)分成3組，共有種分法，再將三組同學(xué)選報(bào)三個(gè)社團(tuán)，共有種報(bào)法，因此總的報(bào)名方式共有種.故選：C7.若函數(shù)在上存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意將極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)零點(diǎn)的問題，再結(jié)合判別式可求得結(jié)果.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，則，依題意可得導(dǎo)函數(shù)在上存在變號(hào)零點(diǎn)，即有實(shí)數(shù)根，且不能是兩個(gè)相等的實(shí)根，因此，解得或；即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B8.如圖，圓和直角三角形的兩邊相切，射線從處開始，繞點(diǎn)逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)（到處為止）時(shí)，所掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積是時(shí)間的函數(shù)，它的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察陰影部分面積的變換規(guī)律即可選出答案．【詳解】當(dāng)直線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若某時(shí)刻直線被圓所截得的弦最長時(shí)，的瞬時(shí)變化率就較大，此處的導(dǎo)數(shù)也較大，圖象中這里的切線較陡，曲線就較陡.故前半部分曲線開始由平緩變陡；后半部分弦又漸漸變短，曲線由陡變緩，4個(gè)圖中只有D具有上述特點(diǎn).故選：D.9.若將一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”.如等；那么用數(shù)字可以組成五位“回文數(shù)”且這個(gè)五位數(shù)的各位數(shù)字之和為11，則這樣的五位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A.10 B.12 C.14 D.6【答案】A【解析】【分析】設(shè)五位數(shù)的“回文數(shù)”為，找滿足的所有情況即可.【詳解】設(shè)五位數(shù)的“回文數(shù)”為，其中，因各位數(shù)字之和為11，則，因?yàn)榕紨?shù)，則為奇數(shù)，若，則，則的組合有，則“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)共有個(gè)；若，則，則的組合有，則“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)共有個(gè)；若，則，則的組合有，則“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)共有個(gè)；若，則，則的組合有，則“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)共有個(gè)；則滿足條件的五位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為.故選：A10.平面直角坐標(biāo)系上將橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)記為格點(diǎn)，點(diǎn)從格點(diǎn)出發(fā)，每次運(yùn)動(dòng)到另一格點(diǎn)時(shí)，沿水平或豎直方向移動(dòng)一個(gè)單位，則點(diǎn)經(jīng)過6次移動(dòng)回到格點(diǎn)的移動(dòng)路徑總數(shù)為（）A.81 B.200 C.400 D.480【答案】C【解析】【分析】依題意可按照分類加法計(jì)數(shù)原理將問題分成四類，再利用組合數(shù)計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意可知點(diǎn)從格點(diǎn)出發(fā)，可沿上、下、左、右四個(gè)方向移動(dòng)；若點(diǎn)經(jīng)過6次移動(dòng)回到格點(diǎn)可分為以下四種情況：第一種：在六步移動(dòng)過程中選擇3步向上，另外3步向下，共有種；第二種：選擇3步向左，另外3步向右，共有種；第三種：選擇2步向上，另外2步向下，1步向左，1步向右，共有種；第四種：選擇1步向上，另外1步向下，2步向左，2步向右，共有種；因此共有種.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于可將回到出發(fā)點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為在六步移動(dòng)過程中，向左右、上下的相反方向的移動(dòng)步數(shù)相等，再利用組合計(jì)數(shù)問題計(jì)算可得結(jié)果.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.__________.【答案】14【解析】【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)計(jì)算公式得到答案.【詳解】.故答案為：1412.5件產(chǎn)品中有2件次品，從中抽取3件，恰好有1件次品的抽法有__________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)組合知識(shí)得到答案.【詳解】5件產(chǎn)品中有2件次品，則有三件正品，從中抽取3件，恰好有1件次品的抽法有種.故答案為：613.若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足條件的一組的值可以是__________.【答案】（答案不唯一，滿足或，且即可）【解析】【分析】求導(dǎo)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析零點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且若，則，可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；若，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)x趨近于時(shí)，x趨近于；當(dāng)x趨近于時(shí)，x趨近于；若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則或，即或；綜上所述：或，且，例如.故答案為：（答案不唯一，滿足或，且即可）.14.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為__________，該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求導(dǎo)后代入計(jì)算即可得出切線斜率；（2）求出切線方程與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，再由三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】易知,可得,即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為；此時(shí)切線方程為，即，切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，所以切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.故答案：，15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù).，使得恰有3個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】①②③【解析】【分析】把求零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，求出導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性并求出極值，畫出圖像利用數(shù)形結(jié)合判斷①②③④【詳解】令，易知，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以在取得極小值，又，畫出和在同一坐標(biāo)系下的圖象如下所示：由圖可知當(dāng)時(shí)，恰有2個(gè)零點(diǎn)，故①正確；存在負(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；故②對(duì)；存在負(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；故③對(duì)；當(dāng)時(shí)，使得恰有2或1或0個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)；故答案為：①②③三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.設(shè).（1）若，求和的值；（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用賦值法，令，，代入計(jì)算，根據(jù)二項(xiàng)式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于二項(xiàng)式偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和求解即可；（2）分別求出代入列方程求解即可【小問1詳解】因?yàn)?，令，得，令，則，令，得，故，所以.【小問2詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，解?17.2025年1月2日至2025年3月30日期間，北京本地燃油機(jī)動(dòng)車尾號(hào)限行規(guī)定為周一周二周三周四周五2和73和84和95和01和6（機(jī)動(dòng)車車牌尾號(hào)為英文字母的按0號(hào)管理）已知甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是，五人住處相近，故商議拼車出行，按此限行規(guī)定，周一到周五每天任選一輛符合規(guī)定的車出行.（用數(shù)字作答）（1）求不同的用車方案總數(shù)；（2）若每車只能用一天且甲車在周一出行，求不同的用車方案總數(shù).【答案】（1）種（2）10種【解析】【分析】（1）分別得到周一至周五符合規(guī)定的車輛數(shù)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得到答案；（2）分乙車和丁車周三出行兩種情況，利用排列知識(shí)得到兩種情況下的方案數(shù)，相加得到答案.【小問1詳解】由題意知：五人的車分別不能安排在周四?周四?周三?周一?周三?故周一符合規(guī)定的車有4輛，周二符合規(guī)定的車有5輛，周三符合規(guī)定的車有3輛，周四符合規(guī)定的車有3輛，周五符合規(guī)定的車有5輛，則周一到周五每天任選一輛符合規(guī)定的車出行的用車方案共有種；【小問2詳解】由題意知：乙車不能在周四出行，丙和戊的車不能在周三出行，丁的車沒有限制，若乙車周三出行，則有種不同方案；若丁車周三出行，則有種不同方案；故有種不同的方案.18.已知函數(shù)，若是的極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是（2）最小值為，最大值為.【解析】【分析】（1）利用求出，再解不等式、即可得出單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）求出的單調(diào)性即可求出.【小問1詳解】由題意可得，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)取得極值，所以，解得，所以，，由，得或；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是，則在處取極小值，符合題意.故符合條件.【小問2詳解】由（1）知：函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.19.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的值；（2）記點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，求三角形面積的最大值.（3）在（2）的條件下，請(qǐng)判斷是否存在點(diǎn)，使得三角形為直角三角形？若存在，直接寫出滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）（3）1個(gè)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出方程組即可解得（2）求出切線方程并求得三角形面積，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可；（3）分別對(duì)三角形的三個(gè)角分別為直角進(jìn)行分類討論，再利用垂直關(guān)系以及函數(shù)單調(diào)性求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，則，解得，所以【小問2詳解】）當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，令，得，所以，所以由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得極大值，也是最大值為.即三角形面積最大值為【小問3詳解】由（1）可知，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；若，則，若，則；其圖象如下圖所示：顯然，當(dāng)時(shí)，三角形是以為直角的直角三角形，若以為直角，則必須在軸上，顯然函數(shù)與軸的唯一交點(diǎn)為原點(diǎn)，不合題意；若以為直角，設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)切線斜率，即，又此時(shí)的斜率為，因此，即，也即令函數(shù)，則，令，解得，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；因此在處取得極小值，也是最小值，即，即函數(shù)沒有零點(diǎn)，因此方程沒有實(shí)數(shù)根，即切點(diǎn)不存在，因此此時(shí)三角形不是直角三角形；綜上可知，滿足題意的直角三角形的個(gè)數(shù)為1個(gè).20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)任意，都有成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）答案見解析（3）2【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，