2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)平行四邊形存在性問題

二次函數(shù)平行四邊形存在性問題

1如圖，拋物線y=—/+bx+c與x軸交于A(-3,0)、B(1,0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸1與x軸交

于點(diǎn)F直線1加|2&點(diǎn)E是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EHLm,垂足為H,交AC于點(diǎn)G,連接AE、

EC、CH、AH.

⑴拋物線的解析式為

(2)當(dāng)四邊形AHCE面積最大時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑶在(2)的條件下，連接EF,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以F、E、P、Q為頂點(diǎn)，

以EF為一邊的四邊形是平行四邊形.若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

2如圖，已知拋物線y=a/過點(diǎn)4(-3，3.

⑴求拋物線的解析式；

(2)已知直線1過點(diǎn).A,M(|，0)且與拋物線交于另一點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,求證：MC2=MA-MB;

(3)若點(diǎn)P,D分別是拋物線與直線1上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)C為一邊且頂點(diǎn)為O,C,P,D的四邊形是平行四邊形，

求所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

3如圖所示拋物線y=ax2+b%+c(aW0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為4(-2,0),

點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,6),對(duì)稱軸為直線x=1.點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m(l<m<4),連接A

C,BC,DC,DB.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)小BCD的面積等于△AOC的面積的|時(shí)，求m的值

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)

B,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2-2x+c與直線y=kx+8都經(jīng)過A(0,-3)、B(3,

0)兩點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為C.

⑴求此拋物線和直線AB的解析式；

⑵設(shè)直線AB與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，在射線EB上是否存在一點(diǎn)M,過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)

N,使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)?若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

⑶設(shè)點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△P4B面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求△P4B面積的最

大值

5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx+2(a豐0)與x軸交于A(-學(xué)習(xí)筆記：1,0),B(3,

0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.

(1).求該拋物線的解析式，并寫出它的對(duì)稱軸；

(2).點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),連接CD、BD,若乙DCB=NCBD,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3).已知F(l,1),若E(x,

y)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中1＜久＜2),連接CE、CF、EF,求△CEF面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

(4).若點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以B,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形?若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線丫=-|刀+2與*軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y--^x2+bx

+c經(jīng)過A,B兩點(diǎn)且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

(1).求該拋物線的解析式；

(2).若點(diǎn)D為直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)UBD=2NB4C時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑶.已知E,F分別是直線AB和拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以B,0,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫

出所有符合條件的E點(diǎn)的坐標(biāo).

7如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-^x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于B點(diǎn)，拋物線y

=-%2+bx+c經(jīng)過A,B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DC回久軸于點(diǎn)C,交直線AB于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)是否存在點(diǎn)D,使得△BDE和.△4CE相似?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖2,F是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，點(diǎn)G是線段AB上的動(dòng)點(diǎn).連接DF,FG,當(dāng)四邊

形DEGF是平行四邊形且周長最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo).

CA

圖2

8如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn).4(-4,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,4).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，求△PAC面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，是否存在點(diǎn)Q,使A,B,C,Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形?若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);

若不存在，說明理由.

9如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線y=x-5經(jīng)過點(diǎn)B,C.

⑴求拋物線的解析式；

(2)過點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M.

①當(dāng)2M回BC時(shí)，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P(不與點(diǎn)B,C重合)，作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q,若以點(diǎn)

A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

②連接AC,當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于.N4CB的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

10如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a*0)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),8(—1，0),C(0,—3).

⑴求該拋物線的解析式；

(2)若以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M,求切點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B,C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，求

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

11如圖1拋物線yax2+bx+3(a豐0)與x軸交于A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.已知直線y=kx

+n過B,C兩點(diǎn)

⑴求拋物線和直線BC的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①如圖1,若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，連接PA,交直線BC于點(diǎn)D.設(shè)△PDC的面積為Si,△ADC的面積為S2,求

金的最大值；

②如圖2,拋物線的對(duì)稱軸1與x軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF±BC,垂足為F.點(diǎn)Q是對(duì)稱軸1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

是否存在以點(diǎn)E,F,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

12如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象經(jīng)過A(l,0),B(3,0),C(0,6)三點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式.

(2)拋物線的頂點(diǎn)M與對(duì)稱軸1上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AN交拋物線于點(diǎn)D,直線BE交AD于點(diǎn)E,若直

線BE將小ABD的面積分為1:2兩部分，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

(3)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為對(duì)稱軸上動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為

平行四邊形?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

13在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+b久+c與x軸交于A,B兩點(diǎn).與y軸交于點(diǎn)C.且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-

1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5).

⑴求該拋物線的解析式；

(2)如圖1.若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P到直線BC的距離最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶如圖2,若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使得以B,C,M,N為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

14將拋物線y=a/(a豐0)向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位后，得到拋物線H:y=a(x-h)2+k拋

物線H與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C.已知A(-3,0),點(diǎn)P是拋物線H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線H的表達(dá)式；

⑵如圖1,點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線H上運(yùn)動(dòng)(不與A,C重合)，過點(diǎn)P作PDXAB,垂足為D,PD交A

C于點(diǎn)E.作PFXAC,垂足為F,求4PEF的面積的最大值；

(3攻口圖2,點(diǎn)Q是拋物線H的對(duì)稱軸1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線H上,是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A,P,C,Q

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

1解：((1)y——x2+bx+c與x軸交于(-3,0)、B(l,0),???{-9—3b+c-0—1+b+c-0,解得：

b=-2

t(c=3，

..?拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.

故答案為：y=-X2-2x+3;

(2)如圖1中，連接OE.設(shè).￡(m--m2-2m+3).VA(-3,0),C(0,3),.*.OA=OC=3,AC=3VT；AC〃直線m,

當(dāng)直線m的位置確定時(shí)，△ACH的面積是定值，；S=SRAEC+S^ACH,

???當(dāng)4AEC的面積最大時(shí)，四邊形AECH的面積最大，

S^AEC=S^AEO+S^ECO-S^AOC

=|x3x(—m2—2m+3)+1x3x(—m)—|x3x3

=_*+l)y,

-1V0,m=—|時(shí),△AEC的面積最大,

二(-1耳;

（3）存在.因?yàn)辄c(diǎn)Q在拋物線上EF是平行四邊形的邊，觀察圖象可知，滿足條件的點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為如圖

4

2中，有3種情況滿足題意：

對(duì)于拋物線y=一%2一2%+3,當(dāng)y=午時(shí),一%2一2%+3=解得%=-1倍去）或%-

當(dāng)y=—爭寸，—/一2%+3=—草解得比=三竺；42（三匣，—?）&（誓^一》綜上所述，滿足

條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為（后耳）或（三巫-?或（若"-3

4

2解：⑴把點(diǎn)A(-3，?代入y=a"得到2=9a,G="拋物線的解析式為y=*.

-9-—3k+bk=--1

42

(2)設(shè)直線1的解析式為y=kx+b,把A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，則有｛3解得：｛3^

0=-fc+6b=-

24

12A

y—二1X=1

???直線I的解析式為y=-六+*令X=0,得到y(tǒng)=|,.?"((),￡),由｛:3解得｛y=l或二8

卜=-3y=~2x+474

13),如圖1,過點(diǎn)A作AELx軸于E,過B作［=:BFLx軸于F,則BF〃OC〃AE,

.MB_MF_|-1_1r=\rmMC_MO_1

"MC~MO---3/」MA~ME~3

2

：.MB==MCA,JMC2=MAMB.

⑸如圖2中，一共有3種情況，符合題意.

VOC為一邊且頂點(diǎn)為0,C,P,D的四邊形是平行四邊形，PD//OC,PD=OC,

???設(shè)。(吁3+1)?中2),

??.PD=|%2_(T+J,又"=|

1=?

整理得：t2+2t-6=0或［2+2t=0,

解得t=-1-V7或-1+V7或-2或0(舍棄)，

P(-1-夕,2+6或(-1+V7-2-y)

或(-2,1).

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-^2+1%+6;

4N

⑵過點(diǎn)D作DE±x軸于E,交BC于G,過點(diǎn)C作CF±ED交ED的延長線于F,如圖1所示

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6),OA=2,。。=6,S^A0C=-OC=|X2X6=6,

S^BCD=]S440c=1X6=5,

當(dāng)y=0時(shí).-"2+|x+6=o,解得：xi=2,X2=4,.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=

4z

3

kx+n,則｛0飛軌+'懈得：產(chǎn)=二，

直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=-1x+6,

??,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為,.點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(m,-|/+|m+6),點(diǎn)G的坐標(biāo)為：(m，-弧+6),

33(3\37

DG=——7+-m+6———m+6=——+3m

42\274

113n

???S^BCD—]DG,OB=-X(--m2+3m)x4

=—3m2+1r6m,???——3m2+1r6?m=9

2‘22'

解得：nii=1（不合題意舍去），m2=3,，m的值為3;

(3)由(2)得：m=3,-|m2+|m+6=-|x32+jx3+6=5..點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(3，9),因?yàn)锽,D,M,N四邊

滿足平行四邊形，則N點(diǎn)到x軸的距離為

①當(dāng)N在x軸上方時(shí)，如圖2所示眉Mi和M2兩種情況：：四邊形BDNM是平行四邊形，，DN//BM,D

N〃x軸，，點(diǎn)D與點(diǎn)N關(guān)于直線x=l對(duì)稱,

???N(一I，?)，.?.DN=3-(-1)=4,.-.BM=4/.*B(4,0),.,.Mi(0,0)(與原點(diǎn)重合)，M2(8-0);

②當(dāng)N在x軸下方時(shí),如上圖所示，有M3和用4兩種情況：：四邊形BDNM是平行四邊形，

???DM=BN,DM\\BN,.-.4DMB=4MBN,

；?點(diǎn)D與點(diǎn)N的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

?.,點(diǎn)1(3與，二點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為:1號(hào)

將y=一引弋入y=-#+|%+6中，得：一步+)+6

=一手，解得：%1=1+V14,X2=1-V14,

當(dāng)久=1一舊時(shí)，則N3(l—E，一?)，

設(shè)M3點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,0),又：0(3吟)，

B(4,0):等=山/，解得：m=-V14

M3(-V14-0);

當(dāng)x=1+時(shí)，則N4(1+VH,-?，

同理可得：M4(V14-0);

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(8,0)或(0,0)或(舊,0)或(-V14-0).

4.解：⑴：拋物線y=ax2-2x+c經(jīng)過A(0,-3)、B(3,0)兩點(diǎn)嚴(yán)一6+；=0,...{a=

c=-3c=-J

..?拋物線的解析式為y=x2-2%-3,

:直線y=kx+b經(jīng)過A(0,-3)、B(3,0)兩點(diǎn)，

.{3”U解得：{j=l

???直線AB的解析式為y=x-3,

⑵存在，一共分兩種情況，如圖1,四邊形CEMiNi和四邊形（CEN2M2就是存在的平行四邊形。

y=x2—2x—3—{x—l）2—4,

；?拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,-4）,VCE^yffl,

.*.E(1,-2),：.CE=2,

①若點(diǎn)M在x軸下方，四邊形CEMiM為平行四邊形，則CE=Mi/,設(shè)%（a，a-3）,則此。a2-1a-3）,

*，*M[N]=a—3—(a?—2a—3)=—a?+3a,

-a2+3a=2,解得：a=2,a=1(舍)，:M/2,-1),

MxCEN2M2M24,M（a-a-3）23）,

②若點(diǎn)在軸上方，四邊形為平行四邊形，則CE=設(shè)2廁N2（a-a-2a-

MN=a2—2a—3—(a-3)=a2—3a,二a2-3a=2,

解得：。=亨,。=亨（舍去）,

綜合可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（（2，-1）或（3+^^，

（3）如圖2,作PG回x軸交直線AB于點(diǎn)G,

設(shè)P(m^m2—2m—3)廁G(jn>m-3),

PG=m—3—(m2—2m—3)=—m2+3m,

11r

???=-PGxOB=-x(—m2+3m)x3

=—|(m—1)2+??,?當(dāng)加=|時(shí)，△PAB面積的最大值是?此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(I，-1)

5.解：(1)將點(diǎn)A(-1,O),B(3,O)代入y=ax2+bx+2可得a=一|,力=±二V=—|^2+:%+2;

，對(duì)稱軸x=l;

2222222

(2).設(shè)點(diǎn)D(1,y),VC(0,2),B(3,0),ACD=CG+GD=(2-y)+lfBD=BH+HD=4+y2,

在ABCD中，:NDCB=NCBD,ACD=BD,

ACD2=BD2,A(2-y)2-^-l=4+y2,

??,y=QD(I《)；

(3)如圖：過點(diǎn)E作EQ回y軸于點(diǎn)Q,過點(diǎn)F作直線FR回y軸于R,：SACEF=S橫彩。臚E-S^CRF-S^CQE

???E(x,y),C(0,2),F(l,1),

■■■SXCEF=l(EQ+RF)-QR-^CR?RF-^FR?ER,

SACEF=：(久+l)(y-1)-l^(y-2)-1x1x1=1x+|y-1

2i4inc12I7

，/y—~^X2+]%+2,???S^CEF—~3X+

當(dāng)"知,面積有最大值4948,此時(shí)E(鴻)；

⑷存在點(diǎn)M使得以B,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

設(shè)N(l,n),M(x,y),且已知B(3,0),C(0,2)

①四邊形CMNB是平行四邊形時(shí),CM〃NB,CB〃MN,由平行四邊形中心點(diǎn)坐標(biāo)公式得：等=等

：-x=-2,

②四邊形CNBM是平行四邊形時(shí),CN〃:BM,CM〃:BN,由平行四邊形中心點(diǎn)坐標(biāo)公式得：等=等；.x=2,；.M

(2,2);

③四邊形CNMB是平行四邊形時(shí),CB〃MN,NC〃BM,由平行四邊形中心點(diǎn)坐標(biāo)公式得：祟=等久=4,二

M(4，T；

綜上所述：M(2,2)或網(wǎng)4,_竽或期-2,-y);

6解：⑴在y=—1+2中.令y=0,得x=4,令x=0,得y=2；.A(4,0),B(0,2)

把A(4,0),B(0,2)，代入y=-j%2+bx+c,

c=2,_3

得：｛-三x16+4b+c=0,解得：｛；

2c=2

..?拋物線的解析式為y=-|x2+|x+2

⑵如圖1,過點(diǎn)B作x軸得平行線交拋物線于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作BE的垂線，垂足為F,交AB于點(diǎn)G

；BE〃x軸，NBAC=NABE

ZABD=2ZBAC,ZABD=2ZABE

BPZDBE+ZABE=2ZABE

ZDBE=ZABE,ZDBE=ZBAC

設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x--|x2+|x+2),G(x--1%+2),易證F是DG的中點(diǎn)，

則F點(diǎn)的坐標(biāo)是(久，一；/+[%+2),

又點(diǎn)縱坐標(biāo)和B點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，為2,

一：*2+3乂+2=2,解得xi=0(舍去)，x2=2,

.??點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3)

(3)當(dāng)BO為邊時(shí)，OB〃EF,OB=EF,如圖2所示，有3種情況設(shè)E(m--|m+2),F(m--|m2+|m+2)EF

2

—|m+2)—|m+jm+2)|=2解得m1=2,m2=2—242,m3=2+2V2

%(2,1),E2(2-2V2-1+72),￡3(2+2V2-1-V2)

當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí)，OB與EF互相平分，如圖3,有2種情況，符合題意：

過點(diǎn)O作OF〃AB,直線OF:y=—打交拋物線于點(diǎn)F5(2+2/，-1—a)和F4(2-2V2--1+V2)

取BO的中點(diǎn)M,則M(0,1)由題意得，M是F’的中點(diǎn)，也是E5Fs的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求出：

&(2夜-2-3-V2),%(-2&-2-3+V2)/.E點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)或(2—2或，1+企)或(2+2企，1-夜)或

(2V2—2,3-a),或(一2五-2-3+V2)

7.解：⑴在y=-|%+3中，令x=0,得y=3,令y=0,得x=4,；.A(4,0),B(0,3)，將A(4,0),B(0,3)分別代入拋

h—至

物線.y=-/+法+c中，得：｛-42+4b+c=0c=3解得：｛4,

c=3

..?拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=—/+六+3.

(2)存在.「△BDE和AACE相似，ZBED=ZAEC.\ABDE^AACEngADBE^AACE

①當(dāng)△BDES/\ACE時(shí)，如圖l,NBDE=NACE=90。,此時(shí)BD〃AC此時(shí)D點(diǎn)縱坐標(biāo)為3代入二次函數(shù)解析式，

可得D(y，3)-

②當(dāng)△DBEs^ACE時(shí),NBDE=NCAE,如圖2所示，過點(diǎn)B作BH±CD于H.，.ZBHD=90°,

—=tanZ.BDE=tanZ.CAE=―,

DHAC

tD(^xf—x2+?%+3),”33),E[，一[%+3)

o13133

BH=x,DH=-x2+—x+3-3=-xQ2+—x,CE=--x+3

444

,1,曰=q答解得：Xi=0(舍)，無2=4(舍),尤3=H，二D(H曰；

4

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為序3)或偌噂)；

(3)如圖2,??.四邊形DEGF是平行四邊形

??.DE\\FGfDE=FG

設(shè)D(mf—m2+早m+3),E|m+3),(n,—n2+芳n+3),G(rp—，+3)廁：DE=-m2+4m,FG=

—n2+4n,:.—m2+4m=—n2+4n,

即：(m-n)(m+n-4)=0,*.*m-n^0

m+n-4=0,即：m+n=4,??n=4-m

過點(diǎn)G作GKEICD于K,則GK〃AC,；.ZEGK=ZBAO—=COSNEGK=cos^BAO=

EGAB

即：GKAB=AOEG,.*.5(n-m)=4EG,

即：EG=|(n—m)=|(4—m—m)=5—jm

；.DEGF周長=2(DE+FG)=2[(-m2+4m)+5-jm]=-2(m-1)2+

：-2<0,.,.當(dāng)m=|時(shí)，；.EIDEGF周長最大值=，，此時(shí)n=4一|=?，則G(子卷),

當(dāng)E,G互換時(shí)，結(jié)論也成立，此時(shí)G?粉綜上所述G仔*)或%).

8.解：⑴；二次函數(shù)y=—/+6久+c的圖象交x軸于點(diǎn)4(—4,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,4).

16—4b+c=0rb=-3

-c=41c=4/

.,.二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-X2-3x+4,

⑵如圖1,連接AC,AP,PC,過點(diǎn)P作PE回x軸，

交AC于點(diǎn)E由點(diǎn)A(-4,0)，點(diǎn)C(0,4),

可得直線AC的解析式為：y=%+4,

設(shè)P(x>—x2—3%+4),+4)

貝!]PE=—X2—3久+4—第一4=—X2—4x

???SAPAC=逆.4。=?(r2-4x)-4=-2(x+2)2+8

當(dāng)x=-2時(shí)，SAP4c面積最大值是8,

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,6).

(3)存在點(diǎn)Q,使A,B,C,Q四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，如下三種情況，理由：

①以AB為邊時(shí)，有Q1和Q2兩種情況：

VCQ//AB,CQ=AB=5

??,C(0,4),Q(-5,4)或(5,4),

②以AB為對(duì)角線時(shí)，有Q3一種情況：

CQ必過線段AB中點(diǎn)，且被AB平分，即：AB的中點(diǎn)也是CQ的中點(diǎn)，：A(-4,0),B(1,0),

.,?線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)設(shè)Q(a,b)

由平行四邊形中心點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：

等=/解得:a=-3,

等=0,解得:b=-4,/.Q(-3,-4),

綜上所述,滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).

當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，解法二：過點(diǎn)Q作QM±x軸于點(diǎn)M,貝必AQM^ABCO,則AM=BO=1,QM=CO=4,；.O

M=OA-AM=3,AAQ(-3,-4),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).

9.解：⑴當(dāng)x=0時(shí)，y=x-5=-5,則C(0,-5),當(dāng)y=0時(shí),x-5=0,解得x=5,則B(5,0)把B(5,0),C(0,-5)代入

丫=5+6%+鴻：｛25。+子+/=。解得：｛。：二

c=_5c=-5

...拋物線解析式為y=-x2+6x-5;

⑵①令y=0,解方程—/+6x—5=。得X1=1,X2=5,則A(l,0),VB(5,0),C(0,-5),

/.△OCB為等腰直角三角形,；./08?=/(^8=45?！?乂，8。；./\人^^為等腰直角三角形,

AM=—AB=—X4=2V2,

22

?.?以點(diǎn)A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,AM\\PQ,PQ=AM=2&,PQ1BC,

作PD_Lx軸交直線BC于D,貝?。軿.PDQ=45",

PD=&PQ=V2x2V2=4,

設(shè)P(m>—m2+6m—5),則D(m,m-5),

①.當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí)，Pl符合題意

PD=-m2+6m—5—(m—5)=-m2+5m=4,

解得mi=1(舍去)，m2=4,

②.當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時(shí),P2和P3符合題意，

PD=m—5—(―m2+6m—5)=m2—5m=4

解彳曰m—升同rn-'-房

綜上所述，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或手或三盧；

②.如圖2,作ANLBC于N,NHLx軸于H,作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E,

VMiA=MiC,AZACMi=ZCAMt,

AZAMtB=2ZACB,VAANB為等腰直角三角形，

；.AH=BH=NH=2,.\N(3,-2),

易得AC的解析式為y=5x-5,E點(diǎn)坐標(biāo)為?，-|),設(shè)直線EMt的解析式為y=-1x+b,

把E&-|)代入得一套+匕=，解得仁一5,直線EM】的解析式為丫=一如一蓑，解方程組：

%=12y=x-5

得：{彳7廁%(￡，一勺；L=

尸一至55

在直線BC上作點(diǎn)Ml關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M2,則ZXM2C=4AM/=2/.ACB,設(shè)M?(x,x-5),???N

(3,-2),%-菖);由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，3=專,.??久=學(xué)%信，-，綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(￡，-勺或

仔-a

9a+3b+c=0a=1

10.解：(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入拋物線解析式得:{a-b+c=0解得：［b=-2則該拋物

c=—3c=—3

線解析式為y=/-2%-3；

(2)設(shè)直線BC解析式為y=kx-3把B(-l,0)代入得：-k-3=0,即k=-3,

直線BC解析式為y=-3x-3,

:以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M.1.AMXBC

設(shè)直線AM解析式為y=|x+m,

把A(3,0)代入得：l+m=0,即m=-l,

3

1y—-3x=--/Q小

???直線AM解析式為y=?—1,聯(lián)立得：一解得：｛"則M(—|，—|);如圖1：

3V=-X-1___\55/

3y-5

⑶以點(diǎn)B,C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，只有BC為邊一種情況，易知P到x軸的距離和CO

的值相等，等于3,則分兩種情況討論，如下圖2:

①當(dāng)P在x軸的下方,則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3,則./-2%-3=-3,解得：箕=0(舍去)，x2=2,此時(shí)P(2,-3)②.當(dāng)

P在x軸的上方,則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,則./-2*3=3,解得：/=1+b,尤2=1-夕，此時(shí)(1+夕,3)或

(1-V7,3)

綜上所述，存在以點(diǎn)B,c,Q,p為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且P的坐標(biāo)為：(1+77,3)或(1-77,3)

或(2,-3).

11.解：⑴把A(-l,0),B(3,0)代入y^ax2+bx+3得：(a二)解得：｛"廣

9a+3。+3=0b=Z

..?拋物線的表達(dá)式為y=—/+2X+3,.,.點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,3〉把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+n得：^k+n=°

n=3

解得：?直線BC的表達(dá)式為y=-x+3.

(2)①YPA交直線BC于點(diǎn)D,???設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,-m+3),設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=k]x+bi,

?,.直線AD的表達(dá)式，y=N詈％+可，

/m+lm+1

.?.聯(lián)立得：藁X+需=_/+2x+3,整理得，[—瞿)(*+1)=0

解得與二含或犯=-K不合題意，舍去)，，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為懸，分別過點(diǎn)D、P

作x軸的垂線，垂足分別為M、N,如圖1：

??.DM\\PNfOM=m,ON=-^fOA=lf

4m

..S\一S.PDC_PD_MN一后-m

S2SjADCD4AMm+1

22

-m+3m設(shè)金=t,則-m+3m

(m+1)2J(m+1)2

整理得，Q+l)m2+(2t-3)m+t=0,

VA>0,(2t-3)2-4t(t+l)>0,

解得t<三有最大值，最大值為高

lolo

②存在，理由如下：如圖2,過點(diǎn)F作FGXOB于G,：y=-x2+2x+3的對(duì)稱軸為x=l,；.OE=1,：B(3,0),C(0,

3)；.OC=OB=3,又；/COB=90。，...△OCB是等腰直角三角形,

,/ZEFB=90°,BE=OB-OE=2,

/?△EFB是等腰直角三角形，；.FG=GB=EG=1,

點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,1),

第一種情況：當(dāng)EF為邊時(shí)，：四邊形EFPQ為平行四邊形，，QE=PF,QE〃PF〃y軸,

.??點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)F的橫坐標(biāo)同為2,

當(dāng)x=2時(shí),.y=—22+2x2+3=3,

.??點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),

；.QE=PF=3-1=2,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,2)根據(jù)對(duì)稱性當(dāng)P(0,3)時(shí),Q(l,4)時(shí)，四邊形EFQP也是平行四邊形.

第二種情況：當(dāng)EF為對(duì)角線時(shí)，如圖2中的PiEQ3F，:四邊形PEQF為平行四邊形，，QE=PF,QE〃PF〃y

軸,同理求得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),...QE=PF=3-1=2,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-2);綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)時(shí)，點(diǎn)Q的坐

標(biāo)為(1,2)或(1,-2),P(0,3)時(shí),Q(1,4).

12.解：(1):拋物線y=ax2+bx+c(a*0)的圖象經(jīng)過A(l,0),B(3,0),

???設(shè)拋物線解析式為：y=a(x-D(x-3),

:拋物線y=a(x-l)(x-3)(a#))的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,6),.,.6=a(0-l)(0-3),.\a=2,

拋物線解析式為：y=2(x-1)(久-3)=2/-8x+6;(2)y=2/—8x+6=2(x—2)2-2,

頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-2),

:拋物線的頂點(diǎn)M與對(duì)稱軸1上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，

.,.點(diǎn)N(2,2),設(shè)直線AN解析式為：y=kx+b,

由題意可得：｛：=以北,解得：｛2=2

.??直線AN解析式為：y=2x-2,

聯(lián)立方程組得：｛，右：廣丁+6解得：｛?；受，

??點(diǎn)D(4,6),SA4BO=3x2x6=6,

設(shè)點(diǎn)E(m,2m-2),

?.?直線BE將小ABD的面積分為1：2兩部分，

SMBE-「SAABD=2或ABE=§SAAB。=4，

Ix2x(2m—2)=2或|x2x(2m—2)—4,

；.m=2或3,.?.點(diǎn)E(2,2)或(3,4);

(3)存在，分兩種情況討論：

①.若AD為平行四邊形的邊，

??.以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

AD=PQ,xD-xA=xP-xQ或xD-xA=xQ-xP,

；.xp=4-l+2=5或xp=2-4+l=-l,

點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,16)或(-1,16);

②.若AD為平行四邊形的對(duì)角線，

??.以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

AD與PQ互相平分，中=野，

；.xp=3,...點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0),

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,16)或(-1/6)或(3,0)時(shí)，使A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.

13解：⑴將A的坐標(biāo)(-1,0),點(diǎn)C的坐(0,5)代入y=--+法+°得：｛°=一匕+°解得?=之；.拋物線

的解析式為y=-X2+4x+5;

(2)過P作PDLx軸于D,交BC于Q,過P作PHXBCTH,如圖1:

在y=—x2+4%+5中,令y=0得一/+4x+5=0,解得x=5或x