第九章　§9.2　用樣本估計總體【微信公眾號：偷著學(xué)】

§9.2用樣本估計總體第九章匯報人：1.會用統(tǒng)計圖表對總體進(jìn)行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.能用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.課標(biāo)要求內(nèi)容索引01第一部分

落實主干知識02第二部分

探究核心題型03課時精練落實主干知識章節(jié)副標(biāo)題011.百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有

的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)_____

這個值.p%大于或等于2.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(1)平均數(shù)：

＝

.(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最_____的一個數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的

(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時).(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)

的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)).中間平均數(shù)最多3.方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)方差：s2＝

或(2)標(biāo)準(zhǔn)差：s＝

.4.總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差1.若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為

，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為

＋a.2.數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a

的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變.3.若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.(

)(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.(

)(3)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.(

)(4)在頻率分布直方圖中，可以用最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)的估計值.(

)××√√2.在下列統(tǒng)計量中，用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量是A.平均數(shù)

B.眾數(shù)C.百分位數(shù)

D.標(biāo)準(zhǔn)差√標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)分散程度的大小，所以說標(biāo)準(zhǔn)差是用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量，故D正確.

甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)8.58.88.88方差3.53.52.18.7丙由平均數(shù)及方差的定義知，丙的平均成績較高且較穩(wěn)定，是最佳人選.3.甲、乙、丙、丁四人參加射擊項目選拔賽，成績?nèi)缦?，則他們中參加奧運會的最佳人選是______.1數(shù)據(jù)－1，a，－2，3，4，2，已知除a以外的數(shù)據(jù)從小到大排序為－2，－1，2，3，4，要使得中位數(shù)為1，則a在第3位或第4位，返回4.有一組數(shù)據(jù)：－1，a，－2，3，4，2，它們的中位數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是______.探究核心題型章節(jié)副標(biāo)題02例1

(1)(多選)(2023·荊門聯(lián)考)某單位為了解該單位黨員開展學(xué)習(xí)黨史知識活動情況，隨機(jī)抽取了30名黨員，對他們一周的黨史學(xué)習(xí)時間進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下.則下列對該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時間的敘述，正確的有黨史學(xué)習(xí)時間(小時)7891011黨員人數(shù)48765A.眾數(shù)是8 B.第40百分位數(shù)為8C.平均數(shù)是9 D.中位數(shù)是9√√√題型一樣本的數(shù)字特征的估計由題意，隨機(jī)抽取30名黨員，由表可知，黨史學(xué)習(xí)時間為8小時的人最多，為8人，故眾數(shù)是8，故A正確；因為共有30名黨員，故中位數(shù)為第15項和第16項的平均數(shù)，因為第15項和第16項均為9，故中位數(shù)為9，故D正確.(2)(多選)(2023·新高考全國Ⅰ)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差√√取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進(jìn)行排列，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，與x1，x2，…，x6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確.計算一組n個數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟跟蹤訓(xùn)練1

(1)(多選)(2023·商丘模擬)在某次演講比賽中，由兩個評委小組(分別為專業(yè)人士“小組A”和觀眾代表“小組B”)給參賽選手打分，根據(jù)兩個評委小組給同一名選手打分的分值繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論正確的是A.小組A打分的分值的平均數(shù)為48B.小組B打分的分值的中位數(shù)為66C.小組A打分的分值的極差大于小組B打分的分值的極差D.小組A打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差√√√由圖可知，小組A打分的平均數(shù)為×(43＋47＋46＋48＋50＋47＋54＋50＋47)＝48，故A正確；將小組B打分從小到大排列為36,55,58,62,66,68,68,70,75，所以中位數(shù)為66，故B正確；小組A打分的分值的極差為54－43＝11，小組B打分的分值的極差為75－36＝39，故C錯誤；小組A打分的分值相對更集中，所以小組A打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差，故D正確.(2)某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是________.32.5由莖葉圖知數(shù)據(jù)從小到大排列為27,28,32,33,36,36,38,40,45,52,54,58，因為12×25%＝3，例2

2024年，安徽、甘肅、廣西、貴州、黑龍江、吉林、江西七省區(qū)作為第四批實施改革的省份進(jìn)入新高考.2023年10月，進(jìn)入新高考的七個省份相繼公布了高考選考科目的試卷結(jié)構(gòu).某考試機(jī)構(gòu)舉行了新高考適應(yīng)性考試，在聯(lián)考結(jié)束后，根據(jù)聯(lián)考成績，考生可了解自己的學(xué)習(xí)情況，作出升學(xué)規(guī)劃，決定是否參加強(qiáng)基計劃.在本次適應(yīng)性考試中，某學(xué)校為了解高三學(xué)生的聯(lián)考情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的聯(lián)考數(shù)學(xué)成績作為樣本，并按照分?jǐn)?shù)段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.題型二總體集中趨勢的估計由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率為(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(1)求出圖中a的值并估計本次考試的及格率(“及格率”指得分為90分及以上的學(xué)生所占比例)；(2)估計該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的第80百分位數(shù)；得分在110以下的學(xué)生所占比例為(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130以下的學(xué)生所占比例為0.66＋0.014×20＝0.94，所以第80百分位數(shù)位于[110,130)內(nèi)，由圖可得，眾數(shù)的估計值為100.平均數(shù)的估計值為0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.(3)估計該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、平均數(shù).頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點值與對應(yīng)頻率之積的和.跟蹤訓(xùn)練2某市共有居民60萬人，為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并估計該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)；由頻率分布直方圖，可知(0.04＋0.08×2＋0.12＋0.16＋2a＋0.42＋0.50)×0.5＝1，解得a＝0.3；月均用水量不少于3噸的人數(shù)為(0.12＋0.08＋0.04)×0.5×60×104＝72000.(2)估計該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù).由圖可估計眾數(shù)為2.25；設(shè)中位數(shù)為x，因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2<x<2.5，由0.50(x－2)＝0.5－0.48，可得x＝2.04，故居民月均用水量的中位數(shù)為2.04.題型三總體離散程度的估計例3

(2023·全國乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1,2，…，10).試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為

，樣本方差為s2.(1)求

，s2；試驗結(jié)果如下：由題意得zi＝xi－yi

的值分別為9,6,8，－8,15,11,19,18,20,12，試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.總體離散程度的估計標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.跟蹤訓(xùn)練3

(2024·江門模擬)某果園試種了A，B兩個品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記A，B兩個品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為A(單位/kg)60504060708070305090B(單位/kg)40605080805060208070(1)分別求這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；A(單位/kg)60504060708070305090B(單位/kg)40605080805060208070這10棵A品種桃樹的產(chǎn)量從小到大分別為30,40,50,50,60,60,70,70,80,90，這10棵A品種桃樹產(chǎn)量的極差為90－30＝60，這10棵B品種桃樹產(chǎn)量從小到大分別為20,40,50,50,60,60,70,80,80,80，A(單位/kg)60504060708070305090B(單位/kg)40605080805060208070這10棵B品種桃樹產(chǎn)量的極差為80－20＝60，A(單位/kg)60504060708070305090B(單位/kg)40605080805060208070A(單位/kg)60504060708070305090B(單位/kg)40605080805060208070A(單位/kg)60504060708070305090B(單位/kg)40605080805060208070(3)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結(jié)果分析選種哪個品種更合適，并說明理由.A(單位/kg)60504060708070305090B(單位/kg)40605080805060208070A(單位/kg)60504060708070305090B(單位/kg)40605080805060208070由(1)可知這兩個品種極差和中位數(shù)都相等，則A品種桃樹平均產(chǎn)量高，波動小，所以應(yīng)該選種A品種桃樹.返回課時精練章節(jié)副標(biāo)題031234567891011121314一、單項選擇題1.某鞋店試銷一種新款女鞋，銷售情況如表：鞋號3435363738394041日銷量/雙259169532如果你是鞋店經(jīng)理，那么下列統(tǒng)計量中對你來說最重要的是A.平均數(shù)

B.眾數(shù)C.中位數(shù)

D.極差√1234567891011121314鞋號3435363738394041日銷量/雙259169532鞋店經(jīng)理最關(guān)心的是哪個鞋號的鞋銷量最大，由表可知，鞋號為37的鞋銷量最大，共銷售了16雙，所以這組數(shù)據(jù)最重要的是眾數(shù).2.(2023·唐山模擬)某校高三年級一共有1200名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測驗，已知所有學(xué)生成績的第80百分位數(shù)是103分，則數(shù)學(xué)成績不小于103分的人數(shù)至少為A.220

B.240

C.250

D.300√1234567891011121314由1200×80%＝960(人)，所以小于103分的學(xué)生最多有960人，所以大于或等于103分的學(xué)生有1200－960＝240(人).3.(2024·南通模擬)為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦”正式服役，增強(qiáng)學(xué)生的國防意識，某校組織1000名學(xué)生參加了“逐夢深藍(lán)，山河榮耀”國防知識競賽，從中隨機(jī)抽取20名學(xué)生的考試成績(單位：分)，成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是A.頻率分布直方圖中a的值為0.004B.估計這20名學(xué)生考試成績的第60百分位數(shù)為75C.估計這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為80D.估計總體中成績落在[60,70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150√1234567891011121314由頻率分布直方圖可得10×(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)＝1，解得a＝0.005，故A錯誤；前三個矩形面積為(2a＋3a＋7a)×10＝0.6，即第60百分位數(shù)為80，故B錯誤；總體中成績落在[60,70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為3a×10×1000＝150，故D正確.12345678910111213144.(2023·長沙模擬)為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間的平均數(shù)為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間的平均數(shù)為8小時，方差為0.5，則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為A.0.94

B.0.96

C.0.75

D.0.781234567891011121314√12345678910111213145.(2023·南昌模擬)在統(tǒng)計中，月度同比是指本月和上一年同月相比較的增長率，月度環(huán)比是指本月和上一個月相比較的增長率，如圖是2022年1月至2022年12月我國居民消費價格月度漲跌幅度統(tǒng)計圖，則以下說法錯誤的是A.在這12個月中，我國居民消費價格月度

同比數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2.1%B.在這12個月中，月度環(huán)比數(shù)據(jù)為正數(shù)的

個數(shù)比月度環(huán)比數(shù)據(jù)為負(fù)數(shù)的個數(shù)多3C.在這12個月中，我國居民消費價格月度

同比數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.85%D.在這12個月中，我國居民消費價格月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.0%√1234567891011121314在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數(shù)據(jù)由小到大依次為0.9%,0.9%,1.5%,1.6%,1.8%,2.1%,2.1%,2.1%,2.5%,2.5%,2.7%,2.8%，平均數(shù)為×(0.9%＋0.9%＋1.5%＋1.6%＋1.8%＋2.1%＋2.1%＋2.1%＋2.5%＋2.5%＋2.7%＋2.8%)≈1.958%，1234567891011121314由數(shù)據(jù)可知我國居民消費價格月度環(huán)比的數(shù)據(jù)中，有6個月的數(shù)據(jù)為正數(shù)，3個月的數(shù)據(jù)為0.0%，3個月的數(shù)據(jù)為負(fù)數(shù)，所以月度環(huán)比數(shù)據(jù)為正數(shù)的個數(shù)比月度環(huán)比數(shù)據(jù)為負(fù)數(shù)的個數(shù)多3，且0.0%出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為0.0%，故A，B，D正確，C錯誤.123456789101112131412345678910111213146.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子向上的點數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是A.平均數(shù)為2，方差為2.4B.中位數(shù)為3，方差為1.6C.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2D.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2√1234567891011121314A選項，若5次結(jié)果中有6，因為3.2>2.4，則當(dāng)平均數(shù)為2，方差為2.4時，一定不會出現(xiàn)點數(shù)6，故A正確；B選項，若5個點數(shù)為3,3,3,5,6，則此時滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為4，1234567891011121314C選項，取5個點數(shù)為2,2,3,5,6，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，故C錯誤；D選項，取5個點數(shù)為1,1,2,5,6，滿足中位數(shù)為2，平均數(shù)為3，故D錯誤.二、多項選擇題7.(2023·潮州模擬)根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，如果連續(xù)5天的日平均氣溫都低于10℃即為入冬.現(xiàn)將連續(xù)5天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù))作為一組樣本，則下列樣本中一定符合入冬指標(biāo)的有A.平均數(shù)小于4B.平均數(shù)小于4且極差小于或等于3C.平均數(shù)小于4且標(biāo)準(zhǔn)差小于或等于4D.眾數(shù)等于5且極差小于或等于4√√12345678910111213141234567891011121314舉反例，如0,0,0,0,15，平均數(shù)為3小于4，但不符合入冬標(biāo)準(zhǔn)，故A錯誤；假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3知，此組數(shù)據(jù)最小值大于或等于7，與平均值小于4矛盾，故假設(shè)不成立，故B正確；舉反例，如1,1,1,1,11，平均數(shù)為3，且標(biāo)準(zhǔn)差為4，但不符合入冬標(biāo)準(zhǔn)，故C錯誤；眾數(shù)等于5且極差小于或等于4時，最大數(shù)不超過9，故D正確.8.已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9成公差大于0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)x5，則A.極差不變

B.第25百分位數(shù)變大C.平均數(shù)不變

D.方差變小1234567891011121314√√選項A，根據(jù)極差的定義，原數(shù)據(jù)的極差為x9－x1，去掉x5后的極差為x9－x1，即極差不變，故A正確；12345678910111213141234567891011121314三、填空題9.(2023·惠州模擬)數(shù)據(jù)68,70,80,88,89,90,96,98的第75百分位數(shù)為______.1234567891011121314931234567891011121410.(2023·黔西模擬)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為3，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為______.6因為樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為3，故樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為9，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為22×9＝36，故數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為6.1311.(2023·濟(jì)南模擬)某射擊運動員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)(環(huán)數(shù)為整數(shù))形成一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________.7.8依題意，這組數(shù)據(jù)一共有5個數(shù)，中位數(shù)為8，則從小到大排列，8的前面有2個數(shù)，后面也有2個數(shù)，又唯一的眾數(shù)為9，則有兩個9，其余數(shù)字均只出現(xiàn)一次，則最大數(shù)字為9，又極差為3，所以最小數(shù)字為6，所以這組數(shù)據(jù)為6,7,8,9,9，1234567891011121314123456789101112131412.(2024·杭州模擬)已知一組樣本數(shù)據(jù)共有9個數(shù)，其平均數(shù)為8，方差為12.將這組樣本數(shù)據(jù)增加一個數(shù)據(jù)后，所得新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差為________.19.8設(shè)增加的數(shù)為k，原來的9個數(shù)分別為a1，a2，…，a9，則a1＋a2＋…＋a9＝72，a1＋a2＋…＋a9＋k＝90，所以k＝18，1234567891011121314四、解答題13.(2023·濟(jì)寧模擬)甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：1234567891011121314甲8281797895889384乙9295807583809085(