新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題06 導(dǎo)數(shù) 解答題 鞏固練習(xí)三（教師版）

專題06導(dǎo)數(shù)解答題鞏固練習(xí)三1．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)a的值（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)．【解析】（1）因?yàn)椋x域?yàn)椋?，則，即，即，令，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以，即，．（2）因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以有且僅有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根，又，則，即，令，則，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減且，在上單調(diào)遞增且時(shí)，又，，則，則，即得，所以，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

當(dāng)時(shí)，，且無限趨近于0，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．2．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,，單調(diào)遞減區(qū)間為,(2)證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，由得或，解得或由得或，解得或，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,，單調(diào)遞減區(qū)間為,.（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，設(shè)，，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，，存在唯一，使，即，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取極大值為，設(shè)，，所以在區(qū)間上是減函數(shù).在內(nèi)無零點(diǎn)，，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有且只有一個(gè)零點(diǎn).3．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個(gè)【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).4．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值．(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）∵當(dāng)時(shí)，，∴．當(dāng)時(shí)；，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．∵，，∴，∴函數(shù)在上的最大值為．（2）要證，只需證．∵，，∴由①－②得，整理得．只需證，即證，即證．不妨設(shè)，令，則只需證，即證．設(shè)，則只需證當(dāng)時(shí)，即可．∵，令，則，∴在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴原不等式得證．5．（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：時(shí)，.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)?，則，則，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.故有最小值，故.（2）由（1）可知，，當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證，令，