高中數(shù)學(xué)講義-二項(xiàng)式定理

《二項(xiàng)式定理》

目錄

一、教材分析..................................................................................1

二、學(xué)情分析..................................................................................1

三、教法分析..................................................................................1

四、學(xué)法分析..................................................................................1

五、教學(xué)手段..................................................................................1

六、教學(xué)目標(biāo)..................................................................................1

七、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)...........................................................................2

八、教學(xué)過程..................................................................................2

九、教學(xué)資源整合與運(yùn)用說明：.................................................................5

創(chuàng)新之一：巧妙創(chuàng)設(shè)課題情境...............................................................5

創(chuàng)新之二：優(yōu)化課堂教學(xué)方法...............................................................5

創(chuàng)新之三：創(chuàng)新板書設(shè)計(jì)...................................................................5

創(chuàng)新之四：滲透數(shù)學(xué)思想方法...............................................................5

創(chuàng)新之五：培養(yǎng)學(xué)生人文素養(yǎng)...............................................................5

一、教材分析

本概念選自人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)必修(1)》第一章第三節(jié)第一小節(jié).第一節(jié)《計(jì)

數(shù)原理》、第二節(jié)《排列組合》的學(xué)習(xí)為研究二項(xiàng)式定理奠定了基礎(chǔ)，一方面是因?yàn)樗淖C明要用到計(jì)數(shù)

原理，另一方面可以把它作為計(jì)數(shù)原理的一個(gè)應(yīng)用，同時(shí)也為學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其分布作準(zhǔn)備.另外，由于

二項(xiàng)式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，由二項(xiàng)式定理可導(dǎo)出一些組合數(shù)的恒等式，二項(xiàng)式定理對(duì)本章知識(shí)與第

二章知識(shí)的學(xué)習(xí)有承上啟下的作用.

本節(jié)課要在用計(jì)數(shù)原理解決預(yù)設(shè)問題的基礎(chǔ)上，得出二項(xiàng)式定理的猜想，并用計(jì)數(shù)原理給出證明.

二、學(xué)情分析

學(xué)生在此節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合問題，并能運(yùn)用它們解決一些計(jì)數(shù)問題了；

同時(shí)，在初中己經(jīng)熟練掌握了(。+?2的展開公式，也了解了(a+刀3的展開公式.但是，學(xué)生對(duì)于計(jì)數(shù)

原理與這些多項(xiàng)式乘法運(yùn)算公式之間的聯(lián)系是陌生的，所以對(duì)于學(xué)生來(lái)說，如何建立它們之間的聯(lián)系并猜

想得出二項(xiàng)式定理是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)，并用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).

三、教法分析

根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)理論，把學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者從原有

的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中產(chǎn)生新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，需要教師精心設(shè)計(jì)問題，創(chuàng)新問題情境，貫穿啟發(fā)式教學(xué)原則，調(diào)控問

題的解決過程；采用“多媒體引導(dǎo)點(diǎn)拔”的教學(xué)方法以多媒體演示為載體，以“聯(lián)想類比引導(dǎo)思考”為核

心，設(shè)計(jì)課件與板書展示，引導(dǎo)學(xué)生積極思考探索，逐步達(dá)到即定的教學(xué)目標(biāo).

四、學(xué)法分析

“建構(gòu)主義”強(qiáng)調(diào)，學(xué)生是信息加工的主體，是意義的主動(dòng)建構(gòu)者，因教必須以學(xué)為主立足點(diǎn)，根據(jù)學(xué)

生的思維特點(diǎn)，讓每一個(gè)學(xué)生自主參與整堂課的知識(shí)構(gòu)建，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比遷移歸

納分析，對(duì)照學(xué)習(xí)；學(xué)生在教師營(yíng)造的“可探索”的環(huán)境里，積極參與，生動(dòng)活潑地獲取知識(shí)，掌握規(guī)律，

主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，主動(dòng)發(fā)展.

五、教學(xué)手段

制作PPT與Hash動(dòng)畫教學(xué)課件，利用電腦等多媒體教學(xué)設(shè)備展現(xiàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程，激

發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)的效率.利用自制教具輔助引入問題的解決，增強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)的直觀性。

六、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：

(1)理解二項(xiàng)式定理是代數(shù)乘法公式的推廣.

(2)理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.

2.過程與方法：

（1）通過學(xué)生參與和探究二項(xiàng)式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識(shí)

與方法遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式.

（2）引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)以及項(xiàng)的個(gè)數(shù)，這也為推導(dǎo)m+刀”的展開式提供了一種

方法，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中有“法”可依.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識(shí)、合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔和嚴(yán)

謹(jǐn).通過二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)、推廣、證明及楊輝三角歷史的了解，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)對(duì)

科學(xué)的探究與鉆研精神，滲透愛國(guó)主義教育。

4.活動(dòng)體驗(yàn)：

通過教師提出問題并引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究、解決問題的過程，讓學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、大膽猜想、

主動(dòng)發(fā)展，達(dá)到提高學(xué)習(xí)能力與滲透情感教育的目的.

七、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析+匕）3的展開式，得到二項(xiàng)式定理.

難點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式展開成單項(xiàng)式之和時(shí)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律.

八、教學(xué)過程

教學(xué)過程師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

（一）復(fù)習(xí)舊知，提出問題“建構(gòu)主義”觀點(diǎn)

認(rèn)為：情境必須有

問題1：一個(gè)箱子裝著標(biāo)有字母a,6的兩個(gè)大小，形狀一樣的球，

1、教師由淺利于學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)

容的意義建構(gòu).根

從中摸出1個(gè)球，有可能出現(xiàn)哪些結(jié)果？每一種結(jié)果有多入深提出問題，

并出示自制教據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)和

少種情況？

具，直觀引導(dǎo)學(xué)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，

生思考.復(fù)習(xí)舊知識(shí)，提問

問題2：兩個(gè)箱子均裝著標(biāo)有字母。力的兩個(gè)大小，形狀一樣的球，設(shè)疑，逐步推進(jìn)，

為學(xué)生學(xué)習(xí)新課內(nèi)

從每個(gè)箱子中摸出一個(gè)球，共摸出2個(gè)球，有可能出現(xiàn)哪

2、學(xué)生口答，容作知識(shí)上、方法

些結(jié)果？每一種結(jié)果有多少種情況？

教師創(chuàng)新板書結(jié)上、心理上的準(zhǔn)備，

果，為后面的觀同時(shí)為后面發(fā)現(xiàn)、

問題3：三個(gè)箱子均裝著標(biāo)有a力字母的兩個(gè)大小，形狀一樣的球，

察歸納作好鋪?zhàn)C明二項(xiàng)式定理奠

定了聯(lián)想、類比的

從每個(gè)箱子個(gè)摸出一個(gè)球，共摸出3個(gè)球，有可能出現(xiàn)哪墊.

思想方法基礎(chǔ).

些結(jié)果？每一種結(jié)果有多少種情況？

1、“建構(gòu)主義”

（二）歸納類比，提出猜想觀點(diǎn)認(rèn)為：要把學(xué)

習(xí)者原有的知識(shí)經(jīng)

問題4：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察每個(gè)問題的結(jié)果及其結(jié)果的種數(shù)，是否1、教師引導(dǎo)學(xué)生

驗(yàn)作為新知識(shí)的生

聯(lián)想到我們非常熟悉的代數(shù)運(yùn)算公式呢？觀察教師在黑板

上的板書，從結(jié)長(zhǎng)點(diǎn)，通過教師引

（a+b）1=a+b,構(gòu)形式與數(shù)值特導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的結(jié)

征上展開聯(lián)想.果的觀察類比，實(shí)

現(xiàn)舊知向新知的遷

(。+b)2=ci~+2ab~\~b~j移；

2、“聯(lián)想”與

333

(a+b)=a+3a~b+3ab2+b2、教師鼓勵(lì)學(xué)“思考”是學(xué)習(xí)者

生大膽猜想，請(qǐng)意義建構(gòu)的關(guān)鍵，

問題5：請(qǐng)同學(xué)們大膽地猜想(a+與"的展開式是怎樣的？

一位同學(xué)上臺(tái)板學(xué)生通過對(duì)三個(gè)展

書猜想結(jié)果.開式的自主探討，

猜想：親歷了知識(shí)的發(fā)

生、發(fā)展、形成的

xnlnkk

(a+by=C：a"+Cna-b+??■+C^a-b+???+C：b"(〃eN*)

過程，從而發(fā)現(xiàn)問

題、提出問題，并

在教師的引導(dǎo)下解

決問題，達(dá)到了”

創(chuàng)造性使用教材，

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意

識(shí)”的教學(xué)目的，

3、牛頓說過：沒有

大膽的猜想，就做

不出偉大的發(fā)現(xiàn)，

通過觀察歸納，培

養(yǎng)學(xué)生的歸納猜想

能力.

郭沫若說過：“既異

（三）說理證明，形成定理想天開，又實(shí)事求

是，這是科學(xué)工作

說理證明：者特有的風(fēng)格”.通

（。+6廠是〃個(gè)（。+。）相乘，相當(dāng)于有〃個(gè)箱子，從每個(gè)箱子教師通過課件動(dòng)過仿照（。+份3展

畫演示，將課前

摸一個(gè)球，共摸出〃個(gè)球，a"相當(dāng)于沒摸出。球的結(jié)果，。“一"相開式的探究方法，

的計(jì)數(shù)問題推廣

二項(xiàng)式定理的證明

到n個(gè)盒子的情

當(dāng)于摸出1個(gè)方球的結(jié)果，同學(xué)們看這個(gè)式子詭一,這相當(dāng)于采用“說理”的方

形，說理證明二

法，從計(jì)數(shù)原理的

摸出左個(gè)。球的結(jié)果，一直到?！ㄏ喈?dāng)于摸出W個(gè)。球的結(jié)果，，而項(xiàng)展開式中每一

角度對(duì)展開過程進(jìn)

每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)就是每一種結(jié)果對(duì)應(yīng)的種數(shù).從而就出現(xiàn)我們今項(xiàng)的意義，重點(diǎn)

行分析，概括出項(xiàng)

天所要學(xué)習(xí)的非常重要的定理--二項(xiàng)式定理.

等式的右邊C?a”+C\an-lb+??■+C^an-kbk+■■■+C?"叫證明通項(xiàng)的意的形式，用組合知

義.識(shí)分析展開式中具

做二項(xiàng)展開式.

有同一形式的項(xiàng)的

個(gè)數(shù)，從而得出用

組合數(shù)表示的展開

式，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)

推理的數(shù)學(xué)思維意

識(shí).

達(dá)爾文說過：科學(xué)

（四）熟悉定理，發(fā)現(xiàn)特征就是整理事實(shí)，以

問題7：進(jìn)一步研究二項(xiàng)式定理，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)展開式有哪1、教師從如何更便從中得出普遍的

些特征嗎？

熟練地記憶二項(xiàng)規(guī)律或結(jié)論，通過

項(xiàng)數(shù)：共有〃+項(xiàng).

1.1展開式的角度提對(duì)二項(xiàng)式定理進(jìn)一

2.次數(shù)：各項(xiàng)字母a、6指數(shù)和都等于九.出問題，引導(dǎo)學(xué)步研究，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)

字母a按降暴排列，次數(shù)由〃遞減到0；生觀察展開式的展開式的一些特

特征.征，掌握規(guī)律；進(jìn)

字母萬(wàn)按升基排列，次數(shù)由0遞增到

一步提高學(xué)生歸

3.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：式中的Cfa”，〃叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).

2、學(xué)生口答觀察納、推理的能力，

nkk結(jié)果，教師板書強(qiáng)化對(duì)二項(xiàng)式定理

用。+1表示.即通項(xiàng)為展開式的第左+1項(xiàng)：Tk+l=C^a-b

示范.的深度理解，為后

4.二項(xiàng)式系數(shù)：依次為…，cf，…，c；，面對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)性

質(zhì)的研究作好準(zhǔn)

這里C：（k=0,稱為二項(xiàng)式系數(shù).

備，從根本上掌握

運(yùn)用二項(xiàng)式定理解

決問題的原理.

（五）結(jié)束語(yǔ)

二項(xiàng)式定理最高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的定理，最先由牛頓追溯二項(xiàng)式定理發(fā)

教師激情講述二

提出，后來(lái)高斯進(jìn)行了嚴(yán)格的證明.其實(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的特征最早由現(xiàn)、證明的歷史，

項(xiàng)式定理的發(fā)

我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝提出，中國(guó)古代數(shù)學(xué)史有自己的光介紹中國(guó)古代數(shù)學(xué)