數(shù)學(xué) 第四冊(cè)（五年制高職） 課件 2.3-17.3.4 直線與平面所成的角

17.3.4直線與平面所成的角五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第三冊(cè)）》問(wèn)題探究

我國(guó)是一個(gè)有著悠久造橋歷史的國(guó)家，也是一個(gè)擁有世界頂級(jí)造橋技術(shù)的國(guó)家.現(xiàn)在外出旅游到處可見(jiàn)各式各樣美輪美奐的斜拉橋，每座斜拉橋都有很多根斜拉索，這些斜拉索相對(duì)于橋面的傾斜程度明顯不同，那么，如何表示這些不同的傾斜程度呢？

直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形，如果一條直線與一個(gè)平面相交且不垂直，那么就稱這條直線為這個(gè)平面的斜線.

問(wèn)題探究

如圖17-42，在長(zhǎng)方體

中，直線BA1,BD1，是平面ABCD的兩條斜線，如何表示它們相對(duì)于平面的傾斜程度？通過(guò)變換角度觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，斜線BA1在平面ABCD內(nèi)的正投影為直線BA,用BA和BA1的夾角來(lái)表示斜線BA1相對(duì)于平面ABCD的傾斜程度是合理的（這個(gè)角是斜線BA1與平面ABCD內(nèi)所有過(guò)點(diǎn)B的直線的夾角中最小的角）.同樣的，斜線BD1在平面ABCD內(nèi)的正投影為直線BD,用BD和BD1的夾角來(lái)表示斜線相對(duì)于平面ABCD的傾斜程度是合理的，如圖17-43.圖17-42圖17-43問(wèn)題探究

斜線與平面的交點(diǎn)稱為斜足.過(guò)斜線上一點(diǎn)（除斜足外）向平面引垂線，過(guò)垂足與斜足的直線稱為斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影（正投影）.如圖17-44，直線

為平面

的斜線，點(diǎn)A為斜足，直線PO為平面

的垂線，點(diǎn)O為垂足，直線OA就是斜線PA在平面

內(nèi)的射影.線段PO的長(zhǎng)稱為點(diǎn)到平面的距離.圖17-44抽象概括一般地，平面的一條斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，稱為這條斜線與這個(gè)平面所成的角.特別地，若一條直線與一個(gè)平面垂直，則稱它們所成的角是直角；若一條直線與一個(gè)平面平行或在這個(gè)平面內(nèi)，則稱它們所成的角是0°.因此，直線與平面所成的角的取值范圍是.抽象概括

容易證明，如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線上的任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離為定值，這個(gè)定值稱為這條直線到這個(gè)平面的距離.

例題講析例5如圖17-45,在棱長(zhǎng)為1的正方體中，求：（1）直線與底面所成角的大小；（2）直線到平面ADD1A1的距離.圖17-45合作交流從平面外一點(diǎn)向平面引若干斜線段（指以該點(diǎn)和斜足為短線的線段），如果斜線段的長(zhǎng)相等，那么它們?cè)谄矫鎯?nèi)的射影長(zhǎng)相等嗎？思維拓展虎丘塔，又稱云巖寺塔，是馳名中外的宋代古塔，建于公元959—961年，比意大利著名的比薩斜塔早建200多年，被尊稱為“中國(guó)第一斜塔”.該塔為仿樓閣式磚木結(jié)構(gòu)，共七層，高47.5.從明代起，虎丘塔開始向西北傾斜，現(xiàn)塔頂中心偏離底層中心2.34，求該塔與地面所成角的大?。ň_到0.1°）.課堂練習(xí)1.如果兩條直線與同一個(gè)平面所成的角相等，那么這兩條直線一定平行嗎？2.已知斜線段的長(zhǎng)是它在平面上射影長(zhǎng)的倍，求斜線段所在直線與該平面所成的角.3.如圖，長(zhǎng)方體中

，

，

，

，求：（1）直線

與平面