新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊地區(qū)2024-2025學年高三上學期第一次質量監(jiān)測數(shù)學試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊地區(qū)2024-2025學年高三上學期第一次質量監(jiān)測數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合A=1,3,5，B=0,1,2,4，則A∪B=（A．0,1,2,3,4,5 B．0,1,2,4 C．1,3,5 D．1【答案】A【分析】由并集的運算即可求解；【詳解】由A=1,3,5，B=則A∪B=0,1,2,3,4,5故選：A2．復數(shù)1?ii=A．1+i B．1?i C．?1+i【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的除法計算后可得正確的選項.【詳解】1?i故選：D.3．在公差不為0的等差數(shù)列an中，若S10=5a1A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式和等差數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】設等差數(shù)列an的公差為d，則d≠0由S10=5所以9=k?1，即k=10.故選：D.4．新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全國統(tǒng)考的語文、數(shù)學、外語，“1”即在物理、歷史2門首選科目中選考1門，“2”即在思想政治、地理、化學、生物學4門再選科目中選考2門.選考方案有（

）A．6種 B．8種 C．12種 D．15種【答案】C【分析】利用組合知識和分步乘法計數(shù)原理得到答案.【詳解】從物理、歷史2門首選科目中選考1門，有C2在思想政治、地理、化學、生物學4門再選科目中選考2門，有C4故選考方案有2×6=12種.故選：C5．已知等邊三角形ABC的邊長是2，D、E分別是AB、AC的中點，則BE?CD=A．?332 B．?32 【答案】B【分析】將向量BE、CD用基底BA,BC表示，然后利用平面向量數(shù)量積的運算性質可求得【詳解】如下圖所示：因為等邊三角形ABC的邊長是2，D、E分別是AB、AC的中點，則CD=?由AE=EC得BE?由平面向量數(shù)量積的定義可得BA?因此，BE?故選：B.6．若a,b∈R，則下列命題正確的是（

A．若a>b，則a2>b2 C．若a<b，則a2<b2【答案】D【分析】利用特殊值判斷A、B、C，利用不等式的性質判斷D.【詳解】對于A：當a=0，b=?1時滿足a>b，但是a2對于B：當a=1，b=?1時滿足a≠b，但是a2對于C：當a=?2，b=?1時滿足a<b，但是a對于D：若a>b，則a>b≥0，所以故選：D7．如圖，一個圓柱形容器中盛有水，圓柱母線AA1=4，若母線AA1放置在水平地面上時，水面恰好過OAA．23?3π B．43?【答案】B【分析】根據(jù)兩種放置方式水的體積不變即可求得.【詳解】如圖，設圓柱底面半徑為r，則當母線AA1水平放置時，圓柱中含水部分可以看作是以弓形BAC為底，因為水面過OA的中點，則∠BOC=2∠BOA=2π則弓形BAC的面積為S1當?shù)酌鎴AO水平放置時，底面圓的面積為S2=πr則由水的體積不變可得：13S1解的：?=4故選：B.8．已知函數(shù)fx=x?a，gx=x+ax，當x>0A．?∞,0 B．?∞,8 C．【答案】D【分析】取特值f2≤g2解得0≤a≤8，整理可得ax2【詳解】因為當x>0時，fx則f2≤g2整理可得a2?8a≤0，解得若0≤a≤8，則0≤x?a整理可得ax令t=x2>0，則x構建?t=2t可知?t在0,+若y=at?1與y=?設切點坐標為t0,2t則切線方程為y?2t0注意到直線y=at?1過定點1,0，則3整理可得t0?2t可得t0?2=0，即t0結合圖象可知：0≤a≤8，所以a的取值范圍是0,8.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：取特指確定a的必要條件，這樣可以簡化討論和計算.二、多選題9．關于雙曲線4x2?A．實軸長為16 B．焦點坐標為0,45，C．離心率為52 D．漸近線方程為【答案】ABC【分析】將雙曲線方程化為標準形式，求解長軸判斷A，求解焦點坐標判斷B，求解離心率判斷C，求解漸近線方程判斷D即可.【詳解】因為4x2?則y2?4x2=64對于A，則實軸長為2a=16，故A正確，對于B，焦點坐標為0,45，0,?4對于C，離心率為e=c對于D，漸近線方程為y=±2x，故D錯誤.故選：ABC10．關于x的函數(shù)fx=sinA．函數(shù)fx的最小正周期B．若α+β=0，則fxC．若α+β=π2，則x=πD．若f0=12【答案】BCD【分析】對于A：舉反例說明即可；對于B：整理可得fx=2cosα?sinx，即判斷奇偶性；對于C：整理可得【詳解】函數(shù)fx的定義域為R對于選項A：例如α=0,β=π則fx此時函數(shù)fx對于選項B：若α+β=0，即β=?α，可得fx可知函數(shù)fx對于選項C：若α+β=π2，即可得fx則fπ所以x=π4是對于選項D：若f0=1可得sinα+sinβ=因為sinα+即2+2cosα?β=故選：BCD.11．給定棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1DA．三棱錐C1B．若點M在線段AD1上，則異面直線BM與C．若點M在線段AD1上，則MD．若BM=233，則點【答案】ABC【分析】建立空間直角坐標系，求出底面積，再利用點到平面的距離公式求出點面距離，求出體積是定值判斷A，利用線線角的向量求法求出線線角，得到定值判斷B，作出展開圖，利用先判斷最小值是線段A1【詳解】如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系，連接C1設M(x,0,z)，C(0,1,0)，則CM=(x,?1,z)對于A，易得面B1BCC1的法向量為n=(0,1,0)，設M由點到平面的距離公式得d=1×(?1)1=1則VC1?MBC對于B，因為點M在線段AD1上，所以而A(1,0,0)，D1(0,0,1)，則AD得到x?1=?λ，z=λ，解得x=1?λ，即M(1?λ,0,λ)，如圖，連接B1C,BM，由題意得B(1,1,0)，則B1C=(?1,0,?1)，BM=(?λ,?1,λ)，設異面直線BM與則cosβ=(?1)×(?λ)+(?1)×λ(?1)2+即異面直線BM與B1對于C，如圖，將面A1D1DA沿著AD由題意得四邊形A1D1得到∠A1AD=∠D而MA1+MB≥由余弦定理得?22=對于D，如圖，連接BM，此時B(1,1,0)，M(x,0,z)，則由兩點間距離公式得BM=(x?1)因為BM=233兩邊同時平方得(x?1)2+1+z則M的軌跡是以A為圓心，33由正方體性質得∠A1AD=即點M軌跡的長度不為23故選：ABC【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是建立空間直角坐標系，然后求解出軌跡方程，再利用弧長公式得到所要求的軌跡長度即可．三、填空題12．已知fx=10x【答案】12【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的運算性質求解即可.【詳解】因為fx=10則ff故答案為：113．李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他記錄了多次所花時間，假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從如圖的正態(tài)分布.星期一李明出門有38min可用，他應該選擇交通工具；星期二李明出門有34min可用，他應該選擇【答案】自行車公交車【分析】應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具，結合圖形，比較概率的大小可得答案.【詳解】由題意，應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具.根據(jù)X和Y的分布密度曲線圖可知：PX≤34>PY≤34可得PX≤38若有38min若有34min故答案為：騎自行車；坐公交車.14．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點為F1，過點F1且傾斜角為60°的直線交y軸于點M，交橢圓C于A，【答案】1【分析】設直線為y=3(x+c)，求得M縱坐標，由AF【詳解】由題設，令直線為y=3易得y因為A可得yAyM可得：yA=?8可得x代入橢圓方程225c249所以225化簡可得：a2?9c易知49所以a2=9所以e=故答案為：13四、解答題15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=3，b=2，C=π(1)求△ABC的面積；(2)求△ABC中∠C的角平分線的長.【答案】(1)3(2)6【分析】（1）根據(jù)面積公式運算求解即可；（2）設角平分線為CD，根據(jù)面積關系運算求解即可.【詳解】（1）因為a=3，b=2，C=π所以△ABC的面積為S△ABC（2）設角平分線為CD，因為S則12即12×3×2×3所以∠C的角平分線的長為6316．如圖，一個質點從原點0出發(fā)，每隔1s向左或向右移動一個單位，每次移動時向右移動的概率為0.6，記ns后質點所在的位置是(1)求Pa(2)至少幾秒后才能使得Ea【答案】(1)0.1536(2)至少10s【分析】（1）根據(jù)題意分析可知X～Bn,0.6，an=2X?n（2）由（1）結合期望的性質可得Ean=0.2n【詳解】（1）記ns后質點向右移動的次數(shù)為X則X～Bn,0.6，且a可得a4=2X?4，令a4=?2，即則Pa（2）由（1）可知：Ea令Ean=0.2n≥2所以至少10s后才能使得E17．如圖，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F(xiàn)是線段BE上一點.(1)若DF//平面ABC，證明F是BE的中點；(2)若AB=BC=CD，AB⊥BC，平面DEF與平面ACF夾角的余弦值為23，求BF【答案】(1)證明見解析(2)BF【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質可得FM∥CD，進而根據(jù)四邊形CMFD是平行四邊形，即可求解，（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可根據(jù)向量的夾角公式求解.【詳解】（1）過點F作FM∥AE交AB于點M，連接CM，則FM∥AE∥CD，即F、M、C、D四點共面，∵DF//平面ABC，DF?平面FMCD,平面FMCD∩平面ABC=CM，∴DF∥CM，又∵FM∥CD，∴四邊形CMFD是平行四邊形，∴MF=CD=12AE，∴F（2）∵AB⊥BC，EA⊥平面ABC，以B為坐標原點，BA為x軸，BC為y軸，過B平行于EA的直線為z軸，建立坐標系B?xyz.記AB=BC=CD=1，則A1,0,0，B0,0,0，C0,1,0，D設BF=λBE,則BF=λ,0,2λ，即點F的坐標為λ,0,2λ,設平面BDE的一個法向量為n1則BE?n1=0BD?n1=0AC=?1,1,0，設平面ACF的一個法向量為n2則AC?n2令x2=1，則y2因為平面DEF與平面ACF的夾角余弦值為23所以cosn整理得111λ2?34λ?1=0,解得λ=所以BFFE18．已知拋物線C：y2=2px0<p<5的焦點為F，點Pa,4在(1)求C的方程；(2)過點F的直線交C于A，B兩點（異于點P）.（?。┤鬚A⊥PB，求AB；（ⅱ）過點F與直線AB垂直的直線交C于D，E兩點，設線段AB，DE的中點分別為M，N，O是坐標原點，求△OMN面積的取值范圍.【答案】(1)y(2)（ⅰ）654；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)焦半徑公式以及點的坐標即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)向量垂直的坐標運算即可求解m=?74，進而根據(jù)焦點弦公式求解（ⅰ），根據(jù)中點坐標求解直線MN的方程，即可直線MN與【詳解】（1）由題意可得a+p2=516=2ap，解得p=2a=4或（2）（?。┯桑?）可得P4,4.設直線AB的方程為x=my+1m≠34，由方程組x=my+1y2=4x，消去x則Δ=16m所以PA=x1由PA⊥PB可得PA=?4解得m=?74或m=34（舍）.所以直線AB=（ⅱ）由（ⅰ）可得y1+故M2將m換成?1m可得當m=±1時，M3,2,N3,?2或M3,?2,N當m≠±1時，kMN故直線MN的方程為y?2m=m令y=0，得x=3，S△OMN當且僅當m=±1時等號成立，所以△OMN面積的取值范圍為6,+∞【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，如本題需先將△MON的面積用表示出來，然后再利用基本不等式長最值．19．已知fx(1)求證：當x>1時，fx(2)設an（?。┣笞C：數(shù)列an（ⅱ）求證：an【答案】(1)證明見解析(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）對函數(shù)fx求導，并構造φ(x)=（2）（?。゛n+1?an=1n+2?ln（ⅱ）由題意結合lnn=n?1k=1lnk+1k