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文檔簡介
2025屆陜西省西安市第八中學(xué)高考適應(yīng)性考試(二)數(shù)學(xué)試題試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值:先請全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對;再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個(gè)數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值,那么可以估計(jì)的值約為()A. B. C. D.3.設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約束條件,則的最小值為()A.2 B.24 C.16 D.144.如圖,圓是邊長為的等邊三角形的內(nèi)切圓,其與邊相切于點(diǎn),點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn),,則的最大值為()A. B. C.2 D.5.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè),導(dǎo)線接頭忽略不計(jì)),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米6.已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A. B. C.4 D.7.某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)作軸的垂線與曲線相交于點(diǎn),過作軸的垂線與軸相交于點(diǎn)(如圖),然后向矩形內(nèi)投入粒豆子,并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線上方的有粒,則無理數(shù)的估計(jì)值是()A. B. C. D.8.如圖,拋物線:的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若直線與以為圓心,線段(為坐標(biāo)原點(diǎn))長為半徑的圓交于,兩點(diǎn),則關(guān)于值的說法正確的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不確定9.半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體,是由正方體切截而成的,它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形為面的半正多面體.如圖所示,圖中網(wǎng)格是邊長為1的正方形,粗線部分是某二十四等邊體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.10.若函數(shù)在時(shí)取得極值,則()A. B. C. D.11.給出個(gè)數(shù),,,,,,其規(guī)律是:第個(gè)數(shù)是,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,以此類推,要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和.現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖,請?jiān)趫D中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句,使之能完成該題算法功能()A.; B.;C.; D.;12.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于點(diǎn),以線段為直徑的圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.14.已知數(shù)列滿足,且,則______.15.函數(shù)的最大值與最小正周期相同,則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為______.16.在四棱錐中,底面為正方形,面分別是棱的中點(diǎn),過的平面交棱于點(diǎn),則四邊形面積為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖1,在邊長為4的正方形中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,,且數(shù)列前項(xiàng)和為,求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù),其中為實(shí)常數(shù).(1)若存在,使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn),,證明:.20.(12分)某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展,燈光展涉及到10000盞燈,每盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率均為,并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時(shí)長(單位:),得到下面的頻數(shù)表:亮燈時(shí)長/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時(shí)長作為一盞燈的亮燈時(shí)長.(1)試估計(jì)的值;(2)設(shè)表示這10000盞燈在某一時(shí)刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差;②若隨機(jī)變量滿足,則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時(shí),燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計(jì),在一場燈光展中,處于最佳燈光亮度的時(shí)長(結(jié)果保留為整數(shù)).附:①某盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率等于亮燈時(shí)長與燈光展總時(shí)長的商;②若,則,,.21.(12分)己知,函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若函數(shù),且存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
與中間值1比較,可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù),再比較大?。驹斀狻?,,又,∴,即,∴.故選:D.本題考查冪和對數(shù)的大小比較,解題時(shí)能化為同底的化為同底數(shù)冪比較,或化為同底數(shù)對數(shù)比較,若是不同類型的數(shù),可借助中間值如0,1等比較.2.D【解析】
由試驗(yàn)結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù),滿足,面積為1,再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計(jì)算公式,得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計(jì)的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學(xué)取對都小于的正實(shí)數(shù)對,即,對應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L為的正方形,其面積為,若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí),關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.3.D【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域,如下圖陰影部分,根據(jù)圖象,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),取得最小值,由,解得,即,所以的最小值為.故選:D.本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
建立坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo),得到的表達(dá)式,進(jìn)而得到最大值.【詳解】以D點(diǎn)為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標(biāo)系,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以(0,1)為圓心,1為半徑的圓;根據(jù)三角形面積公式得到,可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為:故得到故得到,故最大值為:2.故答案為C.這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用,以及參數(shù)方程的應(yīng)用,以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問題的一般方法.5.B【解析】
由于實(shí)際問題中扇形弧長較小,可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長,利用弧長公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榛¢L比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長和弧長相差很小,可以用弧長近似代替弦長,故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選:B.本題主要考查了扇形弧長的計(jì)算,屬于容易題.6.B【解析】由,可得,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,則,則,故選B.點(diǎn)睛:本題考查了等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,試題有一定的技巧,屬于中檔試題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用,尤其需要注意的是,等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),應(yīng)該要分類討論,有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程.7.D【解析】
利用定積分計(jì)算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積,進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式,解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點(diǎn),直線的方程為,矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用,同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積,考查計(jì)算能力,屬于中等題.8.A【解析】
利用的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,然后聯(lián)立方程得,最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意,得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,.討論:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),據(jù),得,所以,所以.本題考查直線與拋物線的相交問題,解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程,屬于基礎(chǔ)題9.D【解析】
根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示,求出該幾何體的棱長,可以將該幾何體看作是相應(yīng)的正方體沿各棱的中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的,可求出其體積.【詳解】如下圖所示,將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長為2的正方體中,由三視圖可知,該幾何體的棱長為,它是由棱長為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的,該幾何體的體積為,故選:D.本題考查三視圖,幾何體的體積,對于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點(diǎn)得到,屬于中檔題.10.D【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值,得到,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,又函?shù)在時(shí)取得極值,所以,解得.故選D本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題,屬于常考題型.11.A【解析】
要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和,這就需要循環(huán)50次,這樣可以確定判斷語句①,根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【詳解】因?yàn)橛?jì)算這個(gè)數(shù)的和,循環(huán)變量的初值為1,所以步長應(yīng)該為1,故判斷語句①應(yīng)為,第個(gè)數(shù)是,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,這樣可以確定語句②為,故本題選A.本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu),正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.12.B【解析】
依照偶函數(shù)的定義,對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,a﹣1=﹣2a,即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(x)是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故選B.本題考查偶函數(shù)的定義,對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x);奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對稱,定義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由題意求出以線段AB為直徑的圓E的方程,且點(diǎn)D恒在圓E外,即圓E上存在點(diǎn),使得,則當(dāng)與圓E相切時(shí),此時(shí),由此列出不等式,即可求解?!驹斀狻坑深}意可得,直線的方程為,聯(lián)立方程組,可得,設(shè),則,,設(shè),則,,又,所以圓是以為圓心,4為半徑的圓,所以點(diǎn)恒在圓外.圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過點(diǎn),即圓上存在點(diǎn),使得,設(shè)過點(diǎn)的兩直線分別切圓于點(diǎn),要滿足題意,則,所以,整理得,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為本題主要考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,其中解答中準(zhǔn)確求得圓E的方程,把圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過點(diǎn),轉(zhuǎn)化為圓上存在點(diǎn),使得是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題。14.【解析】
數(shù)列滿足知,數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列,再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值即可.【詳解】,數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列,又,,.故答案為:.本題考查了等比數(shù)列定義,考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,是中檔題.15.【解析】
利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡,求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】∵,則函數(shù)的最大值為2,周期,的最大值與最小正周期相同,,得,則,當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),得,即函數(shù)在,上的單調(diào)遞增區(qū)間為,故答案為:.本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間,利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵,同時(shí)要注意單調(diào)區(qū)間為定義域的一個(gè)子區(qū)間.16.【解析】
設(shè)是中點(diǎn),由于分別是棱的中點(diǎn),所以,所以,所以四邊形是平行四邊形.由于平面,所以,而,,所以平面,所以.由于,所以,也即,所以四邊形是矩形.而.從而.故答案為:.本小題主要考查空間平面圖形面積的計(jì)算,考查線面垂直的判定,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)利用線面平行的定義證明即可(2)取的中點(diǎn),并分別連接,,然后,證明相應(yīng)的線面垂直關(guān)系,分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】證明:(1)在圖1中,連接.又,分別為,中點(diǎn),所以.即圖2中有.又平面,平面,所以平面.解:(2)在圖2中,取的中點(diǎn),并分別連接,.分析知,,.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又,所以,,.分別以,,為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,取,則,,所以.又,所以.分析知,直線與平面所成角的正弦值為.本題考查線面平行的證明以及利用空間向量求解線面角問題,屬于基礎(chǔ)題18.(1)(2)【解析】
(1)由,可求,然后由時(shí),可得,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求(2)由,而,利用裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),①②②①得,即,數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,;(2)∴,∴,,.本題考查遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.19.(1);(2)見解析.【解析】
(1)將所求問題轉(zhuǎn)化為在上有解,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為,然后再通過構(gòu)造加以證明即可.【詳解】(1),根據(jù)題意,在內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間,則不等式在上有解,由得,設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,所以當(dāng)時(shí),,所以存在,使得成立,所以的取值范圍為。(2)當(dāng)時(shí),,則,從而所證不等式轉(zhuǎn)化為,不妨設(shè),則不等式轉(zhuǎn)化為,即,即,令,則不等式轉(zhuǎn)化為,因?yàn)?,則,從而不等式化為,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,所以即不等式成立,故原不等式成立.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),在證明不等式時(shí),通常是構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理,本題是一道有高度的壓軸解答題.20.(1)(2)①,,②72【解析】
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