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文檔簡介
2025年西藏日喀則市第一高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)試題2月份考試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.2.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成的角的正弦值為().A. B. C. D.3.已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點,則()A. B. C. D.4.若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知拋物線的焦點為,對稱軸與準(zhǔn)線的交點為,為上任意一點,若,則()A.30° B.45° C.60° D.75°6.國家統(tǒng)計局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國物流與采購聯(lián)合會發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個月的中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯誤的是()A.12個月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個月的PMI值的平均值低于50%C.12個月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D.12個月的PMI值的中位數(shù)為50.3%7.已知函數(shù),若,使得,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.某人2018年的家庭總收人為元,各種用途占比如圖中的折線圖,年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖中的條形圖,已知年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,則該人年的儲畜費用為()A.元 B.元 C.元 D.元9.若的展開式中的系數(shù)之和為,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.110.設(shè)全集集合,則()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為的共軛復(fù)數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.12.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)__________.14.若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個不同的零點,則正數(shù)的取值范圍是______.15.春天即將來臨,某學(xué)校開展以“擁抱春天,播種綠色”為主題的植物種植實踐體驗活動.已知某種盆栽植物每株成活的概率為,各株是否成活相互獨立.該學(xué)校的某班隨機領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株,設(shè)為其中成活的株數(shù),若的方差,,則________.16.如圖所示,邊長為1的正三角形中,點,分別在線段,上,將沿線段進行翻折,得到右圖所示的圖形,翻折后的點在線段上,則線段的最小值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面為菱形,.(1)求證:平面;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)在多面體中,四邊形是正方形,平面,,,為的中點.(1)求證:;(2)求平面與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,判斷函數(shù),()有幾個零點,并證明你的結(jié)論;(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,判斷在上的單調(diào)性并加以證明;(2)若,,求的取值范圍.21.(12分)已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,數(shù)列為等差數(shù)列,且,,.(1)求數(shù)列與的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和;(3)設(shè)為數(shù)列的前項和,若對于任意,有,求實數(shù)的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)若不等式有解,求實數(shù)的取值范圍;(2)函數(shù)的最小值為,若正實數(shù),,滿足,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,同增異減以及采用排除法,可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時,,由在遞增,所以在遞增又是增函數(shù),所以在遞增,故排除B、C當(dāng)時,若,則所以在遞減,而是增函數(shù)所以在遞減,所以A正確,D錯誤故選:A本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷,關(guān)鍵在于對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解,記住常用的結(jié)論:增+增=增,增-減=增,減+減=減,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,屬中檔題.2.C【解析】
設(shè)M,N,P分別為和的中點,得出的夾角為MN和NP夾角或其補角,根據(jù)中位線定理,結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點,則的夾角為MN和NP夾角或其補角可知,.作BC中點Q,則為直角三角形;中,由余弦定理得,在中,在中,由余弦定理得所以故選:C此題考查異面直線夾角,關(guān)鍵點通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角,屬于較易題目.3.A【解析】
由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點,則,.故選:A.本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
本題根據(jù)基本不等式,結(jié)合選項,判斷得出充分性成立,利用“特殊值法”,通過特取的值,推出矛盾,確定必要性不成立.題目有一定難度,注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時,,則當(dāng)時,有,解得,充分性成立;當(dāng)時,滿足,但此時,必要性不成立,綜上所述,“”是“”的充分不必要條件.易出現(xiàn)的錯誤有,一是基本不等式掌握不熟,導(dǎo)致判斷失誤;二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”,通過特取的值,從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.5.C【解析】
如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,故,得到答案.【詳解】如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,在中,,故,即.故選:.本題考查了拋物線中角度的計算,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.6.D【解析】
根據(jù)圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計、眾數(shù)、中位數(shù),從而得到答案.【詳解】對A,從圖中數(shù)據(jù)變化看,PMI值不低于50%的月份有4個,所以12個月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對C,12個月的PMI值的眾數(shù)為49.4%,故C正確,;對D,12個月的PMI值的中位數(shù)為49.6%,故D錯誤故選:D.本題考查頻率、平均值的估計、眾數(shù)、中位數(shù)計算,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】試題分析:由題意知,當(dāng)時,由,當(dāng)且僅當(dāng)時,即等號是成立,所以函數(shù)的最小值為,當(dāng)時,為單調(diào)遞增函數(shù),所以,又因為,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故選C.考點:函數(shù)的綜合問題.【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱命題與存在命題的應(yīng)用等知識點的綜合考查,試題思維量大,屬于中檔試題,著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關(guān)鍵.8.A【解析】
根據(jù)2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費用占得到就醫(yī)費用,再根據(jù)年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,得到年的就醫(yī)費用,然后由年的就醫(yī)費用占總收人,得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費用占總收人求解.【詳解】因為2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費用占所以就醫(yī)費用因為年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,所以年的就醫(yī)費用元,而年的就醫(yī)費用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費用占總收人所以儲畜費用:故選:A本題主要考查統(tǒng)計中的折線圖和條形圖的應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
由,進而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù),令二者之和等于,可求出實數(shù)的值.【詳解】由,則展開式中的系數(shù)為,展開式中的系數(shù)為,二者的系數(shù)之和為,得.故選:B.本題考查二項式定理的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
先求出,再與集合N求交集.【詳解】由已知,,又,所以.故選:A.本題考查集合的基本運算,涉及到補集、交集運算,是一道容易題.11.D【解析】
按照復(fù)數(shù)的運算法則先求出,再寫出,進而求出.【詳解】,,.故選:D本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模,考查基本運算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,列出方程求出的值,即可求解雙曲線的離心率,得到答案.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,可得,解得,此時雙曲線,則曲線的離心率為,故選C.本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì),準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)切線的斜率為,利用導(dǎo)數(shù)列方程,由此求得切點的坐標(biāo),進而求得切線方程,通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】,則,所以切點為,故切線為,即,故.故答案為:本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問題,屬于基礎(chǔ)題.14.;【解析】
求出函數(shù)的零點,讓正數(shù)零點從小到大排列,第三個正數(shù)零點落在區(qū)間上,第四個零點在區(qū)間外即可.【詳解】由,得,,,,∵,∴,解得.故答案為:.本題考查函數(shù)的零點,根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)零點,然后題意,把正數(shù)零點從小到大排列,由于0已經(jīng)是一個零點,因此只有前3個零點在區(qū)間上.由此可得的不等關(guān)系,從而得出結(jié)論,本題解法屬于中檔題.15.【解析】
由題意可知:,且,從而可得值.【詳解】由題意可知:∴,即,∴故答案為:本題考查二項分布的實際應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,考查計算能力,屬于中檔題.16.【解析】
設(shè),,在中利用正弦定理得出關(guān)于的函數(shù),從而可得的最小值.【詳解】解:設(shè),,則,,∴,在中,由正弦定理可得,即,∴,∴當(dāng)即時,取得最小值.故答案為.本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)菱形性質(zhì)可知,結(jié)合可得,進而可證明,即,即可由線面垂直的判定定理證明平面;(2)結(jié)合(1)可證明兩兩互相垂直.即以為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,即可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:設(shè),連接,如下圖所示:∵側(cè)面為菱形,∴,且為及的中點,又,則為直角三角形,,又,,即,而為平面內(nèi)的兩條相交直線,平面.(2)平面,平面,,即,從而兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,為單位長度,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,為等邊三角形,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,∴可取,設(shè)平面的法向量為,則.同理可取,由圖示可知二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為.本題考查了線面垂直的判定方法,利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值,注意建系時先證明三條兩兩垂直的直線,屬于中檔題.18.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)首先證明,,,∴平面.即可得到平面,.(2)以為坐標(biāo)原點,,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量,帶入公式求解即可.【詳解】(1)∵平面,平面,∴.又∵四邊形是正方形,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.又∵,為的中點,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.(2)∵平面,,∴平面.以為坐標(biāo)原點,,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:則,,,.∴,,.設(shè)為平面的法向量,則,得,令,則.由題意知為平面的一個法向量,∴,∴平面與平面所成角的正弦值為.本題第一問考查線線垂直,先證線面垂直時解題關(guān)鍵,第二問考查二面角,建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.19.(1)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;(2)有2個零點,證明見解析;(3)【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;函數(shù)有2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明;記函數(shù),求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得,由零點存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使,求得為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論:①當(dāng)時,利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為的問題;②當(dāng)時,當(dāng)時,在上恒成立,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意知,,列表如下:020極小值極大值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,.(2)函數(shù)有2個零點.證明如下:因為時,所以,因為,所以在恒成立,在上單調(diào)遞增,由,,且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個零點,由(1)可得時,,即,故時,,所以,由得,平方得,所以,因為,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因為,所以,由,,且在上單調(diào)遞減且連續(xù)得在上僅有一個零點,綜上可知:函數(shù)有2個零點.(3)記函數(shù),下面考察的符號.求導(dǎo)得.當(dāng)時恒成立.當(dāng)時,因為,所以.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.∵,∴,又因為在上連續(xù),所以由函數(shù)的零點存在性定理得存在唯一的,使,∴,因為,所以∴因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,,所以在,上恒成立.①當(dāng)時,在上恒成立,即在上恒成立.記,則,當(dāng)變化時,,變化情況如下表:極小值∴,故,即.②當(dāng)時,,當(dāng)時,在上恒成立.綜合(1)(2)知,實數(shù)的取值范圍是.本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點個數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運算求解能力;通過構(gòu)造函數(shù),利用零點存在性定理判斷其零點,從而求出函數(shù)的表達式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.20.(1)在為增函數(shù);證明見解析(2)【解析】
(1)令,求出,可推得,故在為增函數(shù);(2)令,則,由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,.記,則,當(dāng)時,,.所以,所以在單調(diào)遞增,所以.因為,所以,所以在為增函數(shù).(2)由題意,得,記,
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