2025屆河南省鄭州市重點(diǎn)中學(xué)第五次月考高三數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆河南省鄭州市重點(diǎn)中學(xué)第五次月考高三數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．2．若變量，滿足，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．103．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，神獸人們喜愛(ài)．下圖即是一副窗花，是把一個(gè)邊長(zhǎng)為12的大正方形在四個(gè)角處都剪去邊長(zhǎng)為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個(gè)角處再剪出邊長(zhǎng)全為1的一些小正方形．若在這個(gè)窗花內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)不落在任何一個(gè)小正方形內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．4．點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，，，，，且，則（）A． B． C． D．5．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線有四條對(duì)稱軸；②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④6．已知集合，則元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．47．已知復(fù)數(shù)滿足，(為虛數(shù)單位)，則()A． B． C． D．38．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn).設(shè)為拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A．或 B．或 C．或 D．或9．集合的子集的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．810．已知各項(xiàng)都為正的等差數(shù)列中，，若，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．11．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．1212．設(shè)橢圓：的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點(diǎn)，則橢圓E的離心率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，記最大值為，則的最小值為_(kāi)_____.14．已知拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)__________．15．如圖，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率是______.16．設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在線段上，且。將沿折起，使點(diǎn)到的位置（如圖2所示），且。（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值18．（12分）已知橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，點(diǎn)（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，為直線上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)橢圓上點(diǎn)處的切線為，，切點(diǎn)分別，，直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為，，求的值.19．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，（1）求的值與拋物線的方程；（2）拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，拋物線上第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，求直線的斜率范圍.20．（12分）設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：直線．21．（12分）如圖，已知在三棱錐中，平面，分別為的中點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）設(shè)平面與交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn).22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線與曲線的普通方程，并求出直線的傾斜角；（2）記直線與軸的交點(diǎn)為是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)的最大距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)題意，可得幾何體，利用體積計(jì)算即可.【詳解】由題意，該幾何體如圖所示：該幾何體的體積.故選：A.本題考查了常見(jiàn)幾何體的三視圖和體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．2．D【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可．【詳解】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：如圖點(diǎn)坐標(biāo)分別為，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為，可行域內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，由圖可知到原點(diǎn)的距離最大，故.故選：D本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．3．D【解析】

由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】

確定點(diǎn)為外心，代入化簡(jiǎn)得到，，再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由可知，點(diǎn)為外心，則，，又，所以①因?yàn)?，②?lián)立方程①②可得，，，因?yàn)椋?，即．故選：本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5．C【解析】

①利用之間的代換判斷出對(duì)稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對(duì)應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】①：當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；綜上可知：有四條對(duì)稱軸，故正確；②：因?yàn)椋?，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以最大距離為，故錯(cuò)誤；③：設(shè)任意一點(diǎn)，所以圍成的矩形面積為，因?yàn)?，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因?yàn)閳A的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用，其中涉及到曲線的對(duì)稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用，難度較難.分析方程所表示曲線的對(duì)稱性，可通過(guò)替換方程中去分析證明.6．B【解析】

作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象，可得選項(xiàng).【詳解】由題意得，集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示，得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素，所以元素個(gè)數(shù)為2，故選：B.本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】，故，故選A.8．D【解析】

設(shè)，，根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出，再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出，，最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系，從而可得出離心率．【詳解】過(guò)分別向軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為、，不妨設(shè)，，則，為雙曲線上的點(diǎn)，則，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故選：D.本題考查了雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線和拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．9．D【解析】

先確定集合中元素的個(gè)數(shù)，再得子集個(gè)數(shù)．【詳解】由題意，有三個(gè)元素，其子集有8個(gè)．故選：D．本題考查子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題，含有個(gè)元素的集合其子集有個(gè)，其中真子集有個(gè)．10．A【解析】試題分析：設(shè)公差為或（舍），故選A.考點(diǎn)：等差數(shù)列及其性質(zhì).11．A【解析】

由題意知成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項(xiàng)，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選:A.本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差數(shù)列，一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來(lái)，繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對(duì)比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計(jì)算量大大減少.12．C【解析】

連接，為的中位線，從而，且，進(jìn)而，由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖，連接，橢圓：的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，不妨設(shè)B在第二象限，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點(diǎn)為的中位線，，且，，解得橢圓的離心率.故選：C本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

易知，設(shè)，，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可得解．【詳解】，設(shè)，，令，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減令，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，，，則則，即故答案為：.本題考查函數(shù)最值的求法，考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，屬于難題．14．【解析】

由于直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，因此過(guò)，分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義及平行線性質(zhì)可得，從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦，再求得正切即為直線斜率．注意對(duì)稱性，問(wèn)題應(yīng)該有兩解．【詳解】直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，，過(guò)，分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義知，．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，從而．設(shè)直線的傾斜角為，不妨設(shè)，如圖，則，，同理，則，解得，，由對(duì)稱性還有滿足題意．，綜上，．本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，掌握拋物線的定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到距離聯(lián)系起來(lái)是解題關(guān)鍵．15．【解析】

根據(jù)三角形中位線證得，結(jié)合判斷出垂直平分，由此求得的值，結(jié)合求得的值.【詳解】∵，∴為中點(diǎn)，，∵，∴垂直平分，∴，即，∴，，即.故答案為：本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16．.【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則首先可得出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】∵復(fù)數(shù)滿足，∴，∴，故而可得，故答案為.本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）要證明線面平行，需證明線線平行，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件證明，即；（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.∵，∴為的中點(diǎn).又為的中點(diǎn)，∴.依題意可知，則四邊形為平行四邊形，∴，從而.又平面，平面，∴平面.（2），且，平面，平面，，，且，平面，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.從而，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.本題考查線面平行的證明和空間坐標(biāo)法解決二面角的問(wèn)題，意在考查空間想象能力，推理證明和計(jì)算能力，屬于中檔題型，證明線面平行，或證明面面平行時(shí)，關(guān)鍵是證明線線平行，所以做輔助線或證明時(shí)，需考慮構(gòu)造中位線或平行四邊形，這些都是證明線線平行的常方法.18．（1）；（2）.【解析】

（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，然后，利用，，得出，進(jìn)而求解即可（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為，分別聯(lián)立方程：和，利用韋達(dá)定理，再利用，，即可求出的值【詳解】（1）由橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，得.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.又因?yàn)?，，所以，所以（舍）?故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為.據(jù)得.據(jù)題意，得，得，同理，得，所以.又可求，得，，所以.本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問(wèn)題，聯(lián)立方程求定值的關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，屬于中檔題19．（1）1；（2）【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，利用拋物線的定義得，再根據(jù)點(diǎn)在拋物線上有，列方程組求解，（2）設(shè)，根據(jù)，再由，求得，當(dāng)，即時(shí)，直線斜率不存在；當(dāng)時(shí)，，令，利用導(dǎo)數(shù)求解，【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，得，又，解得，所以拋物線方程為（2）設(shè)，由由，則當(dāng)，即時(shí)，直線斜率不存在；當(dāng)時(shí)，令，所以在上分別遞減則本題主要考查拋物線定義及方程的應(yīng)用，還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，20．（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)，求出后由二次函數(shù)知識(shí)得最小值，從而得，即得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理，設(shè)，由韋達(dá)定理得，設(shè)，利用三點(diǎn)共線，求得，然后驗(yàn)證即可．【詳解】解：（1）設(shè)，則，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，值最小，所以，解得，（舍負(fù)）所以，所以橢圓的方程為，（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得．設(shè)，則，設(shè)