2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率3.1.3概率的基本性質(zhì)學(xué)案新人教A版必修3

PAGE1-3.1.3學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解事務(wù)間的包含關(guān)系和相等關(guān)系．2．理解互斥事務(wù)和對(duì)應(yīng)事務(wù)的概念及關(guān)系．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))3．會(huì)用互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率公式求概率．(重點(diǎn))4．了解并事務(wù)與交事務(wù)的概念，會(huì)進(jìn)行事務(wù)的運(yùn)算．1.通過(guò)互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的學(xué)習(xí)，體會(huì)邏輯推理素養(yǎng)．2．借助概率的求法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算(1)事務(wù)的關(guān)系：定義表示法圖示包含關(guān)系一般地，對(duì)于事務(wù)A與事務(wù)B，假如事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B肯定發(fā)生，這時(shí)稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或稱事務(wù)A包含于事務(wù)B)B?A(或A?B)相等關(guān)系A(chǔ)?B且B?AA＝B事務(wù)互斥若A∩B為不行能事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥A∩B＝?事務(wù)對(duì)立若A∩B為不行能事務(wù)，A∪B為必定事務(wù)，那么稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)A∩B＝?且A∪B＝U(2)事務(wù)的運(yùn)算：定義表示法圖示并事件若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A發(fā)生或事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))A∪B(或A＋B)交事件若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))A∩B(或AB)2.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：[0，1]．(2)必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0．(3)概率加法公式為：假如事務(wù)A與B為互斥事務(wù)，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(4)若A與B為對(duì)立事務(wù)，則P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0．思索：在擲骰子的試驗(yàn)中，事務(wù)A＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1}，事務(wù)B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，A與B應(yīng)有怎樣的關(guān)系？[提示]A?B1．同時(shí)擲兩枚硬幣，向上面都是正面為事務(wù)A，向上面至少有一枚是正面為事務(wù)B，則有()A．A?B B．A?BC．A＝B D．A<BA[由事務(wù)的包含關(guān)系知A?B.]2．?dāng)S一枚骰子，視察結(jié)果，A＝{向上的點(diǎn)數(shù)為1}，B＝{向上的點(diǎn)數(shù)為2}，則()A．A?B B．A＝BC．A與B互斥 D．A與B對(duì)立C[由于事務(wù)A與B不行能同時(shí)發(fā)生，故A、B互斥．]3．一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中隨意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個(gè)事務(wù)：事務(wù)A：“恰有一件次品”；事務(wù)B：“至少有兩件次品”；事務(wù)C：“至少有一件次品”；事務(wù)D：“至多有一件次品”．并給出以下結(jié)論：①A∪B＝C；②D∪B是必定事務(wù)；③A∪B＝B；④A∪D＝C.其中正確的序號(hào)是()A．①②B．③④C．①③D．②③A[A∪B表示的事務(wù)：至少有一件次品，即事務(wù)C，所以①正確，③不正確；D∪B表示的事務(wù)：至少有兩件次品或至多有一件次品，包括了全部狀況，所以②正確；A∪D表示的事務(wù)：至多有一件次品，即事務(wù)D，所以④不正確．]4．一商店有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)中只有一等獎(jiǎng)與二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，其中中一等獎(jiǎng)的概率為0.1，中二等獎(jiǎng)的概率為0.25，則不中獎(jiǎng)的概率為_(kāi)_______．0.65[中獎(jiǎng)的概率為0.1＋0.25＝0.35，中獎(jiǎng)與不中獎(jiǎng)互為對(duì)立事務(wù)，所以不中獎(jiǎng)的概率為1－0.35＝0.65.]互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的判定【例1】某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事務(wù)A為“只訂甲報(bào)”，事務(wù)B為“至少訂一種報(bào)紙”，事務(wù)C為“至多訂一種報(bào)紙”，事務(wù)D為“不訂甲報(bào)”，事務(wù)E為“一種報(bào)紙也不訂”．推斷下列每組事務(wù)是不是互斥事務(wù)；假如是，再推斷它們是不是對(duì)立事務(wù)：(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.思路點(diǎn)撥：是否可能同時(shí)發(fā)生→推斷是否互斥→是否必有一個(gè)發(fā)生→推斷是否對(duì)立[解](1)由于事務(wù)C“至多訂一種報(bào)紙”中包括“只訂甲報(bào)”，即事務(wù)A與事務(wù)C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事務(wù)．(2)事務(wù)B“至少訂一種報(bào)紙”與事務(wù)E“一種報(bào)紙也不訂”是不行能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事務(wù)；由于事務(wù)B與事務(wù)E必有一個(gè)發(fā)生，故B與E是對(duì)立事務(wù)．(3)事務(wù)B“至少訂一種報(bào)紙”中包括“只訂乙報(bào)”，即有可能“不訂甲報(bào)”，也就是說(shuō)事務(wù)B和事務(wù)D有可能同時(shí)發(fā)生，故B與D不是互斥事務(wù)．(4)事務(wù)B“至少訂一種報(bào)紙”中的可能狀況為“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”．事務(wù)C“至多訂一種報(bào)紙”中的可能狀況為“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”．也就是說(shuō)事務(wù)B與事務(wù)C可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事務(wù)．(5)由(4)的分析，事務(wù)E“一種報(bào)紙也不訂”是事務(wù)C中的一種可能狀況，所以事務(wù)C與事務(wù)E可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事務(wù)．互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的判定方法(1)利用基本概念①互斥事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生；②對(duì)立事務(wù)首先是互斥事務(wù)，且必需有一個(gè)要發(fā)生．(2)利用集合的觀點(diǎn)來(lái)推斷設(shè)事務(wù)A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B.①事務(wù)A與B互斥，即集合A∩B＝?；②事務(wù)A與B對(duì)立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝IB或B＝IA.1．一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，有下面四個(gè)事務(wù)：事務(wù)A：命中環(huán)數(shù)大于8；事務(wù)B：命中環(huán)數(shù)小于5；事務(wù)C：命中環(huán)數(shù)大于4；事務(wù)D：命中環(huán)數(shù)不大于6.則()A．A與D是互斥事務(wù) B．C與D是對(duì)立事務(wù)C．B與D是互斥事務(wù) D．以上都不對(duì)A[由互斥、對(duì)立事務(wù)的定義可推斷A選項(xiàng)正確．]事務(wù)的關(guān)系及運(yùn)算【例2】在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義很多事務(wù)．例如，事務(wù)C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事務(wù)C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事務(wù)C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事務(wù)C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事務(wù)C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事務(wù)C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事務(wù)D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事務(wù)D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事務(wù)D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事務(wù)E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事務(wù)F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事務(wù)G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)依據(jù)上述定義的事務(wù)，回答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)列舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事務(wù)；(2)利用和事務(wù)的定義，推斷上述哪些事務(wù)是和事務(wù)．[解](1)因?yàn)槭聞?wù)C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事務(wù)D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事務(wù)E包含事務(wù)C1，C2，C3，C4，C5，C6；事務(wù)D2包含事務(wù)C4，C5，C6；事務(wù)F包含事務(wù)C2，C4，C6；事務(wù)G包含事務(wù)C1，C3，C5.且易知事務(wù)C1與事務(wù)D1相等，即C1＝D1.(2)因?yàn)槭聞?wù)D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.事務(wù)運(yùn)算應(yīng)留意的2個(gè)問(wèn)題(1)進(jìn)行事務(wù)的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．(2)在一些比較簡(jiǎn)潔的題目中，須要推斷事務(wù)之間的關(guān)系時(shí)，可以依據(jù)常識(shí)來(lái)推斷．但假如遇到比較困難的題目，就得嚴(yán)格依據(jù)事務(wù)之間關(guān)系的定義來(lái)推理．2．盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事務(wù)A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球}，事務(wù)B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球、1個(gè)白球}，事務(wù)C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事務(wù)D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}．(1)事務(wù)D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事務(wù)C與A的交事務(wù)是什么事務(wù)？[解](1)對(duì)于事務(wù)D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球，或2個(gè)紅球、1個(gè)白球，故D＝A∪B.(2)對(duì)于事務(wù)C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球，或2個(gè)紅球、1個(gè)白球，或3個(gè)紅球，故C∩A＝A.互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率公式及應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．在同一試驗(yàn)中，對(duì)隨意兩個(gè)事務(wù)A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)肯定成立嗎？[提示]不肯定，只有A與B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．2．若P(A)＋P(B)＝1，則事務(wù)A與事務(wù)B是否肯定對(duì)立？試舉例說(shuō)明．[提示]A與B不肯定對(duì)立．例如：擲一枚勻稱的骰子，記事務(wù)A為出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，事務(wù)B為出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)，則P(A)＋P(B)＝1，但A、B不對(duì)立．【例3】在數(shù)學(xué)考試中，小明的成果在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，計(jì)算：(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上的成果的概率；(2)小明數(shù)學(xué)考試及格的概率．思路點(diǎn)撥：小明的成果在80分以上可以看作是互斥事務(wù)“80分～89分”“90分以上”的并事務(wù)，小明數(shù)學(xué)考試及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”這幾個(gè)彼此互斥事務(wù)的并事務(wù)，又可看作是“不及格”這一事務(wù)的對(duì)立事務(wù)．[解]分別記小明的成果“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”為事務(wù)B，C，D，E，這四個(gè)事務(wù)彼此互斥．(1)小明的成果在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：小明數(shù)學(xué)考試不及格的概率是0.07，所以小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是1－0.07＝0.93.1．(變結(jié)論)本例條件不變，求小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以下的成果的概率．[解]分別記小明的成果“在90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”，“在60分以下”為事務(wù)A、B、C、D、E，則這五個(gè)事務(wù)彼此互斥．∴小明成果在80分以下的概率是：P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.2．(變條件)一盒中裝有各種色球12個(gè)，其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．[解]法一：(利用互斥事務(wù)求概率)記事務(wù)A1＝{任取1球?yàn)榧t球}，A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷，A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷，A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依據(jù)題意知，事務(wù)A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事務(wù)概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二：(利用對(duì)立事務(wù)求概率)(1)由法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事務(wù)為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1∪A2的對(duì)立事務(wù)為A3∪A4，所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的對(duì)立事務(wù)為A4.所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)概率的求解方法(1)互斥事務(wù)的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí)，經(jīng)常考慮其反面，通過(guò)求其反面，然后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題．1．互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)都是針對(duì)兩個(gè)事務(wù)而言的，它們兩者之間既有區(qū)分又有聯(lián)系．在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事務(wù)有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不行能兩個(gè)都發(fā)生；而兩個(gè)對(duì)立事務(wù)必有一個(gè)發(fā)生，但是不行能兩個(gè)事務(wù)同時(shí)發(fā)生，也不行能兩個(gè)事務(wù)都不發(fā)生．所以兩個(gè)事務(wù)互斥，它們未必對(duì)立；反之兩個(gè)事務(wù)對(duì)立，它們肯定互斥．2．互斥事務(wù)概率的加法公式是一個(gè)很基本的計(jì)算公式，解題時(shí)要在詳細(xì)的情景中推斷各事務(wù)間是否互斥，只有互斥事務(wù)才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法(1)將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥事務(wù)的并事務(wù)；(2)先求其對(duì)立事務(wù)的概率，再求所求事務(wù)的概率.1．推斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)互斥事務(wù)肯定是對(duì)立事務(wù)． ()(2)事務(wù)A與B的并事務(wù)的概率肯定大于事務(wù)A的概率． ()(3)若P(A)＋P(B)＝1，則事務(wù)A與B肯定是對(duì)立事務(wù)． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．給出以下結(jié)論：①互斥事務(wù)肯定對(duì)立；②對(duì)立事務(wù)肯定互斥；③互斥事務(wù)不肯定對(duì)立；④事務(wù)A與B的和事務(wù)的概率肯定大于事務(wù)A的概率；⑤事務(wù)A與B互斥，則有P(A)＝1－P(B)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)C[對(duì)立必互斥，互斥不肯定對(duì)立，∴②③對(duì)，①錯(cuò)；又A∪B＝A時(shí)，P(A∪B)＝P(A)，④錯(cuò)；只有A、B對(duì)立時(shí)，P(A)＝1－P(B)才成立，⑤錯(cuò)．]3．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．0.3[摸出紅球、白球、黑球是互斥事務(wù)，所以摸出黑球的概率為1－0.42－0.28＝0.3.]4．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中任抽取1張，推斷下列給出的每對(duì)事務(wù)是否為互斥事務(wù)，是否為對(duì)立事務(wù)，并說(shuō)明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點(diǎn)數(shù)大于9”．[解](1)是互斥事務(wù)，不是對(duì)立事務(wù)．