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文檔簡(jiǎn)介
PAGE1-3.1.3學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解事務(wù)間的包含關(guān)系和相等關(guān)系.2.理解互斥事務(wù)和對(duì)應(yīng)事務(wù)的概念及關(guān)系.(難點(diǎn)、易混點(diǎn))3.會(huì)用互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率公式求概率.(重點(diǎn))4.了解并事務(wù)與交事務(wù)的概念,會(huì)進(jìn)行事務(wù)的運(yùn)算.1.通過(guò)互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的學(xué)習(xí),體會(huì)邏輯推理素養(yǎng).2.借助概率的求法,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1.事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算(1)事務(wù)的關(guān)系:定義表示法圖示包含關(guān)系一般地,對(duì)于事務(wù)A與事務(wù)B,假如事務(wù)A發(fā)生,則事務(wù)B肯定發(fā)生,這時(shí)稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或稱事務(wù)A包含于事務(wù)B)B?A(或A?B)相等關(guān)系A(chǔ)?B且B?AA=B事務(wù)互斥若A∩B為不行能事務(wù),則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥A∩B=?事務(wù)對(duì)立若A∩B為不行能事務(wù),A∪B為必定事務(wù),那么稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)A∩B=?且A∪B=U(2)事務(wù)的運(yùn)算:定義表示法圖示并事件若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A發(fā)生或事務(wù)B發(fā)生,則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))A∪B(或A+B)交事件若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生,則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))A∩B(或AB)2.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:[0,1].(2)必定事務(wù)的概率為1,不行能事務(wù)的概率為0.(3)概率加法公式為:假如事務(wù)A與B為互斥事務(wù),則P(A∪B)=P(A)+P(B).(4)若A與B為對(duì)立事務(wù),則P(A)=1-P(B).P(A∪B)=1,P(A∩B)=0.思索:在擲骰子的試驗(yàn)中,事務(wù)A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1},事務(wù)B={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)},A與B應(yīng)有怎樣的關(guān)系?[提示]A?B1.同時(shí)擲兩枚硬幣,向上面都是正面為事務(wù)A,向上面至少有一枚是正面為事務(wù)B,則有()A.A?B B.A?BC.A=B D.A<BA[由事務(wù)的包含關(guān)系知A?B.]2.?dāng)S一枚骰子,視察結(jié)果,A={向上的點(diǎn)數(shù)為1},B={向上的點(diǎn)數(shù)為2},則()A.A?B B.A=BC.A與B互斥 D.A與B對(duì)立C[由于事務(wù)A與B不行能同時(shí)發(fā)生,故A、B互斥.]3.一批產(chǎn)品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.從這批產(chǎn)品中隨意抽取5件,現(xiàn)給出以下四個(gè)事務(wù):事務(wù)A:“恰有一件次品”;事務(wù)B:“至少有兩件次品”;事務(wù)C:“至少有一件次品”;事務(wù)D:“至多有一件次品”.并給出以下結(jié)論:①A∪B=C;②D∪B是必定事務(wù);③A∪B=B;④A∪D=C.其中正確的序號(hào)是()A.①②B.③④C.①③D.②③A[A∪B表示的事務(wù):至少有一件次品,即事務(wù)C,所以①正確,③不正確;D∪B表示的事務(wù):至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了全部狀況,所以②正確;A∪D表示的事務(wù):至多有一件次品,即事務(wù)D,所以④不正確.]4.一商店有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)中只有一等獎(jiǎng)與二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng),其中中一等獎(jiǎng)的概率為0.1,中二等獎(jiǎng)的概率為0.25,則不中獎(jiǎng)的概率為_(kāi)_______.0.65[中獎(jiǎng)的概率為0.1+0.25=0.35,中獎(jiǎng)與不中獎(jiǎng)互為對(duì)立事務(wù),所以不中獎(jiǎng)的概率為1-0.35=0.65.]互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的判定【例1】某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱,記事務(wù)A為“只訂甲報(bào)”,事務(wù)B為“至少訂一種報(bào)紙”,事務(wù)C為“至多訂一種報(bào)紙”,事務(wù)D為“不訂甲報(bào)”,事務(wù)E為“一種報(bào)紙也不訂”.推斷下列每組事務(wù)是不是互斥事務(wù);假如是,再推斷它們是不是對(duì)立事務(wù):(1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B與C;(5)C與E.思路點(diǎn)撥:是否可能同時(shí)發(fā)生→推斷是否互斥→是否必有一個(gè)發(fā)生→推斷是否對(duì)立[解](1)由于事務(wù)C“至多訂一種報(bào)紙”中包括“只訂甲報(bào)”,即事務(wù)A與事務(wù)C有可能同時(shí)發(fā)生,故A與C不是互斥事務(wù).(2)事務(wù)B“至少訂一種報(bào)紙”與事務(wù)E“一種報(bào)紙也不訂”是不行能同時(shí)發(fā)生的,故B與E是互斥事務(wù);由于事務(wù)B與事務(wù)E必有一個(gè)發(fā)生,故B與E是對(duì)立事務(wù).(3)事務(wù)B“至少訂一種報(bào)紙”中包括“只訂乙報(bào)”,即有可能“不訂甲報(bào)”,也就是說(shuō)事務(wù)B和事務(wù)D有可能同時(shí)發(fā)生,故B與D不是互斥事務(wù).(4)事務(wù)B“至少訂一種報(bào)紙”中的可能狀況為“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”.事務(wù)C“至多訂一種報(bào)紙”中的可能狀況為“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”.也就是說(shuō)事務(wù)B與事務(wù)C可能同時(shí)發(fā)生,故B與C不是互斥事務(wù).(5)由(4)的分析,事務(wù)E“一種報(bào)紙也不訂”是事務(wù)C中的一種可能狀況,所以事務(wù)C與事務(wù)E可能同時(shí)發(fā)生,故C與E不是互斥事務(wù).互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的判定方法(1)利用基本概念①互斥事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生;②對(duì)立事務(wù)首先是互斥事務(wù),且必需有一個(gè)要發(fā)生.(2)利用集合的觀點(diǎn)來(lái)推斷設(shè)事務(wù)A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A,B.①事務(wù)A與B互斥,即集合A∩B=?;②事務(wù)A與B對(duì)立,即集合A∩B=?,且A∪B=I,即A=IB或B=IA.1.一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊,有下面四個(gè)事務(wù):事務(wù)A:命中環(huán)數(shù)大于8;事務(wù)B:命中環(huán)數(shù)小于5;事務(wù)C:命中環(huán)數(shù)大于4;事務(wù)D:命中環(huán)數(shù)不大于6.則()A.A與D是互斥事務(wù) B.C與D是對(duì)立事務(wù)C.B與D是互斥事務(wù) D.以上都不對(duì)A[由互斥、對(duì)立事務(wù)的定義可推斷A選項(xiàng)正確.]事務(wù)的關(guān)系及運(yùn)算【例2】在擲骰子的試驗(yàn)中,可以定義很多事務(wù).例如,事務(wù)C1={出現(xiàn)1點(diǎn)},事務(wù)C2={出現(xiàn)2點(diǎn)},事務(wù)C3={出現(xiàn)3點(diǎn)},事務(wù)C4={出現(xiàn)4點(diǎn)},事務(wù)C5={出現(xiàn)5點(diǎn)},事務(wù)C6={出現(xiàn)6點(diǎn)},事務(wù)D1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1},事務(wù)D2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3},事務(wù)D3={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5},事務(wù)E={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7},事務(wù)F={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)},事務(wù)G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)},請(qǐng)依據(jù)上述定義的事務(wù),回答下列問(wèn)題:(1)請(qǐng)列舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事務(wù);(2)利用和事務(wù)的定義,推斷上述哪些事務(wù)是和事務(wù).[解](1)因?yàn)槭聞?wù)C1,C2,C3,C4發(fā)生,則事務(wù)D3必發(fā)生,所以C1?D3,C2?D3,C3?D3,C4?D3.同理可得,事務(wù)E包含事務(wù)C1,C2,C3,C4,C5,C6;事務(wù)D2包含事務(wù)C4,C5,C6;事務(wù)F包含事務(wù)C2,C4,C6;事務(wù)G包含事務(wù)C1,C3,C5.且易知事務(wù)C1與事務(wù)D1相等,即C1=D1.(2)因?yàn)槭聞?wù)D2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}={出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)},所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F(xiàn)=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.事務(wù)運(yùn)算應(yīng)留意的2個(gè)問(wèn)題(1)進(jìn)行事務(wù)的運(yùn)算時(shí),一是要緊扣運(yùn)算的定義,二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.(2)在一些比較簡(jiǎn)潔的題目中,須要推斷事務(wù)之間的關(guān)系時(shí),可以依據(jù)常識(shí)來(lái)推斷.但假如遇到比較困難的題目,就得嚴(yán)格依據(jù)事務(wù)之間關(guān)系的定義來(lái)推理.2.盒子里有6個(gè)紅球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任取3個(gè)球,設(shè)事務(wù)A={3個(gè)球中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球},事務(wù)B={3個(gè)球中有2個(gè)紅球、1個(gè)白球},事務(wù)C={3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球},事務(wù)D={3個(gè)球中既有紅球又有白球}.(1)事務(wù)D與A,B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系?(2)事務(wù)C與A的交事務(wù)是什么事務(wù)?[解](1)對(duì)于事務(wù)D,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球,或2個(gè)紅球、1個(gè)白球,故D=A∪B.(2)對(duì)于事務(wù)C,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球,或2個(gè)紅球、1個(gè)白球,或3個(gè)紅球,故C∩A=A.互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率公式及應(yīng)用[探究問(wèn)題]1.在同一試驗(yàn)中,對(duì)隨意兩個(gè)事務(wù)A、B,P(A∪B)=P(A)+P(B)肯定成立嗎?[提示]不肯定,只有A與B互斥時(shí),P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.2.若P(A)+P(B)=1,則事務(wù)A與事務(wù)B是否肯定對(duì)立?試舉例說(shuō)明.[提示]A與B不肯定對(duì)立.例如:擲一枚勻稱的骰子,記事務(wù)A為出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn),事務(wù)B為出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn),則P(A)+P(B)=1,但A、B不對(duì)立.【例3】在數(shù)學(xué)考試中,小明的成果在90分(含90分)以上的概率是0.18,在80分~89分(包括89分,下同)的概率是0.51,在70分~79分的概率是0.15,在60分~69分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,計(jì)算:(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上的成果的概率;(2)小明數(shù)學(xué)考試及格的概率.思路點(diǎn)撥:小明的成果在80分以上可以看作是互斥事務(wù)“80分~89分”“90分以上”的并事務(wù),小明數(shù)學(xué)考試及格可看作是“60分~69分”“70分~79分”“80分~89分”“90分以上”這幾個(gè)彼此互斥事務(wù)的并事務(wù),又可看作是“不及格”這一事務(wù)的對(duì)立事務(wù).[解]分別記小明的成果“在90分以上”“在80分~89分”“在70分~79分”在“60分~69分”為事務(wù)B,C,D,E,這四個(gè)事務(wù)彼此互斥.(1)小明的成果在80分以上的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.(2)法一:小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.法二:小明數(shù)學(xué)考試不及格的概率是0.07,所以小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是1-0.07=0.93.1.(變結(jié)論)本例條件不變,求小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以下的成果的概率.[解]分別記小明的成果“在90分以上”,“在80~89分”,“在70~79分”,“在60~69分”,“在60分以下”為事務(wù)A、B、C、D、E,則這五個(gè)事務(wù)彼此互斥.∴小明成果在80分以下的概率是:P(C∪D∪E)=0.15+0.09+0.07=0.31.2.(變條件)一盒中裝有各種色球12個(gè),其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1球,求:(1)取出1球是紅球或黑球的概率;(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.[解]法一:(利用互斥事務(wù)求概率)記事務(wù)A1={任取1球?yàn)榧t球},A2={任取1球?yàn)楹谇騷,A3={任取1球?yàn)榘浊騷,A4={任取1球?yàn)榫G球},則P(A1)=eq\f(5,12),P(A2)=eq\f(4,12),P(A3)=eq\f(2,12),P(A4)=eq\f(1,12).依據(jù)題意知,事務(wù)A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事務(wù)概率公式,得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=eq\f(5,12)+eq\f(4,12)=eq\f(3,4).(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=eq\f(5,12)+eq\f(4,12)+eq\f(2,12)=eq\f(11,12).法二:(利用對(duì)立事務(wù)求概率)(1)由法一知,取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事務(wù)為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球,即A1∪A2的對(duì)立事務(wù)為A3∪A4,所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-eq\f(2,12)-eq\f(1,12)=eq\f(9,12)=eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的對(duì)立事務(wù)為A4.所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-eq\f(1,12)=eq\f(11,12).互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)概率的求解方法(1)互斥事務(wù)的概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B).(2)當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí),經(jīng)常考慮其反面,通過(guò)求其反面,然后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題.1.互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)都是針對(duì)兩個(gè)事務(wù)而言的,它們兩者之間既有區(qū)分又有聯(lián)系.在一次試驗(yàn)中,兩個(gè)互斥事務(wù)有可能都不發(fā)生,也可能有一個(gè)發(fā)生,但不行能兩個(gè)都發(fā)生;而兩個(gè)對(duì)立事務(wù)必有一個(gè)發(fā)生,但是不行能兩個(gè)事務(wù)同時(shí)發(fā)生,也不行能兩個(gè)事務(wù)都不發(fā)生.所以兩個(gè)事務(wù)互斥,它們未必對(duì)立;反之兩個(gè)事務(wù)對(duì)立,它們肯定互斥.2.互斥事務(wù)概率的加法公式是一個(gè)很基本的計(jì)算公式,解題時(shí)要在詳細(xì)的情景中推斷各事務(wù)間是否互斥,只有互斥事務(wù)才能用概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B).3.求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法(1)將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥事務(wù)的并事務(wù);(2)先求其對(duì)立事務(wù)的概率,再求所求事務(wù)的概率.1.推斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)互斥事務(wù)肯定是對(duì)立事務(wù). ()(2)事務(wù)A與B的并事務(wù)的概率肯定大于事務(wù)A的概率. ()(3)若P(A)+P(B)=1,則事務(wù)A與B肯定是對(duì)立事務(wù). ()[答案](1)×(2)×(3)×2.給出以下結(jié)論:①互斥事務(wù)肯定對(duì)立;②對(duì)立事務(wù)肯定互斥;③互斥事務(wù)不肯定對(duì)立;④事務(wù)A與B的和事務(wù)的概率肯定大于事務(wù)A的概率;⑤事務(wù)A與B互斥,則有P(A)=1-P(B).其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)C[對(duì)立必互斥,互斥不肯定對(duì)立,∴②③對(duì),①錯(cuò);又A∪B=A時(shí),P(A∪B)=P(A),④錯(cuò);只有A、B對(duì)立時(shí),P(A)=1-P(B)才成立,⑤錯(cuò).]3.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個(gè)球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是________.0.3[摸出紅球、白球、黑球是互斥事務(wù),所以摸出黑球的概率為1-0.42-0.28=0.3.]4.從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1~10各10張)中任抽取1張,推斷下列給出的每對(duì)事務(wù)是否為互斥事務(wù),是否為對(duì)立事務(wù),并說(shuō)明理由.(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”;(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”;(3)“抽出牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點(diǎn)數(shù)大于9”.[解](1)是互斥事務(wù),不是對(duì)立事務(wù).
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