2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題173 最短路徑問題專項訓(xùn)練（30道）（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題17.3最短路徑問題

專項訓(xùn)練（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題所有

類型！

一.選擇題（共12小題）

1.（2022春?五華區(qū)期末）如圖，正方體的棱長為2c〃?，點8為一條棱的中點.螞蟻在正方體表面爬行，

從點4爬到點8的最短路程是（）

2.（2022春?碑林區(qū)校級期末）如圖，圓柱的底面周長為12cgA8是底面圓的直徑，在圓柱表面的高BC

上有一點。，且BC=IO””，DC=2cm.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點。的最短路

3.（2022春?洛陽期中）如圖，圓柱形玻璃杯，高為12?！ǎ酌嬷荛L為18口〃.在杯內(nèi)離杯底4c制的點C

處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4c/〃與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最

短距離為（）cm.

C.12D.18

4.（2022秋?高州市期末）國慶節(jié)期間，茂名市一廣場用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子.為了美觀，每根

柱子的彩燈帶需要從4點沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的B點，如圖所示，若每根柱子的底面周長均

為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為（）

A.五米B.VTT米c.g米D.5米

5.（2022秋?沈陽期末）如圖，長方體的長為3,寬為2,高為4,點B離點。的距離為I,一只螞蟻如果

要沿著長方體的表面從點4爬到點8,需要爬行的最短路程是（）

C.V29D.V37

6.（2022春?哪城區(qū)期末）如圖,臺階階梯每一層高20（7〃，寬30。〃，長50?！?一只螞蟻從A點爬到B點,

最短路程是（）（777.

A

A.10V89B.50追C.120D.130

7.（2022秋?揭陽校級月考）如圖，一個棱長為3的正方體，把它分成3X3X3個小正方體，小正方體的

棱長都是1.如果一只螞蟻從點A爬到點8,那么估計A,B間的最短路程d的值為（）

C.6D.7

8.（2022秋?牡丹區(qū)月考）如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方體去掉

一個“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為25〃的半圓，其邊緣.小明

要在A/3上選取一點￡,能夠使他從點?；近cE再滑到點C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約

為（）（九取3）in.

A.30B.28C.25D.22

9.（2022春?靖西市期中）如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中AB=7cm,BC=4cm,BF=6cm,

點M在棱人8上，且八M=Ic小點N是尸G的中點，一只螞蟻要沿著長方形盒子的外表直從點M爬行

到點M它需要爬行的最短路程為（）

A.10cmB.4y/5cmC.6\[2cmD.2V13cm

10.（2022秋?芝果區(qū)期中）某?！肮鈱W(xué)節(jié)”的紀(jì)念品是一個底面為等邊三角形的三棱鏡（如圖）.在三棱

鏡的側(cè)面上，從頂點A到頂點4'鑲有一圈金屬絲，已知此三棱鏡的高為9cm,底面邊長為4c”，則這

圈金屬絲的長度至少為（）

而成的，如圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場U型池的實景圖和示意圖，該場地可以看作是從一個

長方體中挖去了半個圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為空6，其邊緣48=8=24m，點E在CO

上，CE=4m,一名滑雪愛好者從點4滑到點E,他滑行的最短路線長為〃?.

云頂滑雪場U型池的實景圖云頂滑雪場U型池的示意圖

15.（2022春?仁懷市月考）如怪，要在河邊/上修建一個水泵站，分別向A村和4村送水，已知4村、B

村到河邊的距離分別為2癡和7km且4B兩村莊相距13切?，則鋪設(shè)水管的最短長度是km.

B

*

A

?河邊I

16.（2022秋?錦江區(qū)校級期末）在一個長6+2企米，寬為4米的長方形草地上，如圖堆放著一根三棱柱的

木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬AO,木塊的主視圖的高是企米的等腰直角三角形，一只螞蟻從點A

17.（2022秋?高新區(qū)校級期末）如圖，教室的墻面ADE”與地面48CQ垂直，點P在墻面上.若以=AB

=5米，點尸到AO的距離是3米，有一只螞蟻要從點。爬到點8,它的最短行程是米.

18.（2022春?德州期中）如圖，點A是正方體左側(cè)面的中心，點B是正方體的一個頂點，正方體的棱長

為2,一螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是.

19.（2022秋?中原區(qū)校級期末）如圖，一個三棱柱盒子底面三邊長分別為3c〃?，4C〃?，5cm,盒子高為9cm,

一只螞蟻想從盒底的點A沿盒子的表面爬行一周到盒頂?shù)狞cB,螞蟻要爬行的最短路程是cm.

20.（2022秋?風(fēng)城市期中）如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長AD=80c〃?，高AB=60cm,水深

AE=40cm.在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一塊面包屑，G在水面線E/上，且EG=60c”一只螞蟻想從魚

缸外的人點沿魚缸壁爬進(jìn)用缸內(nèi)的G處吃面包屑.則螞蟻爬行的最短路線為cm.

三.解答題（共10小題）

21.（2022春?宜城市期末）如圖，某小區(qū)有兩個噴泉4,B,兩個噴泉的距離長為125,〃.現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)

供水管道AM,BM,供水點M在小路AC上，供水點M到4B的距離MN的長為606，BM的長為75%

（1）求供水點M到噴泉A,8需要鋪設(shè)的管道總長；

（2）求噴泉4到小路AC的最短距離.

A

22.（2022秋?原陽縣期末）如圖，一個正方體木箱子右邊連接一個正方形木板，甲螞蟻從點4出發(fā)，沿小

b,〃三個面走最短路徑到點以同時，乙螞蟻以相同的速度從點B出發(fā)，沿4c兩個面走最短路徑到

點4.請你通過計算判斷哪只螞蟻先到達(dá)目的地？

23.（2022秋?江北區(qū)期末）在立方體紙盒的頂點4處有一只螞蟻，在另一頂點E處有一粒精，你能為這

只螞蟻設(shè)計一條最短路線，使它沿著立方體表面上的這一條路線爬行，最快捷吃到糖嗎？以下提供三個

方案:

①―C-E；②K—E；③M。一￡

方案①方案②方案③

（1）三種方案①、②、③中爬行路線最短的方案是；最長的方案是

（2）請根據(jù)數(shù)學(xué)知識說明理由.

24.（2022秋?二道區(qū)期末）如圖，已知線段/3C是圓柱底面的直徑，圓柱底面的周長為10，圓柱的高人8

=12,在圓柱的側(cè)面上，過點A、C兩點嵌有一圈長度最短的金屬絲.

（1）現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿A8剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖是:

（2）求該金屬絲的長.

25.（2022秋?隨縣期末）如圖I所示，長方形是由兩個正方形拼成的，正方形的邊長為〃，對角線為從

長方形對角線為c.一只螞蟻從A點爬行到。點.

（1）求螞蟻爬行的最短路線長（只能按箭頭所示的三條路線走），并說明理由:

（2）如果把右邊的正方形EFBC沿E/翻轉(zhuǎn)90°得到如圖2所示的正方體相鄰的兩個面（實線表示），

則螞蟻從A點到。點的最短路線長是多少？請在圖2中畫出路線圖，若與圖中的線段有交點，則要標(biāo)明

并說明交點的準(zhǔn)確位置.（可測量猜想判斷）

圖1圖2

26.（2022秋?羅湖區(qū)期中）（1）如圖1,長方體的長為4c〃?，寬為30〃，高為12cm.求該長方體中能放

入木棒的最大長度；

（2）如圖2,長方體的長為4°〃，寬為3c小，高為12cm.現(xiàn)有一只螞蟻從點A處沿長方體的表面爬到點

G處，求它爬行的最短路程.

（3）若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12c〃?，底面周長為10cm,在

容器內(nèi)壁離底部3c/〃的點A處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cM的點4處.求

螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？

27.（2022秋?元寶區(qū)校級期中）一根長90s?的燈管上，纏滿了彩色絲帶，已知可近似地將燈管看作圓

柱體，且底面周長為457,彩色絲帶均勻地纏繞了30圈，問：絲帶共有多長？

28.（2022秋?東明縣期中）東明縣是魯西南的化工基地，有東明石化集團(tuán)，洪業(yè)化工集團(tuán)，玉皇化工集團(tuán)

等企業(yè)，化學(xué)工業(yè)越來越成為東明縣經(jīng)濟(jì)的命脈，化工廠里我們會經(jīng)?？吹饺鐖D儲存罐，杈據(jù)需要，在

圓柱形罐的外圍要安裝小梯子，如果油罐的底面半徑為6米，高24米，梯子繞罐體半圓到達(dá)罐頂，則梯

子至少要多長？

29.（2022秋?福田區(qū)期末）如圖，是一個圓柱形的餅干盒，在盒子外側(cè)下底面的點A處有甲、乙兩只螞蟻,

它們都想要吃到上底面外側(cè)）處的食物：甲螞蟻沿A-A'的折線爬行，乙螞蟻沿圓柱的側(cè)面爬

行：若NAO8=NA'O'B'=90°（"'、BBr都與圓柱的中軸線00'平行），圓柱的底面半徑是

12cm,高為1cm,則：

（l）A'B'=cm,甲螞蟻要吃到食物需爬行的路程長八=

（2）乙螞蟻要吃到食物需爬行的最短路程長6=cm（兀取3）；

（3）若兩只螞蟻同時出發(fā)，且爬行速度相同，在乙螞蟻采取最佳策略的前提下，哪只螞蟻先到達(dá)食物處？

請你通過計算或合理的估算說明理由.（參考數(shù)據(jù)：兀取3,V2?1.4）

A

3（）.（2022秋?安岳縣期末）勾股定理是解決直角三角形很重要的數(shù)學(xué)定理.這個定理的證明的方法很多,

也能解決許多數(shù)學(xué)問題.請按要求作答：

（1）選擇圖1或圖2中任一個圖形來驗證勾股定理；

（2）利用勾股定理來解決下列問題：

如圖3,圓柱形玻璃杯高為底面周長為16am在杯外禽杯底3a〃的點C處有一滴蜂蜜，此時一

只螞蟻正好在杯外壁且與蜂蜜。相對的點4處，點A離杯口3cm.則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為多少？

專題17.3最短路徑問題專項訓(xùn)練（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題所有

類型！

一.選擇題（共12小題）

1.（2022春?五華區(qū)期末）如圖，正方體的棱長為2c〃?，點8為一條棱的中點.螞蟻在正方體表面爬行，

從點A爬到點B的最短路程是（）

A.y/lOcmB.4cmC.\[V7cmD.

【分析】正方體側(cè)面展開為長方形，確定螞蟻爬行的起點和終點，根據(jù)兩點之間線段最短，根據(jù)勾股定

理可求出最短路徑長，

A

它運動的最短路程A8=J（2+24+（今2=g（cm）.

故選：C.

2.（2022春?碑林區(qū)校級期末）如圖，圓柱的底面周長為A8是底面圓的直.徑，在圓柱表面的高8c

上有一點。，且BC=l（kv〃，DC=2cm.一只螞蚊從點A出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點。的最短路

程是（）cm.

B.12C.10D.8

【分析】首先畫出圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)底面周長為12c7〃，求出的值；再在中，根據(jù)勾

股定理求出A。的長，人。即為所求.

【解答】解：圓柱側(cè)面展開圖如圖所示,

??,圓柱的底面周長為12cm,

V^D=8cw,

在Rl△人8。中，AD2=AB2+BD2,

：.AD=V62+82=10(cm),

即螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點D的最短距禽是lOc/n.

故選：C.

3.(2022春?洛陽期中)如圖，圓柱形玻璃杯，高為12c7〃，底面周長為18c,〃?.在杯內(nèi)離杯底4cm的點C

處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4a〃與蜂蜜相對的點4處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最

A.15B.V97C.12D.18

【分析】將圓柱沿過A的母線剪開，由題意可知，需在杯口所在的直線上找一點F,使人片CF最小，則

先作出A關(guān)于杯口所在直線的對稱點A,連接AC與杯口的交點即為F,此時AF+CF=A'F+CF=AC,

再利用勾股定理求AC的長即可.

【解答】解：如圖所示，將圓柱沿過A的母線剪開，

由題意可知，需在杯口所在的直線上找一點八使AP+C尸最小，

故先作出A關(guān)于杯口所在直線的對稱點AT連接A。與杯口的交點即為凡此時

根據(jù)兩點之間線段最短，即可得到此時AF+CF最小，并且最小值為AC的長度，

如圖所示，延長過C的母線，過4作A7)垂直于此母線于Q,

由題意可知,4'。=18+2=9(cm),

CD=12-4+4=12(cm),

由勾股定理得：A:C=y/ArD2+CD2=15(cm),

故螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為\5cni,

故選：A.

4.(2022秋?高州市期末)國慶節(jié)期間，茂名市一廣場用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子.為了美觀，每根

柱子的彩燈帶需要從4點沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的8點，如圖所示，若每根柱子的底面周長均

為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為()

A.近米B.WI米C.后米D.5米

【分析】要求彩帶的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長

時，借助于勾股定理.

【解答】解：將圓柱表面切開展開呈長方形,

則彩燈帶長為2個長方形的對用線長，

???圓柱高3米，底面周長2米，

/MC2=22+1.52=6.25,

***AC=2.51

???每根柱子所用彩燈帶的最短長度為5/〃.

故選：D.

5.（2022秋?沈陽期末）如圖，氏方體的長為3,寬為2,高為4,點“離點。的距離為1,一只螞蟻如果

要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短路程是（）

B.5C.V29D.V37

【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點之

同線段最短解答.

【解答】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖1：

???長方體的寬為2,高為4,點B離點C的距離是1,

：,AB=V42+32=5;

只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖2：

???長方體的寬為2,高為4,點4離點。的距離是1,

?"8=V22+52=V29；

只要把長方體的.上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成?個長方形，如圖3：

???長方體的寬為2,高為4,點8離點C的距離是1,

：.AB=V62+l2=\/37；

V5<V29<x^37,

???螞蟻爬行的最短距離是5.

故選：B.

BC

圖2彳

6.（2022春?酈城區(qū)期末）如圖，臺階階梯每一層高20（7〃，寬30（）〃，長50c/〃，一只螞蟻從A點爬到仔點,

最短路程是（）cm.

A

A.IOA/89B.506C.120D.130

【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進(jìn)行解答.

【解答】解：如圖所示，

???它的每一級的長寬高為20川,寬30?！?，長50?！?,

：.AB=V502+1002=50V5（c〃?）.

答：螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程是50V5C//Z,

故選：B.

B

7.（2022秋?揭陽校級月考）如圖，一個棱長為3的正方體，把它分成3X3X3個小正方體，小正方體的

棱長都是1.如果一只螞蚊從點4爬到點8,那么估計A,8間的最短路程d的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】過8作8QJ_AC于D根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：過8作8OJ_AC于。，

則AO=4,BD=3,

."，B間的最短路程d=V32+42=5,

故選：B.

8.（2022秋?牡丹區(qū)月考）如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方體去掉

一個“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5〃?的半圓，其邊緣A/3=CO=2（）/〃.小明

要在AB上選取一點E,能夠使他從點D滑到點E再滑到點C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約

為（）（九取3）in.

A.30B.28C.25D.22

【分析】要求滑行的最短距離，需將該U型池的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果.

【解答】解：其側(cè)面展開圖如圖：作點C關(guān)于48的對稱點F,連接OF,

???中間可供滑行的部分的截面是半徑為25〃的半圓,

，BC=兀/?=2.5兀Q7.5"?,AB=CD=20〃?，

在RtACDF中，DF=y/CF2+CD2=V152+202=25（加，

故他滑行的最短距離約為25/n.

故選：C.

9.（2022春?靖西市期中）如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中A8=7cm,BC=4cm,BF=6cm,

點M在棱上，且4M=1CM點N是rG的中點，一只螞蟻要沿著長方形盒子的外表面從點M爬行

A.10cmD.4\/5cmC.G\f2cmD.2>]13cm

【分析】利用平面展開圖有2種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長即可.

【解答】解：如圖1中，MN=JU+MJ?=V62+82=10（cm）,

如圖2中，MN=7MB2+BN?=V62+82=10Can）,

???一只螞蟻要沿著長方形盒子H勺外表面從點M爬行到點M它需要爬行的最短路程為10CM,

故選：A.

10.（2022秋?芝景區(qū)期中）某?！肮鈱W(xué)節(jié)”的紀(jì)念品是一個底面為等邊三角形的三棱鏡（如圖）.在三棱

鏡;的側(cè)面上，從頂點4到頂點A'鑲有一圈金屬絲，已知此三棱鏡的高為9c〃?，底面邊長為4cm,則這

制金屬絲的長度至少為（）

A.8cmB.10。"C.12cmD.\5cin

【分析】畫出三棱柱的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解即可.

【解答】解：將三棱柱沿4A'展開，其展開圖如圖，

則AA'=x/924-122=15Cem).

故選：

11.（2022秋?青島期末）棱長分別為8c〃?，6c〃?的兩個正方體如圖放置，點A,B,E在同一直線上，頂點

G在棱BC上，點、P是棱EiFi的中點.一只螞蟻要沿著正方體的表面從點A爬到點P,它爬行的最短距

A.（3通+10）cmB.5同cmC.y/277cmD.（2聞+3）cm

【分析】求出兩種展開圖PA的值，比較即可判斷.

【解答】解：如圖，有兩種展開方法：

方法一：PA=V142+9Z=\/277cm,

方法二：PA=V172+62=V325cw.

故需要爬行的最短距離是師。兒

故選：C.

12.（2022?廣饒縣一模）如圖，長方體的底面邊長分別為2厘米和4厘米，高為5厘米.若一只螞蟻從P

點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)。點，則螞蚊爬行的最短路徑長為（）厘米.

A.8B.10C.12D.13

【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體展開，然后利用兩點之間線

段最短解答.

【解答】解：如圖所示：

長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cm.

R\=4+2+4+2=12(cm),Q/l=5cm,

：,PQ=y/PA2+AQ2=13cm.

二.填空題(共8小題)

13.(2022春?德城區(qū)期末)如圖，長方體的長為15?！ǎ瑢挒?0?！?，高為2(kv〃，點B離點C的距離是5。小

一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短路程是25cm.

【分析】畫出長方體的側(cè)面展開圖，根據(jù)勾股定理求出的長即可.

【解答】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖:

???長方體的寬為10?！?，高為20cm，點、B離點、C的距離是5刖,

BD=CD+BC=10+5=15Cem),AD=20cm,

在直角三角形A3。中，根據(jù)勾股定理得：

：.AB=y/BD2+AD2=V152+202=25(cm)；

只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：

長方體的寬為10加高為20cm,點B離點C的距離是5an,

ABD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=10cm,

在直角三角形中，根據(jù)公股定理得：

y/BD2+AD2=V102+252=5729(cm)；

只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖：

:長方體的寬為10cm,高為20cm,點B離點C的距離是5cm,

.,MC=C￡>iAD=20i10=30Cem),

在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得:

>/AC2+BC2=,302+52=5A/37(CW:

V25<5V29<5>/37

，螞蟻爬行的最短距離是25cm.

故答案為：25.

14.（2022?濰城區(qū)一模）云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會7個雪上競賽場館中唯一利用現(xiàn)有雪場改造

而成的，如圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場U型池的實景圖和示意圖，該場地可以看作是從一個

長方體中挖去了半個圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為工〃?，其邊緣A8=CO=24加，點E在CO

n

上，CE=4m,一名滑雪愛好者從點A滑到點￡他滑行的最短路線長為_4屬_〃?.

云頂滑雪場U型池的實景圖云頂滑雪場U型池的示意圖

【分析】根據(jù)題意可得，AQ=12,DE=CD-C￡=24-4=29,線段AE即為滑行的最短路線長.在Rt

△AQE中，根據(jù)勾股定理即可求出滑行的最短路線長.

【解答】解：將半圓面展開可得：

AD=12m,DE=DC-CE=20m,

在RtZXADE中，

AE=y/DE2+AD2=V202+122=4734（w）,

即滑行的最短路線長為4序〃?，

故答案為：4V34.

15.（2022春?仁懷市月考）如國，要在河邊/上修建一個水泵站，分別向4村和8村送水，已知4村、B

村到河邊的距離分別為2k〃和7km且AB兩村莊相距13加?.則鋪設(shè)水管的最短長度是15km.

B

A

?河邊］

【分析】作點4關(guān)于河邊所在直線/的對稱點A',連接4'B交I于P,則點。為水泵站的位置：利用

了軸對稱的性質(zhì)可得AP=A'P,在中利用勾股定理可以算出的長，再在RtZxA'C8中利

用勾股定理算出A'8的長，根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：作點A關(guān)于河邊圻在直線/的對稱點A',連接A'8交/于P,則點〃為水泵站的位置，

此時，（朋+PB）的值最小，即所鋪設(shè)水管最短；

過B點作/的垂線，過A'作/的平行線，設(shè)這兩線交于點C,

過A作AF_LBC于E,則四邊形AVCE和四邊形AMNF是矩形，

：.EN=AM=2fEC=AA'=2+2=4,A'C=AE,

在RtZ\A/3E中，依題意得：BE=BN-EN=1-2=5,48=13,

根據(jù)勾股定理可得：AE=y/AB2-BE2=12,

在RtZXBA'。中，BC=BE+EC=5+4=9,A'C=12,

根據(jù)勾股定理可得：A'B=y/AfC2+BC2=V122+92=15,

\*PA=PA,,

：.R\+PB=Ar4=15(km),

故答案為：15.

16.（2022秋?錦江區(qū)校級期末）在一個長6+2企米，寬為4米的長方形草地上，如圖堆放著一根三棱柱的

木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬AO,木塊的主視圖的高是或米的等腰直角三角形，一只螞蟻從點A

【分析】解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點之間線段最短解答.

【解答】解：由題意可知，將木塊展開，

相當(dāng)于是4B+等腰直角三角形的兩腰，

...長為6+2&+2+2-2企=10（米）；寬為4米.

于是最短路徑為V102+42=2向（米），

故答案為：2V29.

D____________________________________

17.（2022秋?高新區(qū)校級期末）如圖，教室的墻面與地面A8CO垂直，點P在墻面上.若以=AB

=5米，點夕到人。的距離是3米，有一只螞蟻要從點P爬到點它的最短行程是_4后_米.

【分析】可將教室的墻面ADEF與地面ABCO展開，連接P、8,根據(jù)兩點之間線段最短，利用勾股定理

求解即可.

【解答】解：如圖，過P作PG_LBF于G,連接PB,

?；AG=3米，AP=A4=5米,

???PG=4米,

???8G=8米，

:.PB=7GB2+GP2=4遙（米）.

故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是4遮米.

故答案為：4\用.

18.（2022春?德州期中）如圖，點A足正方體左側(cè)面的中心，點D是正方體的一個頂點，正方體的棱長

為2,一螞蟻從點4沿其表面爬到點B的最短路程是_"U_.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過A作E4_LCO于E,連接A8,則A8長為最短距離，求出。。=。。，Z

DAC=90°,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出AE=O￡=EC=1,根據(jù)勾股定理求出即可.

【解答】解：如圖展開：

F

過A作￡4_LCO于￡,連接AB,則長為最短距離,

???四邊形。"GC是正方形，DC=BC=2t

：.OD=OC,ZDAC=90°,

AZADE=ZECA=45°,

'：AELDC,

：.DE=EC,

VZDAC=90°，

：.AE=DE=EC=1DC=L

在△AEB中，NAE8=90°,BE=1+2=3,EA=\,由勾股定理得：AB=V32+l2=x<10,

故答案為：/Io.

19.（2022秋?中原區(qū)校級期末）如圖，一個三棱柱盒子底面三邊長分別為3。〃，4cw,5cm,盒子高為9cm,

一只螞蟻想從盒底的點八沿盒子的表面爬行一周到盒頂?shù)狞c自螞蟻要爬行的最短路程是15cm.

【分析】將三棱柱側(cè)面展開得出矩形，求出矩形對角線的長度即可.

【解答】解：如圖，右側(cè)為三棱柱的側(cè)面展開圖,AA1=3+4+5=12cm,A'B=9cm,ZAA'1=90°,

故答案為：15.

20.（2022秋?鳳城市期中）如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長人。=80以〃，高4B=60s,水深

AE=4（）cm.在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一塊面包屑，G在水面線石尸上，且EG=60c〃?，一只螞蟻想從魚

扛外的4點沿魚缸壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)的G處吃面包屑.則螞蟻爬行的最短路線為—

【分析】作出A關(guān)于8c的對稱點A',連接A'G,與交于點Q,此時AQ+QG最短；A'G為直角

△4'EG的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖所示作點4關(guān)于8C的對稱點川，連接〃G交與點Q,小蟲沿著4-Q-G的

路線爬行時路程最短.

在直角△A'EG中，4'￡=80cw,EG=6（kw,

：,AQ+QG=A'Q+QG=A,G=yjA'E2+EG2=100c/n.

???最短路線長為100cm.

故答案為：100.

三.解答題（共10小題）

21.（2022春?宜城市期末）如圖，某小區(qū)有兩個噴泉A,8,兩個噴泉的距離長為125〃?.現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)

供水管道AM,BM,供水點M在小路AC上，供水點M到的距離的長為60小，8M的長為75M.

（1）求供水點M到噴泉4,/3需要鋪設(shè)的管道總長；

（2）求噴泉4到小路AC的最短距離.

A

【分析】(1)根據(jù)勾股定理解答即可；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理和垂線段解答即可.

【解答】解：(1)在中，BN=>JBM2-MN2=V752-602=45(小)，

：,AN=AB-BN=125-45=80(〃?)，

在RtaAMN中,AM=7AN?+MN?=V802+602=100(w),

???供水點M到噴泉A,8需要鋪設(shè)的管道總長=100+75=175(m)；

(2)???AB=125加，AM=100用，BM=75m,

：,AB2=BM2+AM[2,

???△ABM是直角三角形，

???噴泉B到小路AC的最短距離是BM=75〃i.

22.(2022秋?原陽縣期末)如圖，一個正方體木箱子右邊連接一個正方形木板，甲螞蟻從點4出發(fā)，沿

b,d三個面走最短路徑到點叢同時，乙螞蟻以相同的速度從點3出發(fā)，沿d,c兩個面走最短路徑到

點A.請你通過計算判斷哪只螞蟻先到達(dá)目的地？

【分析】將正方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，構(gòu)造出直角三角形，進(jìn)而求出最短路徑的長.

【解答】解析展開小b,。與d在同一平面內(nèi)，如圖所示.

22

由題意可知，甲螞蟻走的路徑為A/,AtB=V6+2=V40(cm).

乙螞蟻走的路徑為AzH,心=,42+42=夜(cm).

因為聞>房，

所以48>A2從故乙螞蟻先到達(dá)忖的地.

23.（2022秋?江北區(qū)期末）在立方體紙盒的頂點A處有一只螞蟻，在另一頂點E處有一粒精，你能為這

只螞蟻設(shè)計一條最短路線，使它沿著立方體表面上的這一條路線爬行，最快捷吃到糖嗎？以下提供三個

方案：

DAfBYfE；②KC-*E；③A->￡

方案①方案②方案③

（1）三種方案①、②、③中爬行路線最短的方案是③；最長的方案是①

（2）請根據(jù)數(shù)學(xué)知識說明理由.

【分析】（1）根據(jù)“化曲面為平面”，且利用“兩點之間線段最短”可知，爬行路線最短的方案是③;

最長的方案是①；

（2）分別求出三種方案螞蟻爬行的路程，比較即可求解.

【解答】解：（1）三種方案①、②、③中爬行路線最短的方案是③；最長的方案是①.

故答案為：③；①；

（2）爬行路線最短的方案是③；最長的方案是①.理由如下：''

設(shè)立方體紙盒的棱長為小則

方案：①A-8-*C-*E螞蟻爬行的路程為：AB+BC+CE=a+a^a=3a；

方案；②A-C-E螞蟻爬行的珞程為：AC+CE=Va2+a2+a=（V2+1）a：

方案；③4-E螞蟻爬行的路程為：yja2+（2a）2=x[Sa.

vV5a<（V2+1）a<3a,

???爬行路線最短的方案是③；最長的方案是①.

24.（2022秋?二道區(qū)期末）如圖，已知線段AC是圓柱底面的直徑，圓柱底面的周長為10,圓柱的高44

=12,在圓柱的側(cè)面上，過點A、C兩點嵌有一圈長度最短的金屬絲.

【分析】（1）由平面圖形的折疊及“.體圖形的表面展開圖的特點解題；

（2）要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時，

根據(jù)勾股定理計算即可.

【解答】解：（1）因為圓柱的側(cè)面展開面為長方形，AC展開應(yīng)該是兩線段，且有公共點。.

故答案為：C；

（2）如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2AC?的長度.

???圓柱底面的周長為10,圓柱的高48=12,

???該長度最短的金屬絲的長為2AC=2“2+122=26.

25.（2022秋?隨縣期末）如圖1所示，長方形是由兩個正方形拼成的，正方形的邊長為〃，對角線為兒

長方形對角線為c.一只螞蟻從4點爬行到C點.

（1）求螞蟻爬行的最短路線長（只能按箭頭所示的三條路線走），并說明理由：

（2）如果把右邊的正方形EF8C沿E廣翻轉(zhuǎn)90°得到如圖2所示的正方體相鄰的兩個面（實線表示），

則螞蟻從A點到。點的最短路線長是多少？請在圖2中畫出路線圖，若與圖中的線段有交點，則要標(biāo)明

并說明交點的準(zhǔn)確位置.（可測量猜想判斷）

【分析1（1）根據(jù)兩點之間線段最短求解;

（2）把正方體相鄰的兩個面展開成平面，連接人，。即是最近路線.

【解答】解：（1）從4-4-。路線長：。+〃+〃=3〃，

從A-。?C路線長：a+a+a=3a,

從A?E?C路線長：a+b.（3分）

根據(jù)兩點之間，線段最短.

可得AD+DE>AE,即a+a>b,（6分）

所以a+a+a>a+b,即3a>a+b（7分）

（說明：只要寫出理由“兩點之間，線段最短”即給6分）

故從A到C的最短路線長為a+b；（8分）

（2）從A到C的最短路線長為C,（10分）

圖中的點M為線段EF的中點.（11分）

位置如圖.（13分）

圖2

26.（2022秋?羅湖區(qū)期中）（1）如圖1,長方體的長為40〃，寬為3°小高為12cm.求該長方體中能放

入木棒的最大長度；

（2）如圖2,長方體的長為4°〃，寬為3c〃?，高為現(xiàn)有一只螞蚊從點A處沿長方體的表面爬到點

G處，求它爬行的最短路程.

（3）若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為125?，底面周長為10（加，在

容器內(nèi)壁離底部30〃的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3門〃的點4處.求

螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？

【分析】(1)利用勾股定理直接求出木棒的最大長度即可.

(2)將長方體展開，利用勾股定理解答即可；

(3)將容器側(cè)面展開，建立力關(guān)于E尸的對稱點A',根據(jù)兩點之間線段最短可知A'B的長度即為所

求.

【解答】解：(1)由題意得：該長方體中能放入木棒的最大長度是：

J(V32+42)2+122=13(cw).

(2)分三種情況可得：AG=7(4+12)2+32=>/265cm>AG=7(3+12)2+42=V241cw>AG=

“3+4尸+12?=g5c加，

所以最短路程為，而。〃：

(3)???高為1257,底面周長為1057,在容器內(nèi)壁離容器底部3c〃?的點B處有一飯粒，

此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3的與飯粒相對的點A處，

???A'D=5cm,80=12-3+AE=12cm,

???將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于的對稱點A',

連接A'B,則A'8即為最短距離，

A'B=y/ArD2+BD2=13(Cm).

飛了

r

27.(2022秋?元寶區(qū)校級期中)一根長90?！ǖ臒艄苌希p滿了彩色絲帶,已知可近似地將燈管看作圓柱

體，月底面周長為45?，彩色絲帶均勻地纏繞了30圈，問；絲帶共有多長？

【分析】根據(jù)題意抽象出直角三角形，利用勾股定理求得彩色絲帶的長即可.

【解答】解：如卜.圖，彩色絲帶的總長度為49（）2+1202=150°??,

90cm

30mx4

答：絲帶共有150c7”.

28.（2022秋?東明縣期中）東明縣是魯西南的化工基地，有東明石化集團(tuán)，洪業(yè)化工集團(tuán)，玉皇化工集團(tuán)

等企業(yè)，化學(xué)工業(yè)越來越成為東明縣經(jīng)濟(jì)的命脈，化工廠里我們會經(jīng)?？吹饺鐖D儲存罐，根據(jù)需要，在

圓柱形罐的外圍要安裝小梯子，如果油罐的底面半徑為6米，高24米，梯子繞罐體半圓到達(dá)罐頂，則梯

子至少要多長？

【分析】把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：如圖，根據(jù)題意，BC-24m,AB=

在RtZkABC中，AC=7AB7BC2=V2424-182=30/〃，

答:梯子至少要30〃?.

29.（2022秋?福田區(qū)期末）如圖，是一個圓柱形的餅干盒，在盒子外側(cè)下底面的點A處有甲、乙兩只螞蟻,

它們都想要吃到上底面外側(cè)）處的食物：甲螞蟻沿A-A'的折線爬行，乙螞蟻沿圓柱的側(cè)面爬

行：若NAO8=NA'O'B'=90°（"'、BBr都與圓柱的中軸線O。'平行），圓柱的底面半徑是

\2cni,高為lc〃3則：

（l）A'B'=12V2cm,甲螞蟻要吃到食物需爬行的路程長/1=12遮+1cm：

（2）乙螞蚊要吃到食物需爬行的最短路程長/2=」舊_。”（兀取3）；

（3）若兩只螞蟻同時出發(fā)，且爬行速度相同，在乙螞蟻采取最佳策略的前提下，哪只螞蚊先到達(dá)食物處？

請你通過計算或合理的估算說明理由.（參考數(shù)據(jù)：兀取3,注切.4）

【分析】（1）由乙4,O'）=90°,可知△"A'O'為等腰直角三角形，故此A'B'=&'O',

然后根據(jù)/產(chǎn)A'Br+AA'求解即可；

（2）先求得弧4'配的長，然后根據(jù)勾股定理求得矩形4/V夕B的對角線的長度即可；

（3）將魚，1.4代人從而可求得八、，2的近似值，從而可作出判斷.

【解答】解：（1）TNA'O'Bf=90°,O'4'=0'B',

?/Bf=A'B'=V2A'O'=12V2.

：.li=ArB'+AA1=12V2+1.

故答案為：12e：12e+1.

⑵福，=竺篝==6兀=18.

360°

將圓柱體的側(cè)面展開得到如圖1所示矩形4人'*B.

B'=18.

在RdAB夕中，AB1=\IBB'2+A'B'2=V182+I1=5/13.

故答案為：3vH.

(3)V/i=1272+1^12X1.4+1=17.8

???4=316.84.

V/2=(5713)2=325,

???甲螞蟻先到達(dá)食物處.

30.（2022秋?安岳縣期末）勾股定理是解決直角三角形很重要的數(shù)學(xué)定理.這個定理的證明的方法很多，

也能解決許多數(shù)學(xué)問題.請按要求作答：

（1）選擇圖1或圖2中任一個圖形來驗證勾股定理；

（2）利用勾股定理來解決下冽問題：

如圖3,圓柱形玻璃杯高為12（7〃，底面周長為16c/",在杯外離杯底3c/〃的點C處有一滴蜂蜜，此時一

只螞蟻正好在杯外壁且與蜂蜜C相對的點4處，點A離杯口3cm.則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為多少？

【分析】（1）根據(jù)正方形的面積等于四個直角三角形的面積與正方形面積的即可得出結(jié)論；

（2）螞蟻實際上是在圓柱的半個側(cè)面上爬行，如果將這半個測面展開，根據(jù)：“兩點之間，線段最短”，

所求的最短路程就是這一個展開圖A