人教版八年級數(shù)學(xué)下冊導(dǎo)學(xué)案(全冊)

第十六章二次根式

第1課時(shí)二次根式的定義

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

了解二次根式的概念，理解二次根式有意義的條件，并會求二次根式中所含字

母的取值范圍。

理解二次根式的非負(fù)性

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：二次根式有意義的條件和非負(fù)性的理解和應(yīng)用

學(xué)法指導(dǎo)：小組合作交流一對一檢查過關(guān)

導(dǎo)：

看書后填空：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件:(1)形式上必須是右的形式。(2)被開方數(shù)

必須是,.數(shù)。

判斷下列格式哪些是二次根式?

⑴√03⑵√≡3⑶(4)Viz-2(α≥2)

⑸√a2+1(6)√α+3⑺y[a(8)J-2x(X〈。)

學(xué)：

代數(shù)式有意義應(yīng)考慮以下三個(gè)方面:(1)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)。(2)分式的分

母不為0.(3)零指數(shù)基、負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉的底數(shù)不能為O

當(dāng)X是怎樣實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

⑵以(3)∣3—X+-Jx-1(4)Jχ~

JX-2??(6)

(1)常見的非負(fù)數(shù)有：a2,∣4√^

(2)幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.

已知：J2a+4+-Jb—2=O,求a,b的值。

鞏固練習(xí)：

已知J2α+1+(b—3)-=0,求a,b的值

2.己知y∣x-2y-3+∣2x-3y-5∣=0則.Jx-Sy的值為

練：______

1.下列各式中：①-JX2+5②J2009③羽④&⑤一2必⑥

J-X+3其中是二次根式的有o

2.若萬7+」—有意義,則X的取值范圍是_______o

√2x-l

3.己知y=y/x-2+?∣2-x+1,則X'=

4.函數(shù)y=JT中，自變量X的取值范圍是()

(A)X>2(B)X22(C)X>-2(D)X2-2

5.若式子d+-7L有意義，則P(a,b)在第()象限

Yab

(A)一(B)二(C)三(D)四

6.若Ja+1+-1=0,則6f2011÷Z?2011=

7.方程∣4x-8∣+Jx-yτ%=O,當(dāng)y>0時(shí)，m的取值范圍是

8.已知y?—4y+4+Jx+y—1=0,求Xy的值

展：小組展示成果，提出質(zhì)疑

評：

1.組內(nèi)互助，解決質(zhì)疑并進(jìn)行小組評價(jià)。

2.知識方法小結(jié)：(交流后填空)

(1)二次根式的定義：__________________________

(2)二次根式有意義的條件：.

(3)二次根式的性質(zhì)：J3(a≥0)是數(shù)，即&-0

(四)課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？

(五)作業(yè)

(六)反思

第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解二次根式的性質(zhì)，并能運(yùn)用性質(zhì)

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)的理解和綜合運(yùn)用

學(xué)法指導(dǎo)：先自學(xué)質(zhì)疑，再小組互助，最后請求老師幫助

導(dǎo)：

?看書完成填空：

1.(α≥0)是一個(gè)數(shù)2.-(a20)

_______(GO)

3.-?[a^^=∣α∣="(α=0)

I(。〈0)

4.代數(shù)式：用基本運(yùn)算符號(加、減、乘、除、乘方和開方)把和表示數(shù)的

連接起來的式子，叫做代數(shù)式。

學(xué)：

?在二次根式的運(yùn)算時(shí)，要熟練地利用公式(G)2=(α≥0)及(a》)？

進(jìn)行計(jì)算

例2.實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：利2一3

[(?)0)

?二次根式化簡：?[a^^=|?|=<(a=0)

.(?！?。)

例3.化簡：(1)√16(2)7(-5)2(3)Λ∕3^Γ(4)J回⑸

練：

1.計(jì)算：(1)(√3)2(2)(3√2)2(4)-(√π)2+(-2√5)2

2.實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2，—4

3.說出下列各式的值：(1)√03r(3)-√(-Λ-)2

(4)7ιστ(5)府-國

4.已知0<x<l時(shí)，化簡W-J(X-1)，的結(jié)果是()

A2X-1B1-2XC-1D1

5.若α+{(-a)=0,則a的取值范圍是()

Aa=0Ba≥0Ca≤0Da為任意實(shí)數(shù)

6.若j(l-ɑ)+J(α-3)2=2,則a的取值范圍是O

?a≥3Ba≤lCl≤a≤3Da=l或a=3

7.已知Q-I—=7,求JZH—7=的值。

ay∣a

8.在AABC中，a,b,c是三角形的三邊長，試化簡J(Σ二777尸一2卜-α-闿

展：小組展示成果，提出質(zhì)疑

評：

知識方法小結(jié)：二次根式的性質(zhì)：

(1)(2)(3)

(四)課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？

(五)作業(yè)

(六)反思

第3課時(shí)二次根式的乘法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握二次根式乘法法則的運(yùn)用，會把二次根號外的因式移到根號內(nèi)

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：二次根式的乘法運(yùn)算和化簡及二次根號外的因式移到根號內(nèi)

學(xué)法指導(dǎo)：利用類比，由一般到特殊，再由特殊到一般的思維方式

導(dǎo)：

?二次根式乘法法則：4a?4b=(a≥O,b≥O)

例1：計(jì)算：(1)√3x√5(2)^∣×√27(3)Ay[xy×2^-

學(xué)：

?利用='?J^(αNθ,∕j≥θ)及J^^=α(α2θ)進(jìn)行化簡

例2.化簡(])√16×81(2)√4∑Ψ(3)7(-5)2×(-3)2(4)√(-16)x(-49)

?二次根式的被開方數(shù)不含開得盡方的因數(shù)或因式

例3.計(jì)算：(1)V14×√f7(2)3Λ∕5×2Λ∕10(3)?/?z?

?運(yùn)用公式α=J∕(α≥θ)和疝=人.臨(6^0,心0)進(jìn)行解答，解答時(shí)注意符

號

例4.把下列各式中根號外的因式移到根號里面

(1)24(2)10√0J(3)4F(a〉O)

練：

一、選擇題：1.化簡二次根式λ∕(-5)2χ3=()

A-5√3B5√3C±5√3D√75

2.下列計(jì)算正確的是O

AΛ∕(-4)×(-9)=√^4×√^9=-6B√12×27=√4×√8T=18

CJ16+4=V16^+VZ=4+2=6D14；=??∕4X=2Xg=I

3.化簡J(一16)x49x(—121)得()

A22B±22C±308D308

4.如果J/"一Iom+24=—4?Jn-6,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

Am》4BC4≤m≤6Dm一切實(shí)數(shù)取

二、填空題

5.計(jì)算:?/?×?/e-__????Λ∕Σ^^—___50X4y=___??/?θ=

6.已知一個(gè)三角形的底邊長為J五cm,底邊上的高為J35cm,則此三角形的面積為:

7.點(diǎn)P(x,y)在第二象限，化簡正7=

三、解答題

8.計(jì)算：(1)^√12x5√3

2

(3)2√6X√42X√14(4)√92-42

展：小組展示成果，提出質(zhì)疑

評：1.解決質(zhì)疑：組內(nèi)交流后仍不明白，向老師請教。

2.知識方法小結(jié)：二次根式乘法法則：

二次根式法則逆用：

（四）課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？

（五）作業(yè)

（六）反思

第4課時(shí)二次根式的除法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握二次根式除法法則的運(yùn)用及法則逆用，訓(xùn)練逆向思維能力。

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：理解和運(yùn)用器=≥0力〉0）和祗=得（α≥0,力0）

學(xué)法指導(dǎo)：利用類比，由-一般到特殊，再由特殊到一般的思維方式

導(dǎo):

?二次根式除法法則:

例1.計(jì)算：⑴半

√3

(3)

學(xué):

E=Qa≥0,00)計(jì)算或化簡

?運(yùn)用

bNb

25,

例2.計(jì)算：（1）

1?⑵9X2

練:

1.下列計(jì)算正確的是（）

Ay=√4=2

瓦4

C√32+42=3+4=7DTI√8=2√2

X

2.等式成立的條件是O

x-3JX-3

Ax≠3Bx≥0Cx≥0且x≠3Dx>3

2

3.計(jì)算4÷2^j的結(jié)果為（）A2√2∑B-XC6√2ΛD

3

2√2

----X

3

4.計(jì)算：（1）器⑵將

√0J9

5.在AABC中，BC邊上的高h(yuǎn)=6gcm,它的面積恰好等于邊長為3后cm的正方形面

積。則BC的長為

27

6.計(jì)算：√18÷8×

(2)4√5÷-5J1∣

7.計(jì)算：(1)J16χ2y÷y∣2xy

(3)(4)10x"xy÷5^-÷

展：小組展示成果，提出質(zhì)疑

評：

L組內(nèi)交流解決質(zhì)疑，若仍不懂則向老師請教。

2.知識歸納：

二次根式除法法則及逆用：*=聆（Q>0,00）和

(a≥0,Z?)0)

（四）課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？

（五）作業(yè)

（六）反思

第5課時(shí)最簡二次根式

學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解最簡二次根式的概念，并運(yùn)用其化簡，能檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否是最簡二次

根式

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：最簡二次根式的運(yùn)用和判斷結(jié)果是否是最簡二次根式。

學(xué)法指導(dǎo)：小組合作交流一對一結(jié)對子檢查過關(guān)。

導(dǎo)：

?最簡二次根式有如下兩個(gè)特點(diǎn)：

(1)被開方數(shù)不含(2)被開方數(shù)中不含開得盡方的我們把上

述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式。

?二次根式的計(jì)算和化簡結(jié)果，一般都要化成二次根式。

例1.計(jì)算：(1)3(2)(3)

√5√27√2tz

學(xué)：

?分式化簡：(1)分母有理化之前，要先把分子、分母的二次根式進(jìn)行化簡

(2)分母有理化常有兩種方法：一是分子、分母都乘以適當(dāng)?shù)亩胃?，二是根?jù)題

目的特點(diǎn)，把分母或分子當(dāng)?shù)胤纸庖蚴?，再約分。

例2.化去下列各式分母中的二次根式

⑴?⑵出(3)√τ?(4)欄a

例3.如圖，?RtΔABCΦ,ZC=90°,AC=2.5cmBC=6cm,求AB長。

練：1.下列各式中，最簡二次根式的是(

A√MB區(qū)C√2√

4xD浮

2.將化成最簡二次根式為()

V23

A??/?θB6√30cl√5D6√5

66

3.已知a-y[2+1,b=-7=——?jiǎng)ta與b的關(guān)系是()

√2-l

Aa=bBab=lCa+b=ODab=-l

4.下列各式中，變形正確的是()

①VZ?=ay[a②=(3)5=(?/?)-(4)-?-by[ab

⑤-I==4??∕2⑥—^--j==2+Λ∕3

√82-√3

A.5個(gè)B4個(gè)C3個(gè)D2個(gè)

5.把。?；勺詈喍胃綖?/p>

3+1=4

6.觀察下列各式:請將

猜想到的規(guī)律用含自然數(shù)n(n>l)的等式表示出來

7-?∕V-s34]

7+.計(jì)w舁：n(1)尸(2)—/(3)-=—

√22√∑V√2

9.如圖,在RtΔABC中,ZC=90o,NA=30°,AC=2cm,求斜邊的長

展：小組展示成果，提出質(zhì)疑

評：1.組內(nèi)交流解決質(zhì)疑，若仍不懂則向老師請教。

2.知識歸納：分式化簡：（1）分母有理化之前，要先把分子、分母的二次根式進(jìn)行化簡

（2）分母有理化常有兩種方法：一是分子、分母都乘以適當(dāng)?shù)亩胃剑歉鶕?jù)題

目的特點(diǎn)，把分母或分子當(dāng)?shù)胤纸庖蚴?，再約分。

補(bǔ)：【拓展】已知X=堂二y=冬域.求χ2-4Xy+y2的值。

√5+√3√5-√3

（四）課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？

（五）作業(yè)

（六）反思

第6課時(shí)二次根式的加減

學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解和掌握二次根式加減的方法。先提出問題，分析問題，在分析問題中，

滲透對二次根式進(jìn)行加減的方法的理解

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：二次根式化簡為最簡根式；會判定是否是最簡二次根式。

學(xué)法指導(dǎo)：類比整式加減，注意思維方式的訓(xùn)練。

導(dǎo)：

L幾個(gè)根式中，根指數(shù)是()，并且被開方數(shù)()的根式叫做同類二次根

式。

2.二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成()再將被開方數(shù)相同的二

次根式進(jìn)行().

3.計(jì)算下列各式.

(1)2x+3x;(2)2x'i-3χi+5xS(3)x+2x+3y;(4)3a-2aj+a'

4.計(jì)算下列各式.

(1)2√2+3√2(2)2√8-3√8+5√8

(3)?>J1+2y/l+3?χ∕7(4)3?/?-2?/?+??∕2

學(xué)：

?二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二

次根式進(jìn)行合并

例1、(1).√9a+√25α;(2).√80-√45

例2、⑴2√I∑-6《+3如(2)(√12+√20)+(√3-√5)；

練：

1.以下二次根式：①配；②廳；③J2；④J萬中，與百是同類二次根式的是

().

Λ.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3+3=6；②一=1；③+==2；

7

=2后，其中錯(cuò)誤的有().

Λ.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

5、在次，J萬，M中與g是同類二次根式有

6、

7、若石的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則、.

8、已知a=3+2V2,b=3-2V∑>貝IJa?-ab'=__________________

√18+(√2+l)^'+(-2)^210、2√i2+3^-^-∣√48

9、

展：小組展示成果，提出質(zhì)疑

評：1.組內(nèi)交流解決質(zhì)疑，若仍不懂則向老師請教。

2.知識歸納：

?同類二次根式：幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么它

們就叫做同類二次根式。

?同類二次根式可以像同類項(xiàng)那樣進(jìn)行合并?！颈靖拍盍私饧纯伞?/p>

二次根式加減法法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的根

式。有括號時(shí)，要先去括號。

（四）課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？

（五）作業(yè)

（六）反思

第7課時(shí)二次根式的加減

學(xué)習(xí)目標(biāo)：利用二次根式加減法解決一些實(shí)際問題.培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問

題的能力.獲得把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的體驗(yàn)。

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題和二次根式的混合運(yùn)算，被開方式中含有字

母、被開方式中含有分母的二次根式的化簡。

學(xué)法指導(dǎo)：利用轉(zhuǎn)化思想，細(xì)心計(jì)算，注意提升計(jì)算能力。

導(dǎo)：

?將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為()。

?二次根式的混合運(yùn)算法則：(口答)

?復(fù)習(xí)鞏固：(1)J80-J20+;(2)3J40-J2-/—

V5VlO

學(xué)：

?數(shù)學(xué)來源于生活,應(yīng)用于生活，因此我們應(yīng)該熱愛生活,熱愛數(shù)學(xué);將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為

數(shù)學(xué)問題，只要審清題意弄明臼，就一定可以做出來

例3.要焊接一個(gè)如圖21.3-1所示的鋼架,大約需要多少米鋼材(精確到0.0Im)?

[√5≈2.2361n

S21.3-1

?二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算律，故可直接用整式的運(yùn)算律。

例4、計(jì)算：【講解完成后類比完成書上例題】

(1)(y/6+?χ∕δ)X?/?(2)(4?/e-3y/2)÷2y/2

練：1、計(jì)算：

(1)—3—+√18-4ΛH(2)(5√48-6√27+4√15)÷√3

√2-lV2

(3)(6p-2xR)÷36(4)3二件

V4Vx√3√2

2.【20分】如圖，RtZXAMC中，ZC=90o,ZAMC=30o,樨l〃BN,MN=2cm,

BC=ICR,則AC的長度為()

展：小組展示成果，提出質(zhì)疑

評：1.組內(nèi)交流解決質(zhì)疑，若仍不懂則向老師請教。

2.體會數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想：

3.理解二次根式四則運(yùn)算：

（四）課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？

（五）作業(yè)

（六）反思

第8課時(shí)二次根式的加減

學(xué)習(xí)目標(biāo)：含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)

用；復(fù)習(xí)整式運(yùn)算知識并將該知識運(yùn)用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運(yùn)算

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律；由整式運(yùn)算知識遷移到含二次根式的

運(yùn)算。

學(xué)法指導(dǎo)：類比整式運(yùn)算中乘法公式進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。

導(dǎo)：

?二次根式的混合運(yùn)算法則：—

?二次根式性質(zhì)和化簡的內(nèi)容：_____________?

?計(jì)算

(1)(2x+y)?zx(2)(2x2y+3xy2)÷xy

?計(jì)算

(1)(2x+3y)(2χ-3y)(2)(2x+l)2+(2χ-l)2

學(xué)：

?整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式

例1.計(jì)算【講解完成后類比完成書上例題】

(1)(√5+6)(3-√5)(2)(√W+√7)(√10√7)

?鞏固練習(xí)【師生共同分析思路，學(xué)生再思考完成】

1.2

(7+4√3)(7-4√3)-(3√5-1)2.

?i加硒-磯-日,―一畸袈

練：

1.當(dāng)Λ______時(shí),式子---有意義.

√x-3

2.a—√4Z2-1的有理化因式是^.

3.當(dāng)IVXV4時(shí)，|x—41+J%」-2x+l=.

4.若√77T+Jy—3=0,則(x—l)2+(y+3)2=.

5.X,y分別為8—JTf的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2口一爐=

6.已知JX'+3χ2=-χ1χ+3,則.........()

(A)XWO(B)XW—3(C)%≥-3(D)-3≤%≤0

7.若XVyV0,則JX2—2孫+y2+{/+？孫+J...()

(A)λex(B)2y(C)~λfx(D)~2y

√≡Σ7

8..化簡二——(aV0)得...........()

α

(A)y∣-u(B)—y∕~ci(C)—J-Cl(D)

9、已知，那么1的值是()

A、1χ+--=√5B、-Ix--C、±1D、4

X%

10.計(jì)算

11.已知2旃

(四)y

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？

（五）作業(yè)

（六）反思

第9課時(shí)二次根式的復(fù)習(xí)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：二次根式的概念及其性質(zhì)；二次根式的化簡及運(yùn)算；二次根式的相關(guān)運(yùn)用。

學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：二次根式的雙重非負(fù)性的理解：二次根式的化簡。

學(xué)法指導(dǎo)：小組合作交流一對一結(jié)對子檢查過關(guān).

導(dǎo)：知識點(diǎn)回顧

1、二次根式：（1）定義：JZ（4N0）（2）兩個(gè)公式：①（、5）2=”（αN0）②

=IaI

2、積、商的算術(shù)平方根：

前4〃（a20,b20）∣ITI=整…,…）

3、二次根式的乘除法:

?∣a

4a?4b=y[ab(a≥0,b20)J-(a≥0,b>0)

后Nb______________

4.積、商的算術(shù)平方根的性照三次根式的乘除法法則是一個(gè)統(tǒng)一的整體,

如

27

學(xué):√14-√7?√14×7=√2×7=√7X√2=7√2

例

1：X是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義:

J3a—6

JX—3,Jl+x~>Ja-I+Vl-ci,

5-Q

例2：化筒：

（1）I4x∣(x<0)⑵∣α-3∣(α<3)

.X

I(X>D(4)JmT)2

(3)1-x

(4√6-5√2)÷√3

例3、計(jì)算

]11

例4、化簡:⑴6-2⑵√3√2-l

542

例5.【提示】先分別分母有理化，再合并同類二次根

4-√TT√TT-√73+√7'

式.

練：

L下列式子中,是二次根式的是（)A.-√7B.√7C.y[xD.X

2.下列根式中,是最簡二次根式的是()

A.√0.2Z?B.J12a—12bc.?∣χ2-y2D.y∣5ab2

3.若OVX<1,則(%+-)2-4等于)

X

(A)-(B)--(C)—2x(D)Zx

XX

4.下列根式中，與G是同類二次根式的是（

A.√24B.√12C.D.

5.把(a-l)—中根號外的（a-l）移入根號內(nèi)得（）.

a-?

A.?/ɑ—1B.y]\—aC.-Ja-ID.-?/l—π

6.若G的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為y,則氐-y的值是（）

A.3√3-3B.√3C.1D.3

二.填空題

7.已知：JX+2+（%+4=O,P!∣JX2-xy=。

8.三角形的一邊長是瘋口〃，這邊上的高是同C加，則這個(gè)三角形的面積是

9.計(jì)算：3÷JJx1

忑的結(jié)果為

10.已知Z.γ.X

X=?/?+1,y=V5-1,則J1H—■Il1—I

II-化簡①J?5-2、后=5)7-薪=

【兩個(gè)題選做一個(gè)即

可】11

12.已知rd—=√5,那么X—的值是

三.解答題X[x

L計(jì)算：(1)^2-∣l-√2-√2科2.當(dāng)X=——時(shí)，求X-2A-I的值

√2-l

（四）課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？

（五）作業(yè)

（六）反思

第十七章勾股定理

第1課時(shí)一一勾股定理（1）

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、能用幾何圖形的性質(zhì)和代數(shù)的計(jì)算方法探索勾股定理；

2、知道直角三角形中勾、股、弦的含義，能說出勾股定理，并用式子表

示；

3、能運(yùn)用勾股定理理解用關(guān)直角三角形的問題。

二、教學(xué)重點(diǎn)：知道直角三角形中勾、股、弦的含義，能說出勾股定理，并

用式子表示。

教學(xué)難點(diǎn)：能用幾何圖形的性質(zhì)和代數(shù)的計(jì)算方法探索勾股定理；

三、學(xué)習(xí)過程：

（-）導(dǎo)入：勾股定理的探究：

1、利用幾何圖形的性質(zhì)探索勾股定理：

探索一：剪4個(gè)與圖1完全相同的直角三角形,

再將它們拼成如圖2所示的圖形。

大正方形的面積可以表示為：

又可以表示為________________

???兩種方法都是表示同一個(gè)圖形的面積

即=

????=（用字母表示）

2、將圖2沿中間的正方形的對角線剪開，

得到如圖所示的梯形：

直角梯形的面積可以表示為：

三個(gè)直角三角形的面積和可以表示為：:

利用“直角梯形的面積”與“三個(gè)直角三角形的面積和”的關(guān)系，可以得

到：

++

即:

?+?=______；（用字母表示）

3、利用代數(shù)的計(jì)算方法探索勾股定理：

探索一：如圖一，觀察圖中用陰影畫出的三個(gè)正方形（每一個(gè)

小方格的邊長為1）

'?'Si+S,=，S3=

即：+=（用字母表示）

探索二：利用右圖畫出一個(gè)兩條直角邊分別為AC=3厘米、BC=4厘米的直角

三角形，

（1）用刻度尺量出斜邊的長AB=厘米，

（2）計(jì)算：AC2+BC2==

AB2==

即：+=（用字母表示）-----------

3、勾股定理：

如果直角三角形的兩直角邊長分別為α,b,斜邊長為c,那

么O

公式變形：c2=,a2=,b2=

（二）講授新課：勾股定理的應(yīng)用：

例L在RtZXABC中，ZC=90o.

（1）已知a=6,b=8,求c；（2）已知a=2,c=5,求b.

解：（1）在RfAABC中，根據(jù)勾股定理，

/.c=

（2）在RaBC中，根據(jù)勾股定理，

b2===

Λb=

（三）課堂練習(xí)：

1、在RtaABC中，ZC=90o.

（1）已知a=3,b=4,求c；（2）已知c=10,a=6,求b.

解：（1）在Rf?4BC中，根據(jù)勾股定理，（2）在RrΔA3C中，根據(jù)勾股

定理，

22,2

.?.a=

3、在，ZC=90o,

(1)若a=6,b=8,則c=；(2)若c=13,b=12,則

(3)若a=4,c=6,貝Ub=。

4、在直角三角形中，若兩直角邊的長分別為lcm,2cm,則斜邊長

為o

5、在一個(gè)直角三角形中，若斜邊長為17cm,一條直角邊的長為5cm,則另

一條直角邊的長為o

6、如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別是3厘米和4厘米，那么這個(gè)

三角形的斜邊長為,周長為。

7、已知AABC中，ZB=90o,AC=25cm,BC=24cm,求AB的長.

解：由NB=90°知,直角邊是____________,斜邊是L?

根據(jù)勾股定理得，AB2=\

8、如圖，Z?ΛBC中，ΛB=AC,BC=8,中線AD=3。求AB的長度。

解:「ZkABC中，AB=AC,AD是中線

/.ZADB=

BD===/

在H∕ΔΛB。中，,/AB2≈

ΛAB=

9、等邊三角形的邊長為2,求這個(gè)等邊三角形的高和面積。

10、已知等腰直角三角形的斜邊長為2厘米，求這個(gè)三角形的周長。

解：如圖，在等腰直角三角形ABe中，設(shè)AC=BC=X

在RtMBC中，Z=90。

根據(jù)勾股定理得：+=

11、如果一個(gè)如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是3厘米和4厘米，求這

個(gè)三角形的周長。

（四）課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？

（五）作業(yè)

（六）反思

第2課時(shí)一一勾股定理(2)

一、教學(xué)目標(biāo)：

掌握勾股定理，能用勾股定理解決某些簡單的實(shí)際問題。

二、教學(xué)重點(diǎn)：掌握勾股定理，能用勾股定理解決某些簡單的實(shí)際問題。

教學(xué)難點(diǎn)：熟練勾股定理，并利用它們的特征解決問題。

三、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)導(dǎo)入：1、如圖①在RTAABC中，ZC=90?由勾股定理，

得C2=,C=

2、在RtZXABC中，ZC=90o

①若a=l,b=2,貝！]c?===__.,.c=

②若a=1,c=2,貝!]b2≈==.?.b=

③若C=I0,b=6,貝Ua2===.?.a=

(二)新課講授：

例1：(1)在長方形四口中/8、Ba4C大小關(guān)系？I■■

D

(2)一個(gè)門框的尺寸如圖1所示。

①若有一塊長3米，寬0.8米的薄木板，問怎樣從門框通過？

②若薄木板長3米，寬2.2米呢？為什么？

解：⑴__________________

(2)答：①:A_

?.?在RtaABC中，由勾股定理，得ACJAB%BC2==

/.AC=≈

因?yàn)锳C________木板的寬，所以木板從門框內(nèi)通過。

(H)課堂練習(xí)：

1、已知要從電桿離地面5米處向地面拉一條長7米的電纜，?

求地面電纜固定點(diǎn)?到電線桿底部B的距離。

解：由題意得，在RtZ?ABC中：=5米，=7米

根據(jù)勾股定理，得ABJ

2、如圖，一個(gè)圓錐的高A0=2.4cm,底面半徑OB=O?7cm,

求AB的長。

解：

3、如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點(diǎn)A、B之間的距離，一個(gè)觀測者在點(diǎn)C

設(shè)樁，使三角形ABC恰好為直角三角形.通過測量，得到AC長160米，BC

長128米.問從點(diǎn)A穿過湖到點(diǎn)B有多遠(yuǎn)？

解：由題意得：在R∕ΔABC中，ZB=90

根據(jù)勾股定理得：

AB2===

ΛΛB=

???從點(diǎn)A穿過湖到點(diǎn)B有

4、求下列陰影部分的面積：

（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形;

是半圓.

正方形的邊長=

正方形的面積=______________

（2）

長方形的長=

長方形的面積為________________

（3）

圓的半徑=

半圓的面積為__________________

5、一旗桿離地面6米處折斷，旗桿頂部落在離旗桿8米處，旗桿折斷之前

有多少米？

（提示：折斷前的長度應(yīng)該是AB+BC的長）

解：

6、如圖所示，求矩形零件上兩孔中心A和B的距離。

（精確到OJmm）（分析：求兩孔中心A和B的距離即

求線段—的長度）

解：如圖：AC=

BC=

RtZXABC中，ZC=90o,

由勾股定理，得

/.AB2=__=

.?.ΛB=

答：

7、在aABC中，ZC=9Oo,AB=IOo

(1)若NB=30°,求BC、ACo

(2)若NA=450,求BC、ACo

8、如圖，一個(gè)3米長的梯子/6,斜著靠在豎直的墻40上，這時(shí)/0的距離

為2.5米。

①求梯子的底端6距墻角。多少米？

②如果梯子的頂端/沿墻角下滑0.5米至C,請同學(xué)們：

猜一猜，底端也將滑動(dòng)0?5米嗎？

算一算，底端滑動(dòng)的距離近似值是多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

9、一艘輪船以16海里/時(shí)的速度離開港口A向東南方向航行。另一艘輪船

在同時(shí)同地以12海里/時(shí)的速度向西南方向航行，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)

后相距多遠(yuǎn)？（自己畫圖，標(biāo)字母，求解）。

北

西東

A

（四）課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？南

（五）作業(yè)

第3課時(shí)——勾股定理的逆定理（1）

一、教學(xué)目標(biāo)；

1、掌握勾股定理的逆定理，能應(yīng)用勾股定理逆定理判定某個(gè)三角形是

直角三角形。

2、靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

二、教學(xué)重點(diǎn)：掌握勾股定理的逆定理，能應(yīng)用勾股定理逆定理判定某個(gè)三

角形是直角三角形。

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

三、教學(xué)過程

AC=BC=_________BC=.

（二）講授新課：

222

1,已知:在RtZSABC中，AB=c,BC=a,CA=b,Ka+b=co

求證：ZC=90o?

分析：①思考：證明一個(gè)角是90”有何方法？

zo

②按要求畫出圖形作AABC,使BC'=a,Ac=b,ZC=900

③在Rt/iXABU中，AzBz=o

④A''B_____AB,（填“="或"≠"）作圖：

⑤4（）

⑥NC_____ZCz（填“=”或"≠”）

2、小結(jié)：如果三角形的三邊長α,b,。滿足________________，

那么這個(gè)三角形是三角形o口

3、定理的應(yīng)用：

例：判斷下列線段a、b、c組成的三角形是否為直角三角形？若是，指出哪

一條邊所對的角是直角。

(1)a=15,b=20,c=25

(2)a=40,b=50,c=60

(3)a=l,b=2,c=-?∕3

(≡)課堂練習(xí)：

1、用勾股定理的逆定理判斷下列線段a、b、c組成的三角形是否為直角三

角形？

53

(l)a=l.5,b=2,c=2.5(2)a=—,b=l,c=-

44

2、古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果加表示大于1的整數(shù)，a^2m,

b-m^-?,c-m2+1,那么α,b,c為勾股數(shù)。你認(rèn)為對嗎？如果對，你能利

用這個(gè)結(jié)論寫出三組勾股數(shù)嗎？

證明：(1)Va2+b2=()2+()2=+一

c2=(V=

Λa2+b2C2(填“=”或“W”)

(2)當(dāng)加=2時(shí)，2m=__，m2-1=—,m2+1=___，為一組

勾股數(shù)；

(3)當(dāng)〃?=3時(shí)，2m=,w2-l=—,m2+1=___,為一組勾

股數(shù)；(4)當(dāng)機(jī)=_時(shí)，2m=,rrΓ-?=,m2+?=,_

—為一組勾股數(shù)。

3、各組數(shù)中，以α,dC為邊的三角形不是直角三角形的是()

A、Q=l,b=2,c=3B、a=7,b=24,c=25

C、a=6,Z?=8,c=10D>a=3,b=4,c=5

4、三角形的三邊α,"c滿足(a+。)？-c?=2",則此三角形是()。

A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等邊三角形

5、已知α,仇C是AABC的三邊，且滿足卜―3∣+√^W+(c-5丫=0,則此三角

形是o

2、一個(gè)三角形的三邊長分別是6,8,10,求這個(gè)三角形最長邊上的高。

6、已知在aABC中，ΛB=13cm,BC=IOcm,BC邊上的中線AD=12cm0

已知如圖AD=4,AB=3,NA=90°,BC=13,CD=120求四邊形ABCD的面積。

提示:①S四邊形ABCD=+SA

②AABD是Rt△,ABDC

A1D

7、若AABCfi<J≡?α,?,c^^a2+b2+c2+338=IOcz+24?+26c,試判斷△

ABC的形狀。

（四）課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？有什么收獲？你還有什么疑問嗎？

（五）作業(yè)

（六）反思

第4課時(shí)一勾股定理的逆定理（2）

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、通過具體例子，了解逆命題、逆定理的概念，知道原命題成立其逆

命題不一定成立；

3、靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

二、教學(xué)重點(diǎn)：了解逆命題、逆定理的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

三、教學(xué)過程

（-）復(fù)習(xí)導(dǎo)入：1、求出下列直角三角形的未知邊。

2、木工做一個(gè)長方形桌面，量得桌面的長為60cm,寬為32cm,對角線為

68cm,則這個(gè)桌面。（填“合格”或“不合格”）

（3）已知一個(gè)三角形的三邊長分別為12、16、20,則這個(gè)三角形是

三角形，它的面積是O

（二）講授新課：

1、逆命題、逆定理的概念：

命題1：若直角三角形的兩直角邊長分別為“、b,斜邊長為c,則

a2+b2C2

題設(shè)：,結(jié)論：

命題2：若三角形的三邊長a,。,C滿足"+》2=。2,則這個(gè)三角形是直角三角

形.

題設(shè)：,結(jié)論：

（1）：命題1與命題2的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個(gè)命題叫

做，如果把其中一個(gè)叫做，那么另一個(gè)叫它的

（2）：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，則它也是一個(gè)定理，那么

稱這兩個(gè)定理互為。

2,在數(shù)軸作出表示而的點(diǎn)。

分析：利用勾股定理，長為^的線段是直角邊為正整數(shù)—、—的直角

三角形的斜邊。

作法：

（I）在數(shù)軸上找到點(diǎn)A,使OA=,

（2）作直線/_L0A,在/上取點(diǎn)B,使AB=_

（3）以原點(diǎn)0為圓心，以O(shè)B為半徑作弧,

弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C即為表示而的點(diǎn)。

（≡）課堂練習(xí)：

1、下列各命題都成立，寫出它們的逆命題，這些逆命題成立嗎？

（1）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

（2）如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；

（3）全等三角形的對應(yīng)邊相等；

（4）如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等。

2、命題“對頂角相等"和“相等的角是對頂角”是（）

A、互逆命題B、互逆定理C、都是真命題D、都是假命題

3、命題“兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)”的逆命題是

________________________，它是命題o

4、李師傅在操場上安裝一副單杠，要求單杠與地面平行，杠與I"門"I

兩撐腳垂直，如圖所示，撐腳長3m,兩撐腳間距離BC為2m,

則AC=,就可以符合要求。,j,∣jMH

5、小明向東走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三個(gè)方向走100

米回到原地。由此我們可以得出：小明向東走80米后，又向方

向走的。

6、在數(shù)軸作出表示Jid的點(diǎn)。

提示：長為M的線段是直角邊為-2-1012345

正整數(shù)—、—的直角三角形的斜邊。

7、在△ABC中，NA,ZB,ZC所對的邊分別為a,b,c,且

a3-ab2+ac2=0,則AABC是三角形，且N=90°。

8、邊長分別是"c?的ABC,下列命題是假命題的是（）。

A、在AABC中，若NB=Ne-NA,則AABC是直角三角形；

B、若/=0+c）（6一c）,則AABC是直角三角形；

C、若NA:ZB:ZC=5：4：3,則4ABC是直角三角形；

D、若a:0:c=5:4:3,則AABC是直角三角形。

9、在4/8C中，NC三90°,已知a:b=3:4,c=15,求。的值。

B

10、如圖,每個(gè)小方格都是邊長為1的小正方形，^ABC的位置如圖所示,你

能判斷AABC是什么三角形嗎?請說明理由。

11、如圖，AB_LBC于點(diǎn)B,DC_LBC于點(diǎn)C,點(diǎn)E是BC上的點(diǎn)，

NBAE=NCED=60°,AB=3,CE=4。

求：①AE