2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類匯編專題11 一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合(解析版)_第1頁
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2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯編(2025年中考復(fù)習(xí)全國通用)

專題11一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合

一、選擇題

k

1.(2024安徽?。┮阎幢壤瘮?shù)yk0與一次函數(shù)y2x的圖象的一個交點的橫坐標(biāo)為

x

3,則k的值為()

A.3B.1C.1D.3

【答案】A

【解析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,根據(jù)題意得出y231,代入反比

例函數(shù)求解即可

k

【詳解】反比例函數(shù)yk0與一次函數(shù)y2x的圖象的一個交點的橫坐標(biāo)為3,

x

y231,

∴k

1,

3

∴k3,

∴故選:A

2.(2024四川瀘州)已知關(guān)于x的一元二次方程x22x1k0無實數(shù)根,則函數(shù)ykx與函數(shù)

2

y的圖象交點個數(shù)為()

x

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】本題考查了根的判別式及一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象.首先根據(jù)一元二次方程無實數(shù)根確

定k的取值范圍,然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)確定其圖象的位置.

【詳解】∵方程x22x1k0無實數(shù)根,

∴Δ441k0,

解得:k0,則函數(shù)ykx的圖象過二,四象限,

2

而函數(shù)y的圖象過一,三象限,

x

2

∴函數(shù)ykx與函數(shù)y的圖象不會相交,則交點個數(shù)為0,

x

故選:A.

二、填空題

k

1.(2024山東威海)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線yaxba0與雙曲線yk0

12x

交于點A1,m,B2,1.則滿足y1y2的x的取值范圍______.

【答案】1x0或x2

【解析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,根據(jù)圖象解答即可求解,利用數(shù)形結(jié)合思想

解答是解題的關(guān)鍵.

由圖象可得,當(dāng)1x0或x2時,y1y2,

∴滿足y1y2的x的取值范圍為1x0或x2,

故答案為:1x0或x2.

k

2.(2024四川廣元)已知y3x與yx0的圖象交于點A2,m,點B為y軸上一點,將

x

k

OAB沿OA翻折,使點B恰好落在yx0上點C處,則B點坐標(biāo)為______.

x

【答案】0,4

【解析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何綜合,折疊性質(zhì),解直角三角形的性質(zhì),勾股定理,正確掌握

43

相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先得出A2,23以及yx0,根據(jù)解直角三角形得

x

130,根據(jù)折疊性質(zhì),330,然后根據(jù)勾股定理進行列式,即

2

OBOC23224.

【詳解】解:如圖所示:過點A作AHy軸,過點C作CDx軸,

k

∵y3x與yx0的圖象交于點A2,m,

x

∴把A2,m代入y3x,得出m3223,

∴A2,23,

k

把A2,23代入yx0,

x

解得k22343,

43

∴yx0,

x

,43

設(shè)Cm,

m

AH23

在RtAHO,tan1,

OH233

∴130,

∵點B為y軸上一點,將OAB沿OA翻折,

∴2130,OCOB,

∴3901230,

43

則CD3,

tan3m

OD3m

解得m23(負(fù)值已舍去),

∴C23,2,

2

∴OBOC23224,

∴點B的坐標(biāo)為0,4,

故答案為:0,4.

三、解答題

k

1.(2024江西?。┤鐖D,AOB是等腰直角三角形,ABO90,雙曲線yk0,x0經(jīng)

x

過點B,過點A4,0作x軸的垂線交雙曲線于點C,連接BC.

(1)點B的坐標(biāo)為______;

(2)求BC所在直線的解析式.

1

【答案】(1)2,2(2)yx3

2

【解析】【分析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題,等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握一次

函數(shù)與反比例函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)過點B作BDx軸,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BDOD2,即可確定點B的坐標(biāo);

(2)根據(jù)點B2,2確定反比例函數(shù)解析式,然后即可得出C4,1,再由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)

解析式即可.

【小問1詳解】

解:過點B作BDx軸于D,如圖所示:

∵AOB是等腰直角三角形,ABO90,A4,0,

∴OA4,

∴BDODAD2,

∴B2,2,

故答案為:2,2;

【小問2詳解】

k

由(1)得B2,2,代入yk0,x0,

x

得k4,

4

∴y,

x

∵過點A4,0作x軸的垂線交雙曲線于點C,

∴當(dāng)x4時,y1,

∴C4,1,

設(shè)直線BC的解析式為yk1xb,將點B、C代入得:

1

22k1bk

,解得12,

14kb

b3

1

∴直線BC的解析式為yx3.

2

4

2.(2024甘肅臨夏)如圖,直線ykx與雙曲線y交于A,B兩點,已知A點坐標(biāo)為a,2.

x

(1)求a,k的值;

4

(2)將直線ykx向上平移mm0個單位長度,與雙曲線y在第二象限的圖象交于點C,

x

與x軸交于點E,與y軸交于點P,若PEPC,求m的值.

【答案】(1)a2,k1(2)m2

【解析】【分析】(1)直接把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式,求出a,然后利用待定系數(shù)法即

可求得k的值;

(2)根據(jù)直線yx向上平移m個單位長度,可得直線CD解析式為yxm,根據(jù)三角形全

等的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

解:∵點A在反比例函數(shù)圖象上,

4

∴2,解得a2,

a

將A2,2代入ykx,

k1;

【小問2詳解】

解:如圖,過點C作CFy軸于點F,

CF∥OE,

FCPOEP,CFPEOP,

PEPC,

CFP≌EOPAAS,

\CF=OE,OPPF,

∵直線yx向上平移m個單位長度得到y(tǒng)xm,

令x0,得ym,令y0,得xm,

Em,0,P0,m,

CFOEm,OPPFm,

Cm,2m,

4

雙曲線y過點C,

x

m2m4,

解得m2或2(舍去),

m2.

【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題,考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,全等三角形的判定

和性質(zhì),反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,正確表示點C的坐標(biāo)

是解題的關(guān)鍵.

3.(2024甘肅威武)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將函數(shù)yax的圖象向上平移3個單位長度,得

k

到一次函數(shù)yaxb的圖象,與反比例函數(shù)yx0的圖象交于點A2,4.過點B0,2作x

x

k

軸的平行線分別交yaxb與yx0的圖象于C,D兩點.

x

k

(1)求一次函數(shù)yaxb和反比例函數(shù)y的表達式;

x

(2)連接AD,求ACD的面積.

1k

【答案】(1)一次函數(shù)yaxb的解析式為yx3;反比例函數(shù)yx0的解析式為

2x

8

yx0;

x

(2)6

【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合:

(1)先根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律yaxbax3,再把點A的坐標(biāo)分別代入對應(yīng)的一次函

數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式中,利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)先分別求出C、D的坐標(biāo),進而求出CD的長,再根據(jù)三角形面積計算公式求解即可.

【小問1詳解】

解:∵將函數(shù)yax的圖象向上平移3個單位長度,得到一次函數(shù)yaxb的圖象,

∴yaxbax3,

1

把A2,4代入yax3中得:2a34,解得a,

2

1

∴一次函數(shù)yaxb的解析式為yx3;

2

kk

把A2,4代入yx0中得:4x0,解得k=8,

x2

k8

∴反比例函數(shù)yx0的解析式為yx0;

xx

【小問2詳解】

解:∵BC∥x軸,B0,2,

∴點C和點D的縱坐標(biāo)都為2,

11

在yx3中,當(dāng)yx32時,x2,即C2,2;

22

88

在yx0中,當(dāng)y2時,x4,即D4,2;

xx

∴CD426,

∵A2,4,

11

∴S△CDyy6426.

ACD2AC2

k

4.(2024湖北?。┮淮魏瘮?shù)yxm經(jīng)過點A3,0,交反比例函數(shù)y于點Bn,4.

x

(1)求m,n,k;

k

(2)點C在反比例函數(shù)y第一象限的圖象上,若S△S△,直接寫出C的橫坐標(biāo)a的取

xAOCAOB

值范圍.

【答案】(1)m3,n1,k4;(2)a1.

【解析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合,求反比例函數(shù)解析式,解題的關(guān)鍵是熟練掌

握數(shù)形結(jié)合的思想.

(1)利用一次函數(shù)yxm經(jīng)過點A3,0,點Bn,4,列式計算求得m3,n1,得到點

B1,4,再利用待定系數(shù)法求解即可;

3

(2)利用三角形面積公式求得SV6,得到y(tǒng)6,據(jù)此求解即可.

AOB2C

【小問1詳解】

解:∵一次函數(shù)yxm經(jīng)過點A3,0,點Bn,4,

3m0

∴,

nm4

m3

解得,

n1

∴點B1,4,

k

∵反比例函數(shù)y經(jīng)過點B1,4,

x

∴k144;

【小問2詳解】

解:∵點A3,0,點B1,4,

∴AO3,

1113

∴SAOy346,SAOyy,

△AOB2B2△AOC2C2C

3

由題意得y6,

2C

∴yC4,

∴xC1,

∴C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為a1.

5.(2024江蘇連云港)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)ykx1(k0)的圖像與反

6

比例函數(shù)y的圖像交于點A、B,與y軸交于點C,點A的橫坐標(biāo)為2.

x

(1)求k的值;

6

(2)利用圖像直接寫出kx1時x的取值范圍;

x

6

(3)如圖2,將直線AB沿y軸向下平移4個單位,與函數(shù)y(x0)的圖像交于點D,與y軸交

x

6

于點E,再將函數(shù)y(x0)的圖像沿AB平移,使點A、D分別平移到點C、F處,求圖中陰影

x

部分的面積.

【答案】(1)k1(2)x3或0x2(3)8

【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用:

(1)先求出A點坐標(biāo),再將A點代入一次函數(shù)的解析式中求出k的值即可;

(2)圖像法求不等式的解集即可;

(3)根據(jù)平移的性質(zhì),得到陰影部分的面積即為ACFD的面積,進行求解即可.

【小問1詳解】

6

點A在y的圖像上,

x

6

當(dāng)x2時,y3.

2

∴A(2,3),

將點A(2,3)代入ykx1,得k1.

【小問2詳解】

由(1)知:yx1,

yx1

x2x3

聯(lián)立6,解得:或,

yy3y2

x

∴B3,2;

6

由圖像可得:kx1時x的取值范圍為:x3或0x2.

x

【小問3詳解】

∵yx1,

∴當(dāng)x0時,y1,

∴C(0,1),

∵將直線AB沿y軸向下平移4個單位,

∴CE4,直線DE的解析式為:yx3,設(shè)直線DE與x軸交于點H

∴當(dāng)x0時,y=3,當(dāng)y0時,x3,

∴H3,0,E0,3,

∴OFOE3,

∴FEC45,

如圖,過點C作CGDE,垂足為G,

2

∴CGCE22.

2

又A(2,3),C(0,1),

AC22.

連接AD,CF,

∵平移,

∴AC∥DF,ACDF,

∴四邊形ACFD為平行四邊形,

∴陰影部分面積等于ACFD的面積,即22228.

6.(2024山東棗莊)列表法、表達式法、圖像法是三種表示函數(shù)的方法,它們從不同角度反映了自

k

變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系.下表是函數(shù)y2xb與y部分自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系:

x

7

xa1

2

2xba1________

k

________________7

x

(1)求a、b的值,并補全表格;

k

(2)結(jié)合表格,當(dāng)y2xb的圖像在y的圖像上方時,直接寫出x的取值范圍.

x

a2

【答案】(1),補全表格見解析

b5

7

(2)x的取值范圍為x0或x1;

2

【解析】【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合,利用圖像法寫自變量的取值范圍;

(1)根據(jù)表格信息建立方程組求解a,b的值,再求解k的值,再補全表格即可;

(2)由表格信息可得兩個函數(shù)的交點坐標(biāo),再結(jié)合函數(shù)圖像可得答案.

【小問1詳解】

7

解:當(dāng)x時,2xba,即7ba,

2

當(dāng)xa時,2xb1,即2ab1,

ab7

∴,

2ab1

a2

解得:,

b5

∴一次函數(shù)為y2x5,

當(dāng)x1時,y7,

k

∵當(dāng)x1時,y7,即k7,

x

7

∴反比例函數(shù)為:y,

x

77

當(dāng)x時,y72,

22

當(dāng)y1時,xa2,

7

當(dāng)x2時,y,

2

補全表格如下:

7

x21

2

2xb217

k7

27

x2

【小問2詳解】

7

由表格信息可得:兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)分別為,2,1,7,

2

k7

∴當(dāng)y2xb的圖像在y的圖像上方時,x的取值范圍為x0或x1;

x2

k

7.(2024上海市)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,反比例函數(shù)y(k為常數(shù)且k0)上有一點

x

A3,m,且與直線y2x4交于另一點Bn,6.

(1)求k與m的值;

(2)過點A作直線l∥x軸與直線y2x4交于點C,求sinOCA的值.

25

【答案】(1)k6,m2;(2).

5

【解析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù),銳角三角函數(shù),勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是:

k

(1)把B的坐標(biāo)代入y2x4,求出n,然后把B的坐標(biāo)代入y,求出k,最后把A的坐標(biāo)

x

k

代入y求出m即可;

x

(2)根據(jù)l∥x軸求出C的縱坐標(biāo),然后代入y2x4,求出C的橫坐標(biāo),利用勾股定理求出OC,

最后根據(jù)正弦的定義求解即可.

【小問1詳解】

解:把Bn,6代入y2x4,

得62n4,

解得n1,

∴B1,6,

k

把B1,6代入y,

x

得k166,

6

∴y,

x

6

把A3,m代入y,

x

6

得m2;

3

【小問2詳解】

解:由(1)知:A3,2

設(shè)l與y軸相交于D,

∵l∥x軸,x軸y軸,

∴A、C、D的縱坐標(biāo)相同,均為2,CDO90,

把y2代入y2x4,得22x4,

解得x1,

∴C1,2,

∴CD1,OD2,

∴OCCD2OD25,

OD25

∴sinOCA.

OC5

8.(2024重慶市B)如圖,在ABC中,AB6,BC8,點P為AB上一點,過點P作PQ∥BC

交AC于點Q.設(shè)AP的長度為x,點P,Q的距離為y1,ABC的周長與△APQ的周長之比為y2.

(1)請直接寫出y1,y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達式,并注明自變量x的取值范圍;

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1,y2的圖象;請分別寫出函數(shù)y1,y2的一條性質(zhì);

(3)結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出y1y2時x的取值范圍.(近似值保留一位小數(shù),誤差不超過0.2)

46

【答案】(1)yx0x6,y0x6

132x

(2)函數(shù)圖象見解析,y1隨x增大而增大,y2隨x增大而減小

(3)2.2x6

【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合,相似三角形的性質(zhì)與判定:

C△APQPQAP

(1)證明APQ∽ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,據(jù)此可得答案;

C△ABCBCAB

(2)根據(jù)(1)所求利用描點法畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象并根據(jù)函數(shù)圖象寫出對應(yīng)的函數(shù)圖象的性質(zhì)即可;

(3)找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍即可.

【小問1詳解】

解:∵PQ∥BC,

∴APQ∽ABC,

C△PQAP

∴APQ,

C△ABCBCAB

yxAB6

∴1,y,

862APx

46

∴yx0x6,y0x6;

132x

【小問2詳解】

解:如圖所示,即為所求;

由函數(shù)圖象可知,y1隨x增大而增大,y2隨x增大而減??;

【小問3詳解】

解:由函數(shù)圖象可知,當(dāng)y1y2時x的取值范圍2.2x6.

9.(2024四川成都市)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線yxm與直線y2x相交于點

k

A2,a,與x軸交于點Bb,0,點C在反比例函數(shù)yk0圖象上.

x

(1)求a,b,m的值;

(2)若O,A,B,C為頂點的四邊形為平行四邊形,求點C的坐標(biāo)和k的值;

(3)過A,C兩點的直線與x軸負(fù)半軸交于點D,點E與點D關(guān)于y軸對稱.若有且只有一點C,

使得△ABD與ABE相似,求k的值.

【答案】(1)a4,m6,b6

(2)點C的坐標(biāo)為4,4或4,4,k16

(3)1

【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)設(shè)Ct,s,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),分當(dāng)OA為對角線時,當(dāng)OB為對角線時,當(dāng)OC為對角

線時三種情況,分別利用中點坐標(biāo)公式列方程組求解即可;

(3)設(shè)點Dx,0,則Ex,0,x0,利用相似三角形的性質(zhì)得AB2BEBD,進而解方程

得x2,則D2,0,利用待定系數(shù)法求得直線AC的表達式為yx2,聯(lián)立方程組得

x22xk0,根據(jù)題意,方程x22xk0有且只有一個實數(shù)根,利用根的判別式求解即可.

【小問1詳解】

解:由題意,將A2,a代入y2x中,得a224,則A2,4,

將A2,4代入yxm中,得42m,則m6,

∴yx6,

將Bb,0代入yx6中,得0b6,則b6;

【小問2詳解】

解:設(shè)Ct,s,由(1)知A2,4,B6,0

若O,A,B,C為頂點的四邊形為平行四邊形,分以下情況:

02t6t4

當(dāng)OA為對角線時,則,解得,

040ss4

∴C4,4,則k4416;

062tt4

當(dāng)OB為對角線時,則,解得,

004ss4

∴C4,4,則k4416;

當(dāng)OC為對角線時,依題意,這種情況不存在,

綜上所述,滿足條件的點C的坐標(biāo)為4,4或4,4,k16;

【小問3詳解】

解:如圖,設(shè)點Dx,0,則Ex,0,x0,

ABBD

若△ABD∽△EBA,則,即AB2BEBD,

BEAB

22

∴26406x6x,即x24,

解得x2,

∵x0,∴x2,則D2,0,

設(shè)直線AC的表達式為ypxq,

2pq4p1

則,解得,

2pq0q2

∴直線AC的表達式為yx2,

yx2

聯(lián)立方程組k,得x22xk0,

y

x

∵有且只有一點C,

∴方程x22xk0有且只有一個實數(shù)根,

∴224k0,解得k1;

由題意,VABD∽VABE不存在,

故滿足條件的k值為1.

【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合、反比例函數(shù)與幾何的綜合,涉及待定系數(shù)法、相似

三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、一元二次方程根的判別式等知識,熟練掌握相關(guān)知

識的聯(lián)系與運用,利用分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵.

k

10.(2024四川德陽)如圖,一次函數(shù)y2x2與反比例函數(shù)y(x0)的圖象交于點

x

A1,m.

k

(1)求m的值和反比例函數(shù)y的解析式;

x

(2)將直線y2x2向下平移h個單位長度(h0)后得直線yaxb,若直線yaxb與反

kk

比例函數(shù)y(x0)的圖象的交點為Bn,2,求h的值,并結(jié)合圖象求不等式axb的解集.

xx

4

【答案】(1)m4;反比例函數(shù)的解析式為y

x

k

(2)h4;不等式axb的解集為x<2

x

【解析】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題:

(1)把A1,m代入y2x2求出m4,得A1,4,從而可求出k的值;

4

(2)由平移得直線yaxb與直線y2x2平行,得y2xb,把點Bn,2代入y

x

得n2,得B2,2,代入y2xb,求出b2,得出h224;由圖象得當(dāng)x<2

kk

時,y在直線yaxb的下方,故可求出不等式axb的解集.

xx

【小問1詳解】

k

解:∵一次函數(shù)y2x2與反比例函數(shù)y(x0)的圖象交于點A1,m,

x

∴m212224;

∴A1,4,

kk

把A1,4代入y,得:4=,

x-1

∴k4,

4

∴反比例函數(shù)的解析式為:y;

x

【小問2詳解】

解:∵直線yaxb是將直線y2x2向下平移h個單位長度(h0)后得到的,

∴直線yaxb與直線y2x2平行,

∴a2,

∴y2xb,

k

∵直線yaxb與反比例函數(shù)y(x0)的圖象的交點為Bn,2,

x

44

把Bn,2代入y得,2,

xn

解得,n2,

∴B2,2,

把B2,2代入y2xb,得:222b,

∴b2,

∴h224;

k

由圖象知,當(dāng)x<2時,y在直線yaxb的下方,

x

k

∴不等式axb的解集為x<2

x

k

11.(2024四川廣安)如圖,一次函數(shù)yaxb(a,b為常數(shù),a0)的圖象與反比例函數(shù)y

x

(k為常數(shù),k0)的圖象交于A(2,4),B(n,2)兩點.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

(2)直線AB與x軸交于點C,點P(m,0)是x軸上的點,若△PAC的面積大于12,請直接寫出m

的取值范圍.

8

【答案】(1)yx2,y

x

(2)m4或m8

【解析】【分析】(1)將A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求得反比例函數(shù),再把B點坐標(biāo)代入所求

得的反比例函數(shù)解析式,求得m,進而把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式便可求得一次函數(shù)的解析

式;

(2)由一次函數(shù)的解析式求得與x軸的交點C的坐標(biāo),然后△PAC的面積大于12,再建立不等式

即可求解.

【小問1詳解】

k

解:∵A(2,4)在反比例函數(shù)yk0的圖象上,

x

∴k248,

8

∴反比例函數(shù)的解析式為:y,

x

8

把B(n,2)代入y,得n4,

x

∴B4,2,

2ab4

把A(2,4),B4,2都代入一次函數(shù)yaxb,得,

4ab2

a1

解得,

b2

∴一次函數(shù)的解析式為:yx2;

【小問2詳解】

解:如圖,

對于yx2,當(dāng)yx20,解得x=2,

∴C2,0,

∵P(m,0),

∴CPm2,

∵△PAC的面積大于12,

1

∴4m212,即m26,

2

當(dāng)m2時,則m26,

解得:m4,

當(dāng)m2時,則m26,

解得:m8;

∴m4或m8.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題,反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,三角形的

面積等,求得交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

k

12.(2024四川廣元)如圖,已知反比例函數(shù)y和一次函數(shù)ymxn的圖象相交于點

1x2

3

A3,a,Ba,2兩點,O為坐標(biāo)原點,連接OA,OB.

2

k

(1)求y與ymxn的解析式;

1x2

(2)當(dāng)y1y2時,請結(jié)合圖象直接寫出自變量x取值范圍;

(3)求AOB的面積.

92

【答案】(1)y1;yx1

x23

9

(2)3x0或x

2

15

(3)

4

【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì),反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合,求出一次函數(shù)與反

比例函數(shù)圖象交點坐標(biāo)是關(guān)鍵;

3

(1)根據(jù)題意可得3a2a,即有a3,問題隨之得解;

2

k

(2)yy表示反比例函數(shù)y的圖象在一次函數(shù)ymxn的圖象上方時,對應(yīng)的自變量的

121x2

取值范圍,據(jù)此數(shù)形結(jié)合作答即可;

(3)若AB與y軸相交于點C,可得C0,1,則OC1,根據(jù)

1

SSSOCxx,問題即可得解.

AOBAOCBOC2BA

【小問1詳解】

3

由題知3a2a,

2

∴a3,

9

∴A3,3,B,2,

2

9

∴y,

1x

3mn3

9

把A3,3,B,2代入y2mxn得9,

2mn2

2

2

m

∴3,

n1

2

∴yx1;

23

【小問2詳解】

9

由圖象可知自變量x的取值范圍為3x0或x

2

【小問3詳解】

若AB與y軸相交于點C,

2

當(dāng)x0時,yx11,

23

∴C0,1,即:OC1,

11915

∴.

SAOBSAOCSBOCOCxBxA13

2224

3

13.(2024四川樂山)如圖,已知點A1,m、Bn,1在反比例函數(shù)yx0的圖象上,過點A

x

的一次函數(shù)ykxb的圖象與y軸交于點C0,1.

(1)求m、n的值和一次函數(shù)的表達式;

(2)連接AB,求點C到線段AB的距離.

【答案】(1)m3,n3,y2x1

32

(2)點C到線段AB的距離為

2

3

【解析】【分析】(1)根據(jù)點A1,m、Bn,1在反比例函數(shù)y圖象上,代入即可求得m、n的

x

值;根據(jù)一次函數(shù)ykxb過點A1,3,C0,1,代入求得k,b,即可得到表達式;

(2)連接BC,過點A作ADBC,垂足為點D,過點C作CEAB,垂足為點E,可推出

BC∥x軸,BC、AD、DB的長度,然后利用勾股定理計算出AB的長度,最后根據(jù)

11

SBCADABCE,計算得CE的長度,即為點C到線段AB的距離.

ABC22

【小問1詳解】

3

點A1,m、Bn,1在反比例函數(shù)y圖象上

x

m3,n3

又一次函數(shù)ykxb過點A1,3,C0,1

kb3

b1

k2

解得:

b1

一次函數(shù)表達式為:y2x1;

【小問2詳解】

如圖,連接BC,過點A作ADBC,垂足為點D,過點C作CEAB,垂足為點E,

C0,1,B3,1

BC∥x軸,BC3

點A1,3,B3,1,ADBC

點D1,1,AD2,DB2

在RtADB中,ABAD2DB222

11

又SBCADABCE

ABC22

11

即3222CE

22

3232

∴CE,即點C到線段AB的距離為.

22

【點睛】本題考查了求反比例函數(shù)值,待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式,勾股定理,與三角形高有關(guān)的

計算,熟練掌握以上知識點并作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

1k

14.(2024四川涼山)如圖,正比例函數(shù)yx與反比例函數(shù)yx0的圖象交于點Am,2.

122x

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

1k

(2)把直線yx向上平移3個單位長度與yx0的圖象交于點B,連接AB,OB,求

122x

AOB的面積.

8

【答案】(1)y(2)6

2x

【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,一次函

數(shù)的平移等知識,熟練掌握函數(shù)的平移法則是關(guān)鍵.

(1)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可;

()先得到平移后直線解析式,聯(lián)立方程組求出點坐標(biāo),根據(jù)平行線間的距離可得,

2BSAOBSADO

代入數(shù)據(jù)計算即可.

【小問1詳解】

解:點A(m,2)在正比例函數(shù)圖象上,

1

2m,解得m4,

2

A(4,2),

A(4,2)在反比例函數(shù)圖象上,

k8,

8

反比例函數(shù)解析式為y.

2x

【小問2詳解】

11

解:把直線yx向上平移3個單位得到解析式為yx3,

122

令x0,則y3,

∴記直線與y軸交點坐標(biāo)為D(0,3),連接AD,

8

y

x

聯(lián)立方程組,

1

yx3

2

x2x8

解得,(舍去),

y4y1

B(2,4),

由題意得:BD∥AO,

∴VAOB,VAOD同底等高,

11

S△S△ODx346.

AOBADO2A2

15.(2024四川瀘州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)ykxb與x軸相交于點A2,0,

a

與反比例函數(shù)y的圖象相交于點B2,3.

x

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;

a2

(2)直線xmm2與反比例函數(shù)yx0和yx0的圖象分別交于點C,D,且

xx

S△OBC2S△OCD,求點C的坐標(biāo).

336

【答案】(1)一次函數(shù)解析式為yx,反比例函數(shù)解析式為y

42x

(2)C6,1

【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合,反比例函數(shù)與幾何綜合:

(1)利用待定系數(shù)法求解即可;

,

(2)先利用反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得到S△COF3S△ODF1,進而得到

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