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文檔簡介
2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯編(2025年中考復(fù)習(xí)全國通用)
專題11一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合
一、選擇題
k
1.(2024安徽?。┮阎幢壤瘮?shù)yk0與一次函數(shù)y2x的圖象的一個交點的橫坐標(biāo)為
x
3,則k的值為()
A.3B.1C.1D.3
【答案】A
【解析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,根據(jù)題意得出y231,代入反比
例函數(shù)求解即可
k
【詳解】反比例函數(shù)yk0與一次函數(shù)y2x的圖象的一個交點的橫坐標(biāo)為3,
x
∵
y231,
∴k
1,
3
∴k3,
∴故選:A
2.(2024四川瀘州)已知關(guān)于x的一元二次方程x22x1k0無實數(shù)根,則函數(shù)ykx與函數(shù)
2
y的圖象交點個數(shù)為()
x
A.0B.1C.2D.3
【答案】A
【解析】本題考查了根的判別式及一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象.首先根據(jù)一元二次方程無實數(shù)根確
定k的取值范圍,然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)確定其圖象的位置.
【詳解】∵方程x22x1k0無實數(shù)根,
∴Δ441k0,
解得:k0,則函數(shù)ykx的圖象過二,四象限,
2
而函數(shù)y的圖象過一,三象限,
x
2
∴函數(shù)ykx與函數(shù)y的圖象不會相交,則交點個數(shù)為0,
x
故選:A.
二、填空題
k
1.(2024山東威海)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線yaxba0與雙曲線yk0
12x
交于點A1,m,B2,1.則滿足y1y2的x的取值范圍______.
【答案】1x0或x2
【解析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,根據(jù)圖象解答即可求解,利用數(shù)形結(jié)合思想
解答是解題的關(guān)鍵.
由圖象可得,當(dāng)1x0或x2時,y1y2,
∴滿足y1y2的x的取值范圍為1x0或x2,
故答案為:1x0或x2.
k
2.(2024四川廣元)已知y3x與yx0的圖象交于點A2,m,點B為y軸上一點,將
x
k
OAB沿OA翻折,使點B恰好落在yx0上點C處,則B點坐標(biāo)為______.
x
【答案】0,4
【解析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何綜合,折疊性質(zhì),解直角三角形的性質(zhì),勾股定理,正確掌握
43
相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先得出A2,23以及yx0,根據(jù)解直角三角形得
x
130,根據(jù)折疊性質(zhì),330,然后根據(jù)勾股定理進行列式,即
2
OBOC23224.
【詳解】解:如圖所示:過點A作AHy軸,過點C作CDx軸,
k
∵y3x與yx0的圖象交于點A2,m,
x
∴把A2,m代入y3x,得出m3223,
∴A2,23,
k
把A2,23代入yx0,
x
解得k22343,
43
∴yx0,
x
,43
設(shè)Cm,
m
AH23
在RtAHO,tan1,
OH233
∴130,
∵點B為y軸上一點,將OAB沿OA翻折,
∴2130,OCOB,
∴3901230,
43
則CD3,
tan3m
OD3m
解得m23(負(fù)值已舍去),
∴C23,2,
2
∴OBOC23224,
∴點B的坐標(biāo)為0,4,
故答案為:0,4.
三、解答題
k
1.(2024江西?。┤鐖D,AOB是等腰直角三角形,ABO90,雙曲線yk0,x0經(jīng)
x
過點B,過點A4,0作x軸的垂線交雙曲線于點C,連接BC.
(1)點B的坐標(biāo)為______;
(2)求BC所在直線的解析式.
1
【答案】(1)2,2(2)yx3
2
【解析】【分析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題,等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握一次
函數(shù)與反比例函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
(1)過點B作BDx軸,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BDOD2,即可確定點B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)點B2,2確定反比例函數(shù)解析式,然后即可得出C4,1,再由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)
解析式即可.
【小問1詳解】
解:過點B作BDx軸于D,如圖所示:
∵AOB是等腰直角三角形,ABO90,A4,0,
∴OA4,
∴BDODAD2,
∴B2,2,
故答案為:2,2;
【小問2詳解】
k
由(1)得B2,2,代入yk0,x0,
x
得k4,
4
∴y,
x
∵過點A4,0作x軸的垂線交雙曲線于點C,
∴當(dāng)x4時,y1,
∴C4,1,
設(shè)直線BC的解析式為yk1xb,將點B、C代入得:
1
22k1bk
,解得12,
14kb
b3
1
∴直線BC的解析式為yx3.
2
4
2.(2024甘肅臨夏)如圖,直線ykx與雙曲線y交于A,B兩點,已知A點坐標(biāo)為a,2.
x
(1)求a,k的值;
4
(2)將直線ykx向上平移mm0個單位長度,與雙曲線y在第二象限的圖象交于點C,
x
與x軸交于點E,與y軸交于點P,若PEPC,求m的值.
【答案】(1)a2,k1(2)m2
【解析】【分析】(1)直接把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式,求出a,然后利用待定系數(shù)法即
可求得k的值;
(2)根據(jù)直線yx向上平移m個單位長度,可得直線CD解析式為yxm,根據(jù)三角形全
等的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【小問1詳解】
解:∵點A在反比例函數(shù)圖象上,
4
∴2,解得a2,
a
將A2,2代入ykx,
k1;
【小問2詳解】
解:如圖,過點C作CFy軸于點F,
CF∥OE,
FCPOEP,CFPEOP,
PEPC,
CFP≌EOPAAS,
\CF=OE,OPPF,
∵直線yx向上平移m個單位長度得到y(tǒng)xm,
令x0,得ym,令y0,得xm,
Em,0,P0,m,
CFOEm,OPPFm,
Cm,2m,
4
雙曲線y過點C,
x
m2m4,
解得m2或2(舍去),
m2.
【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題,考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,全等三角形的判定
和性質(zhì),反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,正確表示點C的坐標(biāo)
是解題的關(guān)鍵.
3.(2024甘肅威武)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將函數(shù)yax的圖象向上平移3個單位長度,得
k
到一次函數(shù)yaxb的圖象,與反比例函數(shù)yx0的圖象交于點A2,4.過點B0,2作x
x
k
軸的平行線分別交yaxb與yx0的圖象于C,D兩點.
x
k
(1)求一次函數(shù)yaxb和反比例函數(shù)y的表達式;
x
(2)連接AD,求ACD的面積.
1k
【答案】(1)一次函數(shù)yaxb的解析式為yx3;反比例函數(shù)yx0的解析式為
2x
8
yx0;
x
(2)6
【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合:
(1)先根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律yaxbax3,再把點A的坐標(biāo)分別代入對應(yīng)的一次函
數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式中,利用待定系數(shù)法求解即可;
(2)先分別求出C、D的坐標(biāo),進而求出CD的長,再根據(jù)三角形面積計算公式求解即可.
【小問1詳解】
解:∵將函數(shù)yax的圖象向上平移3個單位長度,得到一次函數(shù)yaxb的圖象,
∴yaxbax3,
1
把A2,4代入yax3中得:2a34,解得a,
2
1
∴一次函數(shù)yaxb的解析式為yx3;
2
kk
把A2,4代入yx0中得:4x0,解得k=8,
x2
k8
∴反比例函數(shù)yx0的解析式為yx0;
xx
【小問2詳解】
解:∵BC∥x軸,B0,2,
∴點C和點D的縱坐標(biāo)都為2,
11
在yx3中,當(dāng)yx32時,x2,即C2,2;
22
88
在yx0中,當(dāng)y2時,x4,即D4,2;
xx
∴CD426,
∵A2,4,
11
∴S△CDyy6426.
ACD2AC2
k
4.(2024湖北?。┮淮魏瘮?shù)yxm經(jīng)過點A3,0,交反比例函數(shù)y于點Bn,4.
x
(1)求m,n,k;
k
(2)點C在反比例函數(shù)y第一象限的圖象上,若S△S△,直接寫出C的橫坐標(biāo)a的取
xAOCAOB
值范圍.
【答案】(1)m3,n1,k4;(2)a1.
【解析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合,求反比例函數(shù)解析式,解題的關(guān)鍵是熟練掌
握數(shù)形結(jié)合的思想.
(1)利用一次函數(shù)yxm經(jīng)過點A3,0,點Bn,4,列式計算求得m3,n1,得到點
B1,4,再利用待定系數(shù)法求解即可;
3
(2)利用三角形面積公式求得SV6,得到y(tǒng)6,據(jù)此求解即可.
AOB2C
【小問1詳解】
解:∵一次函數(shù)yxm經(jīng)過點A3,0,點Bn,4,
3m0
∴,
nm4
m3
解得,
n1
∴點B1,4,
k
∵反比例函數(shù)y經(jīng)過點B1,4,
x
∴k144;
【小問2詳解】
解:∵點A3,0,點B1,4,
∴AO3,
1113
∴SAOy346,SAOyy,
△AOB2B2△AOC2C2C
3
由題意得y6,
2C
∴yC4,
∴xC1,
∴C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為a1.
5.(2024江蘇連云港)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)ykx1(k0)的圖像與反
6
比例函數(shù)y的圖像交于點A、B,與y軸交于點C,點A的橫坐標(biāo)為2.
x
(1)求k的值;
6
(2)利用圖像直接寫出kx1時x的取值范圍;
x
6
(3)如圖2,將直線AB沿y軸向下平移4個單位,與函數(shù)y(x0)的圖像交于點D,與y軸交
x
6
于點E,再將函數(shù)y(x0)的圖像沿AB平移,使點A、D分別平移到點C、F處,求圖中陰影
x
部分的面積.
【答案】(1)k1(2)x3或0x2(3)8
【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用:
(1)先求出A點坐標(biāo),再將A點代入一次函數(shù)的解析式中求出k的值即可;
(2)圖像法求不等式的解集即可;
(3)根據(jù)平移的性質(zhì),得到陰影部分的面積即為ACFD的面積,進行求解即可.
【小問1詳解】
6
點A在y的圖像上,
x
6
當(dāng)x2時,y3.
2
∴A(2,3),
將點A(2,3)代入ykx1,得k1.
【小問2詳解】
由(1)知:yx1,
yx1
x2x3
聯(lián)立6,解得:或,
yy3y2
x
∴B3,2;
6
由圖像可得:kx1時x的取值范圍為:x3或0x2.
x
【小問3詳解】
∵yx1,
∴當(dāng)x0時,y1,
∴C(0,1),
∵將直線AB沿y軸向下平移4個單位,
∴CE4,直線DE的解析式為:yx3,設(shè)直線DE與x軸交于點H
∴當(dāng)x0時,y=3,當(dāng)y0時,x3,
∴H3,0,E0,3,
∴OFOE3,
∴FEC45,
如圖,過點C作CGDE,垂足為G,
2
∴CGCE22.
2
又A(2,3),C(0,1),
AC22.
連接AD,CF,
∵平移,
∴AC∥DF,ACDF,
∴四邊形ACFD為平行四邊形,
∴陰影部分面積等于ACFD的面積,即22228.
6.(2024山東棗莊)列表法、表達式法、圖像法是三種表示函數(shù)的方法,它們從不同角度反映了自
k
變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系.下表是函數(shù)y2xb與y部分自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系:
x
7
xa1
2
2xba1________
k
________________7
x
(1)求a、b的值,并補全表格;
k
(2)結(jié)合表格,當(dāng)y2xb的圖像在y的圖像上方時,直接寫出x的取值范圍.
x
a2
【答案】(1),補全表格見解析
b5
7
(2)x的取值范圍為x0或x1;
2
【解析】【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合,利用圖像法寫自變量的取值范圍;
(1)根據(jù)表格信息建立方程組求解a,b的值,再求解k的值,再補全表格即可;
(2)由表格信息可得兩個函數(shù)的交點坐標(biāo),再結(jié)合函數(shù)圖像可得答案.
【小問1詳解】
7
解:當(dāng)x時,2xba,即7ba,
2
當(dāng)xa時,2xb1,即2ab1,
ab7
∴,
2ab1
a2
解得:,
b5
∴一次函數(shù)為y2x5,
當(dāng)x1時,y7,
k
∵當(dāng)x1時,y7,即k7,
x
7
∴反比例函數(shù)為:y,
x
77
當(dāng)x時,y72,
22
當(dāng)y1時,xa2,
7
當(dāng)x2時,y,
2
補全表格如下:
7
x21
2
2xb217
k7
27
x2
【小問2詳解】
7
由表格信息可得:兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)分別為,2,1,7,
2
k7
∴當(dāng)y2xb的圖像在y的圖像上方時,x的取值范圍為x0或x1;
x2
k
7.(2024上海市)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,反比例函數(shù)y(k為常數(shù)且k0)上有一點
x
A3,m,且與直線y2x4交于另一點Bn,6.
(1)求k與m的值;
(2)過點A作直線l∥x軸與直線y2x4交于點C,求sinOCA的值.
25
【答案】(1)k6,m2;(2).
5
【解析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù),銳角三角函數(shù),勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是:
k
(1)把B的坐標(biāo)代入y2x4,求出n,然后把B的坐標(biāo)代入y,求出k,最后把A的坐標(biāo)
x
k
代入y求出m即可;
x
(2)根據(jù)l∥x軸求出C的縱坐標(biāo),然后代入y2x4,求出C的橫坐標(biāo),利用勾股定理求出OC,
最后根據(jù)正弦的定義求解即可.
【小問1詳解】
解:把Bn,6代入y2x4,
得62n4,
解得n1,
∴B1,6,
k
把B1,6代入y,
x
得k166,
6
∴y,
x
6
把A3,m代入y,
x
6
得m2;
3
【小問2詳解】
解:由(1)知:A3,2
設(shè)l與y軸相交于D,
∵l∥x軸,x軸y軸,
∴A、C、D的縱坐標(biāo)相同,均為2,CDO90,
把y2代入y2x4,得22x4,
解得x1,
∴C1,2,
∴CD1,OD2,
∴OCCD2OD25,
OD25
∴sinOCA.
OC5
8.(2024重慶市B)如圖,在ABC中,AB6,BC8,點P為AB上一點,過點P作PQ∥BC
交AC于點Q.設(shè)AP的長度為x,點P,Q的距離為y1,ABC的周長與△APQ的周長之比為y2.
(1)請直接寫出y1,y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達式,并注明自變量x的取值范圍;
(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1,y2的圖象;請分別寫出函數(shù)y1,y2的一條性質(zhì);
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出y1y2時x的取值范圍.(近似值保留一位小數(shù),誤差不超過0.2)
46
【答案】(1)yx0x6,y0x6
132x
(2)函數(shù)圖象見解析,y1隨x增大而增大,y2隨x增大而減小
(3)2.2x6
【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合,相似三角形的性質(zhì)與判定:
C△APQPQAP
(1)證明APQ∽ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,據(jù)此可得答案;
C△ABCBCAB
(2)根據(jù)(1)所求利用描點法畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象并根據(jù)函數(shù)圖象寫出對應(yīng)的函數(shù)圖象的性質(zhì)即可;
(3)找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍即可.
【小問1詳解】
解:∵PQ∥BC,
∴APQ∽ABC,
C△PQAP
∴APQ,
C△ABCBCAB
yxAB6
∴1,y,
862APx
46
∴yx0x6,y0x6;
132x
【小問2詳解】
解:如圖所示,即為所求;
由函數(shù)圖象可知,y1隨x增大而增大,y2隨x增大而減??;
【小問3詳解】
解:由函數(shù)圖象可知,當(dāng)y1y2時x的取值范圍2.2x6.
9.(2024四川成都市)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線yxm與直線y2x相交于點
k
A2,a,與x軸交于點Bb,0,點C在反比例函數(shù)yk0圖象上.
x
(1)求a,b,m的值;
(2)若O,A,B,C為頂點的四邊形為平行四邊形,求點C的坐標(biāo)和k的值;
(3)過A,C兩點的直線與x軸負(fù)半軸交于點D,點E與點D關(guān)于y軸對稱.若有且只有一點C,
使得△ABD與ABE相似,求k的值.
【答案】(1)a4,m6,b6
(2)點C的坐標(biāo)為4,4或4,4,k16
(3)1
【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;
(2)設(shè)Ct,s,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),分當(dāng)OA為對角線時,當(dāng)OB為對角線時,當(dāng)OC為對角
線時三種情況,分別利用中點坐標(biāo)公式列方程組求解即可;
(3)設(shè)點Dx,0,則Ex,0,x0,利用相似三角形的性質(zhì)得AB2BEBD,進而解方程
得x2,則D2,0,利用待定系數(shù)法求得直線AC的表達式為yx2,聯(lián)立方程組得
x22xk0,根據(jù)題意,方程x22xk0有且只有一個實數(shù)根,利用根的判別式求解即可.
【小問1詳解】
解:由題意,將A2,a代入y2x中,得a224,則A2,4,
將A2,4代入yxm中,得42m,則m6,
∴yx6,
將Bb,0代入yx6中,得0b6,則b6;
【小問2詳解】
解:設(shè)Ct,s,由(1)知A2,4,B6,0
若O,A,B,C為頂點的四邊形為平行四邊形,分以下情況:
02t6t4
當(dāng)OA為對角線時,則,解得,
040ss4
∴C4,4,則k4416;
062tt4
當(dāng)OB為對角線時,則,解得,
004ss4
∴C4,4,則k4416;
當(dāng)OC為對角線時,依題意,這種情況不存在,
綜上所述,滿足條件的點C的坐標(biāo)為4,4或4,4,k16;
【小問3詳解】
解:如圖,設(shè)點Dx,0,則Ex,0,x0,
ABBD
若△ABD∽△EBA,則,即AB2BEBD,
BEAB
22
∴26406x6x,即x24,
解得x2,
∵x0,∴x2,則D2,0,
設(shè)直線AC的表達式為ypxq,
2pq4p1
則,解得,
2pq0q2
∴直線AC的表達式為yx2,
yx2
聯(lián)立方程組k,得x22xk0,
y
x
∵有且只有一點C,
∴方程x22xk0有且只有一個實數(shù)根,
∴224k0,解得k1;
由題意,VABD∽VABE不存在,
故滿足條件的k值為1.
【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合、反比例函數(shù)與幾何的綜合,涉及待定系數(shù)法、相似
三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、一元二次方程根的判別式等知識,熟練掌握相關(guān)知
識的聯(lián)系與運用,利用分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵.
k
10.(2024四川德陽)如圖,一次函數(shù)y2x2與反比例函數(shù)y(x0)的圖象交于點
x
A1,m.
k
(1)求m的值和反比例函數(shù)y的解析式;
x
(2)將直線y2x2向下平移h個單位長度(h0)后得直線yaxb,若直線yaxb與反
kk
比例函數(shù)y(x0)的圖象的交點為Bn,2,求h的值,并結(jié)合圖象求不等式axb的解集.
xx
4
【答案】(1)m4;反比例函數(shù)的解析式為y
x
k
(2)h4;不等式axb的解集為x<2
x
【解析】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題:
(1)把A1,m代入y2x2求出m4,得A1,4,從而可求出k的值;
4
(2)由平移得直線yaxb與直線y2x2平行,得y2xb,把點Bn,2代入y
x
得n2,得B2,2,代入y2xb,求出b2,得出h224;由圖象得當(dāng)x<2
kk
時,y在直線yaxb的下方,故可求出不等式axb的解集.
xx
【小問1詳解】
k
解:∵一次函數(shù)y2x2與反比例函數(shù)y(x0)的圖象交于點A1,m,
x
∴m212224;
∴A1,4,
kk
把A1,4代入y,得:4=,
x-1
∴k4,
4
∴反比例函數(shù)的解析式為:y;
x
【小問2詳解】
解:∵直線yaxb是將直線y2x2向下平移h個單位長度(h0)后得到的,
∴直線yaxb與直線y2x2平行,
∴a2,
∴y2xb,
k
∵直線yaxb與反比例函數(shù)y(x0)的圖象的交點為Bn,2,
x
44
把Bn,2代入y得,2,
xn
解得,n2,
∴B2,2,
把B2,2代入y2xb,得:222b,
∴b2,
∴h224;
k
由圖象知,當(dāng)x<2時,y在直線yaxb的下方,
x
k
∴不等式axb的解集為x<2
x
k
11.(2024四川廣安)如圖,一次函數(shù)yaxb(a,b為常數(shù),a0)的圖象與反比例函數(shù)y
x
(k為常數(shù),k0)的圖象交于A(2,4),B(n,2)兩點.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.
(2)直線AB與x軸交于點C,點P(m,0)是x軸上的點,若△PAC的面積大于12,請直接寫出m
的取值范圍.
8
【答案】(1)yx2,y
x
(2)m4或m8
【解析】【分析】(1)將A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求得反比例函數(shù),再把B點坐標(biāo)代入所求
得的反比例函數(shù)解析式,求得m,進而把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式便可求得一次函數(shù)的解析
式;
(2)由一次函數(shù)的解析式求得與x軸的交點C的坐標(biāo),然后△PAC的面積大于12,再建立不等式
即可求解.
【小問1詳解】
k
解:∵A(2,4)在反比例函數(shù)yk0的圖象上,
x
∴k248,
8
∴反比例函數(shù)的解析式為:y,
x
8
把B(n,2)代入y,得n4,
x
∴B4,2,
2ab4
把A(2,4),B4,2都代入一次函數(shù)yaxb,得,
4ab2
a1
解得,
b2
∴一次函數(shù)的解析式為:yx2;
【小問2詳解】
解:如圖,
對于yx2,當(dāng)yx20,解得x=2,
∴C2,0,
∵P(m,0),
∴CPm2,
∵△PAC的面積大于12,
1
∴4m212,即m26,
2
當(dāng)m2時,則m26,
解得:m4,
當(dāng)m2時,則m26,
解得:m8;
∴m4或m8.
【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題,反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,三角形的
面積等,求得交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
k
12.(2024四川廣元)如圖,已知反比例函數(shù)y和一次函數(shù)ymxn的圖象相交于點
1x2
3
A3,a,Ba,2兩點,O為坐標(biāo)原點,連接OA,OB.
2
k
(1)求y與ymxn的解析式;
1x2
的
(2)當(dāng)y1y2時,請結(jié)合圖象直接寫出自變量x取值范圍;
(3)求AOB的面積.
92
【答案】(1)y1;yx1
x23
9
(2)3x0或x
2
15
(3)
4
【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì),反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合,求出一次函數(shù)與反
比例函數(shù)圖象交點坐標(biāo)是關(guān)鍵;
3
(1)根據(jù)題意可得3a2a,即有a3,問題隨之得解;
2
k
(2)yy表示反比例函數(shù)y的圖象在一次函數(shù)ymxn的圖象上方時,對應(yīng)的自變量的
121x2
取值范圍,據(jù)此數(shù)形結(jié)合作答即可;
(3)若AB與y軸相交于點C,可得C0,1,則OC1,根據(jù)
1
SSSOCxx,問題即可得解.
AOBAOCBOC2BA
【小問1詳解】
3
由題知3a2a,
2
∴a3,
9
∴A3,3,B,2,
2
9
∴y,
1x
3mn3
9
把A3,3,B,2代入y2mxn得9,
2mn2
2
2
m
∴3,
n1
2
∴yx1;
23
【小問2詳解】
9
由圖象可知自變量x的取值范圍為3x0或x
2
【小問3詳解】
若AB與y軸相交于點C,
2
當(dāng)x0時,yx11,
23
∴C0,1,即:OC1,
11915
∴.
SAOBSAOCSBOCOCxBxA13
2224
3
13.(2024四川樂山)如圖,已知點A1,m、Bn,1在反比例函數(shù)yx0的圖象上,過點A
x
的一次函數(shù)ykxb的圖象與y軸交于點C0,1.
(1)求m、n的值和一次函數(shù)的表達式;
(2)連接AB,求點C到線段AB的距離.
【答案】(1)m3,n3,y2x1
32
(2)點C到線段AB的距離為
2
3
【解析】【分析】(1)根據(jù)點A1,m、Bn,1在反比例函數(shù)y圖象上,代入即可求得m、n的
x
值;根據(jù)一次函數(shù)ykxb過點A1,3,C0,1,代入求得k,b,即可得到表達式;
(2)連接BC,過點A作ADBC,垂足為點D,過點C作CEAB,垂足為點E,可推出
BC∥x軸,BC、AD、DB的長度,然后利用勾股定理計算出AB的長度,最后根據(jù)
11
SBCADABCE,計算得CE的長度,即為點C到線段AB的距離.
ABC22
【小問1詳解】
3
點A1,m、Bn,1在反比例函數(shù)y圖象上
x
m3,n3
又一次函數(shù)ykxb過點A1,3,C0,1
kb3
b1
k2
解得:
b1
一次函數(shù)表達式為:y2x1;
【小問2詳解】
如圖,連接BC,過點A作ADBC,垂足為點D,過點C作CEAB,垂足為點E,
C0,1,B3,1
BC∥x軸,BC3
點A1,3,B3,1,ADBC
點D1,1,AD2,DB2
在RtADB中,ABAD2DB222
11
又SBCADABCE
ABC22
11
即3222CE
22
3232
∴CE,即點C到線段AB的距離為.
22
【點睛】本題考查了求反比例函數(shù)值,待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式,勾股定理,與三角形高有關(guān)的
計算,熟練掌握以上知識點并作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.
1k
14.(2024四川涼山)如圖,正比例函數(shù)yx與反比例函數(shù)yx0的圖象交于點Am,2.
122x
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
1k
(2)把直線yx向上平移3個單位長度與yx0的圖象交于點B,連接AB,OB,求
122x
AOB的面積.
8
【答案】(1)y(2)6
2x
【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,一次函
數(shù)的平移等知識,熟練掌握函數(shù)的平移法則是關(guān)鍵.
(1)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可;
()先得到平移后直線解析式,聯(lián)立方程組求出點坐標(biāo),根據(jù)平行線間的距離可得,
2BSAOBSADO
代入數(shù)據(jù)計算即可.
【小問1詳解】
解:點A(m,2)在正比例函數(shù)圖象上,
1
2m,解得m4,
2
A(4,2),
A(4,2)在反比例函數(shù)圖象上,
k8,
8
反比例函數(shù)解析式為y.
2x
【小問2詳解】
11
解:把直線yx向上平移3個單位得到解析式為yx3,
122
令x0,則y3,
∴記直線與y軸交點坐標(biāo)為D(0,3),連接AD,
8
y
x
聯(lián)立方程組,
1
yx3
2
x2x8
解得,(舍去),
y4y1
B(2,4),
由題意得:BD∥AO,
∴VAOB,VAOD同底等高,
11
S△S△ODx346.
AOBADO2A2
15.(2024四川瀘州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)ykxb與x軸相交于點A2,0,
a
與反比例函數(shù)y的圖象相交于點B2,3.
x
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
a2
(2)直線xmm2與反比例函數(shù)yx0和yx0的圖象分別交于點C,D,且
xx
S△OBC2S△OCD,求點C的坐標(biāo).
336
【答案】(1)一次函數(shù)解析式為yx,反比例函數(shù)解析式為y
42x
(2)C6,1
【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合,反比例函數(shù)與幾何綜合:
(1)利用待定系數(shù)法求解即可;
,
(2)先利用反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得到S△COF3S△ODF1,進而得到
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