中考數(shù)學(xué)重難點題型之函數(shù)專練：二次函數(shù)與線段最值問題（原卷版）

專題06二次函數(shù)與線段最值問題

解題點撥

知識要點1：平面內(nèi)任意兩點距離公式

若4（%1，%）,3（程丫2）

則IM=%2）2+（%-%產(chǎn)或公笈=（七—々產(chǎn)+（%—%I

知識要點2：平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造相似

借助平面直角坐標(biāo)系的直角特點，作平行線或垂線，構(gòu)造出“A”“X”型相似或“一線三垂直”型相似以及

“反A”和蝶形相似，利用相似比轉(zhuǎn)化，列出數(shù)量關(guān)系求解。

知識要點3：鉛垂線最值

如圖，x軸為水平線，PD_LX軸于E,PD叫鉛垂線。

鉛垂線最值一般解法為：一設(shè)（設(shè)出P點坐標(biāo)并表示出D點）；二列（表示出PD長度）；三配（把PD的長度

看做關(guān)于點P橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，配方求最值）

直擊中考

1.（2022?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）拋物線產(chǎn)爐一2尤-3交x軸于4,5兩點（/在5的左邊），C是第一象

限拋物線上一點，直線AC交y軸于點p.

（1）（2）

⑴直接寫出/,B兩點的坐標(biāo)；

（2）如圖（1）,當(dāng)。尸=。4時，在拋物線上存在點。（異于點B）,使8,。兩點到AC的距離相等，求出所

有滿足條件的點。的橫坐標(biāo)；

(3)如圖(2),直線3尸交拋物線于另一點E,連接CE交>軸于點尸，點C的橫坐標(biāo)為加.求正的值(用

含山的式子表示).

2.(2022?山東聊城?統(tǒng)考三模)如如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線產(chǎn)-：/+6x+c與x軸交于/(-2,

0)、B(4,0)兩點(點/在點2的左側(cè))，與y軸交于點C,連接/C、3C,點尸為直線2C上方拋物線

上一動點，連接OP交3C于點0.

⑴求拋物線的表達式；

(2)當(dāng)黑的值最大時，求點尸的坐標(biāo)和器的最大值;

⑶點M為拋物線上的點，當(dāng)N3CN=NACO時，求點M的坐標(biāo).

3.(2022?廣西百色?統(tǒng)考一模)如圖，已知拋物線了=-/+次+。與一直線相交于/(-I,0),仇2,3)兩點,

拋物線的頂點為

⑴求拋物線的表達式及頂點”的坐標(biāo)；

(2)若C是拋物線上位于直線上方的一個動點，設(shè)點C的橫坐標(biāo)為K過點C作夕軸的平行線交N8與

D,當(dāng)/為何值時，線段CD的長最大，并求其最大值；

⑶若拋物線的對稱軸與直線48相交于點N,E為直線上的任意一點，過點￡作￡尸〃/8交拋物線于點

F,以“，N,E,尸為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

4.(2022廣西百色,統(tǒng)考二模)如圖，拋物線y=Y+bx+c與x軸交于/(-1,0),B(4,0),過點/的直

線產(chǎn)-x-l與該拋物線交于點C,點尸是該拋物線上不與/,8重合的動點，過點尸作PD團x軸于點。，

⑴求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點尸在直線NC的下方，且PE=2DE時，求點P的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)直線為x=l時，在直線尸。上是否存在點0,使魴C。與曬必相似？若存在，請求出點。坐標(biāo);

若不存在，請說明你的理由.

5.（2022?甘肅慶陽?統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)、=加+笈-3（叱0）的圖象交x軸于A（-l,0）,8兩點，交

y軸于點C,且OB=OC.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）設(shè)點。是y軸右側(cè)拋物線上一點（。不與2重合），過點。作雷軸，垂足為點E,交直線8C于點

F,若DF=2EF,求點。的坐標(biāo)；

⑶在（1）的條件下，平面內(nèi)是否存在點G,使得以點8,C,D,G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存

在，求直接寫出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.(2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四十九中學(xué)校校考模擬預(yù)測)如圖，拋物線y=a(x+3)(x-4)交x軸于

/、B,交y軸于點C,點。為拋物線第三象限上一點，且&8。。=135。，OD=472-

(2)點尸為第一象限拋物線上一點，連接尸。，交y軸于點E,過點P作?時軸，垂足為尸，求卡的值;

PF

⑶在(2)的條件下，連接尸8,若PE+PB=DE,求點尸的坐標(biāo).

7.(2022?四川自貢?九年級專題練習(xí))如圖，拋物線y=ox2+6x-3與x軸交于/(-2,0)和8(4,0)兩

點，與》軸交于點C

⑴求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點尸為直線2c下方拋物線上一動點(不與點2、C重合)，PMSBC于點尸。的2于點。，交直線

BC于點、N,當(dāng)P點的坐標(biāo)為何值時，PM+PN的值最大？

⑶點尸在第四象限的拋物線上移動，以尸C為邊作正方形CPER當(dāng)拋物線的對稱軸經(jīng)過點￡時，求出此

時點P的坐標(biāo).

8.（2022?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)y=^+6x+c的圖象經(jīng)過點A（-2,0）,B（0,-4）,其對稱

（2）若點M在直線AB上，且在第四象限，過點M作MNLx軸于點N.

①若點N在線段OC上，旦MN=3NC,求點M的坐標(biāo)；

②以為對角線作正方形MPNQ（點尸在MN右側(cè)），當(dāng)點P在拋物線上時，求點M的坐標(biāo).

9.（2022?遼寧朝陽,統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y="2+2x+c與x軸分別交于點

41,0）和點2,與/軸交于點C（0,-3）,連接8c.

⑴求拋物線的解析式及點B的坐標(biāo).

⑵如圖，點尸為線段8c上的一個動點（點尸不與點8,C重合），過點尸作y軸的平行線交拋物線于點

Q,求線段尸。長度的最大值.

⑶動點P以每秒收個單位長度的速度在線段8c上由點C向點8運動，同時動點M以每秒1個單位長度

的速度在線段3。上由點8向點。運動，在平面內(nèi)是否存在點N,使得以點P,M,B,N為頂點的四邊形

是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

10.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）一次函數(shù)丫=^彳+1的圖像與％軸交于點A,二次函數(shù)

y=or2+6x+c（。wo）的圖像經(jīng)過點A、原點。和一?次函數(shù)y=gx+l圖像上的點九.

⑵如圖1,一次函數(shù)y=wlj與二次函數(shù)丁=辦2+法+。（〃工。）的圖像交于點C（±，M）、

。（尤2,%）（占＜々），過點C作直線軸于點E,過點￡＞作直線軸，過點8作8尸，4于點

①為=，%=（分別用含n的代數(shù)式表示）；

②證明：AE=BF；

（3）如圖2,二次函數(shù)y=a（尤-廳+2的圖像是由二次函數(shù)＞=仆2+云+《。彳0）的圖像平移后得到的，且與

一次函數(shù)y=gx+l的圖像交于點尸、Q（點尸在點。的左側(cè)），過點P作直線軸，過點。作直線

"Lx軸，設(shè)平移后點A、6的對應(yīng)點分別為A、B',過點A作AM_L4于點M，過點"作夕'J."于點

N.

①AM與3W相等嗎？請說明你的理由;

②若A'A/+33'N=2,求/的值.

11.(2022春?吉林白城?九年級統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系無Qv中，拋物線>=-：尤2+6尤+g與x

軸交于點4(1,0),拋物線的對稱軸/經(jīng)過點2,且點2在拋物線上，作直線AB.尸是該拋物線上一點，過

點P作x軸的垂線交A3于點。，過點P作尸N_L/于點N,以P。、PN為邊作矩形PQMN.

⑴求6的值；

(2)當(dāng)點尸在拋物線48兩點之間時，求線段尸。長度的最大值；

⑶矩形PQMN與此拋物線相交，拋物線被截得的部分圖象記作G,G的最高點的縱坐標(biāo)為小，最低點縱坐

標(biāo)為〃.當(dāng)根-〃=2時，直接寫出點尸的坐標(biāo).

12.(2022?山西?中考真題)綜合與探究

1Q

如圖，二次函數(shù)了=-^/+］無+4的圖象與x軸交于/,8兩點(點4在點8的左側(cè))，與y軸交于點C,

點尸是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為機.過點尸作直線軸于點。，

作直線BC交PD于點E

⑴求/,B,C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線8c的函數(shù)表達式；

(2)當(dāng)△<?￡?是以尸￡為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；

⑶連接/C,過點尸作直線/〃AC,交y軸于點F,連接。尸.試探究：在點尸運動的過程中，是否存在

點尸，使得CE=ED,若存在，請直接寫出加的值；若不存在，請說明理由.

13.（2021?西藏,統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+6x+c與x軸交于，，8兩點.與y

軸交于點C.且點/的坐標(biāo)為（-1,0）,點C的坐標(biāo)為（0,5）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖