湖南省株洲市攸縣第四中學2024-2025學年高三下學期防疫期間“停課不停學”網(wǎng)上周考(二)數(shù)學試題含解析_第1頁
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文檔簡介

湖南省株洲市攸縣第四中學2024-2025學年高三下學期防疫期間“停課不停學”網(wǎng)上周考(二)數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l⊥n,則()A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交,且交線垂直于 D.α與β相交,且交線平行于2.已知圓與拋物線的準線相切,則的值為()A.1 B.2 C. D.43.甲乙兩人有三個不同的學習小組,,可以參加,若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組,則兩人參加同一個小組的概率為()A.B.C.D.4.定義運算,則函數(shù)的圖象是().A. B.C. D.5.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.6.在原點附近的部分圖象大概是()A. B.C. D.7.已知正項等比數(shù)列的前項和為,則的最小值為()A. B. C. D.8.若點是角的終邊上一點,則()A. B. C. D.9.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-810.設(shè)復數(shù)滿足,則在復平面內(nèi)的對應(yīng)點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.在的展開式中,含的項的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.12.設(shè)雙曲線(,)的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點,且橢圓的焦距為2,則雙曲線的標準方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若滿足,則目標函數(shù)的最大值為______.14.集合,,若是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合,則下列說法正確的為________①的值可以為2;②的值可以為;③的值可以為;15.銳角中,角,,所對的邊分別為,,,若,則的取值范圍是______.16.如圖所示,在邊長為4的正方形紙片中,與相交于.剪去,將剩余部分沿,折疊,使、重合,則以、、、為頂點的四面體的外接球的體積為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若點是直線的一點,過點作曲線的切線,切點為,求的最小值.18.(12分)如圖,在中,已知,,,為線段的中點,是由繞直線旋轉(zhuǎn)而成,記二面角的大小為.(1)當平面平面時,求的值;(2)當時,求二面角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù),.(1)若時,解不等式;(2)若關(guān)于的不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖所示,在三棱柱中,為等邊三角形,,,平面,是線段上靠近的三等分點.(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知點為橢圓上任意一點,直線與圓交于,兩點,點為橢圓的左焦點.(1)求證:直線與橢圓相切;(2)判斷是否為定值,并說明理由.22.(10分)已知為坐標原點,單位圓與角終邊的交點為,過作平行于軸的直線,設(shè)與終邊所在直線的交點為,.(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

試題分析:由平面,直線滿足,且,所以,又平面,,所以,由直線為異面直線,且平面平面,則與相交,否則,若則推出,與異面矛盾,所以相交,且交線平行于,故選D.考點:平面與平面的位置關(guān)系,平面的基本性質(zhì)及其推論.2.B【解析】

因為圓與拋物線的準線相切,則圓心為(3,0),半徑為4,根據(jù)相切可知,圓心到直線的距離等于半徑,可知的值為2,選B.【詳解】請在此輸入詳解!3.A【解析】依題意,基本事件的總數(shù)有種,兩個人參加同一個小組,方法數(shù)有種,故概率為.4.A【解析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值,因此函數(shù),只有選項中的圖象符合要求,故選A.5.B【解析】

可解出集合,然后進行補集、交集的運算即可.【詳解】,,則,因此,.故選:B.本題考查補集和交集的運算,涉及一元二次不等式的求解,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號,結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】令,可得,即函數(shù)的定義域為,定義域關(guān)于原點對稱,,則函數(shù)為奇函數(shù),排除C、D選項;當時,,,則,排除B選項.故選:A.本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.7.D【解析】

由,可求出等比數(shù)列的通項公式,進而可知當時,;當時,,從而可知的最小值為,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當時,;當時,,則的最小值為.故選:D.本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查學生的計算求解能力,屬于中檔題.8.A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點是角的終邊上一點,根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準確化簡、計算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】

根據(jù)交集的定義,,可知,代入計算即可求出.【詳解】由,可知,又因為,所以時,,解得.故選:B.本題考查交集的概念,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】

化簡得到,得到答案.【詳解】,故,對應(yīng)點在第三象限.故選:.本題考查了復數(shù)的化簡和對應(yīng)象限,意在考查學生的計算能力.11.D【解析】

根據(jù),利用通項公式得到含的項為:,進而得到其系數(shù),【詳解】因為在,所以含的項為:,所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù),還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,12.B【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用,求出的值,得到的值,求出關(guān)系,進而判斷大小,結(jié)合橢圓的焦距為2,即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線方程為,代入拋物線方程得,依題意,,橢圓的焦距,,雙曲線的標準方程為.故選:B.本題考查橢圓和雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì),要注意雙曲線焦點位置,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.-1【解析】

由約束條件作出可行域,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖,化目標函數(shù)為,由圖可得,當直線過點時,直線在軸上的截距最大,由得即,則有最大值,故答案為.本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值,屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù),最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.14.②③【解析】

根據(jù)對稱性,只需研究第一象限的情況,計算:,得到,,得到答案.【詳解】如圖所示:根據(jù)對稱性,只需研究第一象限的情況,集合:,故,即或,集合:,是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合,故所在的直線的傾斜角為,,故:,解得,此時,,此時.故答案為:②③.本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù),意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力,利用對稱性是解題的關(guān)鍵.15.【解析】

由余弦定理,正弦定理得出,從而得出,推出的范圍,由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍,再利用二倍角公式化簡,即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡得又為銳角三角形,則,,.故答案為本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.16.【解析】

將三棱錐置入正方體中,利用正方體體對角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知,將三棱錐置入正方體中,如圖所示,,故正方體體對角線長為,所以外接球半徑為,其體積為.故答案為:.本題考查三棱錐外接球的體積問題,一般在處理特殊幾何體的外接球問題時,要考慮是否能將其置入正(長)方體中,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),;(2)見解析【解析】

(1)消去t,得直線的普通方程,利用極坐標與普通方程互化公式得曲線的直角坐標方程;(2)判斷與圓相離,連接,在中,,即可求解【詳解】(1)將的參數(shù)方程(為參數(shù))消去參數(shù),得.因為,,所以曲線的直角坐標方程為.(2)由(1)知曲線是以為圓心,3為半徑的圓,設(shè)圓心為,則圓心到直線的距離,所以與圓相離,且.連接,在中,,所以,,即的最小值為.本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標與普通方程互化,直線與圓的位置關(guān)系,是中檔題18.(1);(2).【解析】

(1)平面平面,建立坐標系,根據(jù)法向量互相垂直求得;(2)求兩個平面的法向量的夾角.【詳解】(1)如圖,以為原點,在平面內(nèi)垂直于的直線為軸所在的直線分別為軸,軸,建立空間直角坐標系,則,設(shè)為平面的一個法向量,由得,取,則因為平面的一個法向量為由平面平面,得所以即.(2)設(shè)二面角的大小為,當平面的一個法向量為,綜上,二面角的余弦值為.本題考查用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,難度一般.19.(1)(2)【解析】

(1)零點分段法,分,,討論即可;(2)當時,原問題可轉(zhuǎn)化為:存在,使不等式成立,即.【詳解】解:(1)若時,,當時,原不等式可化為,解得,所以,當時,原不等式可化為,解得,所以,當時,原不等式可化為,解得,所以,綜上述:不等式的解集為;(2)當時,由得,即,故得,又由題意知:,即,故的范圍為.本題考查解絕對值不等式以及不等式能成立求參數(shù),考查學生的運算能力,是一道容易題.20.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)由,故,所以四邊形為菱形,再通過,證得,所以四邊形為正方形,得到.(2)根據(jù)(1)的論證,建立空間直角坐標,設(shè)平面的法向量為,由求得,再由,利用線面角的向量法公式求解.【詳解】(1)因為,故,所以四邊形為菱形,而平面,故.因為,故,故,即四邊形為正方形,故.(2)依題意,.在正方形中,,故以為原點,所在直線分別為、、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系;如圖所示:不紡設(shè),則,又因為,所以.所以.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則.于是.又因為,設(shè)直線與平面所成角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值為.本題考查空間線面的位置關(guān)系、線面成角,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.21.(1)證明見解析;(2)是,理由見解析.【解析】

(1)根據(jù)判別式即可證明.(2)根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達定理即可證明,需要分類討論,【詳解】解:(1)當時直線方程為或,直線與橢圓相切.當時,由得,由題知,,即,所以.故直線與橢圓相切.(2)設(shè),,當時,,,,所以,即.當時,由得,則,,.因為.所以,即.故為定值.本題考查橢圓的

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