中考數(shù)學專項訓練《相似三角形》判定與性質(zhì)（10大題型+15道拓展培優(yōu)）含答案及解析

相似三角形的判定與性質(zhì)（10大題型+15道拓展培優(yōu)）

?題型目錄

題型一證明兩三角形相似

題型二選擇或補充條件使兩個三角形相似

題型三重心的有關性質(zhì)

題型四相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

題型五利用相似三角形的性質(zhì)求解

題型六證明三角形的對應線段成比例

題型七利用相似求坐標

題型八在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形

題型九相似三角形一一動點問題

題型十相似三角形的綜合問題

y知識梳理

性質(zhì)1相似三角形的對應邊成比例,對應角相等。

相似三角形的周長比等于相似比。

A，Zctnt"BCCA.

JiDDUUA

■住r/曰AB+BC+CAkA'B'+kB'C'+kC'A',

由比例性質(zhì)可得：---------------------------------k

A'B'^B'C^C'A1C'A'

性質(zhì)2Af

A,A

類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長的比等于相似比。

相似三角形的面積比等于相似比的平方。

ApDp

A43cs△力加匕,，則券=施=粉=總分別作出MBC與A/T9。的高

性質(zhì)3

?-BC-AD-k-B'C-k-A'D'

犯和⑷。，則q產(chǎn)C=J=2-k-

fr

VZBC1B'C'?AD-B'CA'D'

22

Ar

BDCB，D'C，

要點詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的。

如果把兩個相似多邊形分成若干個相似的三角形，我們還可以得到：

相似多邊形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形的對應高的比、對應中線的比、對應角平分線之比等于相似比。

T生灰4

要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段。

AD

B

3.（23-24九年級上?上海靜安?課后作業(yè)）如圖，ZC=90°,AC=CD=DE=BE,試找出圖中的一對相似三角

形，并加以證明.

【經(jīng)典例題二選擇或補充條件使兩個三角形相似】

【例2】（22-23九年級上?上海寶山?階段練習）如圖，在△/BC中，4D_L3C,點。為垂足，為了證明NA4c

=90。，以下添加的等積式中，正確的有（）

①AD?=BD?CD?AB-CD=AC-AD?AC2=BC?CD?AB1=AC>BD

C.3個D.4個

x變式訓練

1.（23-24九年級上?上海靜安?課后作業(yè)）在aABC中，直線DE分別與AB、AC相交于點D、E,下列條

件不能推出△ABC與4ADE相似的是（

.ADAE

A.-----=-----B.ZADE=ZACB

BDEC

ADDE

C.AE.AC=AB.AD

~AB~^C

2.（2023?上海寶山?一模）如圖，D、E為AABC的邊AC、AB上的點，當_____時，△ADESAABC.其

中D、E分別對應B、C.（填一個條件）.

3.（24-25九年級上?全國?假期作業(yè)）如圖，已知嗎？請說明理

ABBC

由.若不相似，請?zhí)砑右粋€條件，使這兩個三角形一定相似.

【經(jīng)典例題三重心的有關性質(zhì)】

[例3]（23-24九年級上?上海松江?期末）如圖，已知點G是ANBC的重心，那么SABCGt等于（）

A.I：2B.I：3C.2：3D.2：5

H變式訓練

1.（23-24八年級上?河北滄州?階段練習）如圖，尸是“3C的重心，連接〃并延長交BC于。，連接3尸并

延長交/C于E.若△ZAF的面積是4,則四邊形CAFE的面積是（）

A

2.（2023?上海長寧?一模）如圖，在中，NA4c=90。，點G為“8C的重心，若/C=6,tanZABG=-,

3

3.（2023?四川樂山?中考真題）在△4BC中，已知。是3C邊的中點，G是△/3C的重心，過G點的直線

分別交43、/C于點E、F.

RFCF

（1）如圖1,當所〃時，求證：——+——=1；

AEAF

（2）如圖2,當E尸和3C不平行，且點E、廠分別在線段/B、/C上時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果

成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

（3）如圖3,當點￡在的延長線上或點尸在NC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請

給出證明；如果不成立，請說明理由.

圖1圖7圖3

【經(jīng)典例題四相似三角形的判定與性質(zhì)綜合】

【例4】（23-24八年級下?上海青浦?期末）如圖，在Rt448C中，乙4c3=90。，。是邊48上一點，過。作

DFL4B交邊BC于點,E,交/C的延長線于點尸，連接ZE.如果CE=1,CF=2,AC=3,那么色”。的

值是（）

區(qū)變式訓練

1.（23-24八年級下?上海?期末）在。8C中，點。、E分別在邊A8、/C上，以下能推出?！辍?C的條

件是（）

AD_3CE_3AD_3DE3

A.—B.—一,—

DB="標一4AB4BC-4

AB_4EC1AD3CE3

C.—一，———D.一,------------Z

AD3AE3DB4AC4

2.（2023?湖北省直轄縣級單位?一模）如圖，在23c中,D、E、尸分別為48、AC.BC上的點,

DE//BC,BF=CF,AF分別交DE、CD于點G、H,且CGLDE,CD=6,AE=3,有下面四個結(jié)論:

①DG=EG；②"GDs"CF；③點8是N尸的中點；④義萩=9凡浜?其中所有正確結(jié)論的序號是

4

BFC

3.（23-24九年級上?上海?階段練習）矩形48co中，AB=2,AD=4,動點E在邊3c上，不與點3、。重

合，過點A作DE的垂線，交直線。于點尸，交射線于點G.

（1）如圖，當點G在延長線上時，求二的值；在點E的運動過程中，二的值是否發(fā)生改變?

DFDF

（2）設3￡=加，用含根的代數(shù)式表示線段CG的長；

（3）如果點G在8C延長線上，當ADBE與A。尸G相似時，求。尸的長.

【經(jīng)典例題五利用相似三角形的性質(zhì)求解】

【例5】（23-24九年級上?上海黃浦?期末）如果兩個相似三角形的周長比為1:4,那么它們的對應角平分線

的比為（）

A.1:4B.1:2C.1:16D.1:72

區(qū)變式訓練

1.（23-241九年級上?上海?期中）如果兩個相似三角形的對應高之比是1:2,那么它們的周長比是（）

A.1:2B.1:4

C.1：V2D.2:1

2.（23-24九年級上?上海金山?期末）在“3C中，AC=6,P是上的一點，0為/C上一點，直線尸。把

08c分成面積相等的兩部分，且△，尸。和。8c相似，如果這樣的直線尸。有兩條，那么邊長度的取

值范圍是.

3.（23-24九年級上?上海青浦?期中）已知：如圖，在AASC中，點。，￡分別在48,AC±,DE//BC,

ZACD=ZB.

（1）寫出圖中所有與VNOE相似的三角形

（2）如果CD=20cm,BC=30cm,△BCD的面積為18cm?,求面積.

【經(jīng)典例題六證明三角形的對應線段成比例】

【例6】（22-23九年級下?浙江嘉興?開學考試）《笛卡爾幾何學》一書中引入單位線段1來表示線段的乘除.如

AC

圖，已知則一=一,若規(guī)定45為單位線段1,則力￡=力。/。，若規(guī)定ZC為單位

ADAE

ABBDAD

A.—B.-----C.D.——

BDAD~ABAB

X變式訓練

1.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習）如圖,在Y45co中，E為上一點，連接4￡、BD,且ZE、

A.2:3B.3:5C.2:5D.3:2

2.（23-24九年級上?上海浦東新?階段練習）如圖，點D、E分別在AABC的邊AB、AC上，且ZADE=/C,

若DE=3,BC=6,AC=8,則.

3.（2023?上海松江?一模）如圖，已知梯形/BCD中，AD//BC.E是邊上一點，CE與對角線8。交

于點尸，且BE?=EF?EC.

求證：

(□△4BD~LFCB；

(2)BDBE=ADCE.

41經(jīng)典例題七利用相似求坐標】

【例7】（2023?九年級單元測試）平面直角坐標系中有一直線4：N=-2x+5,先將其向右平移3個單位得

到￡再將4作關于x軸的對稱圖形L最后將4繞4與〉軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到%,則直線%的解析

式為（）.

A.y=——x-11B.y=——x-2C.y=—x+1D.y=-x-S

2222

區(qū)變式訓練

1.（2023?海南?九年級專題練習）如圖，在△43C中，ZACB=90°,邊在x軸上，頂點/,2的坐標分

別為（-2,6）和（7,0）.將正方形。COE沿x軸向右平移，當點E落在邊上時，平移的距離為（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2023春?江蘇?九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點，，8的坐標分別為（0,6）、（8,0）,連

接動點尸從點N開始在折線段/O8上以每秒2個單位長度的速度向點O移動，同時動點。從點8開

始在線段切上以每秒3個單位長度的速度向點/移動.設點尸、。移動的時間為f秒，當△/尸。與“08相

3.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（6,0）,B是了軸上一點.

（1）8上求作點使得要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，AB=4AM,0c是“08的中線，過點〃的直線交OC于點D,交無軸于點尸，當

=時，求點。的坐標.

【經(jīng)典例題八在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】

【例8】（2023秋?廣東梅州?九年級?？茧A段練習）如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個斜三角形：①^ABC,

②△CDB,③&DEB,④AFBG,⑤AHGF,?/\EKF.在②?⑥中，與①相似的三角形有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

區(qū)變式訓練

1.（2023秋?河南周口?九年級?？计谥校┤鐖D，在5x6的方格紙中，畫有格點△EFG,下列選項中的格點,

2.（2023春?九年級課時練習）如圖，在邊長相等的正方形網(wǎng)格中，A、B、C為小正方形的頂點，則

ZABC=

3.（2023秋?北京通州?九年級?？茧A段練習）在“3C中，ZC=90°

（1）如圖1,P是/C上的點，過點尸作直線截^ABC,使截得的三角形與^ABC相似.例如：過點P作尸D〃BC

交4B于D,則截得的△4DP與相似.請你在圖中畫出所有滿足條件的直線.

（2）如圖2,。是BC上異于點2,。的動點，過點0作直線截力3C,使截得的三角形與“3C相似，直接

寫出滿足條件的直線的條數(shù).（不要求畫出具體的直線）

41經(jīng)典例題九相似三角形一一動點問題】

【例9】（2023春?重慶渝中?八年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt4/BC中，ZACB^9Q°,ZABC=60°,BC=2cm,

。為8C的中點，若動點￡以lcm/s的速度從4點出發(fā)，沿著N-8的方向運動，設￡點的運動時間為/秒

（04<4）,連接。E,當以2、D、E為頂點的三角形與“BC相似時，/的值為（）

A.2B.2.5或3.5C.2或3.5D.2或2.5

區(qū)變式訓練

1.（2023?山西運城?統(tǒng)考二模）如圖1，在“BC中，NB=36°,動點P從點A出發(fā)，沿折線/f8-C勻

速運動至點C停止.點尸的運動速度為lcm/s,設點尸的運動時間為f（s）,/尸的長度為了（cm）,了與，的

函數(shù)圖像如圖2所示.當/P恰好平分/A4c時，BP的長為（）

A.275+2B.4-275C.4+2行D.2V5-2

2.（2023春?江蘇南通?八年級校聯(lián)考階段練習）如圖,已知矩形/BCD,長BC=12cm,寬48=8cm,p、

0分別是/2、8C上運動的兩點.若P自點/出發(fā),以lcm/s的速度沿方向運動，同時，。自點2出

發(fā)以2cm/s的速度沿3C方向運動，則經(jīng)過秒，以尸、B、0為頂點的三角形與ABDC相似.

3.（2023秋?福建泉州?九年級?？茧A段練習）如圖，在RtZ\/3C中，NACB=90。,ZC=8,BC=6,CDVAB

于點。.點P從點。出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點。從點C出發(fā)，沿線段。向點/運動.兩點同時

出發(fā).速度都為每秒1個單位長度，當點尸運動到。時，兩點都停止.設運動時間為［秒.

⑴求線段的長；

（2）設A。。的面積為S,求S與/之間的函數(shù)關系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻3使得

SACP2：Z”C=9：100?若存在，求出f的值；若不存在，說明理由.

i【經(jīng)典例題十相似三角形的綜合問題】

【例10】（2023?浙江寧波?模擬預測）如圖，矩形分別以3c為邊向內(nèi)作等邊三角

形（圖1）;分別以AB、。。為邊向內(nèi)作等邊三角形（圖2）,兩個等邊三角形的重疊部分用陰影表示，設圖

1中陰影部分的面積為H，圖2中陰影部分的面積為S?.若要=8,則空的值為（）

，AB

D.V3

區(qū)變式訓練

1.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在矩形紙片/BCD中，48=3,BC=2,沿對角線NC剪開（如圖

①）；固定人4。。，把AIBC沿4D方向平移（如圖②），當兩個三角形重疊部分的面積最大時，移動的距離

4T等于（）

A.1B.1.5C.2D.0.8或1.2

2.（2023春?四川達州?九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形/BCD中，點￡在邊8C上，連結(jié)4B,將△N8E

3

沿直線/E翻折得到△/尸E,即與ZC相交于點若/B=8,BC=10,S.BE=-BC,則點尸到直線AD

的距離為.

3.(2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考三模)【問題探究】

課外興趣小組活動時，同學們正在解決如下問題:

如圖1,在矩形48co中，點、E,尸分別是邊DC,3c上的點，連接NE,。尸，且尸于點G,若48=6,

BC=8,求空的值.

AE

A

圖2圖3

圖1

(1)請你幫助同學們解決上述問題，并說明理由.

【初步運用】

3

(2)如圖2,在中，ZBAC=9。。,就=^，點。為4。的中點，連接臺。，過點A作/￡，助于點￡,

AF

交BC于點F,求方齊的值.

BL)

【靈活運用】

3

(3)如圖3,在四邊形中，/BAD=90。，——=—,AB=BC,AD=CD,點、E,尸分別在邊45,AD

AD4

CF

上，且。石_1_。尸，垂足為G,則---=

DE

提優(yōu)訓練

1.（23-24九年級上?上海靜安?課后作業(yè)）下列語句中，不正確的是（）

A.兩個三角形相似，且有一條邊相等，則兩個三角形全等

B.兩個三角形相似，且周長相等，則兩個三角形全等

C.兩個三角形相似，且面積相等，則兩個三角形全等

D.兩個三角形相似，且相似比為1,則兩個三角形全等

2.（2023?上海虹口?一模）如圖，點G是。3c的重心，GE〃AC交BC于點、E.如果/C=12,那么GE的

長為（）

3.（23-24九年級上?上海普陀?期中）如圖，“3C是正方形網(wǎng)格中的格點三角形（頂點在格點上），點

D、E、F、G都是格點，下列三角形中與。3C相似的是（）

—-一

AB

A.以點4B、。為頂點的三角形B.以點4B、E為頂點的三角形

C.以點4B、尸為頂點的三角形D.以點4B、G為頂點的三角形

4.（22-23九年級上?上海青浦?階段練習）如圖，光線從點40，1）處射出射向無軸上的點P,經(jīng)無軸鏡面反射

后，光線經(jīng)過點8（6,5）,則。尸的長度是（）

723

5.（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖，在如A4BC中，ZABC=90°,E、尸分別為NC、BC的中點，連接所，

〃為NE的中點，過點〃作曲C,交3c于點。，連接。E,則與A48C相似（不含A48C）的三角形個

數(shù)為（）

A.1B.4C.8D.2

6.（23-24九年級下?上海崇明?期中）如圖，點G是“3c的重心，BG的延長線交NC于點。，過點G作

GE//BC,交/C于點￡,貝.

7.（2023?上海虹口?一模）一個三角形框架模型的邊長分別為3分米、4分米和5分米，木工要以一根長6

分米的木條為一邊，做與模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面積最大的是一平方分米.

8.（23-24九年級上?上海?階段練習）如圖，從點4（0,2）發(fā)出一束光，經(jīng)x軸反射，過點為5,3）,則這束光

從點A到點B所經(jīng)過的路徑的長為.

9.（22-23九年級下?浙江杭州?階段練習）如圖，河對岸有一燈桿在燈光下，小明在點。處測得自己

的影長。尸=3m,沿瓦）方向前進到達點尸處測得自己的影長尸G=4m.已知小明的身高為1.6m,則燈桿

的高度是.

A

以，’/

GFDB

10.（23-24九年級上,上海浦東新?期中）如圖，CD1DB,ABLDB,且48=6,CD=4,DB=14,點P

是線段DB上一動點，當DP=時，以C、D、尸為頂點的三角形與以P、/、3三點為頂點的三角形

相似.

11.（22-23九年級上?上海青浦?階段練習）如圖，G為的重心，S^DEG=2,求S.c的值.

12.（22-23九年級?上海?假期作業(yè)）如圖，梯形/BCD的周長為16厘米，上底0）=3厘米，下底48=7厘

米，分別延長/。和8C交于點P,求△尸CD的周長.

AB

13.（23-24八年級下?上海?期末）如圖：已知在Y48co中，E是邊/。上一點，連結(jié)BE、CE,延長8/、

CE相交于點尸，CE1=DEBC.

(1)求證：NEBC=NDCE；

⑵求證：BECF^BFAD.

14.（2023?上海長寧?一模）已知，在矩形/BCD中，點M是邊上的一個點（與點/、2不重合），聯(lián)結(jié)

CM,作NCMF=90。，且九牛分別交邊/D于點￡、交邊CA的延長線于點G點G為線段九田的中點，聯(lián)

結(jié)DG.

圖2

（1）如圖1,如果/D=/M=4,當點￡與點G重合時，求△癡C的面積;

（2）如圖2,如果/M=2,BM=4.當點G在矩形/BCD內(nèi)部時，設ND=x,DG2=y,求y關于x的函數(shù)

解析式，并寫出定義域；

（3）如果/M=6,0）=8,NF=NEDG,求線段的長.（直接寫出計算結(jié)果）

15.（22-23九年級上?上海寶山?期中）學習了相似三角形知識后，小麗同學準’備用自制的直角三角形紙板測

量校園內(nèi)一棵古樹的高度.已知三角形紙板的斜邊長為0.5米，較短的直角邊長為0.3米.

圖①圖②

（1）小麗先調(diào)整自己的位置至點尸，將直角三角形紙板的三個頂點位置記為/、B、C（如圖①），斜邊平

行于地面兒W（點M、P、E、N在一直線上），且點。在邊ZC（較長直角邊）的延長線上，此時測得邊

距離地面的高度E了為1.5米，小麗與古樹的距離即為16米，求古樹的高度。￡；

（2）為了嘗試不同的思路，小麗又向前移動自己的位置至點0,將直角三角形紙板的三個頂點的新位置記為

H、B，、C'（如圖②），使直角邊8'C’（較短直角邊）平行于地面跖V（點M、0、E、N在一直線上），點。

在斜邊8W的延長線上，且測得此時邊B'C'距離地面的高度依然是1.5米，那么小麗向前移動了多少米？

相似三角形的判定與性質(zhì)（10大題型+15道拓展培優(yōu)）

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題型一證明兩三角形相似

題型二選擇或補充條件使兩個三角形相似

題型三重心的有關性質(zhì)

題型四相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

題型五利用相似三角形的性質(zhì)求解

題型六證明三角形的對應線段成比例

題型七利用相似求坐標

題型八在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形

題型九相似三角形一一動點問題

題型十相似三角形的綜合問題

y知識梳理

性質(zhì)1相似三角形的對應邊成比例,對應角相等。

相似三角形的周長比等于相似比。

A，Zctnt"BCCA.

JiDDUUA

■住r/曰AB+BC+CAkA'B'+kB'C'+kC'A',

由比例性質(zhì)可得：---------------------------------k

A'B'^B'C^C'A1C'A'

性質(zhì)2Af

A,A

類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長的比等于相似比。

相似三角形的面積比等于相似比的平方。

ApDp

A43cs△力加匕,，則券=施=粉=總分別作出MBC與A/T9。的高

性質(zhì)3

?-BC-AD-k-B'C-k-A'D'

犯和⑷。，則q產(chǎn)C=J=2-k-

fr

VZBC1B'C'?AD-B'CA'D'

22

Ar

BDCB'D'C，

要點詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的。

如果把兩個相似多邊形分成若干個相似的三角形，我們還可以得到：

相似多邊形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形的對應高的比、對應中線的比、對應角平分線之比等于相似比。

T生灰4

要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段。

???/BFA=NBEC，

ZBFD=NBEA,

；.ABDFS^BAE.故（d）正確.

而不能證明AAD尸SABEC,故（a）錯誤.

.??錯誤的有1個，

故選：B.

【點睛】本題考查相似三角形的判定.識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角

形的對應邊和對應角.

區(qū)變式訓練

1.（23-24九年級上?上海徐匯?期末）下列兩個三角形一?定相似的是（）

A.兩個直角三角形B.兩個等腰三角形

C.兩個等邊三角形D.兩個面積相等的三角形

【答案】C

【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握三角形相似的判定方法是解題的關鍵.根據(jù)相似三角

形的判定即可得到答案.

【詳解】解：兩個直角三角形只可以確定一組角相等，無法判定相似，故選項A錯誤；

兩個等腰三角形確定兩邊對應成比例，無法判定相似，故選項B錯誤；

兩個等邊三角形三個角對應相等，可以判定相似，故選項C正確；

兩個面積相等的三角形，只能得到底和高積相等，無法判定相似，故選項D錯誤.

故選：C.

2.（23-24八年級下?上海普陀?期末）如圖，已知矩形/8C24D=3,/B=1,將其折疊，使點。與點8重合,

折痕是跖，那么折痕E尸的長是.

Ji------------------------------------

------------------------1c

【答案】叵

3

【分析】連接AD交E尸于點0,則。是AD的中點，易證根據(jù)相似三角形的對應的邊的

比相等，即可求得的長，再根據(jù)￡尸=2OE即可求解.

【詳解】如圖所示，5點與。點重合后，折痕為斯，連接AD交跖交于點。，則。是M）的中點,

在放A4&）中，BD=ylAB2+AD2=Vl2+32=V10，

則。。=叵，

2

■:B、。關于跖對稱，

???NEOD=90。,

又??,矩形45CQ中，乙4=90。，

：.ZA=ZEOD=90°,

在R2BD與Rt\OED中，

ZA=ZEOD=90°,ZADB=/ODE,

：.\ABD?NOED,

.OEOP

??商一茄

Vw

OE=-^AB=Wxl=?

AD36

:?EF=2OE=^

3

故答案為：巫.

3

【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題）、矩形的性質(zhì)、三角形相似等知識點，熟練掌握翻折變換和三角

形相似的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

3.（23-24九年級上?上海靜安?課后作業(yè)）如圖，ZC=90°,AC=CD=DE=BE,試找出圖中的一對相似三角

形，并加以證明.

【答案】△ADES/^BDA

【分析】先利用勾股定理求得AD=0CD，進而有K==XZADB=ZADB

，利用“兩組邊對應成比例及其夾角相等的兩個三角形相似唧可證得△ADES^BDA.

【詳解】VZC=90°,AC=CD=DE=BE,

：.AD=y[2CD>BD=2CD,

?_E_D___A_D____1_

""7D~BD~42'

VZADB=ZADB,

AADE^ABDA.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答的關鍵.

41經(jīng)典例題二選擇或補充條件使兩個三角形相似】

【例2】（22-23九年級上?上海寶山?階段練習）如圖，在中，/D_L5C,點。為垂足，為了證明/8/C

=90°,以下添加的等積式中，正確的有（）

①AD°=BD?CD?AB?CD^AC?AD@AC2=BC?CD④ABjC?BD

【答案】C

ADCT）

【分析】①由題意得出絲=—,證明可得出則可證出結(jié)論；②不能證

BDAD

明A43C與A4DC相似，得出②不符合題意；證出A4COs43C4,由相似三角形的性質(zhì)得出

ZADC=ZBAC=90°,可得出③符合題意；根據(jù)/笈=不能證明.臺。與“臺。相似，則可得出結(jié)

論.

【詳解】解:①

ZADC=ZADB=90°,

,:AD?=BD*CD，

.AD__CD

??=,

BDAD

：.AADCs^BDA,

：./DAC=NABD,

：./ABD+/BAD=/DAC+/BAD=90。,

即N3/C=90°,

故①符合題意；

?'：AB>CD=AC'AD,

.ABAD

"^4C~~CD'

?；NADB=N4DC=90°,

：.AABD^/\CAD,

：./ABD=/CAD,

：.ZBAD+ZCAD=90°,

：.ZBAC=90°,

故②符合題意；

（§）VAC12=BC>CD,

.ACCD

?,茲一就‘

NACD=/BCA,

：.AACDsABCA,

：.ZADC=ZBAC=90°,

故③符合題意；

④由4^2不能證明A4BC與A4AD相似，

故④不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與

性質(zhì)是解題的關鍵.

區(qū)變式訓練

1.（23-24九年級上?上海靜安?課后作業(yè)）在aABC中，直線DE分別與AB、AC相交于點D、E,下列條

件不能推出aABC與4ADE相似的是（）

/￡）AE

A.——二—B.ZADE=ZACB

BDEC

ADDE

C.AE-AC=AB-ADD.=

ABBC

【答案】D

【分析】由題意可得一組對角相等，根據(jù)相似三角形的判定：（1）兩角對應相等，兩三角形相似；（2）兩

邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似添加條件即可.

【詳解】解：有兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，故選項A不符合題意；

兩角對應相等，兩三角形相似，故選項B不符合題意；

AnAr

由AE.AC=AB.AD得——=——，且NA=NA,故可得4ABC與4ADE相似，所以選項C不符合題意;

AEAB

而D不是夾角相等，故選項D符合題意；

故選：D

【點睛】相似三角形的判定：

（1）兩角對應相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對應成比例，兩三角形相似；

（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么

這兩個直角三角形相似.

2.（2023?上海寶山?一模）如圖，D、E為AABC的邊AC、AB上的點，當時，AADE^AABC.其

中D、E分別對應B、C.（填一個條件）.

【答案】/ADE=/B

【詳解】分析：由于4ADE和AABC有一個公共角，所以根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似，可添

加/ADE=/B,使△ADES/\ABC.

詳解：

當NADE=/B,

VZEAD=ZCAB,

AAADE^AABC.

故答案為/ADE=/B.

點睛：考查了相似三角形的判定：解題關鍵是運用相似三角形的判（兩組對應角相等的兩個三角形相似）.

AD

3.（24-25九年級上?全國?假期作業(yè)）如圖，已知=-^=—嗎？請說明理

由.若不相似，請?zhí)砑右粋€條件，使這兩個三角形一定相似.

【答案】不相似，或"或而=而

【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出答案,

熟練掌握相似三角形的判定定理是解此題的關鍵.

【詳解】解不一定相似，因為/N,44'不是成比例的兩邊的夾角,

ARAr

可添加：=或=或義=/.

ABAC

41經(jīng)典例題三重心的有關性質(zhì)】

【例3】（23-24九年級上?上海松江?期末）如圖，已知點G是A/2C的重心，那么以穴6：等于（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.2：5

【答案】B

【分析】連接/G延長交3C于點。,由G是重心可得。是3。的中點，所以SAABD^SAACD,SABDG

SACDG,又由重心定理可NG=2GZ）,進而得到3SABCG=SAABC,即可求解.

【詳解】解：連接/G延長交2C于點D,

\"G^AABC的重心,

???。是5C的中點，

：.SAABD=SAACD,SABDG=SACDG,

?；AG=2GD,

2SABGD=SAABGJ2SACGD=SAACG?

：.3SABCG=SAABC,

：.SABCG：SAABC=1：3,

故選：B.

【點睛】本題考查三角形的重心，熟練掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面積的特點求解是解

題的關鍵.

X變式訓練

1.（23-24八年級上?河北滄州?階段練習）如圖，下是的重心，連接4尸并延長交8C于。，連接3尸并

延長交/C于￡.若4/3尸的面積是4,則四邊形CD也的面積是（）

BDC

A.2B.5C.3D.4

【答案】D

【分析】本題考查了重心的概念：重心是三角形三邊中線的交點，三角形中線的性質(zhì)；

根據(jù)重心的概念，得到皿族是"況的中線，故可得進而推出△，的面積和

四邊形C。尸E的面積相等，即可解答.

【詳解】解：；尸是“3c的重心，

AD,BE是的中線，

…S/\ABD=S&￡BC=3s△ABC，

四邊形CDFE的面積=SA￡BC-SAFBD=SAABD-SAFBD=^AABF=,

故選：D.

1

2.（2023?上海長寧，一模）如圖，在AABC中，/B/C=90。，點G為AABC的重心，若/C=6,tan//8G=§,

【答案】V13

【分析】點G為。3c的重心，就是三角形的三條中線交點，因此延長3G,AG交AC、BC于點D,E,

即可得解.

【詳解】解：延長8G,AG交AC、8C于點。，E,

；./￡>=3,AC=6,BC=3歷，

貝?。?G=_/E=------BC=-BC=s/l3,

3323

答案：VD.

【點睛】本題考查重心概念以及性質(zhì)內(nèi)容，這是做輔助線的線索，也是本題解題的關鍵.

3.（2023?四川樂山?中考真題）在△48C中，已知。是邊的中點，G是的重心，過G點的直線

分別交AB、/C于點E、F.

BFCF

（1）如圖1,當EF//時，求證：------1------=1；

AEAF

（2）如圖2,當E尸和不平行，且點E、下分別在線段/8、/C上時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果

成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

（3）如圖3,當點E在的延長線上或點尸在NC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請

給出證明；如果不成立，請說明理由.

A

AA

【答案】(1)證明見解析；(2)(1)中結(jié)論成立，理由見解析；(3)(1)中結(jié)論不成立，理由見解析.

根據(jù)G為重心可知筆由EF//BC可矢嚼=DG1CFDG14

【分析】(1)-,故

AG2'AFAG2

BECF11

-------1------——I—二1

AEAF22

BEBMCFCM

⑵過點A作/N〃/交防的延長線于點N,也、尊的延長線相交于點〃'則元=

ANAFAN

一麗447BECFBMCMBM+CM

故要求式子——+——=——+——二，又BM+CM=BM+CD+DM,D是3C的中點，即

AEAFANANAN

BECF2DM

BD=CD,由曲BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM,所以原式——十—二，又有

AEAFAN

DMDG1RFCF1

5,得布+9=2、二1,故結(jié)論成立;

ANAG

(3)由G點為重心可知，當尸點與。點重合時，￡為45中點，BE=AE,故當點尸在/C的延長線上時,

RFRFCFRFCF

BE>AE,——〉1,則——+——>1,同理：當點E在45的延長線上時，——+——>1,故結(jié)論不成立.

AEAEAFAEAF

【詳解】(1)證明：/G是△/BC重心

.QG_1

\4G~2

又丁EF〃BC,

BE