中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：最值模型之瓜豆模型（原理）直線軌跡型（含答案及解析）

:值模型之瓜豆模型（原理）直線軌跡型

動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學(xué)生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動點軌跡為直線型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型解讀】

瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。

動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進程影響，估只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。

主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線—上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。

模型1、運動軌跡為直線

1）如圖，P是直線上一動點，連接4P,取4P中點0,當(dāng)點P在8c上運動時，0點軌跡是？

解析：當(dāng)尸點軌跡是直線時，0點軌跡也是一條直線.

理由：分別過/、。向8c作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為所以0N

始終為的一半，即0點到8C的距離是定值，故。點軌跡是一條直線.

2）如圖，在A4PQ中/P=/Q,NB40為定值，當(dāng)點尸在直線2C上運動時，求0點軌跡？

解析：當(dāng)/P與夾角固定且為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形。

理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的0點的位置，連線即可，比如0點的起始

位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。

【最值原理】動點軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。

1）當(dāng)動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當(dāng)動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動點軌跡的方法（重點）

①當(dāng)某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線；

②當(dāng)某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；

③當(dāng)一個點的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；

④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；

⑤若動點軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對角線、全等、相似）為

其他已知軌跡的線段求最值。

例L（2022?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtAlBC中，乙4=90。，M為2c的中點，H為AB上一點、,

過點C作CG||4B,交用/的延長線于點G,若NC=8,AB=6,則四邊形NCG8周長的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

例2.（2023?黑龍江綏化,統(tǒng)考中考真題）如圖，口相。是邊長為6的等邊三角形，點E為高20上的動點.連

接CE,將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到CV.連接AF,EF,DF,貝WCD尸周長的最小值是.

BC

例3.（2023?河南洛陽?統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形4BCD中，AB=6,BC=10,/8=60。，點E在線

段3C上運動（含B、C兩點）.連接以點/為中心，將線段NE逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到/月連接。凡則

線段。尸長度的最小值為

例4.（2022?山東泰安?統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD的邊AB=￡,BC=3,￡為AB上一點，且AE=1,F

為AD邊上的一個動點，連接EF,若以E尸為邊向右側(cè)作等腰直角三角形跳G,斯=EG,連接CG,貝"G

C.3D.20

例5.（2023?陜西?西安市八年級期末）預(yù)備知識：⑴在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：隨著變量

t的變化，動點P（3t,2-/）在平面直角坐標(biāo)系中的運動軌跡是什么？

一番深思熟慮后，聰明的小明說："是一條直線”，老師問："你能求出這條直線的函數(shù)表達式嗎？"

小明的思路如下：設(shè)這條直線的函數(shù)表達式為y=kx+b（k^0）,

將點P（3r,2—。代入得：2—t—k-3t+b,整理得（3左+l）t+＞一2=。

???t為任意實數(shù)，等式恒成立，.不A+1=0,b-2=Q=b=2

這條直線的函數(shù)表達式為y=尤+2

請仿照小明的做法，完成問題：隨著變量t的變化，動點尸（31,2-。在平面直角坐標(biāo)系中的運動軌跡是直線

I,求直線/的函數(shù)表達式.

問題探究：（2）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知4（2,0）,5（5,9）,且N54c=90。，AB=AC,則點C的

坐標(biāo)為?

結(jié)論應(yīng)用：（3）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點尸（1,0）,Q是直線y=-gx+2上的一個動點，連接

PQ,過點P作尸?！故?，且尸。'=尸。，連接。Q',求線段。。'的最小值.

圖1圖2

例6.（2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，NB=45。,E、尸分別是邊C。,8c上的動點，連

接AE、EF,G、X分別為AE、EF的中點，連接G”.若G”的最小值為3,則BC的長為.

例7.（2023?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在口ABC中，ZC=90°,AC=BC=6.尸為邊AB上一動點,

作PDJ.3C于點D,PELAC于點E,則DE的最小值為.

例8.（2023?安徽合肥??？家荒＃┤鐖D，RtZXABC中，ZACB=90°,ABAC=60°,點D是邊8C上一動點，

以點/為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連接CE,若AC=1,則CE的長的最小值為（）

12L

A.—B.—C.1D.5/2

課后專項訓(xùn)練

1.（2021?四川廣元?中考真題）如圖，在口45。中，NACB=90。，AC=3C=4,點。是3C邊的中點，點尸

是AC邊上一個動點，連接PD,以PD為邊在PD的下方作等邊三角形尸。。，連接CQ.則CQ的最小值是

()

J3l3

A.—B.1C.J2D.-

22

2.（2023上?福建廈門?九年級?？计谥校┤鐖D，長方形ABCD中，AB=3,BC=4,E為BC上一點、.且BE=1,

尸為A8邊上的一個動點.連接將△2EF繞著點￡順時針旋轉(zhuǎn)45。到△HEG的位置，其中點3、點尸

的對應(yīng)點分別為點“、點G,連接FG和CG,則CG的最小值為（）.

A.B.3C.1+^^D.而

22

3.（2023上?江蘇揚州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E是正方形對角線8。所在

直線上的一個動點，連接AE,以4E為斜邊作等腰R/QAEF（點A,E,尸按逆時針排序），則C尸長的最

4.（2023上?河北保定?九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt^ABC中，/54C=90。，且AB=6,AC=8,點。是

斜邊8c上的一個動點，過點。分別作OMI4B于點M,ZJN1AC于點N,連接MN,點。為MN的中點,

則線段A。的最小值為（）

5.（2023上?山西臨汾?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在口相。中，AB=BC=10,AC=12,點O,E分別是A8,

8c邊上的動點，連結(jié)。E,F,/分別是AD,OE的中點，則的最小值為（）

C

A.12B.10C.9.6D.4.8

6.（2023上?廣東廣州?九年級?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的邊長為4,=30。，點E是直線C"上

一個動點，連接8E,線段8E繞點8順時針旋轉(zhuǎn)45。得到8F,則線段。尸長度的最小值等于（）

C.276-273D.2A/6-A/3

7.（2022?江蘇?徐州市三模）如圖，CMBC中，ABAC=45°,AB=AC=8,P為AB邊上的一動點，以尸4、

PC為邊作YP4QC,則線段AQ的最小值為

A

8.（2023上?湖北武漢?九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知NMON=30。，B為OM上一點、,于/,四

邊形ABCD為正方形，尸為射線8M上一動點，連接CP,將“繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得CE,連接BE,

9.（2023上,湖南長沙?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點4（1,0）,點C是〉軸上

一動點，設(shè)其坐標(biāo)為（0,加），線段C4繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。至線段CB,則點8的坐標(biāo)為,連接3。,

則BO的最小值是.

10.（2023上?內(nèi)蒙古呼和浩特?九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知［A5c中，ZACB=90。，ZS4C=30°,BC=2,

AB=4,AC=2⑸點。為直線A8上一動點，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CE,連接E。、

8E,點尸在直線A尸上且OP=BC,則8E最小值為.

n.（2023上?福建三明,八年級統(tǒng)考期中）如圖，在長方形ABCD中，AB=4,BC=3,E為邊A8上的點,

且AE=1.尸為A。邊上的動點，以E尸為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形GEF,EF=EG.設(shè)8中點為加，

則“G的最小值為

12.（2022?貴州畢節(jié),中考真題）如圖，在RtnABC中，484。=90。,43=3,3。=5,點尸為36邊上任意一

點,連接PA,以PA,PC為鄰邊作平行四邊形PAQC,連接PQ,則尸。長度的最小值為.

13.（2022?廣東?東莞二模）如圖，已知等腰三角形以8,N8/P=45。，AB=AP,將三角形放在平面直角坐

標(biāo)系中，若點/（—30，0），點8在>軸正半軸上，則。尸的最小值是.

14.（2022?江蘇宿遷?三模）如圖在△49C中，乙4cB=9。。,乙4=30。，BC=2.。是43上一動點，以。C為

斜邊向右側(cè)作等腰放ADCE,使NCE￡>=90。，連接BE,則線段BE的最小值為.

C

15.（2023?陜西師大附中三模）如圖，正方形A5CD中，AB=4,點￡為邊BC上一動點，將點/繞點￡順

時針旋轉(zhuǎn)90°得到點F,則DF的最小值為

16.（2022?浙江紹興?二模）如圖，在AIBC中，48=5,3c=3,NC=4,點尸從N點出發(fā)沿N2運動到3點，

以CP為斜邊作如圖的等腰直角三角形尸。C,NP0C=9O。，則比△尸QC的外心運動的路徑長為,BQ

的最小值為

17.（2023?江蘇鹽城?三模）如圖，/、8兩點的坐標(biāo)分別為（-3,0）、（-1,0）,點C為y軸上一動點，以

八。上的一個動點，將線段EF繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EF,連接人戶、BF,則△48F'的周長的最小

值是.

19.（2022?河南南陽?二模）如圖所示，A8=4,BC=8,A?1于點8,點。是線段上一個動點,

3

且于點。，tanZDAE=-,連接CE,則CE長的最小值是

20.（2023江西九江九年級期末）（1）回歸教材：北師大七年級下冊尸44,如圖1所示，點P是直線加外一

點，，點。是垂足，點/、B、C在直線機上，比較線段尸O,PA,PB,尸C的長短，你發(fā)現(xiàn)了什么？

最短線段是,于是，小明這樣總結(jié)：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，.

（2）小試牛刀：如圖2所示，Rt^ABC中，AB=c,AC=b,BC=a.則點尸為N5邊上一動點，則CP

的最小值為.

（3）嘗試應(yīng)用：如圖3所示nABC是邊長為4的等邊三角形，其中點尸為高上的一個動點，連接2P,

將AP繞點2順時針旋轉(zhuǎn)60。得到2瓦連接PE、DE、CE.

①請直接寫出的最小值.②在①的條件下求DBPE的面積.

（4）拓展提高:如圖4,RtZVBEP頂點廠在矩形48co的對角線ZC上運動，連接ZEBF=ZACD.AB=3,

:值模型之瓜豆模型（原理）直線軌跡型

動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學(xué)生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動點軌跡為直線型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型解讀】

瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。

動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進程影響，估只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。

主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線—上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。

模型1、運動軌跡為直線

1）如圖，P是直線上一動點，連接4P,取4P中點0,當(dāng)點P在8c上運動時，0點軌跡是？

解析：當(dāng)尸點軌跡是直線時，0點軌跡也是一條直線.

理由：分別過/、。向8c作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為所以0N

始終為的一半，即0點到8C的距離是定值，故。點軌跡是一條直線.

2）如圖，在A4PQ中/P=/Q,NB40為定值，當(dāng)點尸在直線2C上運動時，求0點軌跡？

解析：當(dāng)/P與夾角固定且為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形。

理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的0點的位置，連線即可，比如0點的起始

位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。

【最值原理】動點軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。

1）當(dāng)動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當(dāng)動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動點軌跡的方法（重點）

①當(dāng)某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線；

②當(dāng)某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；

③當(dāng)一個點的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；

④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；

⑤若動點軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對角線、全等、相似）為

其他已知軌跡的線段求最值。

例L（2022?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtAlBC中，乙4=90。，M為2c的中點，H為AB上一點、,

過點C作CG||4B,交的延長線于點G,若NC=8,AB=6,則四邊形ZCG8周長的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

【答案】B

【分析】通過證明△BMHmACMG可得BH=CG,可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH,進而可確定當(dāng)

MH1AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進而可求解.

【詳解】??,CGIIAB,??ZB=NMCG,「M是BC的中點，??,BM=CM,

ZB=ZNCG

<BM=CM

在△BMH和△CMG中，［/BMH=/CMG,...△BMH三△CMG（ASA）,；.HM=GM,BH=CG,

?；AB=6,AC=8,四邊形ACGH的周長=AC+CG+AH+GH=AB+AC+GH=14+GH,

當(dāng)GH最小時，即MH1AB時四邊形ACGH的周長有最小值，

?2A=90。，MH1AB,.'.GHHAC,四邊形ACGH為矩形，劃=8,

四邊形ACGH的周長最小值為14+8=22,故選：B.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，確定GH的值是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?黑龍江綏化,統(tǒng)考中考真題）如圖，口他。是邊長為6的等邊三角形，點E為高2。上的動點.連

接CE,將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.連接AF,EF,DF,貝川CDF周長的最小值是.

【答案】3+34/3百+3

【分析】根據(jù)題意，證明」CBE到C4F,進而得出尸點在射線AF上運動，作點C關(guān)于AF的對稱點C，，連

接設(shè)CC'交A尸于點0,則-4℃=90。，則當(dāng)2EC'三點共線時，bC+FD取得最小值，即

FC+FD=F'C'+F'D=CD',進而求得C'D,即可求解.

ZCB￡=-ZABC=30°

【詳解】解：*為高8。上的動點....2

???將稟繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.」ABC是邊長為6的等邊三角形，

...CE=CF,NECF=ZBCA=60°,BC=AC.口CBE^CAF

...NC4F=NCBE=30°,二產(chǎn)點在射線AF上運動，如圖所示，

作點C關(guān)于AF的對稱點。，連接設(shè)CC交AF于點°,則NA℃=90。

CO=-AC=3

在RtQAOC中，ZCAO=30°,則2,

則當(dāng)Q,￡C'三點共線時，RS+FD取得最小值，即/=

..CC=AC=6fZACO=ZCCDfCO=CD..JACO^CCD...ZCDC=ZAOC=90°

在口°'。0中，CD=ylcC,2-CD2=V62-32=373

-CD/周長的最小值為a）+FC+a>=CO+OC'=3+3g,故答案為：3+34.

【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，

勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?河南洛陽?統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形/BCD中，AB=6,BC=10,/B=60。，點E在線

段8c上運動（含B、C兩點）.連接以點/為中心，將線段NE逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到/月連接。區(qū)則

【答案】2君

【分析】以AB為邊向右作等邊4ARG,作射線GF交AD于點H,過點D作DM1GH于M.利用全等三角形

的性質(zhì)證明ZAGF=60。，得出點F在平行于AB的射線GH上運動，求出DM即可.

【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊4ARG,作射線GF交AD于點H,過點D作DM_LGH于M.

M

???四邊形ABCD是平行四邊形，ZB=60°,.?.ZBAD=120°,

???△ABG是等邊三角形，.?ZBAG=NEAF=60°,BA=GA,EA=FA,

.?ZBAE=/FAG,.-.ABAESAGAF(SAS),.?.4B=NAGF=60°,

二點F在平行于AB的射線GH上運動，

???ZHAG=ZAGF=60°,.?.△AHG是等邊三角形，

；.AB=AG=AH=6,.-.DH=AD-AH=4,

=4x—=273

?-?ZDHM=ZAHG=60°,.-.DM=DH?sin60°2,

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點F與M重合時，DF的值最小，最小值為2出，故答案為：2道.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直

角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點F

的在射線GH上運動，屬于中考填空題中的壓軸題.

例4.（2022?山東泰安?統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD的邊AB=—,8C=3,E為AB上一點，且AE=1,F

2

為邊上的一個動點，連接EF,若以EF為邊向右側(cè)作等腰直角三角形跳6,斯=EG,連接CG,貝|CG

的最小值為（）

【答案】B

【分析】過點G作GH1AB于H,過點G作MNIIAB,由"AAS"可證4GEH三AEFA,可得GH=AE=1,可得點G

在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，則當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，即可求解.

9

?.?AE=1,.-.BE=2,?,?zGHE=ZA=ZGEF=90o,

.1?ZGEH+ZEGH=9O°,ZGEH+ZFEA=90°,.-.ZEGH=ZFEA,

又???GE=EF,.-.AGEHSAEFA(AAS),.-.GH=AE=1,

???點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，

???當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，此時AF=EH=3,

2

Jf--l-3f+2=-

??.CG的最小值=2)2,故選B.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定點G的運動軌跡是本題的關(guān)鍵.

例5.(2023?陜西?西安市八年級期末)預(yù)備知識：⑴在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：隨著變量

t的變化，動點P(3t,2-。在平面直角坐標(biāo)系中的運動軌跡是什么？

一番深思熟慮后，聰明的小明說："是一條直線”，老師問："你能求出這條直線的函數(shù)表達式嗎？"

小明的思路如下：設(shè)這條直線的函數(shù)表達式為y=kx+b(k^0),

將點P(3%,2—。代入得：2—t=k，3t+b,整理得(3左+l)/+b—2=0

???t為任意實數(shù)，等式恒成立，.?.3A+l=0,b-2=0?,"=T，b=2

這條直線的函數(shù)表達式為y=-;x+2

請仿照小明的做法，完成問題：隨著變量t的變化，動點P(3f,2-r)在平面直角坐標(biāo)系中的運動軌跡是直線

I,求直線/的函數(shù)表達式.

問題探究：(2)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2,0),3(5,9),且/瓦1C=9O。，AB^AC,則點C的

坐標(biāo)為?

圖1圖2

結(jié)論應(yīng)用：(3)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點尸(1,0),Q是直線y=-；x+2上的一個動點，連接

PQ,過點P作尸且PQ'=PQ,連接。。，求線段。。'的最小值.

【答案】⑴直線/的函數(shù)表達式為y=-gx+2;⑵點C(-7,3)；⑶。最小值為右.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法將點P代入解析式，利用恒等性質(zhì)得出弘+1=0,6-2=0,求出直線解析式

即可；(2)設(shè)C點坐標(biāo)為(m,n)過C作CE垂直x軸于E,過B作BFlx軸于F,證明三(AAS)

得出CE=AF,EA=FB,根據(jù)點8(5,9)點A(2,0)求出點F(5,0)即可；

(3)過Q作QG_Lx軸于G,過Q作Q'Hlx軸于H,先證△QPG三△PQ'H(AAS),設(shè)Q(a,-1a+2)分三

種情況,當(dāng)瞄1時，點Q'(-；a+3,1-a)0Q'=yl0H2+QH2=27+5,當(dāng)l<a<4,點Q<-ga+3,

1-a),OQ'=y]OH2+QH2=J|(a-2)2+5,當(dāng)aM時，點Q'(3-：a,1-a)0Q'=

JW+?犯2=$袋+①4=J*a'+5,求出每種情況的最小值，然后比較大小即可.

【解析】⑴解：設(shè)這條直線的函數(shù)表達式為>="+6(左力0),將點尸(3/,2T)代入得：2—t=k3+b,整

理得例+1*+6-2=0,曾為任意實數(shù)，等式恒成立，.?.3左+1=0,匕-2=0,

=6=2,.?.這條直線的函數(shù)表達式為〉=-；％+2,

???隨著變量t的變化，動點P(3f,2-。在平面直角坐標(biāo)系中的運動軌跡是直線/,

直線/的函數(shù)表達式為y=-gx+2.

⑵解:設(shè)C點坐標(biāo)為(m,n)過C作CE垂直x軸于E,過8作8F1X軸于F,.?zECAn<CAE=90。，

-AB=AC,ZB/AC=9O°,.-.ACAE+^FAB=90°f:.(ECA=(FAB,

/ECA=NFAB

在△SE和△八BF中，\ACEA=ZAFB,.-.ACAE^AABF(AAS),；.CE=AF,EA=FB,

CA=AB

??,點8(5,9)點八(2,0),,,點F(5,0).*.n=5-2=3;2-m=97.-.m=-7,.-.^C(-7,3)；

⑶解：過Q作QGlx軸于G,過Q作Q，”lx軸于H,

vzQPQ=90°,乙QGP=乙Q'HP=90°,,??乙QPG+4Q'PH=90°,乙Q'PH+乙HQ'P=90°,乙QPG=^HQ'P,

ZQPG=ZPQfH

在△QPG和△PQ'H中，|/QGP=/尸"。'，.?.△QPG三△PQ'H(AAS),??.PG=Q'H,QG二PH,

PQ=QrP

??,Q是直線y=九+2上的一個動點，設(shè)Q(o,-1〃+2),

22

當(dāng)9時，.-.QG=PH=--a+2,PG=QH=l-a,.?.點Q'(-L+3,1-a),

22

■-0Q'=y]0H2+QH2=|a+3|+(1-a)=J|(a-2)2+5,

.f>0,a<2時，OQZ隨a的增大而減小，當(dāng)a=l時最小OQ，=J$+5=§,

4\42

3l<a<4,.-.QG=PH=--a+2,PG=QH=a-1,.?.點Q'(-工a+3,1-a),

22

■.■OQ'=yJOH2+Q^l2=1a+3|+(1-a)2=J|(a-2)2+5,?.|>0,a=2時，OQ'最小=下，

22

■.-0Q'=yl0H2+Q<H2=J*-|a|+(1-a)2=J|(a-2)2+5，；，a>2時，OQ'隨a的增大而增大，

a=4時，OQ1最，bJ10,rJlO>3>5=，二。Q'最小值為?

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求直線解析式，恒等式性質(zhì)，二角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，函數(shù)的最

值，分類思想的運用，掌握待定系數(shù)法求直線解析式，恒等式性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，

函數(shù)的最值，分類思想的運用是解題關(guān)鍵.

例6.(2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模)如圖，在菱形ABCD中，/fi=45。，E、尸分別是邊C。,8c上的動點，連

接AE、EF,G、7/分別為AE、EF的中點,連接G”.若GH的最小值為3,則8C的長為__________

____________D

DFC

【答案】6立

GH=-AF

【分析】連接4F,利用中位線的性質(zhì)2,要使G”最小，只要AF最小，當(dāng)AF/3C時，A尸最

小為6,由4=45°確定為等腰直角三角形，得出AE=3/=6,由勾股定理得：AB2=BF2+AF2^

出BC即可.

GH=-AF

【詳解】解：連接AF,「G,H分別為AE,EF的中點，...G"〃AF,且2,

要使G"最小，只要4尸最小，當(dāng)A尸時，AF最小，

???G”的最小值為3,.??.=6,?.?/3=45。，

.BF=AF=6,AB=^AF2+BF2=672,

四邊形ABC。是菱形，...30=45=60.故答案為：6夜.

【點睛】本題考查動點圖形中的中位線，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用問題，掌握

中位線的性質(zhì)，菱形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例7.（2023?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在」ABC中，ZC=90°,AC=BC=6.尸為邊AB上一動點，

作PDJ.BC于點。，PE_LAC于點E,則DE的最小值為.

【答案】3正

【分析】連接CP,利用勾股定理列式求出4B,判斷出四邊形CDPE是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得

DE=CP,再根據(jù)垂線段最短可得CP時，線段DE的值最小，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列出方

程求解即可.

【詳解】解：如圖，連接”,

...ZC=90°,AC=BC=6,AB=^AC2+BC2=用+6?=6及

...PZUBC于點D,履，4°于點￡,ZAC3=90。，...四邊形CDPE是矩形，.ME=CP,

由垂線段最短可得CP,鉆時，線段CP的值最小，此時線段。E的值最小,

5.=-AC-BC=~AB-CP6'6=-'6"CP

△AADfiCr22

此時,代入數(shù)據(jù)：22

...CP=30,...DE的最小值為3正，故答案為：3亞.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CP'M時，線段OE的值

最小是解題的關(guān)鍵.

例8.（2023?安徽合肥?校考一模）如圖，RtA4BC中，ZACB=90°,N8AC=60。，點。是邊BC上一動點，

以點/為旋轉(zhuǎn)中心，將A。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連接CE,若AC=1,則CE的長的最小值為（）

C.1D.0

【分析】在AB上取一點K,使得AK=AC,連接CK,DK,然后證明出VEAC絲VDAK（SAS）,然后根據(jù)

垂線段最短得到當(dāng)DK18C時，OK的值最小，最后利用30。角直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】如圖所示，在AB上取一點K,使得4K=AC,連接CK,DK,

A

E

■■ZACB=90°,ABAC=60°,,,ZEAD=ABAC=60°,ZB=30°,■_ZEAC=ZDAK,

^-：AE=AD,AC^AK,?VE4C^Vr>A^(SAS).CE=DK,..^DKIBC^,DK的值最小，

■..AC=AK^1,々=30。，ZACB=9Q°,...AB=2AC=2,

DK=-BK=-1

...BK=AB-AK=1,...22....CE的長的最小值為2.故選A

【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判斷，垂線段最短，30°角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握以上知識點.

課后專項訓(xùn)練

1.（2021?四川廣元?中考真題）如圖，在口ABC中，ZACS=90°,AC=3C=4,點。是邊的中點，點尸

是AC邊上一個動點，連接PD,以PD為邊在PD的下方作等邊三角形P。。，連接CQ.則CQ的最小值是

3

B.1C.V?D，2

【答案】B

【分析】以CD為邊作等邊三角形CDE,連接EQ,由題意易得4PDC=Z_QDE,PD=QD,進而可得4PCD三△QED,

則有NPCD=NQED=90。，然后可得點Q是在QE所在直線上運動，所以CQ的最小值為CQ1QE時，最后問題

可求解.

【詳解】解：以CD為邊作等邊三角形CDE,連接EQ,如圖所示:

..]PDQ是等邊二角形,./CED=Z.PDQ-Z.CDE—60°,PD=QD,CD=ED

,?2CDQ是公共角，.?ZPDC=4QDE,.-.△PCD=AQED(SAS),

...ZACB=90。，AC=BC=4,點D是3c邊的中點，

CD=DE=CE=-BC=2

.■.ZPCD=ZQED=90°,2，，點Q是在QE所在直線上運動，

???當(dāng)CQ1QE時，CQ取的最小值，:/婀=90。-/皿=3。。，產(chǎn)=:故選B.

【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30。直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角形

的性質(zhì)、含30。直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題是解題的關(guān)鍵.

2.（2023上?福建廈門?九年級?？计谥校┤鐖D，長方形ABCD中，AB=3,3C=4,E為8c上一點.且BE=1,

下為48邊上的一個動點.連接EF,將△BEP繞著點￡順時針旋轉(zhuǎn)45。到△HEG的位置，其中點3、點尸

的對應(yīng)點分別為點H、點G,連接FG和CG,則CG的最小值為（）.

C.1+簽D.而

【答案】C

【分析】如圖，將線段8E繞點E順時針旋轉(zhuǎn)45。得到線段連接OE交CG于j.首先證明NEHG=90。，

推出點G的在射線H3上運動，推出當(dāng)CG,HG時，CG的值最小，證明四邊形是矩形，進一步推出

CJ=3CE=§④i?3近

JE=JD,則22,即可得到CG的最小值為2.

【詳解】解：如圖，將線段BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)45。得到線段E",連接DE交CG于j.

四邊形ABCD是矩形，...AB=CD=3,ZB=ZBCD=90°,

.；NBEH=NFEG=45°,NBEF=NHEG,

...EB=EH,EF=EG,1EBF知HEG（SAS）,.NB=NEHG=90。,

???點G的在射線H3上運動，.?.當(dāng)CG'HG時，CG的值最小，

??BC=4,BE=1,CD=3.CE=CD=3-ZCED=ZBEH=45°

NHEJ=90。=NEHG=ZJGH=90°,；.四邊形EHGJ是矩形，

■.DE//GH,GJ=HE=BE=1,；.CJLDE,；.JE=JD,

0s3五”cr夜i3應(yīng)

CJ=——CE-----CG=CJ+GJ=1+-----1+-----

22,...2一?.CG的最小值為2.故選：c.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形得到動點運動的軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題.

3.（2023上?江蘇揚州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E是正方形對角線8。所在

直線上的一個動點，連接AE,以4E為斜邊作等腰R/QAEF（點A,E,尸按逆時針排序），則C尸長的最

小值為（）

C.4D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和題干給定的△但是以AE為斜邊作等腰直角三角形，證明口GLAsQELE,得

GLAL

到五-五進一步證明尸得到G尸〃AB,由正方形的性質(zhì)得點H為BC的中點，有點F在BC

的垂直平分線G”上運動，當(dāng)點F與點H重合時，中的值最小.

【詳解】解：連接AC交2。于點G,連接GP并延長交BC于點H,如圖，

四邊形ABCD是正方形，...Z/RC=90。，ZABD=45°,AB=CB=4,

???△的是以AE為斜邊作等腰直角三角形，.?.AF=EB,ZAFE=90°,ZFAE=ZFEA=45°,

GLALGLFL

..BD±AC,..ZAGL=ZEFL^90°,■■ZALG^ZELF,..UGLA^QFLE,...~FL~^L,則就一標(biāo)，

...ZGLF=ZALE,...]GLF□□ALE,ZLGFZLAE=45°,

...4GF=ZABD,則G/〃AB,...NG"C=ZABC=90。，

???點G為正方形MCD對角線的交點，.??點H為8c的中點，，點F在BC的垂直平分線GH上運動，

CF=CH=—BC=2

..WG",...當(dāng)點F與點H重合時，CF的值最小，此時2

即B長的最小值為2.故答案選：D.

【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)、相似二角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)和垂線段最短，利用相

似的邊長比證明對應(yīng)三角形邊長的相似比，并找到點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵.

4.（2023上?河北保定?九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt^ABC中，ZBAC=9Q°,且A5=6,AC=8,點。是

斜邊8C上的一個動點，過點。分別作DM」A3于點M,DNLAC于HN,連接MN,點。為的中點，

則線段A0的最小值為（）

A.4.8B.5C.2.4D.3.6

【答案】c

【分析】由勾股定理求出BC的長，再證明四邊形DM4N是矩形，可得=根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)

AD工3c時，的值最小，再利用三角形面積求出AD,可得A0,即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接A。,

vZa4C=90°,且AB=6,AC=8,BC=VBA2+AC2=V62+82=10,

DMLAB,DN.LAC,ZDMA=ZDNA=ZBAC=90°,

,AO=-AD

二.四邊形DM4N是矩形，.?.MN=A。，2，，當(dāng)AO/BC時，AD的值最小,

11,八ABAC6x8,0

S[]ABC=-ABAC=-BCADAD=-----------=——=4.8

此時,22BC10，二AO的最小值為24,故選：c.

【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短，關(guān)鍵是掌握矩形的對

角線相等.

5.（2023上?山西臨汾?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在口相。中，AB=BC=10,AC=12,點O,E分別是AB,

8c邊上的動點，連結(jié)。E,F,/分別是A。，DE的中點，則的最小值為（）

A.12B.10C.9.6D.4.8

【答案】D

【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂線段最短的性質(zhì).連接的，作于點H.由

FM=-AE

三角形中位線的性質(zhì)得2,由垂線段最短可知當(dāng)AE最小，即點E與點H重合時府的值最小，然

后利用勾股定理求出AH的長即可.

【詳解】解：連接AE,作W3C于點H.

FM=-AE

???點，?分別是"，3c邊上的動點，是VAOE的中位線，二2

.?.當(dāng)AE最小，即點E與點H重合時府的值最小.設(shè)BH=X,則S=10T,

..102-X2=122-(10-X)2^^=2.8,...AH=7102-2.82=9.6,FM的最小值為4.8.故選D.

6.(2023上?廣東廣州?九年級?？计谥?如圖，正方形ABCD的邊長為4,=30。，點E是直線CM上

一個動點，連接8E,線段3E繞點3順時針旋轉(zhuǎn)45。得到8F,則線段。廠長度的最小值等于()

C.2A/6-2A/3D.276-73

【答案】B

【分析】連接2°,在2。上截取BG,使BG=BC,連接