專項(xiàng)突破卷：曲線的軌跡方程問(wèn)題（解析版）

專題突破卷20曲線的軌跡方程問(wèn)題

題生領(lǐng)嵬

橢圓的軌跡方程問(wèn)題

原題生各小擊破

題型一：橢圓的軌跡方程問(wèn)題

1.如圖所示，以過(guò)焦點(diǎn)用月的直線為X軸，線段耳耳的垂直平分線為V軸，建立平面直角

坐標(biāo)系.其中國(guó)瑞|=2c(c>0),橢圓上任意一點(diǎn)尸滿足忸￡|+|pq=2a(a>0),求橢圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程.

“0)

【分析】直接按求曲線的方程步驟求解即可.

【詳解】設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(x,y),焦點(diǎn)F](-c,0),6(c,O),

因?yàn)閨P4|+|P周=2a(a>0).

貝!J+y2+—+y2_2a,

即J(x+c)2+/=2a-—c)2+y2,

兩邊平方得，(x+c『+y=4/一4aJ(x-c)2+=2+(x-c)2+y2.

整理得，oj(x-c)2+心=a2-ex,

兩邊平方得，a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2=a4-2a2ex+c2x2

整理得(6-c2>jx2+a2y2=a2一，).

22

兩邊同除以/(〃一。2)得，T+F^=i.

aa-c

由橢圓定義知2〃>2c>0,BPa>c>0,所以儲(chǔ)一，〉。.

_________22

令b=[a?-c2,得/+==1(。>/?>0).

22

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1r+方=l(a>b>0).

22/1\

2.已知橢圓「：3+2=1(。>6>0)的離心率為e,且：T過(guò)點(diǎn)M[,0J，N(l,e).

⑴求「的方程；

⑵若A8分別為「的上、下頂點(diǎn).。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/過(guò)「的右焦點(diǎn)尸與「交于C,。兩點(diǎn)，

與y軸交于尸點(diǎn).

①若E為O的中點(diǎn)求點(diǎn)E的軌跡方程；

②若A。與直線8c交于點(diǎn)°,求證。尸為定值.

【答案】(l)[+y2=l⑵①彳2-工+2y=0(彳*1)；②證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)離心率e=￡以及兩點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)造方程組即可求得「的方程；

a

(2)①聯(lián)立直線和橢圓方程并利用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)E的表達(dá)式，再利用斜率公式可得E

的軌跡方程；

②對(duì)直線斜率以及兩點(diǎn)位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)點(diǎn)共線時(shí)斜率相等整理變形可得

做=-1，即可求得OPOQ=-飯=1,為定值.

【詳解】(1)設(shè)r的焦距為設(shè),則e吟則M已。m,

21「2

將N代入橢圓方程可得品a=1,與+鼻=1,可得，=1；

acaab

22

又/=b+c,

解得。=>/2,b=l,c=l,

所以r的方程為］+y2=l.

(2)①由(1)知F(1,O),由題意知直線1的斜率存在,

故設(shè)1的方程為y=k(x—l),Ca，x),D(%,%),E(x,y),如下圖所示:

_Iy2_1

聯(lián)立2,一，消去y并整理，得（1+2/卜2一4左2%+2/-2=0,

y=A:（x—1）

所以》+"（-）="（百4"2一21>一2k

所以x=A±^=^^,y=2i±A=__J,所以x=_2外,

21+2/，21+242

又左=?，%wl,所以x=-2?y-y,

x-\x-\

化簡(jiǎn)得d-x+2y2=O（xwl）,

即點(diǎn)E的軌跡方程為x2-x+2y2=0(x^1).

②證明：由(1)知4(0,1),8(0,—1),由(2)①知尸(0,—兀),

當(dāng)左=0時(shí)，C,D分別為『的左、右頂點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性知AC〃3D,不合題意，故左W0,

當(dāng)P異于A,B時(shí)，設(shè)。(%,%),

由A,Q,D三點(diǎn)共線，得工一二2^,由B,Q,C三點(diǎn)共線，得

x2x0xxXQ

因?yàn)榕?。，

x{+x22k

兩式相除，得迎生=%%=依無(wú)2+（1-%）々

八'%一1%%一玉芯（也一女）一百2%2一（k+1）玉

k*2-\

左?^^（占+々）+（1-左）超（X]+x）+（l-^）x

2k222

k2-l

（玉+%2）-。+%）石（再+彳2）-（1+左）玉

2k2

（42_1）菁_（左_1）2%_（左一1）［（>+1）丁一（左一1）々］_l-k

_（1+左）~尤［+優(yōu)2_1）々_（后+1）［（k+1）玉_（左一l）%］k+1

解得什o=-1.所以O(shè)POQ=-Ay（）=1，為定值,

當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，P（0,1）,Q（0,1）,OPOQ=1,

當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，P（0-1）,Q（0,-1）,OPOQ=1,

所以O(shè)POQ=1,為定值.

3.記橢圓￡:二+工=1的左，右頂點(diǎn)和左，右焦點(diǎn)分別為A，4，4,F,,尸是E上除左

43

右頂點(diǎn)外一點(diǎn)，記P在E處的切線為/,作直線4打〃尸片交/于點(diǎn)&,作直線4鳥(niǎo)〃尸鳥(niǎo)交/

于點(diǎn)&，記直線A居與的交點(diǎn)為Q.

⑴求點(diǎn)Q的軌跡方程;

（2）求|。周;

22

⑶求四邊形A禺&&面積的最大值.附：橢圓|y+%=l（a>b>0）在點(diǎn)尸（加,〃）處的切線為

等+*1（P在橢圓上）.

22_

【答案】⑴］+卷=1（》*±4）⑵|。周=2（3）3君

【分析】⑴設(shè)點(diǎn)P（xo，y0）,聯(lián)立直線4用和&&的方程求出。（2%,2%）,則

代入?+。=1，可以得到點(diǎn)Q的軌跡方程.

（2）運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式得到|PFi|,|「局，104,1，\QA,\,求出AQ：y=A+2后；求出

/c「4、\PF\\MF.\..

田-1,@,求出/匕,0）結(jié)合初中幾何結(jié)論渦t=篙，求|網(wǎng)即可.

（3）由（2）同理可求得|然|=2,將四邊形4N&4轉(zhuǎn)化為△QA4,△。穴述2的面積之差,

結(jié)合余弦定理和基本不等式求解即可.

22

【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P（x0,yo）,則/w±2,則至+』L=i.

43

由題知，直線4用的方程為尤=口〉-2,

%

直線4%的方程為X=9y+2,聯(lián)立直線和4鳥(niǎo)的方程有Q（2x0,2%）,

%

設(shè)Q（xy）,則與=；,%=與代入五+近=1,得到《+$=1,

''202431612

22

???點(diǎn)Q的軌跡方程為標(biāo)+女=l（x2±4）.

（2）|尸耳|=J（x（）+1）+*=Jx：+2x0+1+3—IX；=［（x（）+4）,

同理可得|PB|=g（4-尤0）,1ali=4+x0,|以|=4-%，

由對(duì)稱性，可設(shè)%>。，％=。時(shí)，則。（0,2道），AQ:y=&+26；

所以R"-1,6），此時(shí)|。周=2；%片。時(shí)，由對(duì)稱性可設(shè)%>0,

（4）|P用幽

設(shè)1與x軸交于點(diǎn)M,則M一,0由初中幾何有，y

（七）HI'

代入有|A周=2+5，此時(shí)|QN|=2.綜上所述，I。周=2.

（3）由（2）同理可證明|。4|=2,記四邊形A內(nèi)&4,△QA4,△。我內(nèi)的面積分別為風(fēng),

S],S2,

則S0=S「S?=；（|QAI|Q4H0周|0勸sinZAQA,

由前面知，風(fēng)=?|。&|。闋一4六畝/4尺&，|QA||Q4區(qū)/」=16,

當(dāng)且僅當(dāng)x0=o時(shí)取等；在△QA4中，有COS/4Q41AA0+麻一4闋

2%。|也。

241/?

代入數(shù)據(jù)有cos/AQA=16.2-1Nsin，AQ4&y-，

當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)取等，.〔S。=；（|QA||Q4|-4卜inNA?4W3省,

當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)取等.

綜上所述，四邊形4片&4面積的最大值為3VL

22

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，橢圓C：二+乙=1的左焦點(diǎn)為為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)

95

（異于左頂點(diǎn)），定點(diǎn)。，|,0）在無(wú)軸上，點(diǎn)尸滿足呼=2P￡>，直線EP與橢圓c交于AB

⑴求點(diǎn)尸的軌跡方程；

（2）證明：尸為A3中點(diǎn).

【答案】（i）（x+iy+竽=1（尤~2）⑵證明見(jiàn)口

【分析】（1）設(shè)P（x,y）,由EP=2PD，可得點(diǎn)E坐標(biāo)，代入橢圓方程即可；

（2）分析可得斜率存在，得出直線方程，聯(lián)立橢圓消元后可得一元二次方程，根據(jù)根

與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)即可得證.

【詳解】（1）設(shè)P（x,y）,由呼=2P￡>且可知E（3x+3,3y）,

因?yàn)镋在橢圓上且異于橢圓左頂點(diǎn)，所以3x+3w-3,且包苴+@￡=i，

95

所以點(diǎn)P的軌跡方程為（x++容=1（力-2）；

（2）證明：易知直線A3的斜率存在，設(shè)直線AB:y=%（x+2）,

y=左（冗+2）

將直線方程與橢圓。的方程聯(lián)立，工22,

——+—=1

化簡(jiǎn)得（93+5b2+36Hx+36k2-45=0,所以+/=，

yK?D

y=Z（%+2）

將直線方程與點(diǎn)尸的軌跡方程聯(lián)立，/遂9y2，

（x+l），子=1

化簡(jiǎn)得（9獷+5b2+（36/+10）X+36/=0,

即（x+2）［（9公+5）x+18k［=0,解得馬=一^^,

因?yàn)樾?/血，所以尸為A3中點(diǎn)，原命題得證.

?2,.21

5.已知橢圓E：3+斗=1（.>6>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40,離心率為；,M（2,0）,N（-2,0）.

⑴求橢圓E的方程；

⑵過(guò)尸（4,0）作一條斜率存在且不為0的直線/交E于A,2兩點(diǎn).

（i）證明：直線AM和直線的斜率均存在且互為相反數(shù)；

（ii）若直線AM與直線3N交于點(diǎn)。，求。的軌跡方程.

【答案】（1）［+1=1（2）⑴證明見(jiàn)解析；（ii）9=1（尤X2,尸0）

【分析】（1）根據(jù)已知條件直接計(jì)算出橢圓相關(guān)基本量即可；

（2）（i）設(shè)A（x1,yi）,B（x2,y2）,直線/的方程為y"（x-4乂心0）,聯(lián)立方程組,利用韋

達(dá)定理證明；（ii）設(shè)直線，直線：伍+2）y=%（x+2）,聯(lián)立方程組得馬=&，%=?我，

七不

采用代入法可得。的軌跡方程.

【詳解】（1）根據(jù)題意，2a=40

1c1

因?yàn)闄E圓離心率為1，所以e=—=彳，

2a2

所以c=5/2，b=y/a2—c2=6，

所以橢圓的方程為!+二=1;

86

(2)(i)設(shè)A(x1,yi),B(x2,y2),直線/的方程為y=k(x-4乂b0),

y=^(x-4)

聯(lián)立方程/2消去y得：(3+4左2_32k2x+64k2-24=0,

—+—=1

[86

則A=96(3—4/)>0,即閃<#,

i4i*、4?小工田7曰32k264左2-24

由韋達(dá)定理得，％1+%22=--------7，%［?％2=---------廠，

3+4左2123+4左2

當(dāng)網(wǎng)二日時(shí)，A=0,%=々=2,不合題意，故工產(chǎn)2,%2。2,

所以直線AM和直線的斜率均存在，心〃=』7?3=上7,

玉一2x2-2

左（玉_4）（%2_2）+k（x2—4）（玉—2）

所以％A?+原時(shí)=會(huì)+上=

（玉-2）（々-2）

左［2玉?％2-6（玉+元2）+16］%（128%2-48-6?32%2+16（3+422））

%人-2（X1+X2）+4（3+4左2）（玉.%2—2（%+々）+4）

即直線AM和直線BM的斜率均存在且互為相反數(shù)；

（ii）由（i）知/。2,>kAM=-kBM=,

2-X2

可設(shè)直線AM:（2-%2）丁=J2（X-2）,直線BM:（x2+2）y=%（x+2）,

（%2—2）%=-%（%o—2）%%=2%①

設(shè)。(%,%)，則整理得

（電+2）%=%（%+2）.%=2%%

由題意知％W。，由①知先工。，％0工。，

所以由①知，x2=—,yi=-@,

%%

將②代入［+》=i得怖+需=i,化簡(jiǎn)得］一4=1,

又因?yàn)樯?片2,所以不片2,

22

所以。的軌跡方程為5-3=1口/2,丫*0).

6.已知橢圓C:：y』，過(guò)C外一點(diǎn)尸作C的兩條切線分別交x軸于小兩點(diǎn).

⑴記IJ的傾斜角分別為4M.若tanq?tan%=-2,求尸的軌跡方程.

（2）求..AB尸面積的最小值.

【答案】（1）2元?+/=9（"±2）（2）4

【分析】（1）設(shè)尸（%,%）,過(guò)點(diǎn)尸直線方程設(shè)為、-為=左5-%），聯(lián)立直線與橢圓方程，

利用判別式為0,結(jié)合韋達(dá)定理，求解點(diǎn)P軌跡方程.

（2）根據(jù)點(diǎn)斜式可得A,8的坐標(biāo)，即可根據(jù)三角形面積公式得表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理，以

及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.

【詳解】（D設(shè)P5,%）,過(guò)點(diǎn)尸直線方程設(shè)為>-%=朗》-%）.

y=kx-(kx0-y0')

由V爐2解得1+左2)/一2女(此一%)%+(■-%)?-1=0.

=1

相切n△=4/(而°_-(1+4/)3一%了-1]=o.

化簡(jiǎn)得：(4-尺)左2+2%為4+1-y：=0.

k&=tang].tan%=--=一2n2%；+y；=9,

4—不

???點(diǎn)軌跡方程為2爐+/=9(xw±2).

（2）由（1）知：直線尸AP3的斜率％i，%2滿足（4一%）左之+2%0>0左+l—y：=。,

"+2三皆，2=€

4人o4—%0

在直線V-%中，令y=0,貝1|3-學(xué)+兩，

K

因此人(-4+%0,04+%0,0,

I勺JIk2)

故用一A七一鏟

“11入2/22KlA2Kl

所以

1J-4+$+4y>2y^

當(dāng)且僅當(dāng)%=0,%=士點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)，故面積的最小值為4.

7.已知點(diǎn)A在曲線C:土+二=1上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)B滿足04=008，記動(dòng)點(diǎn)8的

86

軌跡為r.

（1）求r的方程;

（2）設(shè)r的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸且斜率不為。的直線/交橢圓「于尸,。兩點(diǎn)，若板與x軸垂

直，且M是MB與r在第一象限的交點(diǎn)，記直線與直線MQ的斜率分別為左,網(wǎng),當(dāng)

尢+佝=0時(shí)，求aMPQ的面積.

【答案】⑴工+匯=1（2）至

438

【分析】（1）設(shè)2（羽田,4（/，以），根據(jù)。4=應(yīng)08,把B點(diǎn)的坐標(biāo)用A點(diǎn)的坐標(biāo)表示，再

22

代入曲線C:二+匕=1即可得解；

86

（2）設(shè)直線/的方程為x=%+l（mwO）,P（叫+1,必）,。（〃少2+L%），聯(lián)立方程，利用韋達(dá)

定理求出%+%，%%，再結(jié)合《+網(wǎng)=。可求出機(jī)，即可得直線/的方程，進(jìn)而可求出三角形

的面積.

【詳解】（1）設(shè)B（x,y）,A（XA，%）,因?yàn)辄c(diǎn)A在曲線C:二+3=1上,

86

所以立+近

1,

86

XA=y/2x

因?yàn)椤?=夜。8,所以＜

f

yA=^y

代入E+比=1可得巫11+由正=1,

8686

即土+工=1,即「的方程為L(zhǎng)+二=1；

4343

（2）由（1）知，r的右焦點(diǎn)為尸（i,o）,

令x=l,則:+：=1,解得>=土］,所以A/101,

據(jù)題意設(shè)直線/的方程為x=：畋+1（〃2/0）,尸的）\+1,芳）,。（沖2+1,%），

_3_3

則左-y'~22V.-3/2-22y-3,

/v|,“k22

my12my{my22my2

于是由尢+自=0得2十y—一3+2T必—一3=0,

2my12my2

化簡(jiǎn)得4%必=3（乂+%）（*），

x=my+1,

消去x整理，得（3利2+4）/+67到一9=0,

3x2+4y2-12=0'

22

A=(6m)+36(3療+4)=144(//1+1)>0,

由根與系數(shù)的關(guān)系得…「3加--高

18m36

代入（*）式得:解得m=2,

3m2+43m2+4

所以直線/的方程為1—2y—1=0,

2

方法一：A=144(2+1)=720,^+72=一:，%%=一77，

416

所以|P0=J1+2?，(必+%)2-4%%二百x+二,

1—2X--1r-

點(diǎn)可到直線/的距離2__3。5,

J]+(-2)25

[13

方法二：由題意可知SMPQ=SMPF+SMQF=-|MF||xp-xe|=-|xp-xe|,

工一2丫一1=0代入3/+4：/-12=0消去',

得4，-2X-11=0,

所以A=(_2)2_4x4x(_n)=]80>O,4+q=J,Xpq=_t<0,

所以Supouljx..qb]“辱+x°)_4xpX°=|x+?=券?

8.已知曲線C上的點(diǎn)p(x,y)滿足J尤2+(y+1)2+7x2+(y-l)2=2V2.

⑴化簡(jiǎn)曲線c的方程；

⑵己知點(diǎn)A(TO),點(diǎn)川-跖0),過(guò)點(diǎn)卜川的直線/(/斜率存在)與橢圓C交于不同

的兩點(diǎn)直線4W,4V與V軸的交點(diǎn)分別為RQ,證明：三點(diǎn)在同一圓上.

【答案】(1)/+《=1⑵證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)已知曲線方程，進(jìn)行移項(xiàng)平方，化簡(jiǎn)的方法，即可得曲線C的方程；

(2)設(shè)直線/的方程，并聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而表示點(diǎn)尸，。的坐標(biāo)，

從而可得以尸。為直徑的圓的方程，并化簡(jiǎn)，求出該圓與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)由題意知曲線C上的點(diǎn)P(X,y)滿足&2+(y+1)2+收+(y-1)2=20，

則Jx?+(y+l)2=20-y/x2+(y-l)2,

故x?+(y+l)2=8-4^2-y/x2+(y-l)2+x2+(y-l)2,

y—2=—V2-yjx2+(_y—I)2，故(y-2>=2[x-+(y-1)~],

2

即2/+9=2,即化簡(jiǎn)曲線C的方程為尤2+5=1；

(2)證明：由題意知直線/斜率存在，故設(shè)>=/+；),聯(lián)立尤2+亡=1,

得(左？+2)無(wú)？+左2尤+；%2-2=0,

由于直線I過(guò)點(diǎn)而點(diǎn)在橢圓f+；=i內(nèi)，故必有公＞0,

-k2-i

設(shè)加（石，%）?。?2，%），則r一k?4

12=x,x2=----

"F7212e+2

直線AM的方程為照房（x+1）,直線AN的方程為"言（x+1）,

令x=0,可得20,已）,。（0,4），

xx+1x2+1

故以p。為直徑的圓的方程為

2玉+1x2+14玉+1x2+1

即x2+y2-（-上+」My+上上=0,

玉+1x2+1玉+1x2+1

111

k9（X|++5）k9[石/+—（玉+馬）+

而工2

玉+1x2+l玉玉+%+1+玉+%+1

-k2-2.

k2山一6,

k2[4-----+-（-

r+22F+2

OSk2

+1

F+2-F+2

即以P2為直徑的圓的方程為一+4點(diǎn)+加）i一。,

令y=o，貝U—6=o,「.x=±J^,

即〃卜布,0）在以PQ為直徑的圓上，故H,P,Q三點(diǎn)在同一圓上.

9.橢圓總+丁=1上有動(dòng)點(diǎn)P,點(diǎn)片，尸2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，求W鳥(niǎo)的重心M的

軌跡方程.

2

【答案】*+千=1（"0）

9

【分析】根據(jù)重心坐標(biāo)公式以及相關(guān)點(diǎn)代入法求出M的軌跡方程.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P，M的坐標(biāo)分別為（餐,兀），（x,y）,

,?在已知橢圓的方程中，a=3,b=l,

??c=J'9-1=2,\/2,

則已知橢圓的兩焦點(diǎn)為耳（-272,0）,F2（2A/2,0）.

?.二尸百乙存在，；.〉尸0.

%+卜2@+2忘

X-%=3%,

由三角形重心坐標(biāo)公式有3即

y+0+0%=3y

<yw0,二?"0.

???點(diǎn)P在橢圓上，，式+犬=1,

9'

,（3x）2

.?玩-+（3>）=l（y/0），

,2

故/耳工的重心M的軌跡方程為/+丁=1（k°）.

9

10.已知點(diǎn)尸，。是圓。：爐+,2=6上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線OP與0。的斜率都存在且滿足

kopk（）Q—幾.

⑴當(dāng)〃=-1時(shí)，求尸。的中點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）當(dāng)〃=-彳時(shí)，橢圓°：與+左=ig〉b>o）與動(dòng)直線尸。恒相切，求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2ab

【答案】⑴龍2+/=3k±§（2）三+匕=1

I2J42

【分析】（1）先根據(jù)七判斷出△OPQ為等腰直角三角形以及點(diǎn)P,Q的限制條件，

求出=再利用兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)可得到點(diǎn)M的軌跡方程.

（2）根據(jù)條件對(duì)直線PQ的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論.當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)出直

線方程；先與圓的方程聯(lián)立，由電得到4右一2=77?；再與橢圓方程聯(lián)立，由橢圓

與動(dòng)直線PQ相切得至1」/%2+廿="2；最后兩式聯(lián)立求出a,b的值，得到橢圓方程.當(dāng)直線

PQ的斜率不存在時(shí)，列出關(guān)系式求出直線PQ的方程，易判斷直線PQ與橢圓相切.

【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M（x,y）,尸（%,%）,。（孫為）.

如圖所示:

.點(diǎn)P,Q是圓。：/+;/=6上的兩個(gè)點(diǎn)，直線OP與0Q的斜率都存在.

OP=OQ=-\/6,不+X,片i>/6.

；當(dāng)〃=_］時(shí)，*及。=-1

???OPLOQ,△OPQ為等腰直角三角形.

「點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)

.?.在△OPQ中|OM|=#x"=6，

22

???由兩點(diǎn)間距離公式得,Jx+y=6，其中x=與歪w土半，

B|J%2+y2=3x^+^~.

所以PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為f+/=3,片土乎.

k27

（2）由題意得：當(dāng)〃二一5時(shí)，kOPkOQ=

當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為丁="+根（人工。）,尸（石,另）,。（%2，%），如圖

y=kx+m（、、、、

聯(lián)立方程組j+y2一6，消去y可得：k+1）尤+2A?a+機(jī)—6=0.

△1=4%2_4（22+1）（加2_6）=24k2-4療+24>0

2km

X.+x=------

則12%2+1

m-6

國(guó)九2二—；---

.12廿+1

-=（腦+加）（優(yōu)+加）=/左21]

），化簡(jiǎn)得：4k2-2=府.

..KopK。?！獈——2~7~

玉一。%2-0玉々機(jī)一6

y=kx+m

聯(lián)立方程組/,2,消去y可得：左2+/）/+2（^kfWC+#1T^—//—0,

17+

直線PQ與橢圓C恒相切,

/.4=4/公小2_4（〃2左2M2_.2/）=0,化簡(jiǎn)得/左2+〃=機(jī)2

4k2+2=a2k2+b2,

■4〃+2=片左？+/對(duì)任意的女都成立,

/=4萬(wàn)=2,

22

???橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+匕=1.

42

xx=x2

%=%

當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，＜項(xiàng)2+%2=6，解得國(guó)2=4,此時(shí)直線PQ的方程為x=±2,

j_

kopkoQ=

x{x22

22

顯然直線PQ與橢圓C：?+與=1相切.

22

綜上可得：橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1.

42

題型二：雙曲線的軌跡方程問(wèn)題

11.已知直線/：丁=履+/與雙曲線C：]-v=i相切于點(diǎn)。.

⑴試在集合孝，弓,1,中選擇一個(gè)數(shù)作為上的值，使得相應(yīng)的f的值存在，并求出相應(yīng)

的f的值;

⑵過(guò)點(diǎn)。與/垂直的直線/'分別交蒼'軸于A,2兩點(diǎn)，P是線段A8的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方

程.

【答案】（1）當(dāng)％=變時(shí)，-0；當(dāng)上=噂時(shí)，/=±也；當(dāng)左=1時(shí)，”土1.

222

，y29（）

⑵廠》獲*土3丁0）

【分析】（1）直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，由A=0求得上與/的函數(shù)關(guān)系，再由左的值求出

相應(yīng)的f的值；

（2）設(shè)2（根,〃），利用導(dǎo)數(shù)求直線/的斜率，得直線/'的斜率和方程，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo),

表示出分點(diǎn)尸的坐標(biāo)，由Q（w）在雙曲線上，得點(diǎn)尸的軌跡方程.

v_

【詳解】（1）由《2,2=一1，消去y得（2左2-l*+4依+2/+2=0,

y=kx+t

由公=-16左2+8/+8=0,得2左2=產(chǎn)+1,當(dāng)"=￡時(shí)，/不存在；

當(dāng)％=也時(shí)，rwO；當(dāng)后=中時(shí)，t=+—＞當(dāng)左=1時(shí)，r=±l.

222

（2）設(shè)。（九九），貝m2=2n2+2.

Y

對(duì)c求導(dǎo)可得x-2y.y=o,則y'=E，

有品=一為=一?,所以/':,一〃=_&（%一機(jī)），

xmm

則相=:與,〃=;兀,所以才+2,得,=￥+，無(wú)。。,

33yV2o

2Q(3萬(wàn)

即P的軌跡方程是f-3=Jxw土學(xué).

2814J

12.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知雙曲線加：片->2=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1),點(diǎn)3與點(diǎn)A關(guān)于

m

原點(diǎn)對(duì)稱，C為"上一動(dòng)點(diǎn)，且C異于A,8兩點(diǎn).

⑴求M的離心率；

(2)若4臺(tái)^^的重心為人一點(diǎn)^岱⑷，求口刀的最小值；

(3)若小BCT的垂心為A,求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程.

【答案】⑴半⑵0(3)苒一9=1(去除點(diǎn)(一2,±1),(2,-1)).

【分析】(1)將點(diǎn)4(2,1)代入雙曲線的方程求出加值，即可求得〃的離心率；

(2)根據(jù)三角形的重心公式求得動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出陷刀的最小

值；

(3)根據(jù)原廣原7,k=1求動(dòng)點(diǎn)7的軌跡方程.

【詳解】⑴因?yàn)殡p曲線M:二72=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1),所以3-1=1,解得加=2,

mm

所以Af的離心率e-Jl+4=Jl+g=,

(2)易知5(-2,-1).設(shè)。(%o，%),T(x,y).

-+/-2_O

a-,fx--8-x

因?yàn)锳BCT的重心為A,所以?，解得°

y+%T=11%==4-y'

13

因?yàn)槲逡粂；=l,所以場(chǎng)―-(4一y)2=l,即(X-8)2=2+2(y-4)2.

22

[x^6[x^lO

因?yàn)锳,B,C不共線，所以。且

["3["5

所以T的軌跡不含(6,3),(10,5)兩點(diǎn).

故口T|=J(x-8)2+(y_4)2=j2+3(y-4)2>72,當(dāng)且僅當(dāng)y=4時(shí)，等號(hào)成立,

即|。刀的最小值為JL

(3)因?yàn)槿藶榘薆CT的垂心，所以AT_L3C,3T_LAC,

設(shè)c?，%)，T(x，y)，

當(dāng)直線BC或AC的斜率為0時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,-1)或(-2,1),

此時(shí)點(diǎn)T與點(diǎn)C重合，不合題意，舍.

當(dāng)直線BC或AC的斜率不為0時(shí)，直線AT與3T的斜率存在,

則kAT'kBC=kBT-Kc=T，

由(2)知號(hào)一y；=l,則y；-l=才一2,

貝k=%+]%_]尤_].(”―)j.

ACBC-

~x0+2x0-2"xj-4考-4-2

因?yàn)镵?■?原廣心廠的。=1，所以心廣凝r=晨」廠=2,

加=二j==，則二?二=2,得>2-1=2/-8,

x—2x+2x+2x-2

22

則2上x(chóng)一V上=1,因?yàn)槊馛T構(gòu)成三角形，故B不能在軌跡上，

77

,22

綜上，動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程為會(huì)-5=1(去除點(diǎn)(一2，±1)，(2，一1)).

13.已知點(diǎn)A是雙曲線C:己-三=1的上頂點(diǎn).

42

(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(虛,1),延長(zhǎng)A3交雙曲線于點(diǎn)。，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)雙曲線C與直線l:y=kx+m(k^±逝)有唯一的公共點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸且與/垂直的直線分別

交x軸，y軸于M(x,O),N(O,y)兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q(x,y)的軌跡方程.

【答案】⑴，孚與(2)合嘖=1("0)

<。/yio

【分析】(1)求出直線AB的方程，聯(lián)立雙曲線方程，求出加=個(gè)，進(jìn)而求出租，得到點(diǎn)。

的坐標(biāo);

2k4

（2）聯(lián)立/與雙曲線方程，由A=0得到2獷+蘇=4,求出尸和過(guò)點(diǎn)P且與/垂直

mm

的直線方程，表達(dá)出”（x,O）,N（O,y）的坐標(biāo)，結(jié)合2產(chǎn)+療=4得到軌跡方程，注意ywO.

【詳解】（1）由題意得人（0,2）,

故直線A3方程為三=上淮，即x+應(yīng)v-20=O,

2-10-壺

22

聯(lián)立X+0-20=0與--土=1得-3y2+16)-20=0,

42

由韋達(dá)定理得2%=弓，解得知=5,

故冗0=20-0%=-W則點(diǎn)。的坐標(biāo)為/f，9;

3133J

22

(2)聯(lián)立/:y=日+機(jī)(左。土形)與——土=1得，

42

(k2—2)x2+2kmx+m2—4=0,

k手土血，由A=4左2/_4伏2—2）（加2—4）=0,解得242+4=4,則相。0,

_-km_—km_2k

72k2k2+H12

又尸k2-2m2m，y=k-----\-m=

Pmmm

（2k4]

故P一,一,由題可知上wO,

mmJ

過(guò)點(diǎn)尸且與/垂直的直線方程為y-3=-；（x-如l即y=-1x+g,

mk\mJkm

令尤=0得y=g,令y=0得無(wú)=竺,

mm

66,mx6xx

因?yàn)閥=一,所以加=一，故々=w=_.￡=_，顯然ywO,

my6y6y

r236

代入242+根2=4中得2=十三二4,

yy

22

化簡(jiǎn)得2y2一元2=18,即（_一言=i（〉#o）；

14.已知過(guò)點(diǎn)尸（2,0）的直線4與雙曲線C：*-y2=i的左右兩支分別交于A、8兩點(diǎn).

（1）求直線乙的斜率k的取值范圍;

⑵設(shè)點(diǎn)&/，%）&*2y）,過(guò)點(diǎn)。且與直線4垂直的直線4,與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn).

當(dāng)直線4變化時(shí)，身畫(huà)一看西恒為一定值，求點(diǎn)。的軌跡方程.

【答案】（1）-理<k<亞⑵Y-2y2=4

22

【分析】（1）當(dāng)人=0時(shí)，顯然符合題意，當(dāng)人聲0時(shí)，設(shè)直線乙的方程為x=少+2,其中

|A=8r2+16>0

f=1,設(shè)A?,%）、3（羽,巴），聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、依題意可得產(chǎn)-2x0

k?

%%>0

即可得到不等式求出左的取值范圍，即可得解;

2r+1

（2）由（1）知，因?yàn)閨到.網(wǎng)=十—『，設(shè)Q（%為）,則直線4的方程為可產(chǎn)%）,

F-2|

設(shè)M（x,,%），N（z，yJ,聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元，即可表示出畫(huà)耘所，從而表

不出網(wǎng)彳閑一@7口函，即可得至小片一2y；一斗=2時(shí)，網(wǎng)府曠何麗函為定值，從

而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

【詳解】（1）當(dāng)左=0時(shí)，顯然符合題意，

當(dāng)人r0時(shí)，設(shè)直線4的方程為x=少+2,其中/=：,設(shè)4（/yJ、35,羽），

k

與雙曲線方程聯(lián)立可得（『-2b2+4ry+2=o,

A=8r+16>0-4/

…="2

因?yàn)橹本€4與雙曲線交于不同的兩支，所以<「-2片。，又?

2

*當(dāng)>°“J

211/y

所以「7>。，解得->2,即>2,所以產(chǎn)〈”且太r0,解得-——〈左＜0或0＜女＜

t-2k7T222

綜上可得當(dāng)

2（?+1）

（2）由（1）知，因?yàn)閨以|.|尸理=（/+1）|%%|=*一A

F-2|

、1_R

所以網(wǎng)