重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高三4月高考模擬監(jiān)測（一）數學試題

重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高三4月高考模擬監(jiān)測（一）數學試題

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

1.已知集合M={0,l,2},N=國/-3久<0},則MUN=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}

C.{x|0<%<3}D.{x|0<%<3]

2.若i為虛數單位，復數z=k，則2=（）

I

A.-1+iB.-1—iC.1—iD.1+i

3.已知等比數列{an}的前n項和為Sn,ai+a?=12且ai，ci2+6,a?成等差數列，則等為（）

A.245B.244C.242D.241

4.洪崖洞是具有重慶特色的吊腳樓式建筑，它的屋頂可近似看作一個多面體，右圖是該屋頂的結構示意圖，其

中四邊形ABFE和四邊形DCFE是兩個全等的等腰梯形，AB//CD//EF,△EAD和^FBC是兩個全等的正三角

形.已知該多面體的棱BF與平面4BCC成的角45。，4B=20,BC=8,則該屋頂的側面積為（）

A.80B.80V3C.160D.160V3

5.數學美的表現形式多種多樣，我們稱離心率e=3（其中”=與1）的橢圓為黃金橢圓，現有一個黃金橢

圓方程為烏+喧=1,（a>b>0）,若以原點。為圓心，短軸長為直徑作。?！簽辄S金橢圓上除頂點外任意一

2

點，過P作O。的兩條切線，切點分別為4B,直線AB與軸分別交于M,N兩點，則湍平+^nR=（）

11

A.—B.（x）C.-（A）D.-----

33

1%+y—220,

6.在不等式組卜-y-2W0,所確定的三角形區(qū)域內隨機取一點，則該點到此三角形的三個頂點的距離均大于

（y<2,

1的概率是（）

.7T兀_yn-7T

A.QB.4一2c.1-gD.1—4

7.已知sin29+cos。與cos26+sin。都是非零有理數，則在sin。，cos。，tan。中，一定是有理數的有（）

1

個.

A.0B.1C.2D.3

8.定義max(a,b]={，:j,min(a,b}={，'：]彳，對于任意實數%>0,y>0,則min{max{2x,3y,表■+值■}}

的值是()

A.V2B.V2C.V3D.V3

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。

9.已知a>0,b>0,且a+b=2,貝1j()

A.a2+b2>2B.1<2a~b<4

2

C.log2(i+log2b>0D.a—b>0

10.已知/(%)=A2+%加》+2,=/(%)—ex,貝!J()

A.函數7?(￡)在0,1]上的最大值為3

B.Vx>0,/(%)>2

C.函數gO)在(3,4)上沒有零點

D.函數g(X)的極值點有2個

11.已知雙曲線C:竽—產=1的左、右焦點分別為Fi，F2,左、右頂點分別為M,N,。為坐標原點，直線/

交雙曲線C的右支于P,Q兩點(不同于右頂點)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于4B兩點，則()

A.德.赤為定值

B.\PA\=\BQ\

C.點P到兩條漸近線的距離之和的最小值為魚

D.不存在直線1使而?麗=0

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知正三角形4BC的邊長為2,點O滿足加=小刀+n區(qū)，且m>0,n>0,2m+n=1,則|而|的取

值范圍是.

13.從教學樓一樓到二樓共有11級臺階(從下往上依次為第1級，第2級，…，第11級)，學生甲一步能上

1級或2級臺階，若甲從一樓上到二樓使用每一種方法都是等概率的，則甲踩過第5級臺階的概率是.

14.若函數/(%)=%]-(m-l)e2x存在唯一極值點，則實數m的取值范圍是.

四'解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟。

15.如圖，在圓錐。。中，。為圓錐頂點，為圓錐底面的直徑，。為底面圓的圓心，C為底面圓周上一點，

四邊形。4ED為矩形.

2

(1)求證：平面3CD_L平面/CE；

(2)若AE=a,AC=2,BC=2B，求平面4DE和平面CDE夾角的余弦值

16.已知幕函數/(%)=久病-2?1-3(巾ez)為奇函數，且在區(qū)間(0,+8)上是嚴格減函數.

(1)求函數y=f(%)的表達式；

(2)對任意實數久e[Q],不等式/(x)〈t+4x恒成立，求實數/的取值范圍.

17.三峽之巔景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票.為提高服務水

平，現對當日購票的120人征集意見，當日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數分別為36、60和24.

(1)若按購票類型采用分層隨機抽樣的方法從這120人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，

求隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率.

(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的

加(小〉2且znCN*)人組成一組，負責人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該

組標為否則該組標為8,記詢問的某組被標為3的概率為p.

(i)試用含加的代數式表示必

(ii)若一共詢問了5組，用g(p)表示恰有3組被標為B的概率，試求g(p)的最大值及此時機的值.

18.已知橢圓噎+餐=l(a〉b>0)的左、右頂點分別為A,B,C(a,V/D(—a,應b)，直線AC的斜率為，

3

直線AC與橢圓E交于另一點G,且點G到%軸的距離為小

（1）求橢圓E的方程.

（2）若點P是E上與點4B不重合的任意一點，直線P&PD與無軸分別交于點M,N.

①設直線PM.PN的斜率分別為理的，求|笛芻■］的取值范圍.

②判斷|4M|2+|BN|2是否為定值.若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由.

19.重慶江北國際機場T3B航站樓預計于今年完工，該建筑的顯著特點之一是彎曲曲線的運用，衡量曲線彎曲

程度的重要指標是曲率.考察圖所示的光滑曲線C：y=/O）上的曲線段卷，其弧長為As,當動點從/沿曲線段

部運動到8點時，/點的切線心也隨著轉動到8點的切線M，記這兩條切線之間的夾角為△，（它等于％的傾斜

角與駿的傾斜角之差）.顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則

彎曲程度越大，因此可以定義R=|黑|為曲線段崩的平均曲率；顯然當8越接近/,即As越小，K就越能精

確刻畫曲線C在點/處的彎曲程度，因此定義曲線y=f（無）在點。/（嗎）處的曲率計算公式為K=瑞|=

1―3-其中t(X)=/'(%).

(1+[/(切2)2

（1）求單位圓上圓心角為60。的圓弧的平均曲率;

（2）已知函數/（%）=/（久〉0）,求曲線y=/（%）的曲率的最大值;

(3)已知函數g(%)=6x12lnx—2ax3—9%2^(%)=2xex—4ex+ax2,a￡(0,工)，若曲率為0時x

Y28

的最小值分別為孫孫求證：…

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：由/一3%<0,得到0<x<3,所以N={xiO(久<3},又因為M={0,1,2},

所以MUN={X[0WK<3}.

故答案為：C.

【分析】先求出集合N={%||<%<3},再利用集合的并集定義，即可求解.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：因為2=要=0要=二畢=1一i,所以2=l+i

II乙—1

故答案為：D.

【分析】先化簡復數，再根據共輾復數定義求解即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：設等比數列的公比為q,ai+a2=a.+aiq=12

貝期+a1q2=2a1q+%+a1q,得q=3,

所以登=~5

內。](;1焉-33)、=1—3，=1+3=244

--1=3-

故答案為：A.

【分析】先根據等比數列通項公式聯(lián)立方程組求公比，再代入等比數列的前n項和公式即可求解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖，過點F作FO1平面ABCD,O為垂足，作FN1AB于點N,連接OB,ON,

C

貝此FBO=45。，BC=BF=8,所以OF=OB=4V^.

在直角三角形FON中，易知ON=4,所以FN=4g，所以在直角三角形FBN中，BN=舊一(4可=生

EF=20-2x4=12?所以S梯形4BFE=+20)久4v5=64v5，S^FBC=字x82=16V3

，■該屋頂的表面積為2x(64舊+16V3)=160V3.

故答案為：D.

【分析】過點F作FOJ_平面ABCD,0為垂足，作FN1AB于點N,連接OB,ON,找到棱BF與平面4BCD

成的角ZFBO=45。，求出梯形4BFE的底EF、高FN,求出梯形4BFE面積和△FBC面積即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：依題意有OAPB四點共圓設點P坐標為P(.x0,y0),

則該圓的方程為：+y(.y-yo)=°>將兩圓方程：/+y2=}2與

/一為r+y2-y0y=0相減，得切點所在直線方程為5：%%o+yyo-b2.

9』)+用一言=。解得用

聯(lián)立

+yyo=b

因為為苦+<=1,

22222222

b?a_bd_bx0+ay0_a2b2_a_1_2_1

所以|0M|2+\0N\2=巫+近=P=*=京=1-?J2=Ts-i=M.

~2-2

xoyo

故答案為：A.

【分析】根據題意O、A、P、B四點在以OP為直徑的圓上，可設點P坐標為PQo，yo),從而得出四點所在圓

的方程為%(%-%o)+y(y-yo)=。，利用兩圓方程之差求得切點A、B所在直線方程，聯(lián)立方程求得M、N

兩點坐標，代入橢圓方程即可.

則該點到此三角形的三個頂點的距離均不大于1的區(qū)域為三個扇形,

三個扇形的和是半圓，半圓面積s=g,所以三角形區(qū)域內隨機取一點，

則該點到此三角形的三個頂點的距離均大于1的概率：

71

P=1—2=1一工

r1418

故答案為：C.

【分析】畫出關于x,y的不等式組所構成的三角形區(qū)域，求出三角形的面積，再求出距三角形的三個頂點距

離小于等于的區(qū)域為三個扇形，三個扇形的和是半圓，求出半圓面積，利用對立事件概率計算公式和幾何概型

6

概率求法，即可求解.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：sin20+cosd==IsinOcosO—cos6=(2sin。+l)cosd,

cos20+sin。=1-2sin20+sin0=(1—sin0)(2sin0+1),

門1J(2sin0+l)cos0W01

劃1(1-sin0)(2sin0+1)WO'sin。Wl,sin。W2，cos。W0,

人］(2sin0+l)cos0=m

m,n為非零有理數，

—sin0)(2sin0+1)=n,

m_(2sin8+l)cos。_cose_吟力叫_l-tan2

五=(l-sine)(2sin0+l)=l-sin0=Cos|+sin1=1+tan^

當？n+n=0時，sin。=O,cos0=—1,貝！Jtan。=0,

當"后。時，解得tan3僦，令罌"則tan齊t,

a

Q_2tan_2t

由mn。0,解得t。土1,t為有理數，則sin。=2sin|cos2

21+tan2g1+t2

.…沙片需tan”告,

所以sinacosatan。均為有理數，綜上，在sinacosatan。中，一定是有理數的有3個.

故答案為：D.

【分析】先利用sin20+cos。與cos20+sin。都是非零有理數，化簡并求出滿足的條件sin。Wl,sin0W

i,cos0W0,然后令(2sin。+l)cos0=m,(l-sin0)(2sin0+1)=n,分別用m,n表示sin。,cos。,tan。，進而求

得sin。,cosatan。中一定是有理數的個數.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：設max{2久,3%白+虛}=M,根據max{a,b}的定義，

1111

得知22%9之337且“2菽^+荻，因為久〉0,y>0,砂+砂>°，

所以將以上三個不等式相乘，得

心6犯島+志)=招+縱因為養(yǎng)+肄2層費=2,

當且僅當薨+翁=1,等號成立，所以M322,即短，當且僅當2%=3丫=++康時，

M的最小值為冠.

11

綜上所述，min{max{2%,3y,猥十斤}}的值為正.

故答案為：A.

【分析】根據題意，設max{2%,3y,^^+￡^}=M,利用max{a,b}的定義，得不等式M之2%,MZ3y且M3

7

表+康，根據不等式的性質得M32養(yǎng)+留，再利用基本不等式即可求得M的最小值.

9.【答案】A,B

【解析】【解答】解：因為a>0,b>0,且a+b=2,所以缶+之處步=2,當且僅當a=b=l時取等

號，故A正確；

因為a>0,b>0,且a+b=2,所以。<a<2,0<b<2,-2<a-b<2,\<2a-b<4,故B正確；

由2=a+b22正瓦得0<abW1,當且僅當a=b=1時取等號，所以logza+log2b=log2(ah)<log2l=0,

故C錯誤；

因為a2—b=a2-(2—a)=(a+；)2—X，又—0<a<2,所以—2<a2—b<4,故D錯誤.

故答案為：A、B.

【分析】根據基本不等式可判定A正確，根據指數函數的單調性可判定B正確，根據基本不等式、對數運算及

對數函數單調性可判斷C錯誤，根據二次函數的性質可判斷D錯誤.

10.【答案】A,C

【解析X解答】解:因為/(%)=x2+xlnx+2,5(%)=/(%)—ex，所以f'(%)=2x+Inx+1應'(%)=2x+Inx+

1-e,

對于A：令h(x)=f(x)=2x+Inx+1(x>0),則/:'(%)=2+J>0恒成立，

所以f(x)在1］上單調遞增則/,(%)>/',(1)=1-ln4=3-產>0

所以f(x)在4，1］上單調遞增，所以=3,故A正確：

對于B：由選項A得h(x)=2x+Inx+l(x>0),則/i'(x)=2+￡>0恒成立，

112

所以h(x)在(0,+8)上單調遞增，又因為嗚)>0旗專)=￡一1<0,

所以孫e時，使得九⑸)=0,即2%0+lnx0+1=0，

當C(爰,K0)時，h(x)<0,即f(x)<0所以f(x)在(￡■,%())上單調遞減

當xw(出布時,h(x)>0,即f(x)>0當尢e(與④上單調遞增，

所以當X=X0時，f(x)取得極小值也是最小值，

2

/(久o)—久()2+xolnxo+2—%o+久o(—2%o—1)+2=—(%()+當+*'

所以/(與)>/6)=器，故B錯誤；

對于C：9(汽)=2%+/mx+1-e,當x￡(3,4)時，0,所以g(x)在(3,4)上單調遞增，

所以g(x)>g(3)=ll+3In3?3e>0,所以函數g(x)在(3,4)上沒有零點，故C正確.

對于D,若函數g(x)有2個極值點，則g〈x尸0有兩個實數根

8

、1

設m(x)=g'(%)=2%+Inx+1-e,[x>0),m'(x)=2+-(%>0),

因為當x>0時，m,x)>0,所以m(x)在(0,+oo)上單調遞增，即或x)在(0,+oo)上單調遞增,

所以g<x尸0在(0,+8)至多有1個實數根，故D錯誤.

故答案為：A、C.

【分析】根據f(x)研究f(x)在。，1]上的單調性，求出f(x)最大值即可判斷A正確；

求出f(x)的最小值，根據最小值的范圍，即可判斷B錯誤；

由g(x)在(3,4)上的單調性得出g(x)>0,判斷零點情況，即可判斷C正確；

通過分析g(x)的零點情況，判斷g(x)的極值點個數，即可判斷D錯誤.

11.【答案】B,D

【解析】【解答】解：雙曲線。妥y2=i的漸近線為廣土孝久，

對于A：因為&*茄=OAxOBxcoszXOB,

作直線%=m,x=n,且魚<m<n,分別交x軸上方漸近線于41M2,交x軸下方漸近線于

有對稱性可知：。/=幗1<|012|=|。%2|，此時|。前?|?？?lt;成2卜同2卜

又因為cos乙4OB為定值，所以0就0片100以0%2，即A?而不是定值，故A錯誤;

對于B,由題意可知：直線1不與y軸垂直，設直線1的方程為％=儲/+小,

x=ky+m

聯(lián)立得2得(k2—2)y2+2kmy+m2—2=0,

后x72=11

則/。2,且4=4/c2m2—4(/c2—2)(m2-2)=8/c2+8m2-16>0,

,(x=ky+m(x^ky+m

所以yQ+yp=R號，聯(lián)立［y=孚久得"=目，聯(lián)立一電，得"=聲，

所以勿+方=舞+肅=灣,則"一"=3%,

所以|P2|=Vi+k2\yA~yp\,\BQ\=Ji+的％_ys卜

gPIPXI=\BQ\,故B正確；

對于C,設PQ),yo),羋_yo2=l，漸近線為y=±孝X，所以P到兩漸近線距離為

9

%+x

d+&-lo^ol?lo-^yo|

12V343

當且僅當|%o+魚yo|=|久o-四丫0|時，等號成立，故C錯誤；

對于D,設乙40%=8C(0,另，則tan6=￥<l，可得

由圖可得APMQ<乙4OB=20<2即APMQ<貨亙成立，

故不存在直線1使詁.質=0,故D正確.

故答案為：B、D.

—>—>—>—>

【分析】對于A,根據。AxOB=OAxOBxcos^AOB,取垂直于x軸的直線，結合條件可判斷A錯誤；對

于B,設直線1的方程為久=ky+zn,利用韋達定理可得yQ+yp=Vf等，聯(lián)立直線與漸近線方程，可分別解

得力,YB，根據弦長公式可判斷B正確;對于C,設P(x0,y0)，得P到兩漸近線距離可判斷C錯誤；由題可得zPMQ<

身亙成立可判斷D正確.

12.【答案】(1,2)

【解析】【解答】解：取AC的中點E,則21=20，又己=mZl+nC4，貝1J

?=2小康又2血+n=1，故B，D,E三點共線，即點D在中線BE上運動，

—>―?

在正三角形ABC中，BE1AC,又m>0,九>0,貝！J|CE|<CD<\CB\,故CDe(1,2).

故答案為：(1,2).

—>T

【分析】取AC的中點E,得cb=2mC月+n品，從而推得B，D,B三點共線，進而得出|CE|<CD<\CB\,

即可求解.

13.【答案】||

【解析】【解答】解：記學生甲上到第n級臺階共有斯中上法，則臼=1,。2=2,

當正工3時，學生甲上到第n級臺階，可以從第n-l級或n-2級上去，所以，an=an^+an_2,

Q3=3，。4=5,。5=8,。6=13,CLy—21,CLQ—34,。9=55,。10=89,=144,

其中甲踩過第5級臺階的上臺階方法數，可分為兩步計算：

10

第一步：從第1級到第5級，共有。5種方法；

第二步：從第6級到第11級，共有種方法；

所以，甲踩過第5級臺階的上臺階方法數有a5a6種方法，則甲踩過第5級臺階的概率為：

_a5a$_8義13_13

-all-144-18-

故答案為：II

【分析】利用已知條件結合實際問題，將此題轉化為數列的問題，再利用遞推公式得出數列前11項的值，再

結合分步乘法計數原理和古典概型求概率公式，進而得出甲踩過第5級臺階的概率.

14.【答案】(—8,1)

x2xxx

【解析】【解答】解：由題意得，尸(%)=(%+l)e—2(m—l)e=[%+1—2(m—l)e]ef

若函數/(%)=xex-(m-1)。2%存在唯一極值點，

則尸(%)=0在％6R上有唯一的根，所以由/'(%)=0可得%+1-2(m一l)ex=0,

則2血—2=簽有唯一的根，直線y=2m—2與函數或無)=裂的圖象有一個交點(非切點)

又g'O)=ex_：,+l)=一條,所以當無e(—8,0)時，g'(x)>0,g(x)單調遞增，

當為e(0,+8)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減，所以,函數g(x)的極大值為g(0)=L

且當時，g(x)<0,當久>一1時，g(久)〉0,則函數g(x)得圖象如下圖所示

所以，當2n1—2<0時，即當血<1時，直線y=2m—2與函數。(￡)=爰的圖象有一個交點(非切點)，

因此，實數m的取值范圍是(—8,1).

故答案為：(—8,1)

【分析】先求導，由尸(無)=0,可得出2nl-2=￡牡，得直線y=2血一2與函數=￡2的圖象有一個

交點(非切點)，利用導數分析函數。(久)=簽的單調性與極值，觀察圖形得出實數m的取值范圍.

15.【答案】(1)解：因為AB為圓錐底面的直徑，C為底面圓周上一點，所以BCLAC,

因為四邊形OAED為矩形，ODL平面ABC,所以AE//OD,AE,平面ABC,

又因為BCu平面ABC,所以AE_LBC

又因為=4AEu平面ACE,ACu平面ACE,所以BC,平面ACE.

又因為BCu平面BCD,所以平面BCD_L平面ACE.

11

(2)解：以C為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系,

則C(0,0,0),4(—2,0,0),D(-1,-V3,V2),E(—2,0,迎)，

AE=(0,0,V2),ED=(1,-V3,0),CF=(-2,0,V2)

設平面ADE的法向量為汨=(孫月*1),則［竺巧=°,即［缶夏。,

?汨=0Ui-V3yt=0

令yi=l,得久1=遮，所以汨=(遮,1,0),

設平面CDE的法向量為而=3)2/2)，則但'%=°,即「2久2+'2:0,

令丫2=1，得尤2=8，Z2=痣，所以族=(75,1,通)，所以COS〈|同，同)=岸］氤=23s=

所以平面ADE和平面CDE夾角的余弦值為坐.

【解析】【分析】(1)由題意可得BC_LAC,AEABC,從而推出力EIBC,即可證BC1平面ACE；

(2)以C點為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解平面ADE和平面CDE夾角的余弦值即

可.

16.【答案】(1)解：依題意義嗎為奇函數，在區(qū)間(0,+8)上是嚴格減函數，

可得—2血—3V0,解得—由于meZ,故zn=0,1,2,

當機二。和771=2時，m2—2m—3=—3,此時/(%)=為奇函數，符合要求，

當7H=1時，m2—2m—3=—4,此時/(%)=汽為偶函數，不符合要求，/(%)=欠-3；

(2)解：不等式/(%)<t+4x,即，

又/(%)=久-3在(0,+8)上是減函數,y=#在R上為增函數，則在怎,1］上為減函數，所以g(x)僅ax=潟)=6,

則6,所以實數t的取值范圍為［6,+8).

【解析】【分析】(1)根據題意可得f(x)為奇函數，在區(qū)間(0,+8)上是嚴格減函數，得m2—2m—3<0,解不等

式可得整數m的值，根據嘉函數定義檢驗即可得所求值.

(2)依題意，對任意實數Xeg,1］,不等式t2廣3—4黨恒成立，而g(X)=久-3一室在弓,1］上為減函數，得

g^max=。(；)=6，即可求解?

17?【答案】(1)解：因為購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數之比為3:5:2,所以這10人中，購買單

12

程上山票、單程下山票和雙程票的人數分別為：10X磊=3,10義導=5,10X喘=2,

c2c2

故隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率P=聲=點.

(2)解：(i)從小+2人中任選2人，有資計2種選法，其中購票類型相同的有鬣,+冬種選法，則詢問的某組

血2_+24m

被標為B的概率p=7n

m2+3m+2m2+3m+2*

m+2

(ii)由題意，5組中恰有3組被標為B的概率g(p)=C|p3(l-p)2=10p3(l-2p+p2)=10(p3-2p4+p5),

所以g'(P)=10(3p2—8P3+5P4)=10P2(0_i)(5p—3),0<p<1,

所以當pe(o1)時，g'(p)>0,函數g(p)單調遞增，

當pe(5,1)時，g'(p)<0,函數g(p)單調遞減，

所以當p=|時，g(p)取得最大值,且最大值為漏)=C"(卷)3x(l—|)2=||f.

由P=-7~~------=曰7H>2且THEN*,得TH=3.

mz+3m+23

當TH=3時，5組中恰有3組被標為B的概率最大，且g(p)的最大值為

【解析】【分析】(1)先求得購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數，然后按古典概型概率公式

求解即可.

(2)先根據古典概型概率公式表示詢問的某組被標為B的概率，然后通過求導來研究函數單調性、

極值，進而求得最大值.

18.【答案】⑴解：由題意知，4(—a,0).由直線AC的斜率為之，得辱之=。所以a=/b.

直線4c的方程為y=*(久+a).設G(s,t),則s>0,t>0.

由點G到久軸的距離為小得”*由點G在直線"上，得3先+0所以s=%a.

(g―a)2(1)2

由點G在橢圓E上，得、Z—廠=1，解得a=2.所以6=夜.

13

七一竹?=?11?=產0-2q+2?=?-44

MS展1^2yo~2yo-2yo-22-7O-

由一企〈yo<O或0<37（）<應,

得2—V2<2—<2或2<2—<2+V2,

所以4—2近W注^<2或2<<4+2V2.

故|與待H的取值范圍是[4—2VZ2)U(2,4+2V?|.

②①%

由

知X2O+

42-即芯+羽=4一%.設M（XI，0）,N（%2，。）.因為PCM三點共線,

0-2—2%。+42y0—2%0

所以”得％二

1y()-2y°_2.

因為P,D,N三點共線，所以衿1=2芻，

人。十乙人2十乙

一2和一4一2町一2）70

得久

2=丁0一2丫0一2

2J際+8%,16yo

所以MM/+\BN\2=(%1+2)2+(%-2)2=(^Z^°+2)2+(一二?()_)2=+不+一

22(y()—2)28

8(4—%)，16yo,°_8(2+yo)(2—yo)16yo—8(2+y°),16yo

16.

222-2-2

(y0-2)Vo-2(y0-2)y0-7oyo

故|4M|2+|BN|2為定值16

【解析】【分析】（1）由題意，根據直線AC的斜率為熱結合斜率公式可得a=&b,由G,A,C三點共線表示

出點G值-a,金，將它代入橢圓方程求出a,b即可求解.

（2）①由斜率公式可得的=kpc=，?！?卜2—kpD=+2'進而得I需JI=Y—y,

0012yo

結合yo的范圍即可求解.

②由P,C,M三點共線，P,D,N三點共線，表示出M,N的坐標，再由兩點間距離公式得+|BN『

的表達式，即可求解.

19.【答案】⑴解：易知單位圓上圓心角為60。的圓弧△。=或以=91=不

△e7T

31

A-=-

根據定義可得平均曲率7<=s

73T

(2)解：由/(X)=i(x>0)可得/'(x)=-妥,

又t(x)=/'(久)可得*%)=*所以K=螞咫I=憶'。）12

3—3—3

(1+[/'(X)]2)2(1+(—*)2"Eq+多2

22

因為％〉0,