軸對(duì)稱-最短路徑問題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)題型專項(xiàng)突破

專題14軸對(duì)稱--最短路徑問題

1.（2021?綏化中考）已知在RtZUCB中，ZC=90°，/ABC=75°,AB=5,點(diǎn)E為邊/C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)下為邊

解：作尸關(guān)于"C的對(duì)稱點(diǎn)尸，延長(zhǎng)/尸、BC交于點(diǎn)

：.ZBAB'=30°,EF=EF,

：.FE+EB=BE+EF,

...當(dāng)8、E、k共線且與4夕垂直時(shí)，長(zhǎng)度最小，即求8。的長(zhǎng),

即作AD_L4?于。，

在中，8。=工皿交，

答案：B.

2.（2021?深圳中考）如圖，在RtZX/02中，ZAOB^90°,04=3,OB=4,以點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓與。2

交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD,08交N8于點(diǎn)。，點(diǎn)尸是邊CM上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)尸C+尸。最小時(shí)，0P的長(zhǎng)為（）

242

解：如圖，延長(zhǎng)C。交。。于點(diǎn)E,連接ED,交/。于點(diǎn)尸，此時(shí)尸C+尸。的值最小.

'：CD±OB,

ZDCB=90°,

又402=90°,

ZDCB=ZAOB,

J.CD//AO

?BC_CD

"BO"AO

VOC=2,08=4,

：.BC=2,

...2皿，解得，CD=3_.

432

?:CD"AO,

二旦”取即2=半，解得，PO=1

ECDC4A4

2

答案：B.

3.（2020?荊門中考）在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)為2的線段CD（點(diǎn)。在點(diǎn)C右側(cè)）在x軸上移動(dòng)，A（0,2）,B

（0,4）,連接/C,BD,則NC+3。的最小值為（）

解：設(shè)C(冽，0),

,:CD=2,

:.D(m+2,0),

'：A(0,2),B(0,4),

：.AC+BD=ylm2+22+^1（m+2）2+42,

要求NC+8。的最小值，相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)P（垃，0）,使得點(diǎn)尸到河（0,2）和N（-2,4）的距離和

最小，

如圖1中，作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。，連接N。交x軸于P,連接"P,此時(shí)PM+P'N的值最小，

尸河+PN的最小值=9'N+P。=可0=6"^=2折，

：.AC+BD的最小值為2/證.

答案：B.

4.（2020?貴港中考）如圖，動(dòng)點(diǎn)M在邊長(zhǎng)為2的正方形N8CD內(nèi)，且尸是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是

40邊的中點(diǎn)，則線段尸￡+尸初的最小值為（）

A.V10-1B.V2+1C.V10D.&+1

解：作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E,設(shè)4B的中點(diǎn)為點(diǎn)。，連接?！?交。C于點(diǎn)尸，連接PE,如圖:

?.,動(dòng)點(diǎn)M在邊長(zhǎng)為2的正方形Z2CD內(nèi)，S.AMLBM,

...點(diǎn)河在以48為直徑的圓上，。河=工48=1,

2

,/正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,

：.AD=AB=2,ZDAB=90°,

:E是4D的中點(diǎn),

.,.DE=AZD=LX2=1,

22

7點(diǎn)E與點(diǎn)E關(guān)于0c對(duì)稱,

：.DE=DE=\,PE=PE',

：.AE=AD+DE^2+\=3,

在RtZXNOE中，OEf.2+Ao2=j32+]2=Vib，

二線段PE+PM的最小值為:

PE+PM

PE'+PM

ME

OE-OM

=</io-1.

答案：A.

5.（2021?丹東中考）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如果△ABC是銳角（或

直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足//尸8=/3尸。=/"％=120°.（例如：等邊三角形的

費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）.若AB=AC=巾,8C=2?,尸為△NBC的費(fèi)馬點(diǎn)，則P4+PB+PC=5；若

=2?,BC=2,NC=4,尸為△A8C的費(fèi)馬點(diǎn)，則P/+P2+PC=2夜.

解：如圖，過/作4DL2C,垂足為D,

過8,C分別作ND8P=/DCP=30°,則尸3=PC,P為△/BC的費(fèi)馬點(diǎn),

'：AB=AC=y[j，8C=2?,

?■?BD=DC=yBC-V3'

?+PDV3

,,tano0=-TT-，、,

BD3

：.PD=\,

?.7

=2'

AD=VAB2-BD2=V7^3=2;

；.P/+PB+PC=5：

②如圖：

,:AB=2M，BC=2,AC=4,

：.AB2+BC1=\6,AC2=16,

：.AB2+BC2=AC2,ZABC=90

..,BC1

：.ZBAC=30°,

將△4PC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

由旋轉(zhuǎn)可得：△4PC0△//（？，

C.AP'^AP,PC=P。,AC^AC,NC4C=NP4P=60°,

：./\APP'是等邊三角形，

ZBAC=90°,

為△/BC的費(fèi)馬點(diǎn)，

即2,P,P',。四點(diǎn)共線時(shí)候，PA+PB+PC=BC,

:.PA+PB+PC=BP+PP+PC=BC=MB2+AC'2=d（2/）2+42=2E

答案：5,2A/7-

P

BC

A

6.（2021?西寧中考）如圖，△N2C是等邊三角形，48=6,N是N5的中點(diǎn)，/D是5C邊上的中線，M是/。上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接瓦/MN,則HW+VN的最小值是_3\斤.

?..△A8C是等邊三角形，4D是中線，

C.ADLBC,BD=CD,

是BC的垂直平分線，

:.BM=CM,

：.BM+MN=CM+MN,即當(dāng)點(diǎn)C、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，員攸+MN最小值為CN的長(zhǎng),

,:前N是AB的中點(diǎn)，

C.CNLAB,AN=LB=3,

2

CN=VAC2-AN2=^62-32=3^'

.?.8W+7W最小值為：3?,

答案：3正.

7.（2021?聊城中考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形。N5C的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)/,C分別在x軸，y軸上,

B,。兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為2(-4,6),D(0,4),線段所在邊。/上移動(dòng)，保持即=3,當(dāng)四邊形ADE尸的周長(zhǎng)

最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2,0)

5

...四邊形BHEF是平行四邊形，

：.BF=EH,

;點(diǎn)。與點(diǎn)。'關(guān)于x軸對(duì)稱，

:.DE=D'E,點(diǎn)。'坐標(biāo)為(0,-4),

,/四邊形BDEF的周長(zhǎng)=EF+8尸+3D+DE,

四邊形BDEF的周長(zhǎng)=￡7升EO+BD+ER

廠和8。是定值，

/.當(dāng)EH+D'E有最小值時(shí)，四邊形BDEF的周長(zhǎng)有最小值,

當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)〃，點(diǎn)。共線時(shí)，EH+ZTE有最小值，

:點(diǎn)B(-4,6),

.?.點(diǎn)”(-1,6),

設(shè)直線D'H的解析式為丁=區(qū)+6,

則產(chǎn)k+b,

lb=-4

解得：尸1°，

lb=-4

直線。舊的解析式為y=-10x-4,

/.當(dāng)y—0時(shí)，x=-―,

5

:.點(diǎn)、E（-2,0）,

5

答案：（-2,o）.

5

8.（2021?畢節(jié)中考）如圖，在菱形/BCD中，BC=2,ZC=120°,。為N8的中點(diǎn)，P為對(duì)角線8。上的任意一

點(diǎn)，貝U4P+P。的最小值為_、艮.

?.?四邊形/BCD是菱形,

ZABP=ZPBC,

在△4BP和△CAP中，

'BA=BC

<ZABP=ZCBP>

BP=BP

:.△ABP四4CBP(SAS),

：.PA=PC,

,JAB//CD,

：.ZABC+ZBCD^1SO°,

AZABC=180a-120°=60°,

,:AB=BC,

...△/8C是等邊三角形,

；4Q=QB,

J.CQLAB,

.,.C0=2C?sin6O°=?,

PA+PQ=PC+PQ^CQ,

:.PA+PQ，M，

：.PA+PQ的最小值為

答案：V3.

9.（2020?宜賓中考）如圖，四邊形/BCD中，DAUB,CBLAB,AD=3,AB=5,BC=2,尸是邊48上的動(dòng)點(diǎn),

貝ijPC+PD的最小值是5、萬..

解：延長(zhǎng)C8到C',使C'B=CB=2,連接。C'交于尸.貝。就是尸C+P。的和的最小值.

'JDALAB,CBLAB,

J.AD//BC,

：./A=NPBC',ZADP=ZC,

:.△ADPs^BC'P,

：.AP：BP=AD：BC'=3：2,

：.PB=2LAP,

3

；AP+BP=AB=5,

：.AP=3,BP=2,

PD=VAD2+AP2=V32+32=3^PC，=VBP2+BC/2=V22+22=2^）

:.DC'=PD+PC=3后2如=5如，

：.PC+PD的最小值是5加，

故答案為572.

10.（2020?營(yíng)口中考）如圖，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為6,ADLBC,垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)E和點(diǎn)尸分別是線段4D

和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE,EF,則CE+斯的最小值為.

解：過C作CF_L4B交4D于E,

則此時(shí)，CE+Ek的值最小，且CE+EF的最小值=（7尸,

為等邊三角形，邊長(zhǎng)為6,

：.BF=XAB=LX6=2）,

22

CF=VBC2-BF2=VS2-32=3?'

：.CE+EF的最小值為3?,

答案：3y.

11.（2020?永州中考）NNOB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，且//。3=60°,在N/O8內(nèi)有一點(diǎn)尸（4,

3）,M,N分別是0408邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接尸MPN,MN,則△PMN周長(zhǎng)的最小值是5y.

解：分別作P關(guān)于射線。4、射線08的對(duì)稱點(diǎn)P與點(diǎn)P',連接PP",與。4、08分別交于“、N兩點(diǎn),

此時(shí)周長(zhǎng)最小，最小值為PP"的長(zhǎng)，

連接。尸'，OP",OP,

,：0A,分別為尸尸'，PP"的垂直平分線，P（4,3）,

：.0P'=OP=OP"=山2+鏟=5,且NPO/=NP'OA,ZPOB^ZP"OB,

VZAOB=ZAOP+ZBOP=60Q,

AZP'OP"=120°,

過。作OQ_LPP",可得PQ=P"Q,ZOP'Q=ZOP"。=30°,

.,.6>2=A,P'Q=P"Q=

22，

：.P'P"=2尸'0=2X孚=5?,

則△RWN周長(zhǎng)的最小值是5y.

答案：5A/§.

12.（2020?黑龍江中考）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形48CD中，