重難點突破：帶電粒子在勻強磁場中運動的臨界問題、多解問題（9大題型）原卷版-2024-2025學年高二物理（人教版選擇性必修第二冊）

帶電粒子在勻強磁場中運動的臨界問題、多解問題

題型1"平移圓"頰臨界或極值問題

題型2"放縮圓"處理臨界或極值問題

題型“旋轉圓”處理臨界或極值問題

知識點1臨界和極值問題3

重難點突破：題型4磁聚焦與磁發(fā)散

帶電粒子在勻強磁場中運動的題型5磁場最小面積問題

臨界問題、多解問題題型6帶電粒子帶電性不確定形成的多解

知識點2多解問題題型7磁場方向不確定形成的多解

題型8臨界狀態(tài)不唯一形成的多解

題型9運動的周期性形成的多解

........，方法技巧：磁場的最小面積問題

知識點1臨界和極值問題

1、基本方法

帶電粒子在有界磁場中運動時，粒子的運動軌跡與粒子入射的速度大小和方向有關，因此會出現(xiàn)粒子

恰好離開磁場或恰好經(jīng)過某一位置的臨界情境。解答帶電粒子在磁場中運動的臨界問題，關鍵在于運用動

態(tài)思維，找準臨界點，以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口，挖掘隱含條件，

分析可能的情況，必要時畫出幾個半徑不同的軌跡，找出臨界條件。

2、常用結論

（1）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切。

（2）當速率v一定時，弧長越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長。

（3）當速率v變化時，圓心角大的，運動時間長，解題時一般要根據(jù)受力情況和運動情況畫出運動軌跡的

草圖，找出圓心，再根據(jù)幾何關系求出半徑及圓心角等。

（4）帶電粒子在圓形勻強磁場中運動，當帶電粒子運動軌跡的半徑大于磁場的半徑，且入射點和出射點為

磁場直徑的兩個端點時軌跡對應的圓心角最大（所有弦長中直徑最長）。

3、解決臨界問題常用的四種方法

（1）平移圓

XXXXXXX

【適用條件】8一定、v的大小方向一定、入射點不同但在同一條直線上。

【軌跡圓圓心共線】帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線上，該直線與入射點的連線平行。

【界定方法】將半徑為氏=竺^的圓進行平移，從而探索粒子的臨界條件。

qB

（2）放縮圓

XXXXXX

XX

X[x

X[x（X】*xMx

XXXXScX

【適用條件】①8一定、y方向一定、y大小變化。

②V方向一定、V大小一定，8大小變化。

【軌跡圓圓心共線】因為&二上二，所以隨著粒子速度（或磁感應強度）的增大或縮小，導致粒子做圓周運

qB

動的半徑也在變化。故帶電粒子沿同一方向射入磁場后，在磁場中的運動軌跡相切于粒子源所在位置，且

圓心都在與v方向垂直的直線PP，上。

【界定方法】以入射點P為定點，圓心位于直線PP上，將半徑放縮確定運動軌跡，從而探索出粒子運動的

臨界條件。

（3）旋轉圓

【適用條件】8一定、v的大小一定、v的方向變化。

【軌跡圓圓心共圓】因為R=—，所以粒子的軌跡圓半徑相等，所有的軌跡圓的圓心都在以。點為圓心,

qB

半徑為R的圓周上，隨著粒子速度方向的變化，粒子的運動軌跡圓以。點為圓心，發(fā)生旋轉，粒子所能打

到的區(qū)域在半徑為2R的圓周內(nèi)。

【界定方法】將半徑為氏="的圓以帶電粒子入射點為定點進行旋轉，從而探索粒子運動的臨界條件。

（4）磁聚焦和磁發(fā)散

磁發(fā)散磁聚焦

如圖甲所示，當粒子從磁場邊界上同一點沿不同如圖乙所示，當粒子以相互平行的速度從磁場邊界

方向進入磁場區(qū)域時，粒子離開磁場時的速度方上任意位置進入磁場區(qū)域時，粒子一定會從同一點

向一定平行，而且與入射點的切線方向平行離開磁場區(qū)域，而且該點切線與入射方向平行

律（1）如圖甲所示，相同速率的同種粒子以相同的初速度射向圓形勻強磁場時，若粒子在磁場中運動

的軌跡半徑與磁場區(qū)域的半徑相等，則經(jīng)過磁場區(qū)域的所有粒子都會聚到磁場區(qū)域的一條直徑的端點

處，該直徑與粒子初速度垂直。

（2）如圖乙所示，粒子進入磁場時，速度與射入點所在磁場半徑的夾角和穿出磁場時速度與射出點

所在磁場半徑的延長線的夾角相等。

知識點2多解問題

（1）帶電粒子的帶電性質(zhì)不確定

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負電荷，在相同的初速度下，粒子電性不同在

磁場中運動的軌跡就不同，會形成多解。如圖，如粒子帶正電荷，其軌跡為0,若粒子帶負電荷，其軌跡為

bo

（2）磁場方向不確定

在只知道磁感應強度大小，而未具體指出磁感應強度方向的情況下，必須考慮磁感應強度方向不確定

面形成的多解。如圖，帶正電粒子以速度V垂直進入勻強磁場，若8垂直紙面向里，其軌跡為。，若8垂直

紙面向外，其軌跡為人

(3)臨界狀態(tài)不唯一

帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時由于粒子運動軌跡是圓弧，因此它可能穿過磁場飛出，也

可能轉過180°反向飛出，于是造成多解。

(4)運動具有周期性

帶電粒子在部分是電場、部分是磁場的空間中的運動往往具有周期性，因而形成多解。

磁場的最小面積問題

帶電粒子經(jīng)過一個一定形狀的有界磁場區(qū)域，求該磁場的最小面積，這屬于特殊的一類臨界問題。

解決此類問題通常先找到粒子進入磁場和離開磁場的速度方向的垂線的交點，即為軌跡的圓心。特定

形狀的磁場恰好覆蓋粒子進入點和離開點間的圓弧，這種情況下磁場的面積最小。當磁場面積最小時,

般會出現(xiàn)軌跡與磁場邊界相切，磁場的最小面積可以由幾何關系求解。

題型1“平移圓”處理臨界或極值問題

【例1】（多選）（24-25高二上?陜西寶雞?月考）如圖所示，在直角三角形/8C內(nèi)充滿垂直紙面向外的勻

JT

強磁場（圖中未畫出），45邊長度為d,/-B=-o現(xiàn)垂直45邊射入一束質(zhì)量均為加、電荷量均為外速

6

度大小均為v的帶正電粒子。已知垂直4C邊射出的粒子在磁場中運動的時間為機而運動時間最長的粒子

4

在磁場中的運動時間（不計重力），則下列說法正確的是（）

氣

----?：\

AC

A.粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為4t0

Tim

B.該勻強磁場的磁感應強度大小為不二

3

C.粒子在磁場中運動的軌道半徑為gd

、.371d

D.粒子進入磁場時速度大小為百一

【變式1-1］（多選）（23-24高三上?貴州貴陽?開學考試）地磁場對宇宙高能粒子有偏轉作用，從而保護了

地球的生態(tài)環(huán)境。赤道平面的地磁場簡化為如圖所示，。為地球球心、R為地球半徑。地磁場可視為分布在

半徑R到2R的兩邊界之間的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)，磁感應強度大小均為2,方向垂直紙面向里。太陽耀斑爆發(fā)時,

向地球持續(xù)不斷地輻射大量高能粒子，假設均勻分布的帶正電高能粒子以相同速度垂直沿赤道平面射

向地球。己知粒子質(zhì)量均為加、電荷量均為q,不計粒子的重力及相互作用力。下列說法正確的是（）

A.當入射粒子的速率不小于等時，部分粒子可以到達九W右側地面

2m

B.若粒子速率為遮，入射到磁場的粒子到達地面的最短時間為舞

m6qB

C.若粒子速率為手，正對著。處入射的粒子恰好可以到達地面

2m

D.若粒子速率為等，入射到磁場的粒子恰好有一半不能到達地面

2m

【變式1-2］（多選）（2023?重慶?三模）如題圖，直角三角形/3C區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場（圖

中未畫出），NC邊長為/,NB為三,一群比荷為巨的帶負電粒子以相同速度從C點開始一定范圍垂直NC

6m

邊射入，射入的粒子恰好不從邊射出，已知從2C邊垂直射出的粒子在磁場中運動的時間為■1",在磁

場中運動時間最長的粒子所用時間為2/。，則以下說法中正確的是（）

5兀m

A.磁感應強度大小為KT

12%

c.粒子射入磁場的速度大小為密眩D.粒子在磁場中掃過的面積為伊山+37）二

42辦49

【變式1-3］（多選）（22-23高二下?安徽合肥?期末）如圖所示，直角三角形/3C區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向

外、磁感應強度大小為8的勻強磁場，NC邊長為L乙4=30。.帶正電的粒子流（其重力忽略不計）以相

同速度在CD范圍內(nèi)垂直NC邊射入（不計粒子間的相互作用力），從。點射入的粒子恰好不能從N3邊射

出.已知從3c邊垂直射出的粒子在磁場中運動的時間為3f,在磁場中運動時間最長的粒子所用時間為43

則（）

A.粒子的比荷為白兀B.粒子運動的軌道半徑為:2￡

C.粒子射入磁場的速度大小為與D.粒子流在磁場中掃過的面積為耍萬

15f25

【變式1-4］（多選）（23-24高二上?河南洛陽?期中）在I、II兩個區(qū)域內(nèi)存在磁感應強度大小均為2的勻

強磁場，磁場方向如圖所示，ND、AC邊界的夾角為30。，邊界AC與邊界VN平行，II區(qū)域?qū)挾葹樾≠|(zhì)

量為加、電荷量為g的正粒子，可在邊界4D上的不同點以垂直4D且垂直磁場的方向射入磁場，若入射速

度大小為四，不計粒子重力，則（）

m

A.粒子在磁場中運動的半徑為0.54

B.粒子在距/點0.54處射入，會進入n區(qū)域

C.粒子在距4點1.5d處射入，在I區(qū)域內(nèi)運動的時間為—

qB

7TJTI

D.能夠進入II區(qū)域的粒子，在n區(qū)域內(nèi)運動的最短時間為—

2qB

題型2“放縮圓”處理臨界或極值問題

【例2】（24-25高三上?廣西?月考）如圖所示，邊長為心的正方形a6cd區(qū)域內(nèi)分布磁感應強度大小為3、

方向垂直于紙面向里的勻強磁場。從/邊的中點尸處發(fā)射速率不同、質(zhì)量為加、電荷量為4的帶正電粒子,

粒子沿紙面與R/成30。的方向射入該磁場區(qū)域，不計粒子的重力及粒子間的相互作用。已知某一速率的粒

子恰好能從船邊離開磁場，則該粒子入射的速度大小是（

a

4qBL

A.「幽B.”幽C.,=迪D.v=

3m4mmm

【變式2-1］（2024?河南?二模）如圖所示，在第一象限有垂直紙面向外的勻強磁場（坐標軸上無磁場）,

位于x軸上的尸點有一粒子發(fā)射器，沿與x軸正半軸成60。角方向發(fā)射不同速率的電子，已知當速度為%時,

粒子恰好從。點沿y軸負方向離開坐標系，則下列說法正確的是（）

A.如果則粒子速度越大,在磁場中運動的時間越長

B.如果v>%,則粒子速度越大,在磁場中運動的時間越短

C.如果則粒子速度越大,在磁場中運動的時間越長

D.如果則粒子速度越大,在磁場中運動的時間越短

【變式2-2］（23-24高二上?陜西西安?月考）一勻強磁場的磁感應強度大小為8,方向垂直于紙面向外，其

邊界如圖中虛線所示，ab=cd=2L,bc=de=L,一束質(zhì)子在紙面內(nèi)從。點垂直于成射入磁場，這些粒子

具有各種速率。不計重力和粒子之間的相互作用。已知粒子的質(zhì)量為加、電荷量為+4。則在磁場中運動時

間最長的粒子，其運動速率為（）

.W5qBL

AD.----

4m4m

C5qBLD5qBL

,8m6m

【變式2-3］（2023?湖南?高考真題）如圖，真空中有區(qū)域I和II,區(qū)域I中存在勻強電場和勻強磁場，電場方

向豎直向下（與紙面平行），磁場方向垂直紙面向里，等腰直角三角形CGF區(qū)域（區(qū)域n）內(nèi)存在勻強磁

場，磁場方向垂直紙面向外。圖中/、C、。三點在同一直線上，與GF垂直，且與電場和磁場方向均垂

直。/點處的粒子源持續(xù)將比荷一定但速率不同的粒子射入?yún)^(qū)域I中，只有沿直線NC運動的粒子才能進入

區(qū)域II。若區(qū)域I中電場強度大小為￡、磁感應強度大小為耳，區(qū)域n中磁感應強度大小為層，則粒子從CF

的中點射出，它們在區(qū)域II中運動的時間為仇若改變電場或磁場強弱，能進入?yún)^(qū)域II中的粒子在區(qū)域II中運

動的時間為不計粒子的重力及粒子之間的相互作用，下列說法正確的是（）

A.若僅將區(qū)域I中磁感應強度大小變?yōu)?2/,貝卜＞電

B.若僅將區(qū)域I中電場強度大小變?yōu)?E,貝卜＞訪

C.若僅將區(qū)域II中磁感應強度大小變?yōu)榍蓪樱瑒t/=當

D.若僅將區(qū)域n中磁感應強度大小變?yōu)楹嗯c，貝=

【變式2-4］（2024?安徽阜陽?模擬預測）如圖所示，在坐標系第一象限內(nèi)有垂直紙面向外、磁感應強度為

B（）、足夠大的勻強磁場。質(zhì)量為〃八電荷量為+?的帶電粒子在xQy平面內(nèi)從y軸上的M（0,￡）點以不同

速率射入磁場，且速度方向與y軸正半軸的夾角方53。保持不變。題中m、q、乙為己知值，不計粒子重

力,sin53°=0.8o回答下列問題:

（1）若粒子從x軸下方離開磁場，求粒子速度大小應滿足的條件；

（2）若粒子從了軸左側離開磁場，求y軸上有粒子經(jīng)過的區(qū)域長度；

（3）若x軸上方充滿著方向垂直紙面向外的非勻強磁場，磁感應強度大小隨縱坐標y均勻增大，且滿足

8=4比。粒子以大小為v=遺性的速度從M點沿原方向（即圖示方向）射入磁場，求粒子在磁場中從M

Lm

點運動到離x軸最遠位置的過程中運動軌跡與x軸圍成的面積S。

題型3“旋轉圓”處理臨界或極值問題

【例3】（2024?廣東深圳?二模）如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于圓所在

的平面。一速度為v的帶電粒子從圓周上的/點沿半徑方向射入磁場，入射點/與出射點8間的圓弧藍為

整個圓周的三分之一?，F(xiàn)有一群該粒子從N點沿該平面以任意方向射入磁場，已知粒子速率均為氈v,忽

3

略粒子間的相互作用，則粒子在磁場中最長運動時間為（

c兀R

6v

【變式3-1］（23-24高二上?重慶沙坪壩?期末）如圖，空間分布著磁感應強度大小為3,方向垂直紙面向外

的勻強磁場。關于。點對稱的薄板"N的長度為3a,。點到"N的距離為a。。點有一粒子源，能沿紙面

內(nèi)任意方向發(fā)射速率相同、質(zhì)量為加、電荷量為q的正電粒子。已知水平向右發(fā)射的粒子恰能垂直打在

上，打到九W上、下表面的粒子均被吸收。不計粒子的重力，則被兒W吸收的粒子在磁場中運動的最長時

間為（）

【變式3-2］（23-24高二下?江蘇常州?期中）如圖所示，勻強磁場中位于尸處的粒子源可以沿垂直于磁場

向紙面內(nèi)的各個方向發(fā)射質(zhì)量為加、電荷量為外速率為v的帶正電粒子，P到熒光屏VN的距離為小設

熒光屏足夠大，不計粒子重力及粒子間的相互作用。下列判斷正確的是（）

XXXX

B

XXXX

A.若磁感應強度3=一，則發(fā)射出的粒子到達熒光屏的最短時間為會

B.若磁感應強度8=-7,則同一時刻發(fā)射出的粒子到達熒光屏的最大時間差為空

qav

C.若磁感應強度8=麗，則熒光屏上形成的亮線長度為2Kd

D.若磁感應強度2=翡，則熒光屏上形成的亮線長度為（莊+g）d

【變式3-3]（23-24高二上?甘肅張掖?月考）如圖所示，真空室內(nèi)存在磁場方向垂直于紙面向里、磁感應強

度的大小為3=0.30T的勻強磁場。磁場內(nèi)有一塊較大的平面感光板油，板面與磁場方向平行，在距成的距

離為/=32cm處，有一個點狀的a粒子放射源S,它能向各個方向發(fā)射a粒子，帶正電的a粒子速度都是

v=3.0xl06m/so已知a粒子的電荷量與質(zhì)量之比為2=5.0xl（）7C/kg,現(xiàn)只考慮在紙面內(nèi)運動的a粒子,

m

則感光板湖上被a粒子打中區(qū)域的長度為（）

XXXXXX

a■b

XXX：XXX

X;/X

XXXX

B

s*

XXXXXX

A.40cmB.30cmc.35cmD.42cm

【變式3-4]（24-25高二下?全國?單元測試）如圖，在平面直角坐標系。孫的第一象限內(nèi)，存在垂直于紙

面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為3。大量質(zhì)量為加、電荷量為夕的相同粒子從y軸上的P（0,V3Z）

點，以相同的速率在紙面內(nèi)沿不同方向先后射入磁場，設入射速度方向與y軸正方向的夾角為a

（0°<ct<180°）0當a=150。時，粒子垂直x軸離開磁場。不計粒子的重力和粒子間的相互作用，則（）

A.粒子一定帶負電

B.當a=45。時，粒子也垂直x軸離開磁場

C.粒子的入射速率為拽型

m

D.粒子離開磁場的位置到。點的最大距離為2阮

題型4磁聚焦與磁發(fā)散

【例4】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）帶電粒子流的磁聚焦是薄膜材料制備的關鍵技術之一。磁聚焦原

理如圖，真空中半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面的勻強磁場。一束寬度為2八沿x軸正方向運動的電子

流射入該磁場后聚焦于坐標原點。。已知電子的質(zhì)量為僅、電荷量為e、進入磁場的速度為v,不計電子重

力及電子間的相互作用，則磁感應強度的大小為（）

2r''：'

、I

-----JA'//

J'__、、、、_、

'o]X

mvyflmvrnv2m

A.--D.----C.D.----

2er2er夕er

【變式4-1］（多選）（2024?福建泉州?模擬預測）我國研制的世界首套磁聚焦霍爾電推進系統(tǒng)已經(jīng)完成了

全部在軌飛行驗證工作，可作為太空發(fā)動機使用，帶電粒子流的磁聚焦是其中的關鍵技術之一。如圖，實

線所示的兩個圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面的勻強磁場I、IL磁感應強度分別為S，兩圓半徑均為廠，

相切于。點。一束寬度為2r的帶電粒子流沿x軸正方向射入后都匯聚到坐標原點。。已知粒子的質(zhì)量均為

加、電荷量均為+外進入磁場的速度均為v,不計帶電粒子的重力及粒子間的相互作用力。下列說法正確的

是（）

A.8/的大小為一

qr

B.從。點進入磁場II的粒子的速度仍相等

C.若B『2B、,則粒子在磁場II的邊界的射出點在四分之一圓周上

D.若與=0?5瓦，則粒子在磁場II中運動的最長時間為丁

3v

【變式4-2］（多選）（2023?山東?模擬預測）利用磁聚焦和磁控束可以改變一束平行帶電粒子的寬度，人

們把此原理運用到薄膜材料制備上，使芯片技術得到飛速發(fā)展。如圖，寬度為4的帶正電粒子流水平向右

射入半徑為4的圓形勻強磁場區(qū)域，磁感應強度大小為綜，這些帶電粒子都將從磁場圓上O點進入正方形

區(qū)域，正方形過。點的一邊與半徑為％的磁場圓相切。在正方形區(qū)域內(nèi)存在一個面積最小的勻強磁場區(qū)域,

使匯聚到。點的粒子經(jīng)過該磁場區(qū)域后寬度變?yōu)楣?且粒子仍沿水平向右射出，不考慮粒子間的相互作用

力及粒子的重力，下列說法正確的是（）

A.正方形區(qū)域中勻強磁場的磁感應強度大小為2穌，方向垂直紙面向里

B.正方形區(qū)域中勻強磁場的磁感應強度大小為;及,，方向垂直紙面向里

C.正方形區(qū)域中勻強磁場的最小面積為2（萬-2）4

D.正方形區(qū)域中勻強磁場的最小面積為一婿

【變式4-3］（2023?廣東?模擬預測）磁聚焦和磁發(fā)散技術在許多真空系統(tǒng)中得到了廣泛應用，如電子顯微

鏡技術，它的出現(xiàn)為科學研究做出了重大貢獻?，F(xiàn)有一個磁發(fā)散裝置，如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域

內(nèi)存在垂直紙面向外，磁感應強度為8的勻強磁場，在圓形磁場區(qū)域右側有一方向豎直向下，電場強度為￡

的勻強電場，電場左邊界與圓形磁場右邊界相切。在水平地面上放置一個足夠長的熒光屏尸。，它與磁場相

切于P點。粒子源可以持續(xù)的從P點向磁場內(nèi)發(fā)射速率為v方向不同的帶正電同種粒子。經(jīng)觀測：有一粒

子。以豎直向上的初速度射入磁場，該粒子經(jīng)磁場偏轉后恰好以水平方向離開磁場，然后進入電場區(qū)域。

粒子6進入磁場的速度方向與粒子a的速度方向夾角為6（未知），進入磁場后，粒子6的運動軌跡恰好

能通過圓形磁場的圓心O,最終也進入到電場區(qū)域。已知電場強度和磁感應強度的關系滿足E=不計

粒子重力及粒子間相互作用。求：

（1）粒子的比荷幺；

m

（2）粒子b與粒子a的夾角夕和6粒子打在熒光屏上的亮點到P點的距離x；

（3）入射方向與熒光屏所在平面成60。?120。區(qū)間范圍內(nèi)的粒子，最終打到熒光屏上形成的亮線長度。

題型5磁場最小面積問題

【例5】（多選）（2023?湖北?模擬預測）如圖所示，有一個正方形區(qū)域N2CD,在內(nèi)部某一區(qū)域內(nèi)有一垂

直于紙面向里、磁感應強度大小為穌的矩形勻強磁場。一個質(zhì)量為〃八電量為q（4＞。）的帶電粒子從

的中點以速度v垂直于CD射入正方形區(qū)域，從3c邊的中點垂直于3c飛出該正方形區(qū)域，不計粒子的重

力，下列說法正確的是（）

A.該粒子在磁場里運動的時間才

2qB。

rem

B.該粒子在磁場里運動的時間t=--

2qB0

m~v~

C.該矩形區(qū)域磁場的最小面積S=而

（2+血）加2V2

D.該矩形區(qū)域磁場的最小面積S=--------1——

/紜2

【變式5-1]（2024?山西臨汾?二模）如圖所示，M、N為紙面內(nèi)一直線上的兩點，某圓形區(qū)域中存在垂直

紙面的勻強磁場。一質(zhì)量為加、電荷量為4（4>0）的帶電粒子，垂直于直線從M點以速度為v進入圓形磁

場區(qū)域，經(jīng)過磁場的偏轉，粒子再次通過該直線的位置為N,且方向與直線之間的夾角6=30。。已知加、N

兩點間的距離為乙不計粒子的重力。求：

（1）磁感應強度2的大??；

（2）圓形磁場區(qū)域的最小面積S。

【變式5-2]（2023?黑龍江?一模）如圖所示，。/與y軸的夾角9=60。，在此角范圍內(nèi)有沿y軸負方向的

勻強電場，一質(zhì)量為〃八電荷量為qS>0）的粒子以速度從左側平行于x軸射入電場，入射點為P,經(jīng)

電場后沿垂直于。/的方向由0點進入一矩形磁場區(qū)域（未畫出，方向垂直紙面向外），并沿x軸負方向

經(jīng)過。點。已知。點到0點的距離為6/,不計粒子的重力，求：

（1）勻強電場的電場強度大??；

（2）勻強磁場的磁感應強度大?。?/p>

（3）矩形磁場區(qū)域的最小面積。

【變式5-3]（23-24高二下?安徽?期末）如圖所示，平面直角坐標系了辦的第二象限內(nèi)存在垂直紙面向外

的勻強磁場，磁感應強度大小為例（品未知），第一象限內(nèi)一圓形區(qū)域中存在垂直紙面向外、磁感應強度

大小為的勻強磁場（圖中未畫出）。一質(zhì)量為加、電荷量為4的帶正電粒子從x軸上的尸點以速

度W沿與x軸負方向成45。角的方向射入第二象限內(nèi)的勻強磁場中，恰好從M點垂直于y軸射入第一象限,

在第一象限內(nèi)經(jīng)磁場偏轉后從N點垂直x軸射入第四象限，已知。、P之間的距離為心。、N之間的距離

為22,不計粒子重力，求：

（1）第二象限內(nèi)磁場的磁感應強度大小8/；

（2）第一象限內(nèi)圓形勻強磁場區(qū)域的最小面積S。

【變式5-4］（23-24高二上?內(nèi)蒙古赤峰?期末）如圖所示，第一象限內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場（圖中未

畫出），一質(zhì)量為加、電荷量為q的帶正電粒子從x軸上的M點以速度垂直于x軸射入磁場，從y軸上

的N點射出時速度方向與>軸正方向的夾角a=60。，M點和原點。間的距離為力不計粒子所受的重力。

（1）求勻強磁場磁感應強度2的大??；

（2）若僅在第一象限內(nèi)一矩形（MN為矩形的一條邊）區(qū)域內(nèi)存在磁場，求矩形磁場的最小面積”。

__

0Mx

題型6帶電粒子帶電性不確定形成的多解

【例6】（多選）（23-24高二下?四川廣元?開學考試）如圖所示，左右邊界分別為尸P、00，的勻強磁場的

寬度為d,磁感應強度大小為8,方向垂直紙面向里。一個質(zhì)量為〃?、電荷量為q的粒子，沿圖示方向以

速度%垂直射入磁場。欲使粒子不能從邊界。2射出，粒子入射速度%的最大值可能是（）

PQ

XX

P'X0'

A（2+V^）8qdBBqdC（2—\[2^Bqdy/lBqd

\n-J----------

m2m

【變式6-1］（多選）（22-23高二下?全國?課前預習）如圖所示,勻強磁場的磁感應強度為8,方向垂直紙

面向里，AGV是它的下邊界?，F(xiàn)有質(zhì)量為“、電荷量為q的帶電粒子與MN或30。角垂直射入磁場，則粒子

在磁場中運動的時間可能為（）

XXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXX

B

XXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXX

XXXXXX1XXX

MON

zrm27rm

B.

3qB3qB

4Tim57tm

D.

3qB3qB

【變式6-2］（多選）（21-22高二?全國?課時練習）如圖所示，在x軸上方存在著垂直于紙面向里的勻強磁

場。一個質(zhì)量為機、電荷量大小為夕（不計重力）的帶電粒子從坐標原點。處以速度v進入磁場，粒子進入

磁場時的速度方向垂直于磁場且與x軸正方向成120。角，若粒子在磁場中運動時與x軸的最大距離為“，則

磁感應強度B的大小和該粒子的電性可能是（）

XX

B

XX

XX

X

3mv4—,cmv小十+

A.-一，市正電B-通5正電

2aq

3mv.mv

C.-一，市負電D-通’帶負電

2aq

題型7磁場方向不確定形成的多解

【例7】（多選）（2023高二?全國?專題練習）如圖所示，/點的離子源沿紙面垂直。。方向向上射出一束

負離子，離子的重力忽略不計。為把這束負離子約束在。尸之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強磁場。己知

。、/兩點間的距離為s,負離子的比荷為幺，速率為v,OP與間的夾角為30。，則所加勻強磁場的磁

m

感應強度B的大小和方向可能是（）

/P

一上眥.f____

oAQ

mv

A.一,垂直紙面向里B.B>——，垂直紙面向里

3qsqs

mv3mv

C.B>—,垂直紙面向外D.B>---,垂直紙面向外

qsqs

【變式7-1］（多選）某電子以固定的正電荷為圓心在勻強磁場中做勻速圓周運動，磁場方向垂直于它的運

動平面，電子所受電場力恰好是磁場對它作用力的3倍。若電子電量為e,質(zhì)量為加，磁感應強度為5。那

么，電子運動的角速度可能是（）

4Be3Be2BeBe

A.-----B.-----C.-----D.—

mmmm

題型8臨界狀態(tài)不唯一形成的多解

【例8】（23-24高二下?江蘇揚州?期中）如圖所示，直線兒W與水平方向成60。角，的右上方存在垂直

紙面向外的勻強磁場，左下方存在垂直紙面向里的勻強磁場，兩磁場的磁感應強度大小均為次一粒子源位

于"N上的。點，能水平向右發(fā)射不同速率、質(zhì)量為加、電荷量為《（q>0）的同種粒子（重力不計，粒子間

的相互作用不計），所有粒子均能通過"N上的6點，已知仍=￡,則粒子的速度可能是（）

x\....................

a\????

xx\B

B'J**

xxx'、」

Ay/iqBL口扣qBL「6qBL門y/iqBL

A.--------D.----------C.---------D.---------

m2m3m4m

【變式8-1］（23-24高二上?山東青島?期末）長度為上的水平板上方區(qū)域存在垂直紙面向里、磁感應強度大

小為8的勻強磁場，從距水平板中心正上方g的尸點處以水平向右的速度%釋放一個質(zhì)量為加、電荷量為

e的電子，若電子能打在水平板上，速度「應滿足（）

XXXXX

XXXX

P?-----

XXXXX

XXXXX

eBLeBL

A.%>B.vo<~

2m4m

eBLeBLeBLeBL

C.<v0<-----D.%>------或%<-----

4m2m2m4m

【變式8-2］（多選）（22-23高二上?河南南陽?期中）如圖所示，區(qū)域內(nèi)有一方向垂直紙面向里、

磁感應強度大小為2的勻強磁場44=30。，AE=L,弧EFC是直徑為筋的半圓，/EC在一條直線上。在

/點有一個粒子源，可以沿方向發(fā)射速度大小不同的帶正電的粒子，均打到弧E/C上。已知粒子的比

荷均為總不計粒子間相互作用及重力，則關于粒子在上述過程中的運動時間可能的是（）

A

E

xXx

\F

XXXX

XXX

DC

.5萬2%2%

B.-----D.-----

'嬴3Bkc建9Bk

【變式8-3］（多選）（2024高三?全國?專題練習）如圖所示，邊長為上的等邊三角形區(qū)域/C。內(nèi)、外的

勻強磁場的磁感應強度大小均為5、方向分別垂直紙面向里、向外。三角形頂點/處有一質(zhì)子源，能沿乙4

的角平分線發(fā)射速度大小不等、方向相同的質(zhì)子（質(zhì)子重力不計、質(zhì)子間的相互作用可忽略），所有質(zhì)子

恰能通過。點，已知質(zhì)子的比荷包=左，則質(zhì)子的速度可能為（）

m

AB

/x\

?/xx公、?

c乙尸-”'2

，BkL

A-FB.BkL

c3BkL