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文檔簡介
猜想03軸對稱(易錯必刷40題13種題型專項訓(xùn)練)
?題型目錄展示―
線段垂直平分線的性質(zhì)(共4小題)等腰三角形的性質(zhì)(共9小題)
三.等腰三角形的判定(共3小題)四.等腰三角形的判定與性質(zhì)(共2小題)
五.等邊三角形的性質(zhì)(共1小題)六.等邊三角形的判定與性質(zhì)(共2小題)
七.含30度角的直角三角形(共3小題)A.生活中的軸對稱現(xiàn)象(共1小題)
九.軸對稱的性質(zhì)(共2小題)十.軸對稱圖形(共2小題)
十一.關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)(共8小題)十二.作圖-軸對稱變換(共1小題)
十三.軸對稱-最短路線問題(共2小題)
?題型通關(guān)專訓(xùn)?
一.線段垂直平分線的性質(zhì)(共4小題)
1.(2023春?定邊縣校級期末)如圖,在△48C中,垂直平分5C,分別交3。、AB于力、E,連接CE,
BF平分/ABC,交CE于尸,若BE=AC,NACE=2Q°,則/EFS的度數(shù)為()
【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得即=EC,從而可得NEBC=/ECB,再根據(jù)已知可得C£=/C,
從而利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得N/=//EC=80°,然后利用三角形的外角性質(zhì)
可得NEBC=/ECB=40°,再利用角平分線的定義NE8C=20°,最后利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計
算即可解答.
【解答】解:垂直平分8C,
:.EB=EC,
:./EBC=/ECB,
;BE=AC,
:.CE=AC,
VZACE=2Q°,
/.ZA=ZAEC=1.(180°-NACE)=80°,
2
:NAEC=/EBC+NECB=8Q°,
:.NEBC=NECB=4Q°,
■:BF平分N4BC,
:.ZFBC=^ZEBC=20°,
2
/.ZEFB=ZFBC+ZECB=60°,
故選:C.
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
2.(2022秋?漣源市期末)如圖,在足球場內(nèi),A,B,C表示三個足球運動員,為做折返跑游戲,現(xiàn)準(zhǔn)備在
足球場內(nèi)放置一個足球,使它到三個運動員的距離相等,則足球應(yīng)放置在()
A.AC,3c兩邊高線的交點處
B.AC,2C兩邊中線的交點處
C.AC,8c兩邊垂直平分線的交點處
D.N4,兩內(nèi)角平分線的交點處
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理,即可解答.
【解答】解:如圖,在足球場內(nèi),A,B,C表示三個足球運動員,為做折返跑游戲,現(xiàn)準(zhǔn)備在足球場內(nèi)
放置一個足球,使它到三個運動員的距離相等,則足球應(yīng)放置在/C,2C兩邊垂直平分線的交點處,
故選:C.
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),熟練掌握線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.
3.(2022秋?吉林期末)如圖,在△NBC中,48的垂直平分線交3c于點E,/C的垂直平分線交2c于點
F.若/3+/C=70°,則/E4尸的度數(shù)是()
A
BEFC
A.30°B.35°C.40°D.45°
【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出/A4c=11?!?再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得E/=匹,
E4=FC,從而可得NB=NB4E,NC=/E4C,然后利用等量代換可得/A4E+NE4c=70°,最后利用
角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答.
【解答】解:???/8+/C=70°,
AZBAC=180°-(ZB+ZC)=110°,
;AB的垂直平分線交BC于點E,AC的垂直平分線交BC于點F,
:.EA=EB,FA^FC,
:./B=/BAE,/C=/E4C,
:.ZBAE+ZE4C=10°,
AZEAF=ZBAC-(ZBAE+ZFAC)=40°,
故選:C.
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4.(2022秋?懷化期末)如圖,直線/與加分別是△/8C邊ZC和2C的垂直平分線,/與機分別交邊48
于點D和點E.
(1)若/2=10,則△€?£的周長是多少?為什么?
(2)若//C2=125°,求NDCE的度數(shù).
【分析】(1)依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),即可得到△(?£)£的周長=CD+r)£+CE=Nr>+DE+3E=/8;
(2)依據(jù)4D=CD,BE=CE,即可得到=NB=/BCE,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,即可
得到//+48=55°,進(jìn)而得到//CD+/3CE=55°,再根據(jù)NDCE=N/C2-(//CD+/BCE)進(jìn)行
計算即可.
【解答】解:(1)△CDE的周長為10.
V直線/與根分別是△NBC邊AC和BC的垂直平分線,
:.AD=CD,BE=CE,
£\CDE的周長=Cr>+D£+C£=/O+£>£+3£=/3=10;
(2)?..直線/與機分別是△/BC邊/C和BC的垂直平分線,
:.AD=CD,BE=CE,
:.ZA=Z.ACD,/B=/BCE,
又“:N4CB=125",
:.ZA+ZB=l80°-125°=55°,
AZACD+ZBCE=55°,
:.ZDCE^ZACB-QACD+/BCE)=125°-55°=70°.
【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì),線段垂直平分線上任意一點,到線段兩端點的距離相等.
二.等腰三角形的性質(zhì)(共9小題)
5.(2022秋?門頭溝區(qū)期末)一個等腰三角形的兩條邊分別是2c%和5cm,則第三條邊的邊長是()
A.2cmB.5cmC.2cm或5cmD.不能確定
【分析】分兩種情況:當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2CM,底邊長為5c"?時,當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5c〃z,底
邊長為2°加時,然后分別進(jìn)行計算即可解答.
【解答】解:分兩種情況:
當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2cm,底邊長為5cm時,
V2+2=4<5,
不能組成三角形;
當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5cm,底邊長為2cm時,
...等腰三角形的三邊長分別為5c%,5cm,2cm,
綜上所述:等腰三角形的第三條邊的邊長是5cm,
故選:B.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.
6.(2022秋?番禺區(qū)校級期末)等腰三角形的一條邊長為6,另一邊長為14,則它的周長為()
A.26B.26或34C.34D.20
【分析】分兩種情況:當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6,底邊長為14時;當(dāng)?shù)妊切蔚难L為14,底邊長為
6時,然后分別進(jìn)行計算即可解答.
【解答】解:分兩種情況:
當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6,底邊長為14時,
;6+6=12V14,
不能組成三角形;
當(dāng)?shù)妊切蔚难L為14,底邊長為6時,
.?.它的周長=14+14+6=34;
綜上所述:它的周長為34,
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系,分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.
7.(2022秋?南開區(qū)校級期末)等腰二角形的一個外角是70°,則它的頂角的度數(shù)為()
A.70°B.70°或40°C.110°D.110°或40°
【分析】利用平角定義,進(jìn)行計算即可解答.
【解答】解:如圖:在△48C中,AB=AC,
:.Z5^C=180°-S4c=110°,
等腰三角形的頂角的度數(shù)為HO。,
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.
8.(2022秋?聊城期末)若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,則這個等腰三角形的底角的度
數(shù)為()
A.20°B.50°或70°C.70°D.20°或70°
【分析】分兩種情況討論:①若該等腰三角形為鈍角三角形;②若該等腰三角形為銳角三角形;先求
出頂角即可求出底角的度數(shù).
【解答】解:①如圖1,當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時,
?.?一腰上的高與另一腰的夾角是50°,
.?.底角=工(90°-50°)=20°,
2
②如圖2,當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時,
二,一腰上的高與另一腰的夾角是50°,
底角=1_[180°-(90°-50°)]=70°.
2
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角和鄰補角的定義;注意分類討論方法的運用,避免漏解.
9.(2022秋?平谷區(qū)期末)如圖,△NBC中,AB=AC,。是胡延長線上一點,且/ZUC=100°,則NC
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得/2=NC,再利用三角形的外角性質(zhì)可得Nn4C=NB+NC=100°,
然后進(jìn)行計算即可解答.
【解答】解:?.13=NC,
NB=NC,
,/ZDAC是△NBC的一個外角,
AZDAC^ZB+ZC=100°,
AZB=ZC=50°,
故答案為:50°.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
10.(2022秋?衡山縣期末)己知等腰三角形的兩邊長分別為10和4,則三角形的周長是24.
【分析】分兩種情況:當(dāng)?shù)妊切蔚难L為10,底邊長為4時,當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4,底邊長為
10時,然后分別進(jìn)行計算即可解答.
【解答】解:分兩種情況:
當(dāng)?shù)妊切蔚难L為10,底邊長為4時,
...這個等腰三角形的周長=10+10+4=24;
當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4,底邊長為10時,
V4+4=8<10,
???不能組成三角形;
綜上所述:這個等腰三角形的周長為24,
故答案為:24.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系,分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.
11.(2022秋?東昌府區(qū)校級期末)如圖,在中,AB=AC,。為3c的是中點,AD=AE,/BAD=
30°,求/EDC的度數(shù).
【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得/4。。=90°,ZBAD=ZCAD=3Q°,然后再利用等
腰三角形的性質(zhì),以及三角形內(nèi)角和定理可得//£>£=/N£D=75°,從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計算
即可解答.
【解答】解:?.13=NC,。為8C的是中點,
AZADC=90°,/BAD=/CAD=30°,
':AD=AE,
:.N4DE=NAED=L(180°-/CAD)=75°,
2
/EDC=ZADC-/4DE=15°,
的度數(shù)為15°.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
12.(2022秋?忠縣期末)如圖△NBC中,點。在上,已知
<1)求//C2的大?。?/p>
(2)若//=30°,48=4,求△BCD的周長.
【分析】(1)先利用等腰三角形的性質(zhì)可得//=N/CD,NB=NBCD,然后利用三角形的內(nèi)角和定理,
進(jìn)行計算即可解答;
(2)利用(1)的結(jié)論,在RtZ\/3C中,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得3。=工48=2,然后
2
再根據(jù)已知可得NO=8O=C£>=2,從而利用三角形的周長公式,進(jìn)行計算即可解答.
【解答】解:(1)':AD=BD=CD,
;./4=NACD,/B=NBCD,
':ZA+ZACD+ZBCD+ZB=180°,
:.2ZACD+2ZBCD^18Q0,
AZACD+ZBCD=90°,
/.ZACB=90°;
(2):N/=30°,ZACB=90°,AB=4,
:.BC=^AB=2,
2
,:AD=BD=CD,
.".AD=BD=CD=—AB=2,
2
△BCD的周長為6.
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形,等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握含30度角的直角三角形的
性質(zhì),以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
13.(2022秋?開封期末)已知在△48C中,48=20,BC=3,AC=2m-2.
(1)求加的取值范圍;
(2)若△/8C是等腰三角形,求△NBC的周長.
【分析】(1)利用三角形的三邊關(guān)系可得:20-8V2〃L2<20+8,然后進(jìn)行計算即可解答;
(2)分兩種情況:當(dāng)/3=/C=20時;當(dāng)8C=/C=8時,然后分別進(jìn)行計算即可解答.
【解答】解:(1)在△43C中,AB=2Q,BC=8,AC=2m-2.
:.2O-8<2/M-2<20+8,
解得:7<n<15;
二%的取值范圍為:7V機<15;
(2)???△NBC是等腰三角形,
,分兩種情況:
當(dāng)/8=/C=20時,
,AABC的周長=20+20+8=48;
當(dāng)3C=/C=8時,
V8+8=16<20,
???不能組成三角形;
綜上所述,△43C的周長為48.
【點評】本題考查了三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握三角形三邊關(guān)系,以及等腰三角形
的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
三.等腰三角形的判定(共3小題)
14.(2022秋?平橋區(qū)校級期末)線段48在如圖所示的8X8網(wǎng)格中(點/、8均在格點上),在格點上找一
點C,使△ABC是以為頂角的等腰三角形,則所有符合條件的點。的個數(shù)是()
A.4B.5C.6D.7
【分析】根據(jù)題意可得,以點3為圓心,砌長為半徑畫圓,圓與格點的交點即為符合條件的點C
【解答】解:如圖所示:
使△NBC是以N2為頂角的等腰三角形,
所以所有符合條件的點C的個數(shù)是6個.
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定,解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定.
15.(2022秋?臥龍區(qū)校級期末)如圖,正方形的網(wǎng)格中,點N,B是小正方形的頂點,如果。點是小正方
形的頂點,且使是等腰三角形,則點C的個數(shù)為()
【分析】當(dāng)是腰長時,根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu),找出一個小正方形與/、3頂點相對的頂點,連接即可得到等
腰三角形;當(dāng)是底邊時,根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,N2垂直平分線上的
格點都可以作為點C,然后相加即可得解.
【解答】解:如圖,分情況討論:
①為等腰△48C的底邊時,符合條件的。點有4個;
②42為等腰△NBC其中的一條腰時,符合條件的。點有4個.
所以△N3C是等腰三角形,點C的個數(shù)為8個,
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定;解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意,畫出符合實際條件的圖形.分類討
論思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.
16.(2022秋?邳州市期末)如圖所示的正方形網(wǎng)格中,網(wǎng)格的交點稱為格點,已知2是兩格點,如果C
也是圖中的格點,且使得△/BC為等腰三角形,則符合條件的點C的個數(shù)是()
【分析】分N8是腰長時,根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu),找出一個小正方形與/、3頂點相對的頂點,連接即可得到等
腰三角形,是底邊時,根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,N8垂直平分線上的格
點都可以作為點C,然后相加即可得解.
【解答】解:①N5為等腰△/8C底邊時,符合條件的C點有4個;
②為等腰△48C其中的一條腰時,符合條件的C點有4個.
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定,熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點是解題的關(guān)鍵,要注意分是腰長
與底邊兩種情況討論求解.
四.等腰三角形的判定與性質(zhì)(共2小題)
17.(2022秋?潢川縣校級期末)如圖,在△NBC中,AB=3,AC=4,/N8C和N4C3的平分線交于點£,
過點£作〃N〃2c分別交48、/C于"、N,則的周長為()
A.4B.6C.7D.8
【分析】利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證和△NEC是等腰三角形,從而可得〃2=旌,
NE=NC,然后利用等量代換可得△/MN的周長=N8+/C,進(jìn)行計算即可解答.
【解答】解::BE平分N4BC,CE平分/4CB,
:./ABE=/EBC,ZACE=ZECB,
'JMN//BC,
:.NMEB=NEBC,/NEC=/ECB,
:.ZABE^ZMEB,/ACE=/NEC,
:.MB=ME,NE=NC,
9
:AB=3fAC=4,
AAMN的周長=AM+MN+AN
=AM+ME+EN+AN
=AM+MB+CN+AN
=AB+AC
=3+4
=7,
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰
三角形是解題的關(guān)鍵.
18.(2022秋?荊門期末)如圖,在△ZBC中,ED//BC,N45C和N4C5的平分線分別交切于點G、F,
若尸G=4,ED=8,求EB+DC=12.
【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△防G和△?;?。是等腰三角形,從而可得EB=EG,
DF=DC,進(jìn)而可得血+。。=切+bG,然后進(jìn)行計算即可解答.
【解答】解:???£Q〃5C,
:?/EGB=/GBC,ZDFC=ZFCB,
〈BG平分N/5C,CF平分N4C5,
:?/ABG=/CBG,NACF=NFCB,
:.ZEBG=ZEGB,ZDFC=ZACF,
:.EB=EG,DF=DC,
VFG=4,瓦)=8,
:.EB+DC=EG+DF
=ED+FG
=12,
故答案為:12.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),熟練掌握利用角平分線的定義和平行線
的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵.
五.等邊三角形的性質(zhì)(共1小題)
19.(2022秋?睢陽區(qū)期末)已知△48C為等邊三角形,AB=10,M在48邊所在直線上,點N在ZC邊所
在直線上,旦MN=MC,若4W=16,則CN的長為4或36.
M
【分析】分兩種情形:①當(dāng)點M在48的延長線上時,作地于。.②當(dāng)點”在A4的延長線上
時,作MO_LCN于D分別求解即可.
【解答】解:由題意可知,BM=AN=6,
①如圖,當(dāng)點M在的延長線上時,作A/D_L4C于。.
Nr
在RtA^A?中,
VZADM^90°,ZA=6Q°,AM=16,
.".AD=-AM=S,
2
:.CD=AC-AD^l,
,:MN=MC,MDLCN,
:.DN=CD,
:.CN=2CD=4.
②如圖,當(dāng)點M在氏4的延長線上時,作兒ZD_LCN于£),
N,
1
Bi-------Nc
在RtAAMD中,
VZADM^90°,ZDAM=60°,AM=16,
.".AD=—AM=S,
2
:.CD=AD+AC^lS,
,:MN=MC,MDLCN,
:.DN=CD,
:.CN=2CD=36,
故答案為:4或36.
【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì),解直角三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考
問題,學(xué)會添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問題.
六.等邊三角形的判定與性質(zhì)(共2小題)
20.(2022秋?岳麓區(qū)校級期末)如圖,已知4D平分/A4C,NDEB=NEBC=60°,若BE=5,
DE=2,則BC=7.
【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出△BE"為等邊三角形,得出3M=EN=3E=5,從而
得出8N的長,進(jìn)而求出答案.
【解答】解:延長ED交3C于M,延長/。交8c于N,如圖,
9:AB=AC,4。平分NA4C,
C.ANLBC,BN=CN,
VZEBC=ZDEB=60°,
???為等邊三角形,
:.BM=EM=BE=5,ZEMB=60°,
,:DE=2,
:?DM=3,
■:ANIBC,
:.ZDNM=9Q°,
:.ZNDM=30°,
:.NM=LDM=3,
22
:.BN=BM-MN=5-3=工,
22
:.BC=2BN=1.
故答案為:7.
【點評】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),含30°直角三角形的性質(zhì)等
知識,根據(jù)題意構(gòu)造含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵.
21.(2022秋?東洲區(qū)期末)如圖,直線a〃6,△48C是等邊三角形,點/在直線a上,邊8C在直線6上,
把△48C沿方向平移的一半得到△/'B'C(如圖①);繼續(xù)以上的平移得到圖②,再繼續(xù)
以上的平移得到圖③,…;請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是400.
【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形,又觀察圖可得,第〃個圖形中大等邊三角形有2〃個,小等
邊三角形有2〃個,據(jù)此求出第100個圖形中等邊三角形的個數(shù).
【解答】解:如圖①
■:AABC是等邊三角形,
???AB=BC=AC,
?:A'B'//AB,BB'=B'C=Lc,
2
:.B'CO=1-AC,
22
...△夕oc是等邊三角形,同理陰影的三角形都是等邊三角形.
又觀察圖可得,第1個圖形中大等邊三角形有2個,小等邊三角形有2個,
第2個圖形中大等邊三角形有4個,小等邊三角形有4個,
第3個圖形中大等邊三角形有6個,小等邊三角形有6個,…
依次可得第n個圖形中大等邊三角形有2"個,小等邊三角形有2?個.
故第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是:2X100+2X100=400.
故答案為:400.
①
【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律.
七.含30度角的直角三角形(共3小題)
22.(2022秋?白云區(qū)校級期末)若等腰三角形腰上的高是腰長的一半,則這個等腰三角形的底角是()
A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°
【分析】分兩種情況:當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時;當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時;然后分別進(jìn)行計
算即可解答.
【解答】解:分兩種情況:
當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時,如圖:
A
在△48C中,AB=AC,BDLAC,
:.ZBDA=90°,
,:BD=^-AB,
2
ZBAD=30a,
':AB=AC,
:.ZABC=ZC=1.(180°-/A)=75
2
???這個等腰三角形的底角是75°;
當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時,如圖:
在△NBC中,AB=AC,BDLAC,
:.NBDA=90°,
?:BD=LB,
2
:.NBAD=30°,
:.ZABC+ZC=30°,
;AB=AC,
:.ZABC=ZC=^ZBAD=15°,
2
,這個等腰三角形的底角是15°;
綜上所述:這個等腰三角形的底角是75°或15°,
故選:A.
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.
23.(2022秋?洪山區(qū)校級期末)如圖,在RtZk/BC中,ZBAC=90°,ZS=30°,ADLBC.則下列等式
成立的是()
2DCC.AB=4DCD.BD=2AC
【分析】根據(jù)在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,求出3O=3OC,BD=3AC,BC
2
4DC,AC=2DC.
【解答】解:???/8/C=90°,/B=30°,
;.BC=2AC,ZC=60",
"JADLBC,
:.ZDAC=30°,
:.AC=2DC,
B不符合要求;
:.BC=4DC,
不符合要求;
:.BD=3DC,
:.A符合要求;
,:AC=2DC,BC=4DC
:.BD=^-AC,
2
二。不符合要求;
故選:A.
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形,掌握此定理,應(yīng)用時,要注意找準(zhǔn)30。的角所對的直角
邊,點明斜邊,是解題的關(guān)鍵.
24.(2022秋?楊浦區(qū)期末)已知,如圖,在△/BC中,為3c邊上的中線,S.AD=^BC,AE±BC.
2
(1)求證:/CAE=/B;
(2)若/C4£=30°,CE=2,求N3的長.
A
【分析】(1)根據(jù)三角形的中線定義可得助=。。=工2。從而可得4D=DC=BD,然后利用等腰三角
2
形的性質(zhì)可得/C=ND4C,再利用三角形的內(nèi)角和定理可得N8+/C=90°,最后根據(jù)
垂直定義可得/N£C=90°,從而可得/。/£+/。=90°,進(jìn)而根據(jù)同角的余角相等即可解答;
(2)在Rt^/EC中,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出/C的長,然后在中,利用含
30度角的直角三角形的性質(zhì)即可解答.
【解答】(1)證明:為8C邊上的中線,
:.BD=DC=LBC,
2
":AD=LBC,
2
:.AD=DC=BD,
:./B=NBAD,ZC=ADAC,
VZB+ZBAD+ZDAC+ZC=1SO°,
:.2(ZS+ZC)=180°,
:.ZB+ZC=90°,
":AE±BC,
:.ZAEC=9Q°,
:.ZCAE+ZC=90°,
;.NCAE=NB;
(2)解:VZAEC=90°,NCAE=30°,CE=2,
;./C=2CE=4,
VZB+ZC^90°,
:.Z^C=180°-(Z5+ZC)=90°,
,:/B=/CAE=30°,
'.AB=y/3AC=4/s,
:.AB的長為4愿.
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形,熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
八.生活中的軸對稱現(xiàn)象(共1小題)
25.(2022秋?高陽縣校級期末)如圖是跳棋盤,其中格點上的黑色點為棋子,剩余的格點上沒有棋子,我
們約定跳棋游戲的規(guī)則是:把跳棋棋子在棋盤內(nèi)沿直線隔著棋子對稱跳行,跳行一次稱為一步,已知點
/為乙方一枚棋子,欲將棋子/跳進(jìn)對方區(qū)域(陰影部分的格點),則跳行的最少步數(shù)為()
A.2步B.3步C.4步D.5步
【分析】根據(jù)題意,結(jié)合圖形,由軸對稱的性質(zhì)判定正確選項.
【解答】解:觀察圖形可知:先向右跳行,在向左,最后沿著對稱的方法即可跳到對方那個區(qū)域,所以
最少是3步.
故選B.
【點評】此題考查軸對稱的基本性質(zhì),注意:對稱軸垂直平分對應(yīng)點的連線.通過對稱的性質(zhì)找到最短
的路線是解題的關(guān)鍵.
九.軸對稱的性質(zhì)(共2小題)
26.(2022秋?大連期末)如圖,在2X2的正方形格紙中,有一個以格點為頂點的△/2C,在格紙中能畫出
與成軸對稱且也以格點為頂點的三角形(不包括A/BC本身),這樣的三角形共有3個
B
【分析】依據(jù)大正方形的對稱軸,即可畫出與△/8C成軸對稱且也以格點為頂點的三角形.
【解答】解:如圖所示,與△N8C成軸對稱且也以格點為頂點的三角形有3個:
故答案為:3.
【點評】本題考查軸對稱圖形的定義與判斷,如果一個圖形沿著一條直線對折,兩側(cè)的圖形能完全重合,
這個圖形就是軸對稱圖形.折痕所在的這條直線叫做對稱軸.
27.(2022秋?華容區(qū)期末)如圖,四邊形ABCD中,點3關(guān)于/C的對稱點⑶恰好落在CD上,
若N84D=a,則N/C5的度數(shù)為()
A.45°B.a-45。C.LD.90°--la
22
【分析】連接48',BB',過/作/E_LCD于E,依據(jù)ZDAE^ZB'AE,即可得出/C/E
=工48/。=工a,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì),即可得到b=90°-工11.
222
【解答】解:如圖,連接/9,BB',過/作4B_LCD于£,
,/點2關(guān)于NC的對稱點9恰好落在CD上,
垂直平分89,
:.AB=AB',
:.NBAC=ZB'AC,
;AB=AD,
:.AD=AB',
又;4E_LCD,
:./DAE=ZB'AE,
:.ZCAE=1-ZBAD=1-a,
22
又;/AEB'=/4OB'=90°,
,四邊形/OB'E中,/EB'O=180°-
2
,
:.ZACB'=ZEB'O-ZCO5=180°-90°=90°-Xa,
22
ZACB=ZACB'=90°-Aa,
2
故選:D.
【點評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì),四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)的運用,解決問題的關(guān)鍵是
作輔助線構(gòu)造四邊形解題時注意:如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應(yīng)
點所連線段的垂直平分線.
一十.軸對稱圖形(共2小題)
28.(2022秋?海安市期末)觀察如圖的網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo),其中可以看成軸對稱圖形的是()
AOBSCnD
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形叫做軸對稱圖形,這
條直線叫做對稱軸.
【解答】解:選項C的圖形能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相
重合,所以是軸對稱圖形,
選項48、。的圖形均不能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重
合,所以不是軸對稱圖形,
故選:C.
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重
合.
29.(2023?岳麓區(qū)校級三模)“致中和,天地位焉,萬物育焉.”對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn),
常被運用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)識等作品的設(shè)計上,使對稱之美驚艷了千年的時光.下列大學(xué)的校徽
圖案是軸對稱圖形的是()
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形叫做軸對稱圖形,
這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可.
【解答】解:A,C,。選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的
部分能夠互相重合,所以不是軸對稱圖形;
8選項中的圖形能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,所以
是軸對稱圖形;
故選:B.
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念,軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合.
一十一.關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)(共8小題)
30.(2022秋?天河區(qū)校級期末)下列說法正確的是()
A.已知點M(2,-5),則點M到x軸的距離是2
B.若點/("I,0)在x軸上,則°=0
C.點/(-1,2)關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)為(-1,-2)
D.點C(-3,2)在第一象限內(nèi)
【分析】分別根據(jù)點的幾何意義;在x軸上的點的縱坐標(biāo)為零;關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)特點:橫坐標(biāo)
不變,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);各個象限上的點的坐標(biāo)符號逐一判斷即可.
【解答】解:A.已知點“(2,-5),則點M到x軸的距離是|-5|=5,故本選項不合題意;
B.若點4(a-1,0)在x軸上,則??梢允侨w實數(shù),故本選項不合題意;
C.點N(-1,2)關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)為(-1,-2),故本選項符合題意;
D.C(-3,2)在第二象限內(nèi),故本選項不合題意;
故選:C.
【點評】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)以及點的坐標(biāo),掌握平面直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)特點是
解答本題的關(guān)鍵.
31.(2022秋?廣宗縣期末)若點/(a,3),B(2,-b)關(guān)于y軸對稱,則點b)所在的象限是
()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【分析】根據(jù)“關(guān)于7軸對稱的點,縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求出a、b的值,即可得到結(jié)論.
【解答】解:,?,點/(a,3)、點2(2,-b)關(guān)于y軸對稱,
??=-2,-6=3,
解得:a=-2,6=-3,
:.點、M(a,b)在第三象限,
故選:C.
【點評】本題考查了關(guān)于x軸、了軸對稱的點的坐標(biāo)以及各點所在象限的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握好
對稱點的坐標(biāo)規(guī)律:(1)關(guān)于x軸對稱的點,橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);(2)關(guān)于y軸對稱的點,
縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù);(3)關(guān)于原點對稱的點,橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).
32.(2022秋?扶溝縣校級期末)已知點M(a,3)和N(4,b)關(guān)于y軸對稱,則a-6=-7.
【分析】直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)(橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)不變)得出。,6的值,進(jìn)而得出
答案.
【解答】解:;點M(a,3)和N(4,b)關(guān)于了軸對稱,
".a=-4,b=3,
:.a-b—-4-3=-7.
故答案為:-7.
【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì),正確掌握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.
33.(2022秋?靈寶市期末)在平面直角坐標(biāo)系中,點/(1+m,1-n)與點2(-1,2)關(guān)于丁軸對稱,則
m+n=-].
【分析】關(guān)于丁軸的對稱點的坐標(biāo)特點:橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)不變.直接利用關(guān)于〉軸對稱點的
性質(zhì)得出冽,〃的值,進(jìn)而得出答案.
【解答】解:?.?點力(1+冽,1-幾)與點呂(-1,2)關(guān)于y軸對稱,
m+l=l,1-〃=2,
解得:m=0,n=-1,
/.m+n=0-1=-1.
故答案為:-1.
【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的特征,點尸(X,/)關(guān)于y軸的對稱點P的坐標(biāo)是(-X,>).
34.(2022秋?辛集市期末)規(guī)定:在平面直角坐標(biāo)系中,一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位,
一個點作“1”變換表示將它關(guān)于x軸作對稱點,一個點作“2”變換表示將它關(guān)于y軸作對稱點.由數(shù)
字0,1,2組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續(xù)變換.例如:如圖,點/(-2,3)按序列“012”
作變換,表示點/先向右平移一個單位得到4(-1,3),再將出(-1,3)關(guān)于x軸對稱得到/2(-
1,-3),再將加(-1,-3)關(guān)于〉軸對稱得到出(1,-3)…依次類推.點(1,1)經(jīng)過“012012012…”
100次變換后得到點的坐標(biāo)為()(注:“012”算3次變換)
AA.yf
____I_____I----------1-----1—
Io工
I
I
I
I
I
-卜--*"43
A.(2,1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(-1,-1)
【分析】根據(jù)變換的定義解決問題即可.
【解答】解:點3(1,1)按序列“012”作變換,表示點2先向右平移一個單位得到囪(2,1),再將
Ai(2,1)關(guān)于x軸對稱得到&(2,-1),再將比(2,-1)關(guān)于y軸對稱得到明(-2,-1)…依
次類推,點(1,1)經(jīng)過“012”變換得到點(-2,-1),點(-2,-1)經(jīng)過“012”變換得到點(1,
1),說明經(jīng)過6次變換回到原來的位置,
1004-6=16...4,
所以點(1,1)經(jīng)過“012012012…”100次變換后得到點的坐標(biāo)為(-1,-1).
故選:D.
【點評】本題考查規(guī)律型:點的坐標(biāo),平移變換,旋轉(zhuǎn)變換等知識,解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運用
所學(xué)知識解決問題.
35.(2022秋?金牛區(qū)校級期末)已知有序數(shù)對(a,b)及常數(shù)左,我們稱有序數(shù)對Qka+b,a-b)為有序
數(shù)對(a,6)的“左階結(jié)伴數(shù)對如(3,2)的“1階結(jié)伴數(shù)”對為(1X3+2,3-2)即(5,1).若有
序數(shù)對(a,b)(b聲0)與它的“左階結(jié)伴數(shù)對”關(guān)于y軸對稱,則此時人的值為()
A.-2B.-3C.0D.-A
22
【分析】根據(jù)新定義可得:有序數(shù)對(a,6)(6W0)的“左階結(jié)伴數(shù)對”是(ka+b,a-b),并根據(jù)y
軸對稱:橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等,可列方程組,從而可解答.
【解答】解::,有序數(shù)對(。,b)(6W0)的“左階結(jié)伴數(shù)對”是(ka+b,a-b),
.(a-b=b
la+ka+b=O
解得:k=-3.
2
故選:B.
【點評】本題考查了解二元一次方程組,新定義階結(jié)伴數(shù)對”的理解和運用,能根據(jù)題意列出方程
組是解此題的關(guān)鍵.
36.(2022秋?寧波期末)在平面直角坐標(biāo)系中,點-3,-4)平移后能與原來的位置關(guān)于y軸對稱,
則應(yīng)把點/()
A.向左平移6個單位B.向右平移6個單位
C.向下平移8個單位D.向上平移8個單位
【分析】關(guān)于〉軸成軸對稱的兩個點的縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù),那么向右平移兩個橫坐標(biāo)差的
絕對值即可.
【解答】解:???點/(-3,-4)平移后能與原來的位置關(guān)于y軸軸對稱,
...平移后的坐標(biāo)為(3,-4),
???橫坐標(biāo)增大,
???點是向右平移得到,平移距離為|3-(-3)|=6.
故選:B.
【點評】本題考查了平移中點的變化規(guī)律及點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的知識點,用到的知識點為:兩點關(guān)于y
軸對稱,縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù);點的左右移動只改變點的橫坐標(biāo).
37.(2022秋?欽州期末)下列各點中,點又(1,-2)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是()
A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,-2)
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點,橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答.
【解答】解:點M(l,-2)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(1.2).
故選:A.
【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo),解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律:(1)
關(guān)于X軸對稱的點,橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);(2)關(guān)于y軸對稱的點,縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互
為相反數(shù).
一十二.作圖-軸對稱變換(共1小題)
38.(2022秋?吁胎縣期末)△N3C在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,其中-3,5),8(-5,
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