重慶市秀山某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

重慶市秀山高級中學(xué)高2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為若出=9,S4=40,則數(shù)列｛。"｝的公差"=（）

3

A.3B.2C.-D.4

2

2.已知圓Q：(%-1)2+3+2)2=9,圓。2：/+/+4x+2y-11=0,則這兩個圓的位置關(guān)

系為（）.

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)含

2222

3.已知橢圓二+匕=1的左焦點是雙曲線二_y_-=1的左頂點，則雙曲線的漸近線為（）

259a9

4(3

A.y=±—xB.y=±—x

55

4

C.y=±-%D.j/=±-x

3/4

4.在正方體/BCD-44GA中，點州是棱的中點，則異面直線8M與/C所成角的正

弦值為（）

AV10口3碗八而n而

510510

5.已知aeR,直線4：。尤+y-12=0的方向向量與直線乙：（a+3）x+4y+16=0的方向向量

共線，則這兩條直線之間的距離為（）

A.4B.8A/2C.4VID.2行

6.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線,

在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處

（如圖②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為2.4,深度為0.4,則該拋物線的焦點到

頂點的距離為（）

試卷第1頁，共4頁

①②

A.0.9B.1.8C.1.2D.1.05

22

7.直線/:x-2y+百=0經(jīng)過橢圓1r+方=1（。>6>°）的左焦點尸，且與橢圓交于兩

點，若M為線段AB中點，|九值|=|。飲|,則橢圓的離心率為（）

A.—B.yC.—D.^1^.

2222

8.已知數(shù)列包｝滿足%+。用=2、（-1）",〃€獷，且。2=5,記數(shù)歹“一^的前”項和為5",

貝!J849=（）

二、多選題

9.已知數(shù)列｛%｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，則（）

A.［牛］是等差數(shù)列B.｛“向-％｝是等差數(shù)列

C.｛1嗎%｝是等比數(shù)列D.｛%。,用｝是等比數(shù)列

10.下列說法正確的是（）

A.若向量乙瓦工共面，則它們所在的直線共面

B.若G是四面體O48C的底面VN8C的重心，貝1J加=；（刀+礪+區(qū)）

C.^OG=--OA+^OB+jOC,則48,C,G四點共面

D.若向量力=欣+城+丘，則稱（根,",左）為力在基底｛京幾罰下的坐標(biāo)，已知力在單位

試卷第2頁，共4頁

正交基底3下的坐標(biāo)為（1,2,3）,則/在基底｛6-瓦1+瓦寸下的坐標(biāo)為,;,|,31

22

11.已知雙曲線C：亍-%=1,>0力>0）,過左焦點用作一條漸近線的垂線，垂足為尸，過

右焦點6作一條直線交雙曲線的右支于43兩點，AG/2的內(nèi)切圓與耳/相切于點。，則

下列選項正確的是（）

A.線段的最小值為打

a

B.的內(nèi)切圓與直線4S相切于點耳

C.當(dāng)歸周=|。周時，雙曲線的離心率為世

D.當(dāng)點片關(guān)于點尸的對稱點在另一條漸近線上時，雙曲線的漸近線方程為其±y=0

三、填空題

12.在空間直角坐標(biāo)系O-平中，已知向量征=（1,0,3）,貝壯在x軸上的投影向量

為.

13.在等比數(shù)列｛0”｝中，+。2=3,。5+。6=6,則。9+。10=.

14.已知拋物線C:R=2PMP>0）的焦點為尸，過點M（2,o）的直線交拋物線c于4方兩

點，若=九"|水司=5,貝次=.

四、解答題

15.已知三點。（。⑼,4（T-1）,8（2,0）,記V/08的外接圓為。C.

（1）求OC的方程；

⑵若直線/：》-了-1=0與。（7交于〃,"兩點，求ACAW的面積.

22.

16.已知梢圓C：=+二=1（。>6>0）經(jīng)過點/（一2,0）,離心率為:

（1）求橢圓。的方程；

⑵直線1尸與橢圓c交于點p（異于頂點）與y軸交于點〃，點尸為橢圓的右焦點，。為坐

標(biāo)原點，MFVOP,求直線4P的方程.

17.已知數(shù)列｛4｝的首項為=1,設(shè)S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，且有2S"=（〃+1）%.

試卷第3頁，共4頁

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)令g=aj2",求數(shù)列｛q｝的前〃項和

18.在四棱錐尸-48C。中，尸/_L底面/BCD,/。工48,ABHDC,AD=DC=AP=2,AB=1,

點E為棱尸C中點.

⑴證明：8E〃平面P/D；

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

(3)若尸為棱尸C上一點，滿足求平面E4B與平面4Ap夾角的余弦值.

22

19.如圖，已知橢圓「：土+匕=1的兩個焦點為耳，工，且耳耳為雙曲線的的頂點，雙曲

84

線心的離心率0=亞，設(shè)尸為該雙曲線「2上異于頂點的任意一點，直線尸片,尸片的斜率分

別為匕，&，且直線PK和PF?與橢圓4的交點分別為4B和c,，

(1)求雙曲線「2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：直線尸耳尸耳的斜率之積勺?七為定值;

⑶求胃\AB的\取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《重慶市秀山高級中學(xué)高2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案BCDCBACAADBD

題號11

答案BCD

1.B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和求和公式直接計算求解.

%+d=9_7

【詳解】由出=9,$4=40=L14s

I2

故選：B

2.C

【分析】求得兩個圓的圓心和半徑，求得圓心距，由此確定正確選項.

【詳解】圓a：(x-l)2+3+2)2=9的圓心為(1,-2),半徑為q=3,

圓&方程f+/+4x+2y-ll=0可化為(x+2)z+(_y+l)2=42,

圓。2的圓心為(一2,-1),半徑為々=4,圓心距==而，

因為馬_4=1,々+4=7,1<A/IU<7,

所以兩個圓的位置關(guān)系是相交.

故選：C.

3.D

【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得其焦點坐標(biāo)，從而得到雙曲線的左頂點坐標(biāo)，再由其漸近線

方程，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)橢圓焦距為2c(c>0),

22

則,2=25-9=16,則c=4,所以橢圓1+三=1的左焦點為(一4,0),

22

所以雙曲線1r5=1的左頂點為(-4,0),

所以。=4,所以i=16,

所以雙曲線二-片=1的漸近線為了=￡尤.

1694

故選：D

4.C

答案第1頁，共14頁

【分析】通過平行關(guān)系將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為相交直線夾角，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)求解正弦

值即可.

【詳解】如圖所示，取。。中點N,連接AN,CN,AC,MN,取NC中點O,連接ON,

則MN//CD//AB,MN=CD=AB,

/'：」

O

所以四邊形是平行四邊形，所以3/〃/N,

所以/AC4c或其補角是異面直線3W與NC所成角,

設(shè)正方體棱長為2,貝!|/乂=。'=不,/。=2應(yīng),

在等腰AZNC中，。是/C中點，所以O(shè)NL/C,

AN2-

即異面直線BM與AC所成角的正弦值為叵.

故選：C

5.B

【分析】根據(jù)兩直線平行可得。的值，再根據(jù)平行線之間的距離公式求解即可.

【詳解】由題意可得〃4,所以lx(a+3)=ax4,解得a=l,

故兩直線方程分另U為x+y-12=0,x+y+4=0,

故這兩條平行線之間的距離為d=?陋=8行.

故選：B.

6.A

【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系求出拋物線方程即可得到答案.

【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(即

拋物線的頂點)與原點重合，焦點在x軸上，

答案第2頁，共14頁

y,

設(shè)拋物線方程為V=2Px(p>0),代入N(0.4,L2),

所以1.2xl.2=2px0.4,解得p=L8,所以拋物線方程為『=3.6x,

則該拋物線的焦點到頂點的距離為￡=0.9.

2

故選：A

7.C

【分析】由=得到自.=-!，結(jié)合點差法計算得進而求出離心率.

2a4

【詳解】直線/:x-2y+/=0的斜率如圖，

由\MF\=\OM\,得ZMFO=ZMOF,則直線OM的斜率kOM=-1,

4K

=12_22_2

設(shè)4（再,必）,8（孫必）,?（/,%）,,兩式相減得五三紅+好區(qū)=0,

a2b2

1/〃=1

于是上%+x?y-y1

=}2而出』1M+%=A

aM+力玉一》2再—x22再+工2%02

因此-?《-2)=」，解得(=!，

a22a24

所以橢圓的離心率e=嗎=/

a\a22

答案第3頁，共14頁

故選：c

8.A

【分析】按〃為奇數(shù)和偶數(shù)討論得到巴。向的通項公式，利用裂項相消法求數(shù)列］」一］的

前”項和.

［詳解］-％=-7,當(dāng)〃=2左一1（左EN*）時，an+an+x=-2,an+l+an+2=2,

兩式相減得，?！?2一為=4,

所以｛2｝的奇數(shù)項是以-7為首項，4為公差的等差數(shù)列，a?=-7+4x^-lj=2?-9,

當(dāng)〃=2左（左EN）時，an+an+x=2,an+1+an+2=-2,兩式相減得,an+2-an=-A,

所以｛0｝的偶數(shù)項是以5為首項，-4為公差的等差數(shù)列，??=5-4x^-l^=9-2n；

w+1

綜上可知:an=（-l）（2n-9）,nGN*,

所以+i=（T嚴(yán)（2〃一9）.（-I）%（2〃—7）=—（2〃—9）（2〃—7）,

貝?“~~（2n-9）（2n-7）~~2\2n-92n-7

=_L（L__1二幾

2（72n-7）14〃-49

491

貝1」邑9=--------------=一.

4914x49-4913

故選：A

9.AD

【分析】由題意得數(shù)列｛%｝的通項公式，然后寫出每個選項中對應(yīng)的數(shù)列的通項公式，再判

斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.

【詳解】對于A,由題意得&a=3,所以數(shù)列也是常數(shù)列，A正確;

IanJ

對于B,數(shù)列的｛g｝通項公式為4=3"T,貝必用-%=3"-=2X3",

所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，B錯誤;

答案第4頁，共14頁

對于C,bg3%=1嗎3"7=〃-1,所以數(shù)列｛1幅。“｝是公差為1的等差數(shù)列，C錯誤;

l2n1

對于D,a?a?+l=3"--y=3-,所以數(shù)列｛%。用｝是公比為9的等比數(shù)列，D正確，

故選：AD.

10.BD

【分析】根據(jù)共面向量的定義即可判斷A；對于B：設(shè)出48,C點的坐標(biāo)，根據(jù)重心坐標(biāo)公

式分析判斷；對于C：變形后，得到B不能由沅線性表示，故48,C,G四點不共面,

C錯誤；；對于D：設(shè)力在｛1-3,方+3同基底下的坐標(biāo)為表達出

p=^x+y）a+｛-x+y）b+zc,結(jié)合題目條件得到方程組，求出力在基底｛1-'4+木？｝下的

坐標(biāo)為m

【詳解】對于A：根據(jù)共面向量的定義可得它們所在的直線不一定在同一個平面上，故A

錯誤；

對于B：設(shè)。（0,0,0）,4（再,必/1）,5（X2，%/2）,。（%3，%,23）,

則。1=(X］,%,zJ,08=區(qū),y2/2),OC=也，為/3),

又因為G是底面V/3C的重心，則6「+1+三，乂+彳+%，”t

所以標(biāo)=；（厲+無+區(qū)）成立，故B正確;

___2___§____

對于C：OG=——OA+-OB+-OC,

555

則海一》」》一利卜［WO叼一刎,

3--■2—2—1——2—2—1—

即一2G=—NC+—GC——OC,i^BG=-AC+-GC——OC,

5555333

即旃不能由衣，元線性表示，故4RC,G四點不共面，C錯誤;

對于D：設(shè)力在｛@-3,@+在同基底下的坐標(biāo)為(x,y,z),

貝?。?=%僅-+y僅+7)+zm=(x+y)d+(-x+y)B+zc,

答案第5頁，共14頁

1

X=——

x+y=l2

3

因為力在基底B詞下的坐標(biāo)為（1,2,3）,所以-x+y=2,解得.y=—

2

z=3

z=3

所以力在基底忖-碗+時下的坐標(biāo)為即D正確.

故選：BD.

11.BCD

【分析】設(shè)出直線NB方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理及弦長公式可判斷A,根據(jù)雙

曲線的定義和內(nèi)切圓性質(zhì)可判斷B,由題可得b=2a進而可判斷C,根據(jù)條件可得漸近線與

X軸的夾角為1可判斷D.

22

【詳解】設(shè)雙曲線方=1的右焦點為巴（。,0）,4（久”1）,8。22），

，則朋=也,

當(dāng)直線48斜率不存在時，直線的方程為x=c

a

當(dāng)直線48斜率存在時，設(shè)直線48的方程為了=左@-°）,

y=k[x-c^

聯(lián)立「J

消去y,得92-612k2b2+2a2ck2x-a2c2k2-a2b?=0,

2a2ck2a2c2k2+a2b2

X,+x=——z------Z—=-------------z------Z—:-

12b2-a2k212b2-a2k2

A=(2a2ck2)2—4(b2-a2k2)(^a2c2k2-a2b2)>0

22

2ack八,解得上＞或左＜

彳2-2,

由＜再+%2=-------72------9~2〉0

b-akaa

612c2k2+a2b2.

網(wǎng)“一bi>°

2ac2E

所以|48卜“1+12)[4+/)2_4守[=Uji；]2a

612k2—b?

lac2.2c2c2b1

---------2a>-------2a=------

2baa

.下

所以當(dāng)直線與x軸垂直時，|/到的長最小，即最小值為"，故A錯誤;

a

設(shè)△片的內(nèi)切圓與三角形三邊的切點分別是0,及N,由切線長性質(zhì)，可得

答案第6頁，共14頁

\AF^-\BF^=\AQ\-\BE\=\AN\-\BN\,

因為|/|T典卜2a=|班卜忸閶,所以|/耳卜忸凰=|4閭一忸閭，所以6與N重合,

即△片N2的內(nèi)切圓與直線N3相切于點月，故B正確;

則冏:

由題可知雙曲線的漸近線為6x±ay=0,%c,0),=b,

由上可知由=閶=2%所以6=2°,所以e=￡=Jl+"=6,故C正確；

a\a

若《關(guān)于尸點的對稱點在另一條漸近線上時，則漸近線與X軸的夾角為三，則其漸近線方

程為J§x±y=O,故D正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題A選項的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立雙曲線方程，利用弦長公式證明

出雙曲線焦點弦中通徑最短的結(jié)論.

12.(1,0,0)

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算及投影的定義得解.

【詳解】因為向量2=0,0,3),設(shè)x軸上的一個單位向量為碗=(1,0,0),

所以￡在》軸上的投影向量為(屋可-帚=[(1,0,3＞。,0,0)1。,0,0)=(1,0,0).

故答案為：(1,0,0)

13.12

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為％%+&=/(囚+%)=3/=6,所以/=2,

所以+40=/（%+。6）=2X6=12,

答案第7頁，共14頁

故答案為：12.

14.2

【分析】根據(jù)題意計算得到A點坐標(biāo)，再代入拋物線方程求解答案即可.

【詳解】由題意得，直線N3斜率不為0,設(shè)其方程為工=沖+2,401，乃)，8(久2，乃)，

x=my+2-，"

當(dāng)A=422/+16〃>0時，乂%=-42，

因為=所以必=-2%,代入上式解得乂=廊，

因為|/戶|=5,所以西=5-5,

代入拋物線方程，得(廊『=2p(5-1J,

化簡得，。(°-2)=0,又因為p>0,所以。=2.

故答案為：2

15.(l)(x-l)2+(y+2)2=5

⑵C

【分析】(1)設(shè)出圓的一般式方程，代入點的坐標(biāo)計算，即可得到圓的一般式方程，再化為

標(biāo)準(zhǔn)式即可；

(2)由點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，再由圓的弦長公式可得|九亞|,再由三

角形的面積公式代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)OC的方程為/+/+m+切+廠=0,

F=0D=-2

由題意可得4+2。+b=0,解得<E=4,

l+l-D-￡+F=0F=0

答案第8頁，共14頁

所以O(shè)C的方程為*+/一2x+4y=0,

化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x-1)?+(y+2f=5.

（2）由（1）可得圓心C（l,-2）,半徑―石，

所以圓心C到直線/：x-y-l=0的距離為"=上卷』=行，

2

且巾=2,2一/=4同-（碼2=2/3,

因此ACW的面積為5=右x亞=&.

22

16.⑴土+匕=1

43

（2）y=±日（x+2）

【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率以及經(jīng)過的點即可求解“，瓦

-蝴+612k

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達定理可得點P,進而根據(jù)向量垂

3+4左2'3+4左2

直滿足的坐標(biāo)關(guān)系求解.

c1_____

【詳解】（1）由題意可得e=—=不a=2,所以

a2

22

所以橢圓方程為土+匕=1;

43

（2）由題意可得直線/尸的斜率存在，故設(shè)直線/尸的方程為了=左（》+2）,M（0,2左）,

工+匕=1

<43=>(3+4^2)x2+16k2x+\6k2-12=0

y=4(x+2)

16〃-12-8r+6

所以-2x=所以馬=

p3+4公3+4/

-8r+612k

故尸F(xiàn)(1,0),

3+4左2'3+4/

-8r+612k

所以礪=（1,-2左），赤=

3+4左2'3+4左2

-8r+612k3）=景+4=。，

所以?。尸=

3+4/'3+4〃

答案第9頁，共14頁

所以解得—%

17.(l)a?=?

⑵(〃-1)23+2

【分析】(1)根據(jù)2S,,=(〃+1)%得至[]2sM=加M，兩式相減構(gòu)造常數(shù)列即可求出數(shù)列

｛凡｝的通項公式；

(2)利用錯位相減法求和方法進行求和即可

【詳解】(1)由2邑=(〃+1)%，

當(dāng)及22時，2s“_i=nan_x,

兩式相減，得2%=(〃+1)%—加/，BPnan_x=(n-\)an,

即41=%對“W2恒成立，所以是常數(shù)列，

n-1n1〃J

所以2=?=1,所以

n1

(2)由(1)知，c“=nW；,

^1^7；,=1X2+2X22+3X23+...+W2",

所以27；=0+lx22+2x23+...+(n-l)-2,,+?-2"+1,

9_9Dn

兩式相減，得-1=2+22+23+…+2"-"-2"*=—&一2,

所以7；-1)2角+2

18.(1)證明見解析；

⑵*

答案第10頁，共14頁

【分析】(1)由線面垂直得到線線垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，然后得

到線的方向向量礪，求出面P/D的法向量證明礪，點，即可得證；

(2)由(1)可知線的方向向量就，求出面的法向量瓦,利用空間向量求得線面角的

正弦值;

(3)設(shè)麗=力正，然后得到點尸坐標(biāo)，分別求出平面E42和平面尸48的法向量W和后，

由空間向量求出面面角的余弦值.

【詳解】(1)VPAV^ABCD,NOu底面4BCD,/2u底面/8C。，

PA1AB,PAYAD,又,：ADJ.AB,

...以A為原點，為x軸，48為y軸，NP為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

8(0,1,0),C(-2,2,0),￡>(-2,0,0),尸(0,0,2),￡(-1,1,1),

/.=(-1,0,1),平面尸4Du平面xOz,二平面P/O的一個法向量點=(0,1,0),

*.*BE?〃[=(),BE_Lnx,

故B￡〃平面尸AD.

(2)由(1)知前=(-1,0,1),

麗=(0,-1,2),前=(-2,-1,0),

設(shè)平面PBD的一個法向量為元=(X],y,,4),

玉=一]

BPn=一%+%=0

則2，令Z]=1,貝lj,乂=2,即用=(-1,2,1),

BDn——y=0

21W=1

答案第11頁，共14頁

設(shè)直線3E與平面尸2。所成角為。0,jj,

?sin"Icos13ED-\BE'A__1____叵

一?%卜網(wǎng)可ax而3,

(3)由(1)矢口正=(-2,2,-2),設(shè)麗=2元=(-2九2九-24),

則廠(-22,242-22),貝U麗=(-2/1,22-1,2-22),AC=(-2,2,0)

1

,/BF1AC,：.BF-AC=4A+4A-2=Q，

4

/8=(0,1,0),/尸=(一Lg)，

AB,%=%=°

設(shè)平面E42的一個法向量為%=(%，%*2)，貝1b―?一113，

/尸.4=-產(chǎn)+-y2+-z2=0

x2=3

令Z2=1,貝卜y2=o,即卮=(3,0,1),

Z2=1

:平面P48u平面了。2,...平面尸N3的一個法向量%=(1，0,0)，

設(shè)平面FAB與平面ABP夾角為a,

cosa=cos幾3,n

4尸麗=而"iT

19.⑴5=1

44

(2)證明見解析

⑶］』U(1,2)

【分析】(1)根據(jù)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可;

(2)設(shè)點尸(%,%),由斜率的定義可知左七=^^三，再將尸(%,%)代入雙曲線方程

X。I-L“01

即可求解;

(3)利用(2)中結(jié)論設(shè)直線”的方程為＞=Mx+2),c。的方程為了=?(尤一2),分別代