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文檔簡介
重慶市秀山高級中學(xué)高2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期適應(yīng)性考試
數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:姓名:班級:考號:
一、單選題
1.已知等差數(shù)列{%}的前〃項和為若出=9,S4=40,則數(shù)列{。"}的公差"=()
3
A.3B.2C.-D.4
2
2.已知圓Q:(%-1)2+3+2)2=9,圓。2:/+/+4x+2y-11=0,則這兩個圓的位置關(guān)
系為().
A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)含
2222
3.已知橢圓二+匕=1的左焦點是雙曲線二_y_-=1的左頂點,則雙曲線的漸近線為()
259a9
4(3
A.y=±—xB.y=±—x
55
4
C.y=±-%D.j/=±-x
3/4
4.在正方體/BCD-44GA中,點州是棱的中點,則異面直線8M與/C所成角的正
弦值為()
AV10口3碗八而n而
510510
5.已知aeR,直線4:。尤+y-12=0的方向向量與直線乙:(a+3)x+4y+16=0的方向向量
共線,則這兩條直線之間的距離為()
A.4B.8A/2C.4VID.2行
6.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線(如圖①所示),發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線,
在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線,經(jīng)反射聚焦到焦點處
(如圖②所示).已知接收天線的口徑(直徑)為2.4,深度為0.4,則該拋物線的焦點到
頂點的距離為()
試卷第1頁,共4頁
①②
A.0.9B.1.8C.1.2D.1.05
22
7.直線/:x-2y+百=0經(jīng)過橢圓1r+方=1(。>6>°)的左焦點尸,且與橢圓交于兩
點,若M為線段AB中點,|九值|=|。飲|,則橢圓的離心率為()
A.—B.yC.—D.^1^.
2222
8.已知數(shù)列包}滿足%+。用=2、(-1)",〃€獷,且。2=5,記數(shù)歹“一^的前”項和為5",
貝!J849=()
二、多選題
9.已知數(shù)列{%}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,則()
A.[牛]是等差數(shù)列B.{“向-%}是等差數(shù)列
C.{1嗎%}是等比數(shù)列D.{%。,用}是等比數(shù)列
10.下列說法正確的是()
A.若向量乙瓦工共面,則它們所在的直線共面
B.若G是四面體O48C的底面VN8C的重心,貝1J加=;(刀+礪+區(qū))
C.^OG=--OA+^OB+jOC,則48,C,G四點共面
D.若向量力=欣+城+丘,則稱(根,",左)為力在基底{京幾罰下的坐標(biāo),已知力在單位
試卷第2頁,共4頁
正交基底3下的坐標(biāo)為(1,2,3),則/在基底{6-瓦1+瓦寸下的坐標(biāo)為,;,|,31
22
11.已知雙曲線C:亍-%=1,>0力>0),過左焦點用作一條漸近線的垂線,垂足為尸,過
右焦點6作一條直線交雙曲線的右支于43兩點,AG/2的內(nèi)切圓與耳/相切于點。,則
下列選項正確的是()
A.線段的最小值為打
a
B.的內(nèi)切圓與直線4S相切于點耳
C.當(dāng)歸周=|。周時,雙曲線的離心率為世
D.當(dāng)點片關(guān)于點尸的對稱點在另一條漸近線上時,雙曲線的漸近線方程為其±y=0
三、填空題
12.在空間直角坐標(biāo)系O-平中,已知向量征=(1,0,3),貝壯在x軸上的投影向量
為.
13.在等比數(shù)列{0”}中,+。2=3,。5+。6=6,則。9+。10=.
14.已知拋物線C:R=2PMP>0)的焦點為尸,過點M(2,o)的直線交拋物線c于4方兩
點,若=九"|水司=5,貝次=.
四、解答題
15.已知三點。(。⑼,4(T-1),8(2,0),記V/08的外接圓為。C.
(1)求OC的方程;
⑵若直線/:》-了-1=0與。(7交于〃,"兩點,求ACAW的面積.
22.
16.已知梢圓C:=+二=1(。>6>0)經(jīng)過點/(一2,0),離心率為:
(1)求橢圓。的方程;
⑵直線1尸與橢圓c交于點p(異于頂點)與y軸交于點〃,點尸為橢圓的右焦點,。為坐
標(biāo)原點,MFVOP,求直線4P的方程.
17.已知數(shù)列{4}的首項為=1,設(shè)S“為數(shù)列{4}的前〃項和,且有2S"=(〃+1)%.
試卷第3頁,共4頁
(1)求數(shù)列{%}的通項公式;
(2)令g=aj2",求數(shù)列{q}的前〃項和
18.在四棱錐尸-48C。中,尸/_L底面/BCD,/。工48,ABHDC,AD=DC=AP=2,AB=1,
點E為棱尸C中點.
⑴證明:8E〃平面P/D;
(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;
(3)若尸為棱尸C上一點,滿足求平面E4B與平面4Ap夾角的余弦值.
22
19.如圖,已知橢圓「:土+匕=1的兩個焦點為耳,工,且耳耳為雙曲線的的頂點,雙曲
84
線心的離心率0=亞,設(shè)尸為該雙曲線「2上異于頂點的任意一點,直線尸片,尸片的斜率分
別為匕,&,且直線PK和PF?與橢圓4的交點分別為4B和c,,
(1)求雙曲線「2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明:直線尸耳尸耳的斜率之積勺?七為定值;
⑶求胃\AB的\取值范圍.
試卷第4頁,共4頁
《重慶市秀山高級中學(xué)高2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題》參考答案
題號12345678910
答案BCDCBACAADBD
題號11
答案BCD
1.B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和求和公式直接計算求解.
%+d=9_7
【詳解】由出=9,$4=40=L14s
I2
故選:B
2.C
【分析】求得兩個圓的圓心和半徑,求得圓心距,由此確定正確選項.
【詳解】圓a:(x-l)2+3+2)2=9的圓心為(1,-2),半徑為q=3,
圓&方程f+/+4x+2y-ll=0可化為(x+2)z+(_y+l)2=42,
圓。2的圓心為(一2,-1),半徑為々=4,圓心距==而,
因為馬_4=1,々+4=7,1<A/IU<7,
所以兩個圓的位置關(guān)系是相交.
故選:C.
3.D
【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得其焦點坐標(biāo),從而得到雙曲線的左頂點坐標(biāo),再由其漸近線
方程,即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)橢圓焦距為2c(c>0),
22
則,2=25-9=16,則c=4,所以橢圓1+三=1的左焦點為(一4,0),
22
所以雙曲線1r5=1的左頂點為(-4,0),
所以。=4,所以i=16,
所以雙曲線二-片=1的漸近線為了=£尤.
1694
故選:D
4.C
答案第1頁,共14頁
【分析】通過平行關(guān)系將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為相交直線夾角,結(jié)合等腰三角形性質(zhì)求解正弦
值即可.
【詳解】如圖所示,取。。中點N,連接AN,CN,AC,MN,取NC中點O,連接ON,
則MN//CD//AB,MN=CD=AB,
/':」
O
所以四邊形是平行四邊形,所以3/〃/N,
所以/AC4c或其補角是異面直線3W與NC所成角,
設(shè)正方體棱長為2,貝!|/乂=。'=不,/。=2應(yīng),
在等腰AZNC中,。是/C中點,所以O(shè)NL/C,
AN2-
即異面直線BM與AC所成角的正弦值為叵.
故選:C
5.B
【分析】根據(jù)兩直線平行可得。的值,再根據(jù)平行線之間的距離公式求解即可.
【詳解】由題意可得〃4,所以lx(a+3)=ax4,解得a=l,
故兩直線方程分另U為x+y-12=0,x+y+4=0,
故這兩條平行線之間的距離為d=?陋=8行.
故選:B.
6.A
【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系求出拋物線方程即可得到答案.
【詳解】如圖所示,在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系,使接收天線的頂點(即
拋物線的頂點)與原點重合,焦點在x軸上,
答案第2頁,共14頁
y,
設(shè)拋物線方程為V=2Px(p>0),代入N(0.4,L2),
所以1.2xl.2=2px0.4,解得p=L8,所以拋物線方程為『=3.6x,
則該拋物線的焦點到頂點的距離為£=0.9.
2
故選:A
7.C
【分析】由=得到自.=-!,結(jié)合點差法計算得進而求出離心率.
2a4
【詳解】直線/:x-2y+/=0的斜率如圖,
由\MF\=\OM\,得ZMFO=ZMOF,則直線OM的斜率kOM=-1,
4K
=12_22_2
設(shè)4(再,必),8(孫必),?(/,%),,兩式相減得五三紅+好區(qū)=0,
a2b2
1/〃=1
于是上%+x?y-y1
=}2而出』1M+%=A
aM+力玉一》2再—x22再+工2%02
因此-?《-2)=」,解得(=!,
a22a24
所以橢圓的離心率e=嗎=/
a\a22
答案第3頁,共14頁
故選:c
8.A
【分析】按〃為奇數(shù)和偶數(shù)討論得到巴。向的通項公式,利用裂項相消法求數(shù)列]」一]的
前”項和.
[詳解]-%=-7,當(dāng)〃=2左一1(左EN*)時,an+an+x=-2,an+l+an+2=2,
兩式相減得,?!?2一為=4,
所以{2}的奇數(shù)項是以-7為首項,4為公差的等差數(shù)列,a?=-7+4x^-lj=2?-9,
當(dāng)〃=2左(左EN)時,an+an+x=2,an+1+an+2=-2,兩式相減得,an+2-an=-A,
所以{0}的偶數(shù)項是以5為首項,-4為公差的等差數(shù)列,??=5-4x^-l^=9-2n;
w+1
綜上可知:an=(-l)(2n-9),nGN*,
所以+i=(T嚴(yán)(2〃一9).(-I)%(2〃—7)=—(2〃—9)(2〃—7),
貝?“~~(2n-9)(2n-7)~~2\2n-92n-7
=_L(L__1二幾
2(72n-7)14〃-49
491
貝1」邑9=--------------=一.
4914x49-4913
故選:A
9.AD
【分析】由題意得數(shù)列{%}的通項公式,然后寫出每個選項中對應(yīng)的數(shù)列的通項公式,再判
斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.
【詳解】對于A,由題意得&a=3,所以數(shù)列也是常數(shù)列,A正確;
IanJ
對于B,數(shù)列的{g}通項公式為4=3"T,貝必用-%=3"-=2X3",
所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列,B錯誤;
答案第4頁,共14頁
對于C,bg3%=1嗎3"7=〃-1,所以數(shù)列{1幅。“}是公差為1的等差數(shù)列,C錯誤;
l2n1
對于D,a?a?+l=3"--y=3-,所以數(shù)列{%。用}是公比為9的等比數(shù)列,D正確,
故選:AD.
10.BD
【分析】根據(jù)共面向量的定義即可判斷A;對于B:設(shè)出48,C點的坐標(biāo),根據(jù)重心坐標(biāo)公
式分析判斷;對于C:變形后,得到B不能由沅線性表示,故48,C,G四點不共面,
C錯誤;;對于D:設(shè)力在{1-3,方+3同基底下的坐標(biāo)為表達出
p=^x+y)a+{-x+y)b+zc,結(jié)合題目條件得到方程組,求出力在基底{1-'4+木?}下的
坐標(biāo)為m
【詳解】對于A:根據(jù)共面向量的定義可得它們所在的直線不一定在同一個平面上,故A
錯誤;
對于B:設(shè)。(0,0,0),4(再,必/1),5(X2,%/2),。(%3,%,23),
則。1=(X],%,zJ,08=區(qū),y2/2),OC=也,為/3),
又因為G是底面V/3C的重心,則6「+1+三,乂+彳+%,”t
所以標(biāo)=;(厲+無+區(qū))成立,故B正確;
___2___§____
對于C:OG=——OA+-OB+-OC,
555
則海一》」》一利卜[WO叼一刎,
3--■2—2—1——2—2—1—
即一2G=—NC+—GC——OC,i^BG=-AC+-GC——OC,
5555333
即旃不能由衣,元線性表示,故4RC,G四點不共面,C錯誤;
對于D:設(shè)力在{@-3,@+在同基底下的坐標(biāo)為(x,y,z),
貝?。?=%僅-+y僅+7)+zm=(x+y)d+(-x+y)B+zc,
答案第5頁,共14頁
1
X=——
x+y=l2
3
因為力在基底B詞下的坐標(biāo)為(1,2,3),所以-x+y=2,解得.y=—
2
z=3
z=3
所以力在基底忖-碗+時下的坐標(biāo)為即D正確.
故選:BD.
11.BCD
【分析】設(shè)出直線NB方程,聯(lián)立雙曲線方程,利用韋達定理及弦長公式可判斷A,根據(jù)雙
曲線的定義和內(nèi)切圓性質(zhì)可判斷B,由題可得b=2a進而可判斷C,根據(jù)條件可得漸近線與
X軸的夾角為1可判斷D.
22
【詳解】設(shè)雙曲線方=1的右焦點為巴(。,0),4(久”1),8。22),
,則朋=也,
當(dāng)直線48斜率不存在時,直線的方程為x=c
a
當(dāng)直線48斜率存在時,設(shè)直線48的方程為了=左@-°),
y=k[x-c^
聯(lián)立「J
消去y,得92-612k2b2+2a2ck2x-a2c2k2-a2b?=0,
2a2ck2a2c2k2+a2b2
X,+x=——z------Z—=-------------z------Z—:-
12b2-a2k212b2-a2k2
A=(2a2ck2)2—4(b2-a2k2)(^a2c2k2-a2b2)>0
22
2ack八,解得上>或左<
彳2-2,
由<再+%2=-------72------9~2〉0
b-akaa
612c2k2+a2b2.
網(wǎng)“一bi>°
2ac2E
所以|48卜“1+12)[4+/)2_4守[=Uji;]2a
612k2—b?
lac2.2c2c2b1
---------2a>-------2a=------
2baa
.下
所以當(dāng)直線與x軸垂直時,|/到的長最小,即最小值為",故A錯誤;
a
設(shè)△片的內(nèi)切圓與三角形三邊的切點分別是0,及N,由切線長性質(zhì),可得
答案第6頁,共14頁
\AF^-\BF^=\AQ\-\BE\=\AN\-\BN\,
因為|/|T典卜2a=|班卜忸閶,所以|/耳卜忸凰=|4閭一忸閭,所以6與N重合,
即△片N2的內(nèi)切圓與直線N3相切于點月,故B正確;
則冏:
由題可知雙曲線的漸近線為6x±ay=0,%c,0),=b,
由上可知由=閶=2%所以6=2°,所以e=£=Jl+"=6,故C正確;
a\a
若《關(guān)于尸點的對稱點在另一條漸近線上時,則漸近線與X軸的夾角為三,則其漸近線方
程為J§x±y=O,故D正確.
故選:BCD.
【點睛】關(guān)鍵點睛:本題A選項的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立雙曲線方程,利用弦長公式證明
出雙曲線焦點弦中通徑最短的結(jié)論.
12.(1,0,0)
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算及投影的定義得解.
【詳解】因為向量2=0,0,3),設(shè)x軸上的一個單位向量為碗=(1,0,0),
所以£在》軸上的投影向量為(屋可-帚=[(1,0,3>。,0,0)1。,0,0)=(1,0,0).
故答案為:(1,0,0)
13.12
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為%%+&=/(囚+%)=3/=6,所以/=2,
所以+40=/(%+。6)=2X6=12,
答案第7頁,共14頁
故答案為:12.
14.2
【分析】根據(jù)題意計算得到A點坐標(biāo),再代入拋物線方程求解答案即可.
【詳解】由題意得,直線N3斜率不為0,設(shè)其方程為工=沖+2,401,乃),8(久2,乃),
x=my+2-,"
當(dāng)A=422/+16〃>0時,乂%=-42,
因為=所以必=-2%,代入上式解得乂=廊,
因為|/戶|=5,所以西=5-5,
代入拋物線方程,得(廊『=2p(5-1J,
化簡得,。(°-2)=0,又因為p>0,所以。=2.
故答案為:2
15.(l)(x-l)2+(y+2)2=5
⑵C
【分析】(1)設(shè)出圓的一般式方程,代入點的坐標(biāo)計算,即可得到圓的一般式方程,再化為
標(biāo)準(zhǔn)式即可;
(2)由點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離,再由圓的弦長公式可得|九亞|,再由三
角形的面積公式代入計算,即可得到結(jié)果.
【詳解】(1)設(shè)OC的方程為/+/+m+切+廠=0,
F=0D=-2
由題意可得4+2。+b=0,解得<E=4,
l+l-D-£+F=0F=0
答案第8頁,共14頁
所以O(shè)C的方程為*+/一2x+4y=0,
化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x-1)?+(y+2f=5.
(2)由(1)可得圓心C(l,-2),半徑―石,
所以圓心C到直線/:x-y-l=0的距離為"=上卷』=行,
2
且巾=2,2一/=4同-(碼2=2/3,
因此ACW的面積為5=右x亞=&.
22
16.⑴土+匕=1
43
(2)y=±日(x+2)
【分析】(1)根據(jù)橢圓離心率以及經(jīng)過的點即可求解“,瓦
-蝴+612k
(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)韋達定理可得點P,進而根據(jù)向量垂
3+4左2'3+4左2
直滿足的坐標(biāo)關(guān)系求解.
c1_____
【詳解】(1)由題意可得e=—=不a=2,所以
a2
22
所以橢圓方程為土+匕=1;
43
(2)由題意可得直線/尸的斜率存在,故設(shè)直線/尸的方程為了=左(》+2),M(0,2左),
工+匕=1
<43=>(3+4^2)x2+16k2x+\6k2-12=0
y=4(x+2)
16〃-12-8r+6
所以-2x=所以馬=
p3+4公3+4/
-8r+612k
故尸F(xiàn)(1,0),
3+4左2'3+4/
-8r+612k
所以礪=(1,-2左),赤=
3+4左2'3+4左2
-8r+612k3)=景+4=。,
所以?。尸=
3+4/'3+4〃
答案第9頁,共14頁
所以解得—%
17.(l)a?=?
⑵(〃-1)23+2
【分析】(1)根據(jù)2S,,=(〃+1)%得至[]2sM=加M,兩式相減構(gòu)造常數(shù)列即可求出數(shù)列
{凡}的通項公式;
(2)利用錯位相減法求和方法進行求和即可
【詳解】(1)由2邑=(〃+1)%,
當(dāng)及22時,2s“_i=nan_x,
兩式相減,得2%=(〃+1)%—加/,BPnan_x=(n-\)an,
即41=%對“W2恒成立,所以是常數(shù)列,
n-1n1〃J
所以2=?=1,所以
n1
(2)由(1)知,c“=nW;,
^1^7;,=1X2+2X22+3X23+...+W2",
所以27;=0+lx22+2x23+...+(n-l)-2,,+?-2"+1,
9_9Dn
兩式相減,得-1=2+22+23+…+2"-"-2"*=—&一2,
所以7;-1)2角+2
18.(1)證明見解析;
⑵*
答案第10頁,共14頁
【分析】(1)由線面垂直得到線線垂直,然后建立空間直角坐標(biāo)系,寫出點的坐標(biāo),然后得
到線的方向向量礪,求出面P/D的法向量證明礪,點,即可得證;
(2)由(1)可知線的方向向量就,求出面的法向量瓦,利用空間向量求得線面角的
正弦值;
(3)設(shè)麗=力正,然后得到點尸坐標(biāo),分別求出平面E42和平面尸48的法向量W和后,
由空間向量求出面面角的余弦值.
【詳解】(1)VPAV^ABCD,NOu底面4BCD,/2u底面/8C。,
PA1AB,PAYAD,又,:ADJ.AB,
...以A為原點,為x軸,48為y軸,NP為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
8(0,1,0),C(-2,2,0),£>(-2,0,0),尸(0,0,2),£(-1,1,1),
/.=(-1,0,1),平面尸4Du平面xOz,二平面P/O的一個法向量點=(0,1,0),
*.*BE?〃[=(),BE_Lnx,
故B£〃平面尸AD.
(2)由(1)知前=(-1,0,1),
麗=(0,-1,2),前=(-2,-1,0),
設(shè)平面PBD的一個法向量為元=(X],y,,4),
玉=一]
BPn=一%+%=0
則2,令Z]=1,貝lj,乂=2,即用=(-1,2,1),
BDn——y=0
21W=1
答案第11頁,共14頁
設(shè)直線3E與平面尸2。所成角為。0,jj,
?sin"Icos13ED-\BE'A__1____叵
一?%卜網(wǎng)可ax而3,
(3)由(1)矢口正=(-2,2,-2),設(shè)麗=2元=(-2九2九-24),
則廠(-22,242-22),貝U麗=(-2/1,22-1,2-22),AC=(-2,2,0)
1
,/BF1AC,:.BF-AC=4A+4A-2=Q,
4
/8=(0,1,0),/尸=(一Lg),
AB,%=%=°
設(shè)平面E42的一個法向量為%=(%,%*2),貝1b―?一113,
/尸.4=-產(chǎn)+-y2+-z2=0
x2=3
令Z2=1,貝卜y2=o,即卮=(3,0,1),
Z2=1
:平面P48u平面了。2,...平面尸N3的一個法向量%=(1,0,0),
設(shè)平面FAB與平面ABP夾角為a,
cosa=cos幾3,n
4尸麗=而"iT
19.⑴5=1
44
(2)證明見解析
⑶]』U(1,2)
【分析】(1)根據(jù)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可;
(2)設(shè)點尸(%,%),由斜率的定義可知左七=^^三,再將尸(%,%)代入雙曲線方程
X。I-L“01
即可求解;
(3)利用(2)中結(jié)論設(shè)直線”的方程為>=Mx+2),c。的方程為了=?(尤一2),分別代
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