重慶市某中學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

重慶市巴蜀中學(xué)教育集團(tuán)初2025屆初三（上）期末考試

數(shù)學(xué)

巴蜀中學(xué)初中數(shù)學(xué)試題研究中心命制

（全卷共三個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出代號(hào)為

A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡題號(hào)右側(cè)的正確答案所對(duì)應(yīng)

的方框涂黑.

1.下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-2B.-3C.百D.2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)“正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的而反而小”進(jìn)行比較

即可判斷求解，掌握實(shí)數(shù)的大小比較方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,??正數(shù)大于負(fù)數(shù)，

，最小的數(shù)在一2和一3中，

v|-2|=2,|-3|=3,

又：兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的而反而小，

—3<—2,

???最小的數(shù)是一3,

故選：B.

2.下列五線譜符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

BcD

AJR%于|§

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸，據(jù)此判斷即可求解，掌握軸對(duì)稱圖形的

定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.是軸對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)符合題意；

B.不是軸對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)不符合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)不符合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

Q

3.若反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點(diǎn)（a,2）,則。的值為（）

X

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把點(diǎn)（。，2）代入反比例函數(shù)解析式即可求解，掌握

反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

Q

【詳解】解：???反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點(diǎn)（a，2）,

??.2上

a

a=4,

故選：D.

4.如圖，一個(gè)內(nèi)角為30。的直角三角板與兩條平行線4和。相交，已知/1=50°，則N2的度數(shù)為

()

A.70°B.60°C.50°D,40°

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由平行線的性質(zhì)可得N3=/l=50°,再根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理即可求解，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：

.1.23=21=50%

VZ4=6O°,

Z2=180°-Z3-Z4=180°-50°-60°=70°，

故選：A.

5.如圖，已知VABC和A'B'C位似，位似中心為0,且OB:O3'=1:2,則VABC和'AB'C的面積比

為（）

A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了位似圖形和相似圖形的性質(zhì)，由VA3C和A'3'C'的位似比為1:2可得VA3C和

A8C'的相似比為1:2,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解，掌握位似圖形和相似圖形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：：VABC和A'3'C'位似，位似中心為。，且OF:OB'=1:2,

NABC和'AB'C的相似比為1:2,

/.NABC和AB'C的面積比為1:4,

故選：C.

6.已知根＜7傷（2&-則整數(shù)機(jī)的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，二次根式的乘法運(yùn)算，利用二次根式的乘法運(yùn)算可得

72（2A/3-V2）-276-2=724-2,進(jìn)而利用夾逼法可得2〈后（2/—拒）＜3,據(jù)此即可求解，掌

握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：V2（2V3-V2）=V2X2A/3-（V2）2=276-2=724-2,

V16<724<725，

???4<V24<5>

???2<A/24-2<3，

即2<四（26-⑹<3

,/m<A/2（2g-夜）<m+1,

，整數(shù)加=2,

故選：B.

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了圖形類規(guī)律變化問題，由已知圖形可得第"個(gè)圖形苯環(huán)的個(gè)數(shù)為（“+US+4,據(jù)

2

此解答即可求解，由己知圖形找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：圖①苯環(huán)的個(gè)數(shù)為3=0+1）*°+2）,

2

圖②苯環(huán)的個(gè)數(shù)為6=（2+1）義（2+2）,

2

圖③苯環(huán)的個(gè)數(shù)為10=（3+》（3+2）,

2

圖④苯環(huán)的個(gè)數(shù)為15=（…義口+4,

2

L,

.?.第"個(gè)圖形苯環(huán)的個(gè)數(shù)為（"+l）（"+2）,

2

當(dāng),〃=9時(shí),，——+--+---^=^10—x1^1=55,

22

圖⑨中苯環(huán)的個(gè)數(shù)為55,

故選：B.

8.如圖，0為矩形ABCD的中心，一。與A。、3C相切于點(diǎn)￡、F,以E為圓心、為直徑的半圓

交（。于點(diǎn)G、H,若項(xiàng)=2,AD=2后,則陰影部分的面積為（）

A.四+3B.巴+且C心+"D.巴+走

62643234

【答案】C

【解析】

【分析】連接OF、OH,過點(diǎn)。作O做于點(diǎn)由垂徑定理和矩形的性質(zhì)可得

FM=-FH=-FC=-BC=—f根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形A5CD是矩形，得到'=AB=2，

2242

進(jìn)而得到OR=—AB=1,即可得O"=—=—,再根據(jù)銳角三角函數(shù)可得NMO尸=60。，

22

得至UNCFH=60°,NFOH=2ZMOF=120。,由S弓形切=S扇形即打一S.目求出弓形的面積，再根據(jù)

S陰影=2（5扇形仃”-S弓形FH）即可求解.

【詳解】解：連接OE、OF、OH,過點(diǎn)。作見于點(diǎn)〃，則9=!b〃=,/。=工8。，

224

ZOMF=90°，

9

?.?四邊形ABCD是矩形,

:.BC=AD=2g，AD//BC,ZA=ZB=90°,

FM=-x2y/3=—

42

?/。與A。、5C相切于點(diǎn)E、F,

：.0E1BC,OFYAD,

ZAEO=ZBFO=NCFO=90°,

?：AD//BC,

，點(diǎn)、E、0、下三點(diǎn)共線,

VZA=ZB=ZAEO=ZBFO=90°,

，四邊形A砂石是矩形,

：?EF=AB=2,

：.OF^-AB^1,

2

2_1

OM=y/OF-——,

2

是r

在RtZkOAlF中,sinZMOF=—=^=~，

OF12

：.ZMOF=60°,

ZOFM=900-ZMOF=90°-60°=30°,

NCFH=90°-ZOFM=90°-30°=60°,

OF=OH,OM1FH,

ZFOH=2ZMOF=120°,

2

.0_co_12071XI1R1_7TV3

**3弓形切_3扇形尸OH_3.FOH-—xX---―--,

‘巴+走]=巴+近

HF]64J32

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，扇形的面積，銳角三角函數(shù)，切線的性質(zhì)，勾股定

理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在3D上，DE=2BE,連接CE,過點(diǎn)E作毋J_CE交A3的延長線

于點(diǎn)兒再過點(diǎn)尸作尸G〃CE,FG=CE,連接CG、DG,則空的值為（）

BD

654A/2J13

A.-B.-C.D.江

5453

【答案】D

【解析】

【分析】過點(diǎn)E作垂足分別為監(jiān)N,先證明CEM”.EEN（ASA）,四邊形

EFGC為正方形,過點(diǎn)G作GHLDC,交。。延長線于點(diǎn)打，再證明CGHgCEM（AAS）,設(shè)

EM=BM=x,由9CD得肛=%=工,則OW=2x=CH,CB=CD=3x,DH=5x,分

DECM2

別在Rt^DaGRtaOCB中，運(yùn)用勾股定理求得。G=?x，BD=30，即可求出比值.

【詳解】解：過點(diǎn)E作EMLBCENLAB,垂足分別為M,N,則/EMC=/硒?=90°,

:四邊形ABCD是正方形，

：.ZABC=ZBCD=9Q°，ZCBD=ZABD=-ZABC=45°,DC=BC,

2

:.EM=EN,四邊形石MBN為正方形，

NMEN=90。，

VEF1CE,

NCEM+ZMEF=ZMEF+NFEN=90°,

A/CEM=/FEN,

：..CEMFEN(ASA),

：.EC=EF,

VFG//CE,FG=CE,

四邊形瓦GC為平行四邊形，

EFLCE,

四邊形EFGC為矩形，

,:EC=EF,

.?.四邊形瓦GC為正方形，

ACG=CE,ZECG=9Q°,

過點(diǎn)G作交。。延長線于點(diǎn)H,

AZH=ZCME=9Q°,

同理可得：N1=N2，

/.CGH^CEM(AAS),

：.GH=EM,CH=CM,

VEMYBC,NCBD=45°,

:.設(shè)EM=BM=x,

VEMLBC,ZBCD=90。,

：.EMCD,

,BEBM1

：.CM=2x=CH,

:.CB=CD=3x,

：.DH=5x,

在RtADHG,RtADCB中，分別由勾股定理得：DG=>JHG2+DH2=^x2+(5x)2=726%,

BD=3叵x-

.DG_426x_J13

'BD~3叵x—3'

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的綜合問題，平行線分線段成比例定理，

角平分線的性質(zhì)定理，正確構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

10.已知整式K=a/2+2x+q(%、a、q.均為整數(shù)，i=L2,3,4,5),且

A/1+M2+Af3+M4+M5=4x~+8x+17,下列說法：

①若曰<a2<a3<a4<a5,則⑷+同+同+同+|%|的值可能為20；

②存在M2,M3,M&,M5均為非零的整式的平方；

③若。1=1,2,3,4,5)均為正整數(shù)，則。「。2,。3.。435最大值為432.

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了整式加減的應(yīng)用，由題意得囚+出+。3+。4+。5=4,。+。2+。3+C4+C5=W,據(jù)此

逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

2

【詳解】解：①：=aix+bix+q,

My+M]+M3+=(4+%+%+&+%)廠+(仿+b[+4+4+々)x+(C]+c2+C3+C4+C5)，

又Af]+M2+M3+M+Afj=4x~+8x+17,

囚+/+%+%+%=4,C[+C2+C3++%—17,

V為為整數(shù)，

二.%、。2、%、%、%的值可以為—5、-3、3、4、5,

V|-5|+|-3|+|3|+|4|+|5|=20,

二同+同+同+同+同的值可能為20,故①正確；

222

②若陷=(x+l)2,M2=(%+1)，M=(x+1?M4=(X+1),A/5=(V13),

2

則叫+M2+M3+M4+M5=4x+8x+17,

存在M],M2,M3,M4,M5均為非零的整式的平方，故②正確；

③'/。]+。2+。3+。4+%=17,c;(/=1,2,3,4,5)均為正整數(shù)，

則當(dāng)=。2=。3=3,。4=。5=4時(shí)，qqqqc取最大值，最大值為3x3x3x4x4=432,故③正

確；

綜上，正確的個(gè)數(shù)是3,

故選：A.

二、填空題：(本大題6個(gè)小題，每小題4分，共24分)請(qǐng)將每小題的正確答案直接填在答

題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上.

11.新華社官方視頻號(hào)的一條視頻共獲得點(diǎn)贊約6480000次，將6480000用科學(xué)記數(shù)法表示為

【答案】6.48xlO6

【解析】

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中

1<|a|<10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，w的絕對(duì)值與小

數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，”是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，”是負(fù)數(shù).據(jù)此解答即

可.

【詳解】解:6480000=6.48xlO6.

故答案為：6.48xlO6-

12.小巴同學(xué)要從2024年度的流行語“cg不c力、硬控、班味、松弛感”4個(gè)詞語中隨機(jī)抽取2個(gè)進(jìn)行

“表演猜詞語”，小巴同學(xué)抽中“班味”的概率為.

【答案】|

【解析】

【分析】本題考查了概率的計(jì)算，分別用A、B、C、。表示c班不c力、硬控、班味、松弛感，畫樹狀圖求

解即可.

【詳解】解：分別用A、B、C、。表示的不如、硬控、班味、松弛感，畫樹狀圖如下：

開始

/N小/N小

BCDACDABDABC

共有12種等可能的情況，其中小巴同學(xué)抽中“班味”的有6種,

所以，小巴同學(xué)抽中“班味”的概率為：—

122

故答案為：

13.如圖，VABC中，AB=AC,以為直徑的交況■于點(diǎn)A過點(diǎn)〃作「O的切線應(yīng)交48的延

長線于點(diǎn)￡,若A5=4，tanZG4B=2,則切線龐的長為.

【答案】4

【解析】

【分析】連接OD,由切線的性質(zhì)可得NODE=90°,由等腰三角形的性質(zhì)可得NODS=/05D,

ZC=ZOBD,即得NODB=NC,得到OD〃AC,進(jìn)而得到NOOE=NC4B,即可得

DE

tanZDOE==2,據(jù)此即可求解.

OD

【詳解】解：連接00,

是。。的切線，

:.0D1DE,

ZODE=90°,

；OB=OD,

：.ZODB=ZOBD,

又：AB=AC,

ZC=ZOBD,

：.ZODB=ZC,

OD//AC,

.../DOE=/CAB,

tanACAB=2,

AtanZDOE=2,

即需2,

-：AB=4,

OD=2,

：.DE=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，正確作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

3

—x<x+1

14.關(guān)于x的一元一次不等式組《2至少有3個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于v的分式方程

2（x+4）>-x+m

m-1?2

--=2---的解為非負(fù)整數(shù)，則符合條件的整數(shù)機(jī)的值之和為______.

y—22—y

【答案】12

【解析】

【分析】本題考查了由不等式組的解集情況求參數(shù)，由分式方程的解求參數(shù)，有理數(shù)的加法運(yùn)算，先求出

m+1

不等式組的解集加<8,再解分式方程得到y(tǒng)=《一，進(jìn)而根據(jù)分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，可得

m+1

m>-b（—為整數(shù)，即得-1<加<8,即可得，再根據(jù)分式方程有意義的條件可得機(jī)/3,即得得到

符合條件的整數(shù)加的值，據(jù)此即可求解，由不等式組和分式方程求出整數(shù)機(jī)的值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：解不等式組得，l^<x<2,

3

:不等式組至少有3個(gè)整數(shù)解，

m-8?

-------<0,

m<8,

H7+1

解分式方程得，y=—

2

??,分式方程解為非負(fù)整數(shù)，

m+1八=加+1、,士…〃

???------20且-----為整數(shù),

22

m2—1,

A-l<m<8,

..?絲m+三1為整數(shù)，

2

.,.加=-1或1或3或5或7,

又：y-2w0,

，加w3,

綜上，符合條件的整數(shù)"?的值為—1，1，5,7,

符合條件的整數(shù)加的值之和為一1+1+5+7=12,

故答案為：12.

15.如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)尸是上一動(dòng)點(diǎn)，連接ABFC沿CF折疊至AB'FC，滿足

B'CIAD,B'E=4,DE=8,則AB=,連接。尸，ADF=.

【解析】

【分析】由勾股定理求出8=10,作FHLBC于點(diǎn)H,連接AC,證明-DEC得

FH:BH:BF=CE:DE:CD^3A:5,設(shè)FH=3x,BH=4x,BF=5x,證明△口，”是等腰直角三角

形得然后根據(jù)求解即可.

CH=FH=3x,SAFUD=SZA11FLC=-S/iDALBC

【詳解】解：：四邊形ABCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,AD//BC,ZB=ZADC,

,/B'CVAD,B'E=4,DE=8,

，CE2+DE-=CD-，

.-.(CD-4)2+82=CD2,

/.CD=10,

AAB=CD=10,CE=10-4=6.

作FHLBC于點(diǎn)H,連接AC,

ZBHF=ZCED=90°,

/.BHFsDEC,

：.FH:BH:BF=CE:DE:CD=6:8:10=3:4:5,

設(shè)FH=3x,BH=4x,BF=5%,

'：AD//BC,

：.ZBCE=NCED=9。。.

：.ZBCF=ZBCF=-ZBCE=45°,

2

???△CF”是等腰直角三角形，

：.CH^FH=3x,

AB—BC=7%，

AF=lx,

.vv_2_2160

??5AFD=5AFC=~SABC=亍*萬X1()X6=亍.

故答案為：10；—.

7

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等

知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

16.若一個(gè)四位自然數(shù)的百位數(shù)字比千位數(shù)字大2,個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均

不為0,則稱這個(gè)四位數(shù)為“加2數(shù)”.若一個(gè)四位自然數(shù)的百位數(shù)字是千位數(shù)字的2倍，個(gè)位數(shù)字比十

位數(shù)字大2,且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0,則稱這個(gè)四位數(shù)為“倍2數(shù)”.例如3548是“加2數(shù)”，

3646是“倍2數(shù)”.則最小的“力口2數(shù)”與最大的“倍2數(shù)”之和是.若P為“力口2數(shù)”，Q為

“倍2數(shù)”，尸與Q的千位數(shù)字均為尸的十位數(shù)字為b,。的十位數(shù)字為b-1,且P、。各數(shù)位上的

數(shù)字之和分別記為K（P）、K（Q）,當(dāng)K（P）_K（Q）為整數(shù)時(shí)，P-Q的最小值為

【答案】①.6191②.91

【解析】

【分析】根據(jù)定義可得最小“加2數(shù)”為1312,最大“倍2數(shù)”為4879,據(jù)此即可求解；

根據(jù)題意可得P=1000a+100（a+2）+106+26,Q=1000a+200a+10（b—l）+b+l,

K（P）=a+（a+2）+b+26=2a+3b+2,K（Q）=a+2a+（6—l）+（b+l）=3a+2〃,進(jìn)而得到

P—Q=—100a+人+209,K（P）—K（Q）=—a+Z?+2,再代入代數(shù)式可得

P—。+996

進(jìn)而根據(jù)K（P）-K（Q）為整數(shù)即可求解;

本題考查了列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算，理解新定義解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①由題意可得，當(dāng)四位自然數(shù)的千位數(shù)字為1，百位數(shù)字為3,十位數(shù)字為1，個(gè)位數(shù)字為2

時(shí)，所得“加2數(shù)”最小，最小為1312；當(dāng)四位自然數(shù)的千位數(shù)字為4,百位數(shù)字為8,十位數(shù)字為7,

個(gè)位數(shù)字為9時(shí)，所得“倍2數(shù)”最大，最大為4879,

最小的“加2數(shù)”與最大的"倍2數(shù)”之和是的12+4879=6191,

故答案為：6191；

②由題意得，P=1000a+100（a+2）+10/?+26,Q=1000a+200a+10（b—l）+b+l,

/.P-2=1000fl+100（?+2）+10Z?+2h-[1000fl+200fl+10（Z?-l）+Z?+l]

=n00a+126+200-（1200a+1仍-9）

=—100Q+/7+209,

又「K（P）=Q+（Q+2）+Z?+2Z?=2a+3b+2,K（Q）=Q+2Q+（Z?-1）+（Z?+1）=3a+2b,

???K（P）-K（Q）=2a+3b+2-（3Q+2b）=-Q+b+2,

P-Q+99b_-100a+100Z?+209

''K（P）-K（Q）—u+b+2

_100(-(7+Z?+2)+9

—Q+/?+2

9

=100+--------,

—ci+Z7+2

P-Q+99b

,,,K⑻—K(Q)為整數(shù)，

99

...當(dāng)----------=—9,即—。+6+2=—1時(shí)，100+------取最小值,

—a+Z?+2—a+Z?+2

此時(shí)最小值為100—9=91,

??.P—Q的最小值為91,

故答案為：91.

三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第17題16分，其余每小題10分，共86分）解答時(shí)每小題

必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫

在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上.

17.（1）計(jì)算：3tan30。一（g）+|g—4卜（兀一2024）°

cici~-9）a2+3a、

（2）先化簡，再求值：---十——,其中。滿足/+3。一5=0.

（a—3a-6a+9Ja-3

33

【答案Id）—y/3—1;（2）—-——；--

a+3a5

【解析】

【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

（1）原式分別根據(jù)特殊角三角值、負(fù)整數(shù)指數(shù)暴、絕對(duì)值的代數(shù)意義以及零指數(shù)幕運(yùn)算法則計(jì)算，然后進(jìn)

行加減運(yùn)算即可；

（2）先將原式中的括號(hào)內(nèi)進(jìn)行通分，再把除法以轉(zhuǎn)換為乘法，約分后得最簡結(jié)果，再代入計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）3tan30°-W—4/（?！?024）°

=73-4+4-273-1

=一^/^—1;

Qci—9)〃+3a

(2)----------2--------------------

、〃—3u—6〃+9Ja—3

~3ci/—9/+3i

二(〃—3)2—(〃—3)2『a-3

-3(a-3)a—3

(Q-3)2a1+3tz

_3

-2a+c3a，

?片+3?！?=0'

??a2+3a=5，

一3

原式=~—.

18.為促進(jìn)中學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)年俗文化知識(shí)的了解，重慶某中學(xué)在八年級(jí)和九年級(jí)開展了“傳統(tǒng)年俗文化知識(shí)

競賽”，并從八年級(jí)和九年級(jí)的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的競賽成績(百分制)，通過收集、整

理、描述和分析(得分用工表示，共分為四組：A.904為4100,B.80<x<90,C.70Vx<80,

D.x<70),得到如下不完全的信息：

八年級(jí)所抽取學(xué)生競賽成績條形圖

ABCD等級(jí)

八、九年級(jí)所抽學(xué)生競賽成績統(tǒng)計(jì)

表

年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

八年級(jí)86.6m86

九年級(jí)86.688.5n

八年級(jí)抽取的競賽成績?cè)贐組中的數(shù)據(jù)為：89,88,86,86,86,86

九年級(jí)抽取的所有學(xué)生競賽成績數(shù)據(jù)為：99,98,96,96,94,92,92,90,90,89,

88,88,88,82,81，77,77,76,73,66

請(qǐng)根據(jù)以上信息完成下列問題：

(1)填空：加=,〃=,并補(bǔ)全八年級(jí)的成績條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該中學(xué)八年級(jí)和九年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生的競賽成績更優(yōu)秀？請(qǐng)說明理由(寫

出一條理由即可)；

(3)規(guī)定在90分及其以上的為優(yōu)秀等級(jí)，該校八年級(jí)和九年級(jí)參加知識(shí)競賽的學(xué)生共有1600名，請(qǐng)你

估計(jì)八年級(jí)和九年級(jí)參加此次知識(shí)競賽的學(xué)生中獲得優(yōu)秀等級(jí)的共有多少人？

【答案】(1)87,88.5,補(bǔ)圖見解析

(2)九年級(jí)學(xué)生的競賽成績更優(yōu)秀，理由見解析

(3)680人

【解析】

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可求出加、〃，根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖求出成績?cè)?。組的學(xué)生人數(shù)，即可

補(bǔ)全八年級(jí)的成績條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)判斷即可；

(3)用1600乘以八、九年級(jí)參加知識(shí)競賽的優(yōu)秀人數(shù)占比即可求解；

本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，樣本估計(jì)總體，掌握相關(guān)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)是解題的關(guān)鍵

【小問1詳解】

QQ86

解：由題意可得，m=-----=87,

2

1/九年級(jí)抽取的學(xué)生競賽成績中88分的人數(shù)最多，

；.〃=88,

故答案為：87,88.5,

由八年級(jí)的成績條形統(tǒng)計(jì)圖可得，成績?cè)?。組的學(xué)生人數(shù)為20-8-6-4=2人，

補(bǔ)全八年級(jí)的成績條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

八年級(jí)所抽取學(xué)生競賽成績條形圖

ABCD等級(jí)

解：九年級(jí)學(xué)生的競賽成績更優(yōu)秀，理由如下:

兩個(gè)年級(jí)學(xué)生競賽成績的平均數(shù)相同，但九年級(jí)學(xué)生競賽成績的中位數(shù)和眾數(shù)都高于八年級(jí)學(xué)生的，所以

九年級(jí)學(xué)生的競賽成績更優(yōu)秀;

【小問3詳解】

8+9

解：1600x———=680,

20+20

答：估計(jì)八年級(jí)和九年級(jí)參加此次知識(shí)競賽的學(xué)生中獲得優(yōu)秀等級(jí)的共有680人.

19.平行四邊形的一組對(duì)邊的中點(diǎn)連線的垂直平分線與平行四邊形的另外一組對(duì)邊所在直線交于兩點(diǎn)，這

兩個(gè)點(diǎn)與原來的兩個(gè)中點(diǎn)組成的四邊形是菱形.為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，小希進(jìn)行了以下操作，請(qǐng)按要求完成

下列問題:

如圖，在平行四邊形ABCD中，E、尸分別為邊ARCD的中點(diǎn)，連接班.

（1）尺規(guī)作圖：作出所的垂直平分線，交直線A。、BC于點(diǎn)G、H,GH交EF于點(diǎn)O,連接

EG、FG、FH、EH；（只保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）結(jié)合（1）中圖形，請(qǐng)你幫小希完成以下證明過程并將答案填在答題卡上對(duì)應(yīng)的橫線上：

證明：在平行四邊形ABCD中，AB//CD,AD//BC,AB=CD

■:E、/分別為AB、CD的中點(diǎn)，

AE——AB,DF=一CD,

22

???①___,AE//DF,

???四邊形AEED為平行四邊形，

：.EF//AD//BC,

：.GO=OH,

為所的垂直平分線，

二③，

四邊形EG"/為平行四邊形,

?/EF1GH

，四邊形EGEH為菱形.

小希進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)平行四邊形A3CD為正方形時(shí)，四邊形EGEH的形狀為④.

【答案】（1）見解析（2）①AE=DF,②——，③OE=OF,④正方形

0H

【解析】

【分析】本題主要考查線段垂直平分線的作法，平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定，熟練掌握性質(zhì)和判定是解

答本題的關(guān)鍵.

（1）分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧將于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)N作直線，則直線

2

為所的垂直平分線；

（2）根據(jù)菱形判定定理進(jìn)行判斷即可.

【小問1詳解】

解：如圖，直線為所的垂直平分線，

【小問2詳解】

證明：在平行四邊形A3CD中，AB//CD,AD//BC,AB=CD

；E、廠分別為AB、CD的中點(diǎn)，

AE=—AB,DF=—CD,

22

：.@AE=DF,AE//DF,

.??四邊形AEED為平行四邊形，

EF//AD//BC,

GOAE,

②——=——=1,

OHEB

：.GO=OH,

???GH為所的垂直平分線，

:.（3）OE=OF,

???四邊形石GFH為平行四邊形

?：EF1GH,

，四邊形EGEH菱形.

小希進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)平行四邊形A3CD為正方形時(shí)，四邊形EGFH的形狀為④正方形.

理由：當(dāng)平行四邊形A8CO為正方形時(shí)，如圖，

:四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BC=CD=DA,ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB//CD,AD//BC,

,:E、/分別為AB、CD的中點(diǎn)，

/.AE=—AB,DF=—CD,

22

AE=DF,

AE//DF，

，四邊形AMD為平行四邊形，

又ZA=ZD=90°,

/.ZAEF=ZDFE=90°,

二四邊形AMD為矩形，

EF=AD,

：.AE=-EF,

2

為防的垂直平分線，

:.OE=OF=AE，

又GHLAD,

GO—AE=OE,

同理可得，OF=OH,

GH=EF,且互相垂直平分，

，四邊形EGEH是正方形

故答案為：①AE=DF,②—,③OE=OF,④正方形.

0H

20.甲、乙兩人計(jì)劃周末到詩橙奉節(jié)徒步三峽之巔，甲選擇乘坐高鐵，已知主城到奉節(jié)的高鐵線路長

240km,乙選擇乘坐順風(fēng)車，主城到奉節(jié)的駕車線路長400km,已知高鐵的平均速度為順風(fēng)車的1.5

倍，甲乘坐高鐵到奉節(jié)的時(shí)間比乙乘坐順風(fēng)車到奉節(jié)的時(shí)間少3小時(shí).

(1)求出甲乘坐高鐵和乙乘坐順風(fēng)車的平均速度；

(2)甲、乙商議在各自去奉節(jié)的途中拍攝精美照片.由于高鐵速度快，乙每小時(shí)可拍到的精美照片比甲

每小時(shí)可拍到的2倍還多4張，最后要使甲、乙拍到的精美照片總和不少于115張，請(qǐng)問甲每小時(shí)至少要

拍多少張精美照片？

【答案】(1)甲乘坐高鐵的平均速度為120千米/時(shí)，乙乘坐順風(fēng)車的平均速度為80千米/時(shí)

(2)甲每小時(shí)至少要拍7張精美照片

【解析】

【分析】本題主要考查分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意找出相等關(guān)系和不等關(guān)系是解

答本題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)乙乘坐順風(fēng)車的平均速度為x千米/時(shí)，則甲乘坐高鐵的平均速度為1.5九千米/時(shí)，根據(jù)甲乘坐高鐵

到奉節(jié)的時(shí)間比乙乘坐順風(fēng)車到奉節(jié)的時(shí)間少3小時(shí)列分式方程求解即可；

(2)設(shè)甲每小時(shí)至少要拍丁張精美照片，根據(jù)甲、乙拍到的精美照片總和不少于115張列不等式求解即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)乙乘坐順風(fēng)車的平均速度為了千米/時(shí)，則甲乘坐高鐵的平均速度為1.5尤丁米/時(shí)，根據(jù)題意得，

240.400

-------1-3=-----,

1.5%x

解得，x=80,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=80則原方程的根，

/.1.5x=1.5x8O=12O(千米/時(shí))，

答：甲乘坐高鐵的平均速度為120千米/時(shí)，乙乘坐順風(fēng)車的平均速度為80千米/時(shí)；

【小問2詳解】

解：240+120=2(時(shí))，400+80=5(時(shí))，

設(shè)甲每小時(shí)至少要拍y張精美照片，則乙每小時(shí)拍(2y+4)張精美照片，根據(jù)題意得,

2y+5（2y+4）>115,

解得，y27—，

■12

答：甲每小時(shí)至少要拍7張精美照片.

21.【操作實(shí)驗(yàn)】小珂在物理綜合實(shí)踐課上，用一固定電壓為24V的蓄電池，通過調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器來改變

電流y/A的大小，從而控制小燈泡L的亮度，實(shí)驗(yàn)電路圖如圖所示，已知小燈泡的電阻為3Q（不計(jì)溫度

對(duì)燈泡電阻影響），滑動(dòng)變阻器的電阻為尤/Q（0WxW9）（串聯(lián)電路中總電阻=燈泡電阻+滑動(dòng)變阻器

的電阻），通過多次試驗(yàn)，得到以下數(shù)據(jù)表：

電阻

La23579

x/Q

電流

L64.843b2

y/A

（1）根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，填空：a=,b=,根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：

（0<^<9）；

（2）【初步探究】請(qǐng)?jiān)谝韵缕矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，畫出函數(shù)y的圖象，并寫出函數(shù)》的一條性質(zhì)：

O123456789x/Q

（3）【深入探究】

4

已知一次函數(shù)y'=—§x+8（xN0）,結(jié)合（2）中函數(shù)圖象分析，請(qǐng)直接寫出當(dāng)時(shí)x的取值范圍：

24

【答案】（1）1，2.4,y=——

x+3

（2）畫圖見解析，性質(zhì)：當(dāng)owxw9時(shí)，y隨著x的增大而減小

（3）0<x<3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)（2+3）x4.8=（3+3）x4=（5+3）x3=（9+3）><2=24即可求解；

（2）根據(jù)（1）中表格數(shù)據(jù)及所得函數(shù)解析式可畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象寫出函數(shù)》的性質(zhì)即可；

（3）畫出一次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象解答即可；

本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，由題意得到反比例函數(shù)的解析式是解

題的關(guān)鍵.

【小問1詳解】

解：?.?（2+3）x4.8=（3+3）x4=（5+3）x3=（9+3）x2=24,

/.（a+3）x6=（7+3）b=24,

，a=1,b=2.4，

,??（x+3）y=24,

24

??y—9

x+3

24

故答案為：1，2.4,y=——；

x+3

【小問2詳解】

由圖象可得，當(dāng)owxw9時(shí)，y隨著x的增大而減小,

故答案為：當(dāng)ow九W9時(shí)，y隨著龍的增大而減小；

【小問3詳解】

解：當(dāng)x=0時(shí)，y'=8；當(dāng)y'=0時(shí)，%=6,

由函數(shù)圖象可得，當(dāng)時(shí)x的取值范圍為0W尤43,

故答案為：0WxW3.

22.“1"腔熱血護(hù)家園，“1”呼百應(yīng)齊參與，“9”久守護(hù)永不變，在“全國消防日”之際，學(xué)校組織學(xué)

生到消防隊(duì)參觀消防救援車實(shí)施救援演練的過程，圖1是高空救援消防車實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面示意圖，

操作面OD與水平地面用平行，操作面離地面的距離OH=1米，伸縮臂CO可繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A在

0。上，A3為云梯的液壓桿，其中可伸縮，已知套管05=3米，且套管08的長度不變.消防員為

大家介紹：此時(shí)，ZAOB=30°,ZBAD=6Q°,CELHG于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)R云梯末端工作臺(tái)C上

升到了離地面CE=5.5米的高處.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,cos53°?0.6,結(jié)果精確到0.1）

ffl!圖2

（1）求此時(shí)液壓桿A3的長度；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）通過消防員的操作，云梯伸縮臂CO繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)23。并伸長至OC,云梯末端工作臺(tái)C的鉛

錘高度上升了4米至（7,請(qǐng)問伸縮臂OC比伸縮臂OC伸長了多少米？

【答案】（1）=8米

（2）伸縮臂OC比伸縮臂OC伸長了1.625米

【解析】

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）過點(diǎn)8作①3LAD,分別解和Rt_A3P,進(jìn)行求解即可；

（2）過點(diǎn)C作C'QLOO,垂足為Q,過點(diǎn)C作CRLC'。，垂足為R,通過解直角三角形可求出。。和

0C,再相減即可得到答案.

【小問1詳解】

解：過點(diǎn)2作成_LA￡）,如,

在RJBPO中,03=3米，ZAOB=30°,

13

ABP=-OB=-（米），

22

在RtAP3中，ZBAD^60°,

3

BP-r

：.sinZBAP=——,即2_3,

AB~AB=~2

:.AB他（米）；

【小問2詳解】

解：過點(diǎn)C'作垂足為Q,過點(diǎn)C作CRLC'。，垂足為凡

根據(jù)題意知，EF=OH=T（米）

,:CE=55（米）

ACF=CE-￡F=5.5-1=4.5（米）

,/ZCOD=30°,

AOC=2CF=9（米）

由作圖知四邊形CRQF是矩形,

QR="=4.5米,

?/C'R=4米,

，CQ=CR+RQ=4+4.5=8.5米,

又ZCOC=23°,ZCOD=30°,

NC'OD=23°+30°=53°,

CQ

在RtaC'。。中，sinZC'OD

OC,

八懸喂f米，

OC'—OC=10.625—9=1.625米,

即伸縮臂OC比伸縮臂0c伸長了1.625米

23.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=+云+3(awO)經(jīng)過點(diǎn)(-4,3),與y軸交于點(diǎn)2,與x

軸交于A、C兩點(diǎn)(A在C的左側(cè))，連接ABBC,tanZBAO=~.

2

(2)點(diǎn)尸是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作？D〃AB交y軸于點(diǎn)。，交尤軸于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為

y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AE+BD取最大值時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及|A/-P目的最大值;

(3)如圖，點(diǎn)。是拋物線的對(duì)稱軸與A3的交點(diǎn)，將該拋物線沿射線H4方向平移，使得新拋物線丁,剛

好經(jīng)過點(diǎn)。，K為新拋物線y'上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NAQK+NR4O+NCBO=90°,請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)

K的坐標(biāo)，并寫出求解其中一個(gè)點(diǎn)K坐標(biāo)的過程.

19

【答案】(1)y=—w%—%+3

3741

(2)|AF—P目的最大值為

4

⑶(-12T3)或奇，詈

Vyo1

【解析】

【分析】(1)先求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，再解直角三角形求出Q4的長，進(jìn)而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法

求解即可；

(2)求出直線AB解析式為y=；x+3；設(shè)p]機(jī),一；機(jī)2+3],則直線解析式

y=-x--m2--m+3,求出6(工加？+3加-6,0],D\0,--m2--m+3|,進(jìn)而求出

24212J42J

AE=-1/n2-3m,BD=-^irr-^m,則AE+3D=—：(根+3『，據(jù)此可得到AE+皿有最

大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為1-3,9]；再由|AF—P典WAP,得到當(dāng)4、P、/三點(diǎn)共線時(shí)，|AF—「典有最

大值，最大值為心的長，據(jù)此利用勾股定理即可求出答案；

(3)先求出0(-2,2)；可設(shè)原拋物線向下平移九個(gè)單位長度，向左平移2〃個(gè)單位長度得到拋物線了，

17

則新拋物線解析式為y=-^(%+2+2冷+4-〃，利用待定系數(shù)法可得新拋物線解析式為

2

y=_l^x+4)+3；如圖所示，取M(—2,0),連接血1,證明.注。BC(SAS),得到

ZMBO=NCBO；導(dǎo)角可證明NAQK=NA5M,如圖所示，過點(diǎn)。作QK'〃創(chuàng)/交新拋物線與K'，

3

則NAQK'=NABM,即點(diǎn)K'即為所求；可求出直線QK'的解析式為y=/%+5,聯(lián)立

[3<

y=—x+5

<2,可得K'(—12,—13)；如圖所示，過點(diǎn)A作AK〃QK',且使得=連接

y=--(x+4)2+3

QR并延長，交新拋物線于K",則NR4Q=NAQK',可證明NRQA=NAQK,即點(diǎn)K"即為所求；

(52179、

求出點(diǎn)R的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線RQ的解析式，同理可得K〃-§,亞丁?

【小問1詳解】

解：在〉=宙^+陵+3(。，0)中，當(dāng)尤=0時(shí)，y=3,

AS(0,3),

OB=3,

?.?在Rt^ABO中，tanZBAO=~,ZAOB=90°,

2

.OBI

??二,

OA2

:.OA=6,

A（-6,0）,

把A（—6,0）,（Y,3）代入y=+云+3（〃wo）中得：J,

16〃-4-b+3=3