中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)突破：規(guī)律探究與新定義型問題（2類型+10題型）（解析版）

重難點(diǎn)01規(guī)律探究與新定義型問題

目錄

重難點(diǎn)題型突破

類型一數(shù)式規(guī)律

題

型

01記數(shù)類規(guī)律

題

型

02乘方類規(guī)律

題

型

03表格類規(guī)律

題

型

04數(shù)陣類規(guī)律

題

型

05個(gè)位數(shù)字規(guī)律

題

型

06新定義運(yùn)算規(guī)律

類型

二圖形規(guī)律

型

題

圖形固定累加型

型

題01

型圖形漸變累加型

題02

型

題03圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加

04圖形循環(huán)規(guī)律

真題實(shí)戰(zhàn)練

重難點(diǎn)題型突破

計(jì)數(shù)類規(guī)律

乘方類規(guī)律

數(shù)式規(guī)律表格類規(guī)律

-------------------數(shù)陣類規(guī)律

個(gè)位數(shù)字規(guī)律

新定義運(yùn)算規(guī)律

規(guī)律探究與新定義型問題I

圖叫固定累加型

圖形規(guī)律圖形遞變累加型

-------------------圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加型

圖形循環(huán)規(guī)律

類型一數(shù)式規(guī)律

方法總結(jié)：

一、數(shù)字規(guī)律探索

1）當(dāng)所給的一組數(shù)是整數(shù)時(shí)，先觀察這組數(shù)字是自然數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列、正整數(shù)數(shù)列或經(jīng)

過平方、平方加1或減1等運(yùn)算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù)字的符號，判斷數(shù)字符號的正負(fù)是交替出現(xiàn)還

是只出現(xiàn)一種符號，如果是交替出現(xiàn)的可用（-1尸或（-1產(chǎn)1表示數(shù)字的符號，最后把數(shù)字規(guī)律和符號規(guī)律結(jié)合

起來從而得到結(jié)果.

2）當(dāng)數(shù)字是分?jǐn)?shù)和整數(shù)結(jié)合的時(shí)候，先把這組數(shù)據(jù)的所有整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分別推斷出分子和分母的數(shù)字

規(guī)律（其方法同1））,從而得出分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第n項(xiàng)的規(guī)律.

二、數(shù)陣規(guī)律探索

此類題目中的數(shù)據(jù)與有序數(shù)對是對應(yīng)的，設(shè)問方式有已知有序數(shù)對求數(shù)值和表示某個(gè)數(shù)值的有序數(shù)對，本

質(zhì)上講，這兩種方式是相同的.此類型題的解決方法有：

1）分析數(shù)陣中的數(shù)字排列方式：①每行的個(gè)數(shù);②每列的個(gè)數(shù);③相鄰數(shù)據(jù)的變化特點(diǎn)，并且觀察是否某一行

或者某一列數(shù)據(jù)具有某些特別的性質(zhì)（如完全平方數(shù)，正整數(shù)）等；

2）找出該行或列上的數(shù)字與其所在的行數(shù)或列數(shù)的關(guān)系；

3）使用1）中找出的具有特殊性質(zhì)的數(shù)字，根據(jù)2）中的性質(zhì)定位，求得答案

三、等式規(guī)律探索

1）標(biāo)序數(shù)；

2）對比式子與序數(shù)，即分別比較等式中各部分與序數(shù)（1,2,3,4,…，n）之間的關(guān)系，把其蘊(yùn)含的規(guī)律

用含序數(shù)的式子表示出來.通常方法是將式子進(jìn)行拆分觀察式子中數(shù)字與序數(shù)是否存在倍數(shù)或者乘方的關(guān)系

.3）根據(jù)找出的規(guī)律得出第n個(gè)等式，并進(jìn)行檢驗(yàn).

題型01記數(shù)類規(guī)律

【例1】（2023岳陽市二模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次是|、1、*拳魯、g.按此規(guī)律，這列數(shù)中第

100個(gè)數(shù)是（）

AA.——299-B.——299—C.—301—D.—303

199201201203

【答案】B

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，是不變的，變的是數(shù)字，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)字的規(guī)律，代入具體的數(shù)就可求解.

【詳解】解:由|、1、］甘、芳、］……可得第n個(gè)數(shù)為黑.

Vn=100,

???第100個(gè)數(shù)為:券

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生的觀察和推理能力，通過觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的聯(lián)系，找出一般的規(guī)律，解決具體的

問題；關(guān)鍵是找出一般的規(guī)律.

【變式1T】（2023?山東日照?日照市新營中學(xué)?？家荒＃┯^察下列各式：的=1,。3=；,…，它

54

們按一定規(guī)律排列，第”個(gè)數(shù)記為時(shí),且滿足則上+'=3,則。2023=

【答案】高

【分析】由題意可得與二而余，即可求解.

【詳解】解：由題意可得：＜11=1,a2-|,a3-i,

同理可求即=—,

222222

a——,念=—

，l=3，。2=g，◎3=7=五，%14o17

2

%1—3(n-l)+2,

221

。2023=3(2023-1)+260683034

故答案為：嘉

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2022?河北保定?統(tǒng)考模擬預(yù)測）有一列數(shù)1,久2,7,久4,％，…，Xn，從第二個(gè)數(shù)開始，每

個(gè)數(shù)等于與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù).

（1）則久6為.

(2)若工恒=52,則m=.

【答案】1618

【分析】（1）根據(jù)從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)等于與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)直接計(jì)算即可;

（2）根據(jù)（1）中計(jì)算的前幾個(gè)數(shù)找到規(guī)律x“=3n-2,根據(jù)=52列出方程求解即可.

【詳解】（1）解：???從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)等于與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù),

-,?冷=+7)=4,

-'-7=1(%2+%4)=[(4+第4)，解得久4=13

X4=1(7+X5),即10=((7+%5)，解得苑=13,

???%5=1(%4+%6)'解得%6=

BP13=|(10+%6),16,

故答案為：16；

（2）解：根據(jù)前面幾項(xiàng)X]=1,右=4,孫=7,小=10，萬5=13,0=16,…，可知規(guī)律為與i=3?1—2,

xm=3m-2=52,即3nl=54,解得m=18,

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)計(jì)算及數(shù)字規(guī)律的尋找，準(zhǔn)確理解題意，并根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)找到規(guī)律是解決問題

的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2023六安市模擬）判斷下面各式是否成立

探究：①你判斷完上面各題后,發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？并猜想：宿

②用含有”的代數(shù)式將規(guī)律表示出來，說明w的取值范圍，并給出證明

【答案】都正確①5患②小+號=n>2）,證明見解析.

【分析】（1）①利用已知即可得出命題正確，同理即可得出其他正確性，猜想可得出

②利用①的方法，可以得出規(guī)律，并加以證明即可.

【詳解】解：①上面三題都正確,

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方根的性質(zhì)，利用已知得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

【變式1-4]（2023?安徽六安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：1+1+?；2

第2個(gè)等式：2+打；專=|

第3個(gè)等式：3+打；總?cè)?/p>

第4個(gè)等式：4+l+l-i-^...,

78564

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫出第5個(gè)等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個(gè)等式：(用含〃的等式表示)，并證明.

【答案】(1)5+打?qū)Ｒ?=合

(2加+六+『—=『證明見解札

【分析】將所給等式，豎列排放，觀察各式子的分母之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)：等式左邊第一個(gè)分母比第二個(gè)分母

小1,第三個(gè)分母是前兩個(gè)分母的乘積，等式的右邊分母是序數(shù)，分子是分母的平方再加L

【詳解】⑴第5個(gè)等式為：5+,親—2=募,

故答案為:5+打卷一卷26

5

14

(2)猜想第〃個(gè)等式為：nH—--F—

2n-l2n2n(2n-l)n

證明::左邊力+六+11

2n2n(2n-l)

2n+(2n—1)—1

=71T---------------------------------

2n(2n—1)

4n—2

=71-1---------------------

2n(2n-1)

2(2n-l)

=n-\-----------------

2n(2n—1)

1

=n+—

n2+l

n

右邊=上,

n

左邊=右邊,

...等式成立.

故答案為：n+—+--—^-=—.

2n-l2n2n(2n-l)n

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，以及分式的加減法，根據(jù)等式中各數(shù)字的變化找出變化規(guī)律

是解題的關(guān)鍵.

【變式1-5](2023?安徽宣城?校聯(lián)考一模)先觀察下列各式：

VT=1；

V1+3=V4=2；

Ml+3+5—V9=3；

V1+3+5+7=V16=4

⑴計(jì)算：Vl+3+5+7+9；

(2)已知”為正整數(shù)，通過觀察并歸納，

請與出：J1+3+5+7+9+11+…+(2?1-1)=；

(3)應(yīng)用上述結(jié)論，請計(jì)算V4+12+20+28+36+44+…+204的值.

【答案】(1)6

⑵w

⑶52

【分析】(1)先求出1+3+5+7+9的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可；

(2)觀察可知左邊根式里面都是奇數(shù)，等式右邊的結(jié)果是等式左邊根號里面最后一個(gè)數(shù)加1后的一半，據(jù)

此規(guī)律求解即可；

(3)把根號里面的數(shù)字提取公因數(shù)4,然后根據(jù)(2)的規(guī)律求解即可.

【詳解】(1)解：Vl+3+5+7+9=V25=5,

故答案為：5

(2)解：VV1=1,

VTT3=〃=2，

V1+3+5=V9=3,

V1+3+5+7=716=4

可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律J1+3+5+7+9+11+...+(27i—1)=n

(3)解：V4+12+20+28+36+44+.........+204

74X[1+3+5+7+9+-?-...+(2X26-1)]

=J4x262

=52.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了與實(shí)數(shù)相關(guān)的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

題型02乘方類規(guī)律

【例2】（2023?四川成都??？家荒＃┨剿饕?guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：X、—234x\-8x\16%\..

根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個(gè)單項(xiàng)式是（）

A.-256/B.256/C.-512%9D.512x9

【答案】B

【分析】根據(jù)已知的式子可以得到系數(shù)是以-2為底的累，指數(shù)是式子的序號減1,x的指數(shù)是式子的序號.

【詳解】解：第9個(gè)單項(xiàng)式是（-2）9-59=256/.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，正確理解式子的符號、次數(shù)與式子的序號之間的關(guān)系是關(guān)鍵.

2

【變式2-1］（2023?湖北武漢??？寄M預(yù)測）為了求1+2+22+…+22。23的值，可令5=1+2+2+-+

22023,貝|J2s=2+22+23+…+22024,因此2S—S=22°24一1,所以1+2+2?+…+22°23=22024一1,

仿照以上推理計(jì)算出1+3+32+…+32。23的值是（）

1-320243-3202432024-1n-2024_n

A.B.C.D.--------

2222

【答案】c

【分析】令S=1+3+32+...+32023,貝歸S=3+32+33+…+32024,再將第二個(gè)等式與第一個(gè)等式左

右兩邊相減求出3s-S的值即可求解.

【詳解】解：令S=1+3+32+…+32023①,

...3S=3+32+33+…+32024②,

②減①，得：3S-S=32024一1,

2

32024-1

即1+3+3?+…+32023

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運(yùn)算，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2022隨州市一模)我們知道，一元二次方程x2=-1沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等

于-1,若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)i,使其滿足i2=-1(即x2=-1方程有一個(gè)根為i),并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)

數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算法則仍然成立，于是有i'i,i2=-1,i3=i2?i=(-1)?i,i4=(i2)

2=(-1)2=1,從而對任意正整數(shù)n,我們可得到i4n+l=i4n.i=(i4)n?i,同理可得1而+2=-1,-j,j4n口

那么，i+i2+i3+i4+...+i2016+j2017的值為()

A.0B.1C.-1D.i

【答案】D

【詳解】試題解析：由題意得，i!=i,i2=-l,i3=i2?i=(-1)?i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1,i5=i4?i=i,i6=i5?i=-l

故可發(fā)現(xiàn)4次一循環(huán)，一個(gè)循環(huán)內(nèi)的和為0

?.?竺12=504-1

4

.*.i+i2+i3+i4+...+i2013+i2017=i

故選：D

【變式2-3](2022.廣西梧州.統(tǒng)考一模)找規(guī)律數(shù):0,6,16,30,48,則第兀個(gè)為_____(用含〃的代

數(shù)式表示).

【答案】2("_1)

【分析】現(xiàn)將這列數(shù)除以2,再利用平方差公式尋找規(guī)律即可求解

【詳解】解：將原數(shù)列，每個(gè)數(shù)除以2,得到新數(shù)列，為：0,3,8,15,24,

可以發(fā)現(xiàn)：

0=1-1=12-1,

3=4-1=22-1,

8=9-1=32_1,

15=16-1=42_1,

24=25-1=52-1,

依次類推，可知新數(shù)列的第"個(gè)數(shù)為：n2-l,

則原數(shù)列的第"個(gè)數(shù)為：2(n2-l),

故答案為：2(n2-l).

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，運(yùn)用平方差公式找到數(shù)字的規(guī)律是解答本題的關(guān)

鍵.

2

【變式2-4】觀察等式：1=1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=4)...

猜想1+3+5+7+■??+2019=.

【答案】10102.

【分析】觀察給出的等式得到：從1開始的連續(xù)2個(gè)奇數(shù)和是22,連續(xù)3個(gè)奇數(shù)和是32,連續(xù)4個(gè)，5個(gè)奇

數(shù)和分別為42,52…根據(jù)規(guī)律即可猜想從1開始的連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和，據(jù)此可解.

【詳解】解：???從1開始的連續(xù)2個(gè)奇數(shù)和是22,連續(xù)3個(gè)奇數(shù)和是32,連續(xù)4個(gè)，5個(gè)奇數(shù)和分別為42,

52...；

.?.從1開始的連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和：1+3+5+7+...+(2n-l)=n2；

A2n-1=2019；

/.n=1010；

.,.l+3+5+7...+2019=10102；

故答案是：10102.

【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對規(guī)律型題的掌握，關(guān)鍵是要對給出的等式進(jìn)行仔細(xì)觀察分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根

據(jù)規(guī)律解題.

題型03表格類規(guī)律

解題技巧：表格找規(guī)律其實(shí)是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中一項(xiàng)比較常見的類型，以日歷的表格為基礎(chǔ)而展開的規(guī)律

選擇最為常見.這類提醒我們要以其中一個(gè)數(shù)字為中心，上下左右的數(shù)字變化以及大小來展開，比如在日歷

的表格當(dāng)中上下相差7,左右相差一，那么將中心的數(shù)字看作是字母a,則左邊為a-1,右邊為a+1,上邊

為57,下邊為a+7.所以當(dāng)我們沒有關(guān)于表格規(guī)律的解題思路時(shí)，將以此為基礎(chǔ)來進(jìn)行觀察，雖然其規(guī)律

有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以類比進(jìn)行推論.

【例3】(2020?山西臨汾?校聯(lián)考模擬預(yù)測)在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是

2019年1月份的日歷.我們?nèi)我膺x擇其中所示的菱形框部分將每個(gè)菱形框部分中去掉中間位置的數(shù)之后，

相對的兩對數(shù)分別相乘，再相減，例如：9X11-3X17=48,13X15-7X21=48.不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果

都是48.

2019年1月

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

一“.

12..45

6...8910if\12

J131415J；16'、17.1819

20。.21.2212242526

2728293031

(1)請證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；

(2)若用一個(gè)如圖所示菱形框，再框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積為435,求出這5個(gè)數(shù)的最大

數(shù)；

(3)小明說：他用一個(gè)如圖所示菱形框，框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是120.直接判斷他的

說法是否正確.(不必?cái)⑹隼碛?

【答案】(1)見解析；(2)29；(3)他的說法不正確

【分析】(1)設(shè)中間的數(shù)為a,則另外4個(gè)數(shù)分別為(a-7),(a-1),(a+1),(a+7),利用(a-1)(a+1)

-(a-7)(a+7)=48可證出結(jié)論；

(2)設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為x,則最小數(shù)為(xT4),根據(jù)兩數(shù)之積為435,可得出關(guān)于x的一元二次方程，

解之取其正值即可得出結(jié)論；

(3)設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為y,則最小數(shù)為(y-14),根據(jù)兩數(shù)之積為120,可得出關(guān)于y的一元二次方程，

解之取其正值，由該值在第一列可得出小明的說法不正確.

【詳解】(1)證明：設(shè)中間的數(shù)為a,

(a-l)(a+1)—(a-7)(ci+7)=a2—1—(a?-49)

=a2—1-a?+49=48.

(2)解：設(shè)這五個(gè)數(shù)中最大數(shù)為工,

由題意,得—14)=435,

解方程，得打=29,x2--15(不合題意，舍去).

答：這5個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是29.

(3)他的說法不正確.

解：設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為y,則最小數(shù)為(y-14),

依題意，得：y(y-14)=120,

解得：yl=20,y2=-6(不合題意，舍去).

：20在第一列,

不符合題意，

.??小明的說法不正確.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及菱形的性質(zhì)，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1】觀察表格，回答問題：

a0.00010.01110010000

y[a0.01X1y100

(1)表格中久=,y-；

(2)從表格中探究a與班數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問題：

①己知VTU-3.16,則“000-；

②已知標(biāo)=8.973,若a=897.3,用含機(jī)的代數(shù)式表示b,則匕=

⑶試比較血與。的大小.

當(dāng)________時(shí)，Va>a；當(dāng)________時(shí)，Va=a；當(dāng)________時(shí)，Va<a.

【答案】(1)0.1;10;

(2)?31.6；②10000m；

(3)0<a<1,<1=1或0,a>1.

【分析】(1)由表格得出規(guī)律，求出x與y的值即可；

(2)根據(jù)得出的規(guī)律確定出所求即可；

(3)分類討論a的范圍，比較大小即可.

【詳解】(1)解：x=V(10T=0.1,y=VToo=10.

故答案為：0.1；10；

(2)解：①根據(jù)題意得：V1000?31.6.

②結(jié)果擴(kuò)大100倍，則被開方數(shù)擴(kuò)大10000倍，

???b=10000m.

故答案為：31.6；10000m；

(3)解：當(dāng)a=0或1時(shí)，Va=a；

當(dāng)0<aV1時(shí)，y[a>a；

當(dāng)a=1或0時(shí)，4a=a；

當(dāng)a〉1時(shí)，y[a<a,

故答案為：0<a<l,(1=1或0,a>l.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的比較，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2021宿州市一模)如圖，下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間具有相同的規(guī)律.

第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖第4個(gè)圖第〃個(gè)圖

根據(jù)此規(guī)律，回答下列問題：

(1)第5個(gè)圖中4個(gè)數(shù)的和為.

(2)a=；c=.

(3)根據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)正方形中，d=2564,貝g的值為.

【答案】(1)-152；(2)(―(-l)n-2n+4；(3)10.

【分析】(1)觀察圖形可得第5個(gè)圖中4個(gè)數(shù)，相加即可求解；

(2)由已知圖形得出2=(-1)n-2n_1,b=2a=(-1)n?2n,c=b+4=(-1)n*2n+4,即可求解;

(3)根據(jù)d=a+b+c=5x(-1)――+4=2564求解可得.

【詳解】(1)第5個(gè)圖形中的4個(gè)數(shù)分別是-16,-32,-28,-76

4個(gè)數(shù)的和為：一16-32-28-76=-152.

故答案為：—152；

(2)a=(-1)%251；

b=2a=(-1)n?2n,

c=b+4=(-1)n?2n+4.

故答案為：C-ir-Z"-1；(-l)n-2n+4.

(3)根據(jù)規(guī)律知道，若d=2564>0,則n為偶數(shù)，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)a=2"T,b=2n,

c=2n+4,2"T+2n+2n+4=2564,2n-1+2n+2n=2560,

2n-1(l+2+2)=2560

2吩1=512

2nt=29

n-1=9

解得n=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類.關(guān)鍵是由特殊到一般，找出數(shù)字算式運(yùn)算規(guī)律.

【變式3-3］（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）觀察：

序號①②③④⑤⑥⑦

數(shù)2°212223242526

個(gè)位上數(shù)字12486mn

思考：（1）上面表格中機(jī)、w的值分別是多少？

探究：（2）第⑩個(gè)數(shù)是什么？它個(gè)位上的數(shù)字是多少？

延伸：（3）22。23的個(gè)位數(shù)字是多少？

拓展：（4）用含人的代數(shù)式表示個(gè)位上的數(shù)字是6的數(shù)的序號.（左為正整數(shù)）

【答案】（1）m=2,n=4；（2）第⑩個(gè)數(shù)是2\個(gè)位上的數(shù)字是2；（3）2?。23的個(gè)位數(shù)字是生（4）第1k

個(gè)6的序號為：4k+1

【分析】（1）不難看出個(gè)位上的數(shù)字是以2,4,8,6重復(fù)出現(xiàn)，則可求解；

（2）根據(jù)表格中的規(guī)律，可表示出第10個(gè)數(shù)，即可求解；

（3）結(jié)合（1）進(jìn)行求解即可；

（4）結(jié)合表格進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：⑴25=32,26=64,

771=2,n=4；

（2）???表格中的數(shù)是以2為底數(shù)，指數(shù)是從。開始的自然數(shù)，

個(gè)位上的數(shù)字是以1,2,4,8,6,2,4,8,6,...排列,

二第⑩個(gè)數(shù)是2%29=512,

二個(gè)位上的數(shù)字是2；

（3）???（2023-1）4-4=505……2,

.-.22023的個(gè)位數(shù)字是生

（4）?.?個(gè)位上的數(shù)字是6的數(shù)的序號是：5,9,13,

???第k個(gè)6的序號為：4k+1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式，有理數(shù)的乘方，解答的關(guān)鍵是由表格分析出存在的規(guī)律.

題型04數(shù)陣類規(guī)律

【例4】（2023?福建廈門?廈門雙十中學(xué)?？既＃⒁唤M數(shù)近，2,V6,2^2,...,4e,...按下列方式進(jìn)

行排列：

V2,2,V6,2-\/2：

V10,2V3,V14,4；

若2的位置記為（1,2）,舊的位置記為（2,3）,則2同的位置記為

【答案】（5,4）

【分析】先找出被開方數(shù)的規(guī)律，再求出2g的位置即可.

【詳解】解：原來的一組數(shù)即為

V2,V4,V6,V8；

V10,V12,V14,V16；

所以，規(guī)律為：被開方數(shù)為從2開始的偶數(shù)，每行4個(gè)數(shù)，

V2V10=V40?40是第20個(gè)偶數(shù)，而20+4=5,

.?.2內(nèi)的位置為（5,4）,

故答案為：（5,4）.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的規(guī)律探究，找準(zhǔn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2022?陜西西安??？寄M預(yù)測）觀察下列一系列數(shù)，按照這種規(guī)律排下去，那么第5行從左邊

數(shù)第6個(gè)數(shù)是—.

-1

2-34

-56-78-9

10-1112-1314-1516

【答案】22

【分析】根據(jù)數(shù)陣中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，從而可以求得第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)，本題得以

解決.

【詳解】解：由數(shù)陣可得，

第一行有1個(gè)數(shù)字，

前2行一共有：4個(gè)數(shù)字，

前3行一共有：9個(gè)數(shù)字，

前4行一共有：16個(gè)數(shù)字，

則第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)的絕對值是16+6=22,

??,數(shù)陣中的奇數(shù)都是負(fù)數(shù)，偶數(shù)都是正數(shù)，

二第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)是22,

故答案為:22.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出相應(yīng)的數(shù)字.

【變式4-2］（2023?山東聊城?統(tǒng)考二模）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，若有序數(shù)對（幾?。┍硎镜?排，

從左到右第相個(gè)數(shù)，如（4,2）表示9,則表示123的有序數(shù)對是.

1……第一排

32……第二排

456……第三排

10987……第四排

【答案】（16,14）

【分析】根據(jù)圖中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)每排的數(shù)字個(gè)數(shù)和每排中數(shù)字的排列順序，從而可以得到123在第多

少排，然后即可寫出表示123的有序數(shù)對，本題得以解決.

【詳解】解：由圖可知，

第一排1個(gè)數(shù)，

第二排2個(gè)數(shù)，數(shù)字從大到小排列，

第三排3個(gè)數(shù)，數(shù)字從小到大排列，

第四排4個(gè)數(shù)，數(shù)字從大到小排列，

則前〃排的數(shù)字共有：1+2+3+…+幾=3#個(gè)數(shù),

奇數(shù)排從小到大排列，偶數(shù)排從大到小排列,

?.,當(dāng)n=15時(shí)，”產(chǎn)=120,

當(dāng)n=16時(shí)，竺羅=136,

A123在第16排,

V136-123+1=14,

二表示123的有序數(shù)對是（16,14）.

故答案為：（16,14）.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，寫出表示123的有

序數(shù)對.

【變式4-3］（2021?山東濟(jì)寧.統(tǒng)考一模）將1,V2,V3,乃按如圖方式排列，若規(guī)定（加，〃）表示第相排

從左向右第咒個(gè)數(shù)，則（6,3）與（2000,4）表示的兩數(shù)之積是.

1第1排

72招第2排

761也第3排

76172第4排

737617273第5排

【答案】2V3.

【分析】首先計(jì)算出前5排和前1999排共有多少個(gè)數(shù)，然后除以4,根據(jù)得到的余數(shù)確定（6,3）與（2000,

4）,即可得到結(jié)果.

【詳解】前5排共有1+2+3+4+5=15個(gè)數(shù)，15+4=3……3,

...第6排的第1個(gè)數(shù)為痣，

第6排的第3個(gè)數(shù)為魚，

前1999排共有1+2+3+4+......+1999-19；）1999=1999000,1999000^4=499750,

.?.第2000排的第1個(gè)數(shù)為1,

/.第2000排的第4個(gè)數(shù)為歷，

.'.V6-V2=V12=2V3.

故答案為：2回

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根與規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)規(guī)律判斷出是第幾個(gè)數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

【變式4-4］（2022鄂爾多斯市二模）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖所

示）就是一例.

11.......................................(a+d)1

\z

121.......................................(a+b?

\7\7

1331........................................(CT+6)3

這個(gè)三角形的構(gòu)造法則為：兩腰上的數(shù)都是1,其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和.事實(shí)上，這個(gè)三角形

給出了(a+6嚴(yán)①為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律.例如，在三角形中第三行

的三個(gè)數(shù)1、2、1,恰好對應(yīng)(a+6)2=。2+2防+》2展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1、3、3、1,

恰好對應(yīng)著(a+=a3+3a2b+3ab2+/展開式中各項(xiàng)的系數(shù)等等.根據(jù)上面的規(guī)律，(a+b》的展開式

中各項(xiàng)系數(shù)最大的數(shù)為；式子75+5x74x(一5)+10x73x(-5)2+10x72x(-5)3+5x7x

(一5尸+(—5>的值為.

【答案】632

【分析】根據(jù)三角形的構(gòu)造法則，確定出(a+b)4的展開式中各項(xiàng)系數(shù)最大的數(shù)；原式變形后，計(jì)算即可

得到結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意得：(a+b)4的展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為：1,4,6,4,1,

???最大的數(shù)為6；

75+5x74x(-5)+10x73x(-5)2+10x72X(-5)3+5x7x(-5)4+(-5)5

=(7-5>

=25=32；

故答案為6；32.

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及乘方的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式4-4](2021?湖北隨州?統(tǒng)考一模)我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝

三角”，它具有一定的規(guī)律性.從圖中取一斜列數(shù)：1,3,6,10,15,…，我們把第一個(gè)數(shù)記為的,第二個(gè)

數(shù)記為42,第三個(gè)數(shù)記為43,…，第九個(gè)數(shù)記為即.4看+己+-“+/=募，則n的值為.

【答案】4041

【分析】首先根據(jù)題意得出西的關(guān)系式，然后用“裂項(xiàng)法”將高裂成2?-.)，逐步化簡，列等式求值

即可得出結(jié)果.

【詳解】解：由題意得的=1，。2=3=1+2,%=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,…，

,_n(n+l)

??a九—2,

—=---=2

ann(n+l)

=2。_總，

氏=2(1-總

n2n

2021-n+1

An=4041；

故答案為:4041.

【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化規(guī)律.找到變化規(guī)律然后用“裂項(xiàng)法”求解是解本題的關(guān)鍵.

【變式4-5](2021合肥市一模)如圖1,觀察數(shù)表，如何計(jì)算數(shù)表中所有數(shù)的和？

方法1：如圖1,先求每行數(shù)的和：

第1行1+2+3+…+n=(1+2+3+...+n)

第2行2+4+6+…+2Tl=2(1+2+3+…+n)

第n行n+2n+3n-\------Fn2=n(l+2+3+—Fn)

故表中所有數(shù)的和：

(1+2+3+???+n)+2(1+2+3+???+n)+???+n(l+2+3+??-+n)=_；

第1行1234---n

第2行24682n

第3行369123n

第4行481216…4〃

第”行n2n3”4〃---n'

圖1

方法2：如圖2.依次以第1行每個(gè)數(shù)為起點(diǎn)，按順時(shí)針方向計(jì)算各數(shù)的和:

第1組1=13

第2組2+4+2=23

第3組3+6+9+6+3=33

第71組n+2m+—n2+—2n+n

用這n組數(shù)計(jì)算的結(jié)果，表示數(shù)表中所有數(shù)的和為：

綜合上面兩種方法所得的結(jié)果可得等式：

利用上面得到的規(guī)律計(jì)算：13+23+33+…+203.

【答案】方法1：-n2(n+I)2；方法2：n3；I3+23+33+—Fn3；-n2(n+l)z=l3+23+33+-??+n3；

44

44100.

【分析】方法1：先提取公因式，然后利用計(jì)算公式1+2+3+…+幾=也羅，即可求解.

方法2：根據(jù)規(guī)律第1組1=13,第2組2+4+2=23,第3組3+6+9+6+3=33可找到規(guī)律，n+2m+

+n2+—F2n+n—n3

根據(jù)表中所有數(shù)的和相等，將方法1和方法2綜合即可得等式.

I3+23+33+…+2。3結(jié)合上一問所得等式即可求出解.

【詳解】方法1：

(1+2+3+…+n)+2(1+2+3+…+n)+…+幾(1+2+3+…+n)

n(n+l)2n(n+l)3n(n+l)n2(n+l)

=--------------1------------------1------------------F???H---------------

2222

=^^(l+2+3+-+n)

_n(n+l)n(n+l)

"2,2

_n2(n+l)2

4

方法2:

n+2m+—I-n2+—F2n+n

=n3

用這n組數(shù)計(jì)算的結(jié)果，表示數(shù)表中所有數(shù)的和為：

I3+23+33+???+n3：

綜合上面兩種方法所得的結(jié)果可得等式：

"2（n+1）Z=13+23+33+-??+n3；

4

33

計(jì)算13+2+3+…+2。3=2°2（2。+1）2=44100.

4

【點(diǎn)睛】本題是找規(guī)律的一道題目，掌握計(jì)算公式1+2+3+…+踐=也羅是解題關(guān)鍵.

題型05個(gè)位數(shù)字規(guī)律

[例5]（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）觀察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=

16807,…，根據(jù)其中的規(guī)律可得70+7]+72+…+72。22+72。23的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是.

【答案】0

23

【分析】由已知可得7n的尾數(shù)1,7,9,3循環(huán)，則7。+7】+…+72023的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與7。+7i+7+7

的個(gè)位數(shù)字相同，即可求解.

【詳解】解：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

??.7"的尾數(shù)1,7,9,3循環(huán)，

7°+71+72+73的個(gè)位數(shù)字是0,

■??0,1,2023,一共有2024個(gè)數(shù)，

???2024+4=506,

7°+71+…+72。22+72。23的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與7。+71+72+73的個(gè)位數(shù)字相同，

1

7°+7+…+72022+72023的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是0,

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的尾數(shù)特征，能夠通過所給數(shù)的特點(diǎn)，確定尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1]（2022.山東聊城.統(tǒng)考二模）計(jì)算3】，32,33,34,35,36,并觀察這些哥的個(gè)位數(shù)字，根據(jù)你

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷32022的個(gè)位數(shù)字跟（）的個(gè)位數(shù)字相同.

A.31B.32C.33D.34

【答案】B

【提示】先計(jì)算幾個(gè)幕的運(yùn)算，然后從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得出結(jié)果.

【詳解】解:31=3,

32=9,

33=27,

34=81,

35=243,

據(jù)此發(fā)現(xiàn)，這些事的個(gè)位數(shù)字分別為3,9,7,1四個(gè)循環(huán)一次，

.?.2022+4=505…2,

...32022個(gè)位數(shù)字為％與32個(gè)位數(shù)字相同，

故選：B.

【點(diǎn)睛】題目主要考查有理數(shù)乘方運(yùn)算及規(guī)律問題，理解題意，找出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【變式5-2］計(jì)算：21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,…歸納各計(jì)算結(jié)果中的個(gè)位

數(shù)字規(guī)律，猜測22。21-1的個(gè)位數(shù)字是()

A.1B.3C.7D.5

【答案】A

［提示】根據(jù)題目中的式子可以計(jì)算出前幾個(gè)數(shù)字，從而可以發(fā)現(xiàn)個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律,進(jìn)而可以得到22021-1

的個(gè)位數(shù)字.

【詳解】解：由2L1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,26-1=63,27-1=127,28-1=255,可知計(jì)算

結(jié)果中的個(gè)位數(shù)字以1、3、7、5為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

；2021+4=505...1,

.?.22。2」的個(gè)位數(shù)字是1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類、尾數(shù)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)個(gè)位數(shù)字的變化特點(diǎn)，求

出所求式子的個(gè)位數(shù)字.

【變式5-3】發(fā)現(xiàn)：4?4,42=16,43=64,4=256,45=1024,46=4096,47=16384,48=65536

(1)觀察上面運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字，寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；

(2)依據(jù)(1)中的規(guī)律，通過計(jì)算判斷3x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是多

少,

【答案】(1)當(dāng)4的指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是4；當(dāng)4的指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字

是6；(2)個(gè)位數(shù)字是6.

【提示】(1)注意4的指數(shù)的奇偶性與個(gè)位數(shù)字的關(guān)系；

(2)利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，然后利用(1)中的規(guī)律解答.

【詳解】解：(1)1=4,42=16,43=64,44=256,45=1024,46=4096,47=16384,48=65536

觀察上面運(yùn)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)4的指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是4；當(dāng)4的指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果

的個(gè)位數(shù)字是6；

(2)3x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1

=(4-1)x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1

=(42-1)x(42+1)(44+1)...(432+1)+1

=(44-1)(44+1)...(432+1)+1

=464.

可知464的個(gè)位數(shù)字是6,故3x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是6.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，題型較好，難度適中，是一道不錯(cuò)的題目，通過此題能培養(yǎng)學(xué)生

的觀察能力.

題型06新定義運(yùn)算規(guī)律

解題技巧：新定義運(yùn)算的規(guī)律其實(shí)是這幾種規(guī)律當(dāng)中最為簡單的一種，因?yàn)槠湟?guī)律都是由題目給出的，想

要找到其規(guī)律，需要從所給的條件當(dāng)中進(jìn)行簡單的推論.這時(shí)候就考驗(yàn)大家的觀察能力，以及對數(shù)字的敏感

程度.

【例6】(2020.河南.統(tǒng)考中考真題)定義運(yùn)算：m?n=mn2-mn-l.例如:4x2=4x2?-4x2-1=

7.則方程1xx=0的根的情況為()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【答案】A

【分析】先根據(jù)新定義得出方程，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式可得答案.

【詳解】解：根據(jù)定義得：lxx="2—X—1=0,

a=l,b=—l,c=—1,

4=爐-4ac=(-1)2-4X1x(-1)=5>0,

原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選4

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，考查學(xué)生的學(xué)習(xí)與理解能力，同時(shí)考查了一元二次方程的根的判別式，掌握

以上知識是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1](2023?遼寧朝陽?校聯(lián)考三模)我們知道，一元二次方程/=-1沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)

數(shù)的平方等于-1.如果我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)“『'使它滿足產(chǎn)=-1(即/=—1有一個(gè)根為力并且進(jìn)一步規(guī)定：

一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)“i”進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立.于是有：尸=i,i2=-1,

i3=i2-i=~i,i4=(步尸=1……那么產(chǎn)。23=.

【答案】-i

【分析】根據(jù)所給的新定義找到規(guī)律即可得到答案.

【詳解】解：尸=i，

i2=-1,

i3=i2-i=-i,

〃=戶.j=i,

i5=i4-i=i,

可以發(fā)現(xiàn)每4個(gè)運(yùn)算為一個(gè)循環(huán)，結(jié)果為i,-1,-i,1循環(huán)出現(xiàn)，

720234-4=505...3,

Ai2023=-i,

故答案為：-九

【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算和數(shù)字類的規(guī)律探索，正確得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【變式6-2](2022?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題)定義一種新運(yùn)算：對于任意的非零實(shí)數(shù)a,6,。86=工+"若

ab

(x+1)0X=則X的值為.

【答案】-1/-0.5

【分析】根據(jù)新定義可得(x+1)集x=竽，由此建立方程竽i="解方程即可.

xz+xxz+xX

【詳解】解：⑤b=乙+3

ab

x+l+x2x4-1

(%+1)0X=—+-

x+1xx(x+l)x2+xf

又???。+1)6)%=等,

.2x+l2x4-1

??~x~z+xX,

/.(%2+x)(2x+1)-x(2x+1)=0,

(%2+x—%)(2%+1)=0,

/.x2(2x+1)=0,

?；(x+l)(8)x=平即xKO,

/.2%4-1=0,

解得久=_5

經(jīng)檢驗(yàn)x=-1是方程竽=處的解，

2xz+xx

故答案為：一

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算,解分式方程,正確理解題意得到關(guān)于尤的方程是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3](2022?湖南張家界?張家界市民族中學(xué)?？家荒?定義:如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1,記為產(chǎn)=-1,

這個(gè)數(shù)