中考數(shù)學一輪復習重難點強化訓練：整式及其因式分解（知識串講+10大考點）解析版

專題02整式及其因式分解

「講臺I

考點類型

審」知識一遍過

（一）整式的相關概念

（1）單項式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項式,單獨一個數(shù)或一個字母也叫單項式，

所有字母指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù),單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù).

（2）多項式：由幾個單項式相加組成的代數(shù)式叫做多項式,多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)就是這個多項式

的次數(shù),不含字母的項叫做常數(shù)項.

（3）整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.

（4）同類項：多項式中，所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項,叫做同類項.

（5）代數(shù)式及求值

①概念：用基本運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方等）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代

數(shù)式.單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式；

②列代數(shù)式：找出數(shù)量關系，用表示數(shù)的字母將它數(shù)學化的過程；

③代數(shù)式的值：用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母,按運算順序計算出的結果叫代數(shù)式的值；

④代數(shù)式求值的步驟：a.代入數(shù)值（注意利用整體代入思想，簡化運算）；b.計算.

（二）整式運算

（1）整式加減

①合并同類項：①字母和字母的指數(shù)不變；②同類項的系數(shù)相加減作為新的系數(shù).

②添（去）括號，括號前面是“+”，把括號去掉，括號里各項符號不變;括號前面是“一”，把括號去掉，

括號里各項加號變減號,減號變加號.

(2)幕的運算法則

①同底數(shù)幕相乘：a-?an=a""(m,n都是整數(shù)，aWO).

②塞的乘方：(a-)n=am"(m,n都是整數(shù)，a#O).

③積的乘方：(ab)n=an?bn(n是整數(shù)，aWO,bWO).

④同底數(shù)幕相除：a=an=anf(m,n都是整數(shù),aWO).

(3)整式乘除

①單項式X單項式：①系數(shù)和同底數(shù)幕分別相乘；②只有一個字母的照抄.

②單項式X多項式：m(a+b)=ma+mb.

③多項式X多項式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.

④單項式+單項式：將系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除.

⑤多項式+單項式：①多項式的每一項除以單項式；②商相加.

(4)乘法公式

平方差公式：(a+b)(a—6)=層一

完全平方公式：(?！懒?=/土2次?+比

完全平方公式的變式：a2+/?2=(a+b)2+2abab=[(a+b)2—(a2+Z>2)]4-2

(三)因式分解

(1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).

(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2~2ab+b2=(a-b)2

(3)分組分解法：通過分組分解的方式來分解提公因式法和公式分解法無法直接分解的因式，分組方式一

般分為“1+3”式分組和“2+2”式分組。

(4)十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

因式分解的一般步驟：

一“提”(取公因式)，二“套”(公式)，三“分”(分組)，四“查”(檢查)

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式.

(2)如果各項沒有公因式，那么盡可能嘗試用公式法來分解;

(3)如果項數(shù)較多或無法直接分解時，要分組分解.

(4)分解因式必須分解到不能再會解為止.每個因式的內(nèi)部不再有括號，且同類項合并完畢，若有相同因

式需寫成幕的形式.

易錯知識辨析：

(1)注意因式分解與整式乘法的區(qū)別；

(2)完全平方公式、平方差公式中字母，不僅表示一個數(shù)，還可以表示單項式、多項式

考點一遍過

考點i求代數(shù)式的值

典例1:（23-24上?德州?階段練習）設是方程/+x-2017=0的兩個實數(shù)根,則+2a+b的值為（

A.2019B.2018C.2015D.2016

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系可得出a?+a=2017、a+b=-l,將其代入a?+2a+

b=（a2+a）+（a+b）中即可求出結論.

【詳解】回a,6是方程/+%-2017=0的兩個實數(shù)根，

Ela?+a=2017,a+b=-1

國a?+2a+b=（a?+a）+（a+b）=2017+（—1）=2016

故選：D.

【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的解，根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系找

出a?+a=2017,a+b=-1是解題的關鍵.

【變式1】（23?24上?珠海?期中）若x=1時，代數(shù)式a/+bx+2的值為4,貝阮=—1時，代數(shù)式a—+fox+3

的值為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)x=1時，代數(shù)式a/+bx+2的值為4,推出a+b=2,把％=-1代入a/+bx+3得出—a—

b+3,即可求解.

【詳解】解：舐=1時，代數(shù)式a/+必+2的值為4,

0a+h+2=4,則a+b=2,

把x=—1代入a/+力刀+3得：-a—b+3,

團一a—b+3=—2+3=1,

團代數(shù)式a%3+bx+3的值為1,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了求代數(shù)式的值，解題的關鍵是根據(jù)題意得出a+b=2,具有整體代入的思想.

【變式2］（2324上?鞍山?階段練習）已知實數(shù)a是一元二次方程/-2023X+1=0的根，求代數(shù)式a?-

2022a-畛匚的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【分析】根據(jù)實數(shù)a是一元二次方程/一2023%+1=0的根，即得出a?-2023a=-1,a2+1=2023a.整

體代入可得a-1-嗡，化簡即可.

【詳解】將％=Q代入%2-2023%+1=0,得：M-2023a+1=0,HPa2一2023a=-1,a2+1=2023a.

a2+1

=a+a2-2023a—

2023

2023a

=CL-1-----------

2023

=-1

故選：B.

【點睛】本題考查一元二次方程的解，代數(shù)式求值.掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值和利用整

體代入的思想是解題關鍵.

【變式3]（2324上?武漢?階段練習）已知一元二次方程/—3久+1=0的兩根分別為打,女，貝吃對-6久/+

2

x2-5%2+7的值為（）

A.0B.7C.13D.6

【答案】A

【分析】由方程解的含義及一元二次方程根與系數(shù)的關系即可求得結果.

【詳解】解：團一元二次方程一-3尤+1=0的兩根分別為%1，血，

2

+亞=3,-3%]+1=0,x2—3肛+1=0，

2

回%——3%1=—1,%2=3%2—1,

22

02xf—6x1+x2—5X2+7

2

=2xx（xt—3%1）+3x2—1―5久2+7

——2%i—2%2+6

=-2(%1+%2)+6

=-2X3+6

0

故選：A.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根與系數(shù)的關系，求代數(shù)式的值，涉及整體

代入思想，關鍵是變形.

考點2：整式的有關概念

典例2：（2324上?廣州?期中）下列判斷正確的是（）

A.兩個四次多項式的和一定是四次多項式B.等和手都是單項式

C.單項式-ry的次數(shù)是3,系數(shù)是-1D.2/-xy2+3y2是三次三項式

【答案】D

【分析】根據(jù)整式的加法，多項式的定義，單項式的定義、次數(shù)、系數(shù)逐項判斷即可解答.

【詳解】解：A、兩個四次多項式的和不一定是四次多項式，故該選項不符合題意；

B、亨=?+?是多項式，故該選項不符合題意；

C、單項式-/y的次數(shù)是4,系數(shù)是-1,故該選項不符合題意；

D、2/—xy2+3y2是三次三項式，說法正確，符合題意.

故選D.

【點睛】本題主要考查了整式的加法，多項式的定義，單項式的定義、次數(shù)、系數(shù)等知識點，理解相關定

義和運算法則是解答本題的關鍵.

【變式1］（2324上?西安?期中）下列說法中正確的有（）個.

①25與產(chǎn)是同類項；

②單項式手的系數(shù)是-2；

③多項式3久2一5x+1的一次項系數(shù)是-5

@x2y-xy+1是二次三項式

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據(jù)單項式次數(shù)和系數(shù)的定義，多項式次數(shù)和項的定義，同類項的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：①25與是指數(shù)相同，但底數(shù)不同，此說法錯誤；

②單項式二手的系數(shù)是-|,此說法錯誤；

③多項式3/-5%+1的一次項系數(shù)是-5,此說法正確；

④%2y-孫+1是三次三項式，此說法錯誤；

綜上，說法正確的只有一個，

故選：A.

【點睛】此題考查了單項式次數(shù)和系數(shù)的定義，多項式次數(shù)和項的定義，同類項的定義，熟知相關定義是

解題的關鍵.

【變式2］（2324上?德陽?階段練習）對于多項式2—+3/y2—2秒一1,若a為該多項式的次數(shù)，b為該多

項式的項數(shù)，則代數(shù)式ab的值為（）

A.16B.20C.8D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)多項式的次數(shù)及項數(shù)概念求得a,匕的值，然后將其代入防中計算即可.

【詳解】解：已知多項式2尤。+3x3y2-2xy-1,

則其次數(shù)為3+2=5,項數(shù)為4,

則a=5,b=4,

那么ab=5X4=20,

故選：B.

【點睛】本題考查多項式及代數(shù)式求值，結合已知條件求得a,匕的值是解題的關鍵.

【變式3］（2223上?榆林?期末）下列說法錯誤的是（）

A.代數(shù)式rn+5,ab,-3都是整式B.單項式-ab的系數(shù)是-1,次數(shù)是2

C.多項式3x-IT的項是3x,-nD.多項式5/y-2盯+4x是二次三項式

【答案】D

【分析】根據(jù)整式的定義，單項式的定義，多項式的定義，單項式的項和次數(shù)的定義，多項式的項和次數(shù)

的定義依次判斷即可.

【詳解】A.zn+5是多項式，ab是單項式，-3是單項式，都是整式，故A選項正確，不符合題意；

B.單項式-ab的系數(shù)是-1,次數(shù)是2,故B選項正確，不符合題意；

C.多項式3%-TT的項是3%,-TT,故C選項正確，不符合題意；

D.多項式5刀2、一2xy+4x是三次三項式，故D選項錯誤，符合題意.

故選：D

【點睛】本題主要考查了整式的相關概念：由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式叫做單項式，幾個單項式的和

叫做多項式，單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，單項式中所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)，

多項式中每個單項式叫做這個多項式的項，多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)，單項式

和多項式統(tǒng)稱為整式.熟練掌握整式的相關概念是解題的關鍵.

考點3：幕的運算

典例3：(2324上?廣州?期中)下列運算正確的是()

A.a3-a5=a15B.(—a2/)3)2=a4b6C.(a—b)2=a2—b2D.3a2—2a2=1

【答案】B

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)募的乘法法法則，累的乘方與積的乘方運算法則及完全平方公式和合并同類項則

逐一判斷即可.

【詳解】解：A.a3.a5=a3+5=a8,故錯誤，不符合題意；

B.(—a2b3)2=(―l)2■(a2)2"(b3)2=a4b6,正確,符合題意；

C.(a—b)2=：a2+b2-2ab,故錯誤，不符合題意；

D.3a2-2a2=(3-2)a2=a2,故錯誤，不符合題意;

故選：B

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)幕的乘法、募的乘方與積的乘方以及完全平方公式，熟練掌握相關運算法

則是解答關鍵.

【變式1](2223下?洛陽?階段練習)下列運算正確的是()

A.(-2a2)3=-2a6B.a6a2=a3

C.2a+2b=2abD.(a+b)(a—h)=a2—b2

【答案】D

【分析】根據(jù)塞的乘方與積的乘方、同底數(shù)幕的除法、合并同類項法則、平方差公式逐項進行判斷即可解

答.

【詳解】解：A.(-2a2)3=-8a6,因此選項A不符合題意；

B.a64-a2=a4,因此選項B不符合題意；

C.2a和2b不是同類項，不能合并，因此選項C不符合題意；

D.(a+b)(a-fa)=a2-b2,因此選項。符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了平方差公式、嘉的乘方與積的乘方、同底數(shù)幕的乘除法以及合并同類項等知識點，

掌握平方差公式的結構特征、累的乘方與積的乘方的計算性質(zhì)、同底數(shù)累的除法的計算方法是正確判斷的

前提.

【變式2](2223下?青島?期中)下列運算正確的是()

A.a2+2a=3a3B.(—5a5)2=25a5

C.(a+2)(a-1)=a2+a—2D.(a+b~)2=a2+b2

【答案】c

【分析】利用合并同類項的法則，積的乘方與幕的乘方的法則，多項式乘多項式的法則和完全平方公式對

每個選項進行逐一判斷即可得出結論.

【詳解】解：A、與2a不是同類項，不能合并，原運算不正確，不符合題意，選項錯誤；

B、(-5a5)2=25a10,原運算不正確，不符合題意，選項錯誤；

C、(a+2)(a-1)=a2+a-2,原運算正確，符合題意，選項正確；

D、(a+b)2=a2+2ab+b2,原運算不正確，不符合題意，選項錯誤；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了合并同類項的法則，積的乘方與幕的乘方的法則，多項式乘多項式的法則和完全

平方公式，熟練掌握實數(shù)法則與公式是解題的關鍵.

【變式3](2223下?達州?期末)下列計算正確的是()

A.x5-x5=2x5B.a3+a2=a5

C.(a2b尸=a8b3D.(—be)4(—foe)2=b2c2

【答案】D

【分析】分別運用同底數(shù)累的乘法，合并同類項法則，褰的乘方和同底數(shù)累的除法運算即可.

【詳解】解：A、x5-x5=%10,所以此選項錯誤；

B、a3+a2,不能運算，所以此選項錯誤；

C>(a2Z?)3=cz6b3,所以此選項錯誤；

D、(-be)4+(-be)2=(-be)2=b2c2,所以此選項正確,

故選：D.

【點睛】此題考查了同底數(shù)幕的乘法，合并同類項法則，幕的乘方和同底數(shù)幕的除法運算，掌握運算法則

是解題的關鍵.

考點4：整式的乘除運算

典例4：(2223下?深圳?期末)計算：

(l)a2-a4+(2a3)2—3a7+a；

(2)m(2m—3)—(m-4)(m+1).

【答案】⑴2a6

(2)m2+4

【分析】(1)根據(jù)同底數(shù)塞的乘法、積的乘方和單項式除以單項式的方法解答即可；

(2)根據(jù)單項式乘多項式、多項式乘多項式將題目中的式子展開，然后合并同類項即可.

【詳解】(1)a2-a4+(2a3)2-3a7a

=a6+4a6-3a6

=2a6；

(2)m(2m—3)—(m-4)(m+1)

2

=27n2—37n—m—m+4m4-4

=m2+4.

【點睛】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

【變式1】(22?23上?璧山?期中)計算:

(l)(2a+b)(a—b)；

(2)(—2a2h)2(3ah2—5a2h)+(—ah)3.

【答案】⑴2a2——人2

(2)—12a2b+20a3

【分析】(1)根據(jù)多項式乘多項式計算即可；

(2)先算乘方，再算乘除即可.

【詳解】(1)原式=2a(a—b)+—b)

=2a2—2ab+ab—b2

=2a2—afo—h2；

(2)原式=(4a462)?(3ab2—5a2b)+(—a3/)3)

=(12a5/)4—20a6〃)+(_口3b3)

=-12a2b+20a3.

【點睛】本題考查整式的混合運算，熟記多項式乘多項式，積的乘方運算規(guī)則是解題的關鍵.

【變式2](2L22上?北京?期中)計算：

⑴(―2%y2)2+4%y3-(―xy)

(2)2(a2—2a26)—3a(a—2ah)；

【答案】⑴0

(2)—a2+2a2b

【分析】(1)用積的乘方運算法則，計算(-2盯2)2,用單項式乘以單項式法則計算44/3,(_町)，再合并同

類項；

(2)用單項式乘以多項式法則計算，再合并同類項；

【詳解】(1)解：(-2xy2)2+4xy3-(-xy),

=(—2)2-x2?(y2)2+(—4)%-%?y3?y,

=4%2y4_|_(—4%2y4),

=(4—4)%2y4,

=o；

(2)2(a2—2a2b~)—3a(a—2ab),

22

=2a2_4a2b-(3a_6ab),

=2a2—4a2b—3a2+6a2b,

=(2a2—3a2)+(—4a2b+6a2/J),

=(2—3)M+(-4+6)a，b,

=—a2+2a2b.

【點睛】本題考查整式的混合運算，涉及知識點：積的乘方、單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、合

并同類項，熟練掌握運算法則是關鍵.

【變式3】(22?23下?邯鄲?期中)計算：

⑴(―1)2020X(兀-2)?！?/p>

(2)(-2a2)3+2a2-a4-a8-a2

(3)x(%+2y)-(y-3x)(%+y)

【答案】⑴4

⑵一7a6

(3)4x2+4xy—y2

【分析】(1)先算乘方，零指數(shù)幕和負指數(shù)塞以及絕對值，再算乘法，最后計算加減法;

(2)利用幕的乘方和積的乘方，同底數(shù)幕的乘除法則計算，再合并；

(3)利用單項式乘多項式，多項式乘多項式法則展開，再合并.

-3

【詳解】(1)解：(一1)2°2。*(兀一2)°-|—5|-(一鄉(xiāng)

=1x1-5-(-8)

=1-5+8

=4；

23482

(2)(-2a)+2a2,a-aa

=-Ba6+2a6—a6

=-7a6；

(3)x(x+2y)—(y-3x)(%+y)

=x2+2xy—(%y+y2—3x2—3xy)

=%2+2xy—xy—y2+3x2+3xy

=4%2—y2+4xy

【點睛】此題主要考查了實數(shù)的混合運算，整式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

考點5：乘法公式

典例5：(2223下?深圳?模擬預測)下列運算正確的是()

A.(―2xy2)3=—6x3y6B.(x+y)2=x2+y2

C.(—x+y)(—%—y)=x2—y2D.(a2)3=a5

【答案】C

【分析】根據(jù)積的乘方、募的乘方、完全平方公式和平方差公式進行計算即可.

【詳解】解：A.(—2孫2)3=—8/y6,原計算錯誤，不合題意；

B.(x+y)2=x2+2xy+y2,原計算錯誤，不合題意；

C.(-%+y)(-%-y)—x2-y2,計算正確，符合題意；

D.(a2)3=a6,原計算錯誤，不合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了積的乘方、幕的乘方、完全平方公式和平方差公式，掌握相關公式是解題的關鍵.

(2324上,海淀,階段練習)在下列運算中，正確的是()

A.(%—y)2=x2—y2B.(2%—y)(2x+y)=2x2—y2

C.(a+2b)2=a2+2ab+4b2D.(a+2)(a-3)=a2—a—6

【答案】D

【分析】根據(jù)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+解和平方差公式一62=g+b)(a-b)進行計算即可得.

【詳解】解：A、(x-y)2=x2-2xy+y2,則此項錯誤，不符合題意；

B、(2%-y)(2x+y)=4/-y2,則此項錯誤，不符合題意；

C、(a+2b)2=a2+4ab+4b2,則此項錯誤，不符合題意；

D、(a+2)(a-3)=a2-a-6,則此項正確，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了乘法公式，熟記平方差公式和完全平方公式是解題關鍵.

【變式1](23-24上,內(nèi)江?期中)已知a?+爐+2a-4b+5=0,則a+b=()

A.1B.-1C.5D.2

【答案】A

【分析】利用完全平方公式進行變形，然后根據(jù)偶次方的非負性求出a,b,進而可得答案.

【詳解】解：0a2++2a—4b+5=a?+2a+1+墳一4b+4=(a+1)2+(6-2)2=0,

I3(a+I)2=0,(b-2)2=0,

Ela+1=0,b—2=0,

0a=-1,b=2,

Sa+b=—1+2=1,

故選：A.

【點睛】本題考查了完全平方公式，非負數(shù)的性質(zhì)，靈活運用完全平方公式是解題的關鍵.

【變式2](23-24上,長春?階段練習)若(a+b)2=11,(a-b)2=7,則ab的值為()

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】B

【分析】根據(jù)完全平方公式得a?+爐+2ab=11,a2+b2-2ab=7,兩式相減即可求出ab的值.

【詳解】解：回(a+b)2=11,

0a2+b2+2ab=11①，

El(a-b)2=7,

Ela2+b2—2ab=7②，

①一②得4ab=4,解得ab=l.

故選B.

【點睛】本題考查完全平方公式，解題的關鍵是熟練運用完全平方公式.

【變式3](23.24上.渝中.階段練習)a+p=音，ap=則a?+p2=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】把a+p=y,ap=卷代入a?+p2=（a+p）2-lap,再計算即可得到答案.

【詳解】解：0a+p=y,ap=

0a2+p2=（a+-2ap=（甘?_||=19^~96=4；

故選B

【點睛】本題考查的是完全平方公式的應用，熟記完全平方公式是解本題的關鍵.

【變式5】（23-24上?邢臺?階段練習）若a—工=3,貝。伍+工丫的值是（）

a\aj

A.5B.6C.12D.13

【答案】D

【分析】根據(jù)完全平方公式進行計算即可求解.

【詳解】解：回a-合3，

團（a-J=9,

即a?—2+（，）=9,

0a2+Q）2=11,

Ela?+2+（―）=13,

即（a+￡f=13,

故選：D.

【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.

【變式6】（23?24上?威?！鲭A段練習）已知（2、/?、0是4ABC的三邊,且滿足（a?+b2）2-2（a2+b2）c2+c4=0,

△ABC的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【分析】先利用完全平方公式，將原式化為[（小+爐）,c2]2=0,再利用平方的非負性，得出a2+爐=c2,

即可判斷^ABC的形狀.

【詳解】解：???(a2+h2)2-2(a2+b2)c2+c4=0,

[(a2+b2}-c2]2=0,

(a2+b2)-c2=0,

a2+b2=c2,

??.△ABC是直角三角形，

故選：A.

【點睛】本題考查了完全平方公式，非負數(shù)的性質(zhì)，勾股定理得逆定理，根據(jù)已知等式的特點，將原式轉(zhuǎn)

化為完全平方公式是解題關鍵.

【變式7】(23-24上?汕頭?階段練習)若M一12%+15,N=x2-8x+ll,則〃與N的大小關系為

()

A.MNNB.M<NC.M=ND.不能確定

【答案】A

【分析】利用求差法判定兩式的大小，將M與N代入M-N中，去括號合并得到最簡結果，根據(jù)結果的正負

即可做出判斷.

【詳解】解：M-N=2/-12%+15-(x2-8x+11)

=%2—4x+4

=(x-2)2>0,

0M>N,

故選A

【點睛】本題考查了完全平方公式的應用和非負數(shù)的性質(zhì).解題時要注意配方的步驟.注意在變形的過程

中不要改變式子的值.

考點6：乘法公式的幾何背景

典例6：(2324上?武漢?期中)從邊長為a的大正方形紙板正中央挖去一個邊長為6的小正方形后，將其裁

成四個大小和形狀完全相同的四邊形(如圖1),然后拼成一個平行四邊形(如圖2),那么通過計算兩個圖

形陰影部分的面積，可以驗證成立的等式為()

圖1圖2

A.a2-b2=(a-ft)2B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a—b)2=a2—2ab+b2D.a2—fa2=(a+b)(a—b)

【答案】D

【分析】本題主要考查了平方差公式，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關鍵.

【詳解】解：圖1中陰影部分的面積為：a2-b2,圖2中陰影部分的面積為：(a+b)(a—b),

回兩圖中陰影部分的面積相等，

a2—b2—(a+b)(a—b),

13可以驗證成立的公式為a?-b2=(a+b)(a-b),

故選：D.

【變式1](2223?攀枝花?中考真題)我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數(shù)恒等式.給出以下4

組圖形及相應的代數(shù)恒等式:

②(a—(>=a2-2ab+b2

④(a—b)2=(a+b)2—4ab

其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數(shù)恒等式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】觀察各個圖形及相應的代數(shù)恒等式即可得到答案.

【詳解】解：圖形的面積關系能正確解釋相應的代數(shù)恒等式的有①②③④，

故選：D.

【點睛】本題考查用圖形面積解釋代數(shù)恒等式，解題的關鍵是用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積.

【變式2］（2223下?西安?階段練習）用4張形狀、大小完全相同的長方形拼成下圖所示的正方形，利用面

積的不同表示方法可以得到一個代數(shù)恒等式，若長方形的長、寬分別為a、b,則該圖可以表示的代數(shù)恒等

A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.a2+b2={a+b)2—2ab

C.4ab+(a—b)2=(a+b)2D.(a+b)2—4ab=(a—b)2+4ab

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形的組成以及正方形和長方形的面積公式，知：大正方形的面積=小正方形的面積+4個長方

形的面積.

【詳解】解：S小正方形=(a-b)2,S大正方形=(a+匕產(chǎn)4S長方形=4ab,

回大正方形的面積=小正方形的面積+4個長方形的面積，

134ab+(a—b)2=(a+b~)2,

故選：C.

【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，能夠正確找到大正方形和小正方形的邊長是難點.解決問

題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關系.

【變式3](2223下?范澤?期中)邊長分別為。和。(其中a>b)的兩個正方形按下圖擺放，如果a+6=7,

ab=12,則圖中陰影部分的面積為()

A.25B.12.5C.13D.6.5

【答案】B

【分析】利用兩個正方形面積再加上陰影三角形的面積減去空白三角形的面積，即可得到部分陰影部分的

面積.

【詳解】解：回大正方形的邊長為a,小正方形的邊長為b,

回大正方形的面積為小正方形的面積為

團陰影部分的面積為：a2+b2+|b(a-b)-^a(a+b)-a,

團a+b=7,ab=129

Ha2+扭=(a+b)2—2ab=49-24=25,

回陰影部分的面積為§=12.5,

故選：B.

【點睛】本題考查整式混合運算的應用，解題的關鍵是將陰影部分看作兩部分進行求解.

考點7：整式的混合運算

典例7：(2324上?宜春,階段練習)計算：

(1)(26-3c+4)(3c-26+4)-2(5-c)2

(2)(%2y)3.(-2xy3)2；

⑶產(chǎn))2_|_(久2y6)71；

【答案】(1)16-6b2+16bc-11c2

⑵4/y9

⑶2%2rly671

【分析】(1)利用平方差公式和完全平方公式進行計算即可；

(2)根據(jù)積的乘方和單項式乘法法則計算即可；

(3)先計算積的乘方，再合并同類項即可.

【詳解】(1)解：(2fo—3c+4)(3c—2b+4)—2(fo—c)2

=[4+(2b-3c)][4-(2b-3c)]-2(b-c)2

=42—(2b—3c￥—2(b—c)2

=16—(4b2—12bc+9c2)—2(b2—2bc+c2)

=16—4b2+12bc—9c2—2b2+4bc-2c2

=16—6b2+16bc—11c2

(2)(x2y)3-(—2xy3)2

=X6y3?4%2y6

=4%8y9

(3)(xny3n)2+(x2y6)n

_v2n^.6n?v2n-.6n

—人y?人y

-2x2ny6n

【點睛】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握幕的運算法則、整式的乘法法則和乘法公式是解題的關鍵.

【變式1](23?24上?靜安?階段練習)計算

(l)(2m+l)(m—2)

⑵(9+3)(4%-2)

(3)(2a—b)(2a+b)—(a—2b)2

(4)—2a(a—1)—(a—l)(a+2)

【答案】⑴27n2-37n-2

(2)2x2+llx-6

⑶3a2+4ab-5b2

(4)—3a?+q+2

【分析】(1)按照多項式乘多項式的法則計算；

(2)按照多項式乘多項式的法則計算；

(3)先按照平方差公式、完全平方公式計算，再去括號，合并同類項；

(4)先按照多項式乘多項式的法則計算，再去括號，合并同類項.

【詳解】(1)(2m+l)(zn—2)

=2m2—4m+m—2

=2m2—3m—2.

(2)Qx+3)(4%—2)

=2x2—%+12%—6

=2x2+llx—6.

(3)(2a—&)(2a+h)—(a—2b)2

=(4a2—b2)—(a2-4ab+4/72)

=4a2-b2-a2+4ab-4b2

=3a2+4ab-5b2.

(4)—2a(a—1)—(a—l)(a+2)

=-2a2+2a-(a2+2a—CL—2)

=-2a2+2a—(z2—2a+a+2

=-3。2+a+2.

【點睛】本題考查多項式乘多項式，乘法公式，熟練掌握多項式乘多項式，乘法公式是解題的關鍵.

【變式2】(23?24上?南陽?階段練習)(1)計算：a-a3-5a4+(2a2)2；

(2)計算：(2a+3b)(a—2b)—工。(4。-3b)；

(3)用簡便方法計算：(—0.125)2。23乂22。24乂42024；

(4)先化簡，再求值：(2a—h)2+(a—&)(a+6)—5a(a-2&),其中a=}b=—1.

【答案】(1)0；(2)|ci2—cib—6/?2；(3)—8；(4)6ab,-3

【分析】(1)先根據(jù)同底數(shù)幕的乘法和幕的乘方運算法則將各項化簡，再進行計算即可；

(2)先將括號展開，再合并同類項即可；

(3)根據(jù)積的乘方的逆運算進行簡便計算即可；

(4)根據(jù)完全平方公式和平方差公式，將括號展開，再進行計算，最后將。和。值代入計算即可.

【詳解】解:(1)a-a3—5a4+(2a2)2

=a4-5a4+4a4

=0；

1

(2)(2d+3b)(a—2b)—a(4a—3b)

8

13

=2a2一4ab+3ub—6b2——■ci2+~ccb

28

=-a2--ab—6b2；

28

(3)(一0.125產(chǎn)23x22024義42024

=(-0.125x2x4產(chǎn)23x2x4

=—8；

(4)(2a—b)2+(a—b)(a+b)—5a(a-2b)

=4a2—4ab+b2+a2-b2—5a2+lOab

—6ab,

當時a=5,b=-1時，原式=6x—x(-1)=-3.

【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，整式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握整式的混合運算順序

和運算法則，以及完全平方公式和平方差公式.

【變式3](22-23下?佛山?階段練習)計算(能用公式的請用公式計算)：

(l)(2x+3)(2x—3)；

(2)(b+2a)(2a—b)；

(3)(a+2h)(a2—2ab+4b2')；

(4)(2a+3b—c)(2a—3b+c)；

(5)(尤2+2x+5)(x2+2x—2)；

(6)(2x-1)2(4/+1)2(1+2x)2.

【答案】(1)4/一9

(2)4a2-b2

(3)a3+8b3

⑷4a2—9b2_|_6bc—c2

(5)x4+4%3+7x2+6%—10

(6)256%8-32x4+1

【分析】(1)利用平方差公式計算即可；

(2)利用平方差公式計算即可；

(3)利用多項式乘以多項式運算法則計算即可；

(4)利用平方差公式和完全平方公式計算即可；

(5)利用多項式乘以多項式的法則展開后合并同類項即可;

(6)利用平方差公式和完全平方公式計算即可.

【詳解】(1)解：(2%+3)(2%-3)

=(2%)2-32

=4%2—9.

(2)(b+2a)(2a—b)

=(2a)2—b2

=4a2-b2.

(3)(a+2fo)(a2—2ab+4h2)

=(a+2b)[a2—2ab+(2/?)2]

=a3+8b3.

(4)(2a+3b—c)(2a—3b+c)

=[2a+(3b—c)][2a—(3b—c)]

=(2a)2—(3b—c)2

=4a2—(9&2—6bc+c2)

=4a2—9b2+6bc—c2.

(5)(%2+2%+5)(%2+2%-2)

=%4+2%3—2x2+2x3+4x2—4%+5x2+10%—10

=%4+4%3+7x2+6x—10.

(6)(2%-l)2(4x2+1)2(1+2x)2

=[(1+2x)2(2x-l)2](4x2+l)2

=(4x2-1)2(4/+1)2

=(16x4—I)2

=256x8-32x4+l.

【點睛】此題考查了乘法公式、多項式的乘法運算，熟練掌握運算法則和乘法公式是解題的關鍵.

考點8：因式分解一一提公因式、公式法

典例8：(23?24上?西城,期中)下列各式從左到右的變形中，因式分解正確的是()

A.x2+2xy—y2=(x—y)2B.(3m+l)(n—2)+2(n-2)=(3m+3)(幾—2)

C.%2—3%+2=(%+1)(%—3)D.%2—9=(x+3)(%—3)

【答案】D

【分析】分別對各項因式分解，再逐一判斷即可.

【詳解】解：A.x2+2xy-y2^(x-y)2,不符合題意；

B.(3m+l)(n—2)+2(n—2)=(n—2)(3m4-1+2)=(3m+3)(九—2)=3(m+l)(n—2),

原來分解錯誤，不符合題意；

C.%2—3%+2=(%—1)(%—2),不符合題意；

D.%2—9=(%+3)(%—3),符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

【變式1】(23?24上?渝中?階段練習)下列因式分解正確的是()

A.a2b—2ab-aQab—2b)B.—a2b+2ab=—abQa+2)

C.ab-^ab2=ab^1—D.—a2b+ab2=—ab{a—b)

【答案】D

【分析】根據(jù)因式分解的方法逐項判斷即可.

【詳解】解：A、a2b-2ab=ab(a-2),原式錯誤，不符合題意；

B、-a2b+2ab=-abQa-2),原式錯誤，不符合題意；

C、ab_；ab2=ab(1原式錯誤，不符合題意；

D、—a2b+ab2=—ab(a—h),原式正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解.因式分解常用

的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法.因式分解必須分解到每個因式都

不能再分解為止.

【變式2](23-24上?梅州?階段練習)把(a?+I)2-4a2因式分解得()

A.(a?+1—4a)2B.(a?+1—4a產(chǎn)

C.(a+l)2(a-I)2D.(a2-I)2

【答案】C

【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.

【詳解】解：(a2+I)2-4a2=(a2+1+2a)(a2+1-2a)=(a+l)2(a-l)2；

故選：C.

【點睛】本題考查了多項式的因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵.

【變式3](2223上,武漢?期末)下列因式分解正確的是()

A.x2—6=(%—2)(%+3)B.x2—2x—1=(x—I)2

C.x2—y2=(x—y)2D.x2+4%+4=(%+2)2

【答案】D

【分析】根據(jù)公式法分別判斷即可.

【詳解】A.%2-6=(x-V6)(x+V6),故原選項錯誤；

B.x2-2%-1=(%—I)2-2=(x-1+V2)(x-1-V2),故原選項錯誤；

C.x2-y2=(x+y)(x-y),故原選項錯誤；

D.x2+4x+4=(x+2)2,故原選項正確；

故選D.

【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解.因式分解常用

的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法.因式分解必須分解到每個因式都

不能再分解為止.

【變式4](2324上?西城?期中)下列因式分解正確的是()

A.m2—6m+9=(m—3)2B.x2—y2=(x+4y)(x—4y)

C.x2—x—2=x(x—1)—2D.2a2+4a=a(2a+4)

【答案】A

【分析】分別利用完全平方公式和平方差公式、提取公因式法及十字相乘法對各項進行因式分解即可判斷.

【詳解】解：A.m2—6m+9=(m—3)2,故符合題意；

B.x2-y2=(x+y)(x-y),故不符合題意；

C.x2-x—2=(x-2)(%+1),故不符合題意；

D.2a2+4a=2a(a+2),故不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

【變式5】(22?23下?鷹潭?期末)下列因式分解正確的是()

A.4—%2=(4+%)(4—x)B.%2+2%—1=(x—I)2

C.2x2—2=2(%2—1)=2(%+1)(%—1)D.x2—2%+2=x(x-1)+2

【答案】C

【分析】根據(jù)因式分解的定義及方法逐項分析即可.

【詳解】A.4-％2=(2+%)(2-％),故不正確；

B./+2%-1在實數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，故不正確；

C.2x2—2=2(%2—1)=2(%+1)(%—1),正確；

D./-2%+2=%(%-1)+2的右邊不是積的形式，故不正確；

故選：C.

【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解.因式分解常用

的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法.因式分解必須分解到每個因式都

不能再分解為止.

【變式6](23?24上?達州?開學考試)因式分解正確的是()

A.—4a2+9b2=(—2a+3Z?)(2a+3b)B.x3—x=x(x2—1)

C.(a+b)(a—b)=a2—b2D.m3+m2+m=m(jn2+m)

【答案】A

【分析】利用提公因式法、公式法逐項進行因式分解后再進行判斷即可.

【詳解】解：A、-4a2+9爐=(-2。+3b)(2a+3b),正確，本選項符合題意；

B、x3-x=x(x2-1)=%(%+1)(%-1),分解不徹底，本選項不符合題意；

C.(a+&)(?-&)=a2-h2,是整式的乘法，不是因式分解，本選項不符合題意;

D、m3+m2+m=m(jn24-m+1),分解錯誤，本選項不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查因式分解，掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式是正確判斷的前提.

【變式7](2223下?杭州?階段練習)下列因式分解正確的是()

A.x2+2xy-y2=(x-y)2B,-1+￡)(.|冶)

C.4x2—9y2=(4x+9y)(4x—9y)D.x2—x—12=(x—4)(x+3)

【答案】D

【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方差公式和十字相乘法進行因式分解即可判斷.

【詳解】解：A.x2+2xy+y2=(x+y)2,故此項不符合題意；

B-(一；+￡)(W)=(一0一?)=卜？故此項不符合題意；

C.4x2-9y2=(2x+3y)(2x-3y),故此項不符合題意;

D.x2—x-12=(%-4)(%+3),故此項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

考點9:因式分解一一十字相乘

典例9:(23-24上?普陀,期中)已知多項式/+6x+k,分解后有一個因式為(x-1),那么k的值可以是(

A.5；B.-5；C.7；D.-7.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意直接利用十字相乘法，進行分析判斷即可.

【詳解】解：回多項式/+6無+k因式分解后有一個因式為(久一1),

回另一個因式是(x+7),

即M+6%+/c=(x—1)(%+7)=x2+6x—7,

瞅的值為-7.

故選：D.

【點睛】本題考查利用十字乘法分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.

【變式1】(23-24上?保定?開學考試)若分解因式/+m比一15=(%-3)(x-n)則ni的值為()

A.-5B.5C.-2D.2

【答案】D

【分析】已知等式右邊利用多項式乘以多項式法則計算，再利用多項式相等的條件求出皿的值即可.

【詳解】解：已知等式整理得：x2+mx-15=(x-3)(%—n)=x2+(—3—n)x+3n,

可得?n=-3—ri,3n——15,

解得:m=2,n——5,

故答案為：D.

【點睛】此題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

【變式2](2223下?達州?期末)將多項式/-3久-4分解因式后正確的是()

A.(x+2)(%—2)—3xB.—3)—4

C.(%—1)(x+4)D.(%+1)(%—4)

【答案】D

【分析】利用十字相乘法進行因式分解即可.

【詳解】解：X2-3X-4=(X+1)(X-4).

故選：D.

【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，運用十字相乘法分解因式，要注意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)

是二項式乘法的逆過程.

【變式3】(2223下啷陽,期末)多項式尤2+x—6可因式分解成(x+a)(x+b),其中a,b均為整數(shù)，貝。

(。+切2。23的值為()

A.-1B.1C.-2023D.2023

【答案】B

【分析】先分解因式，求出a、b的值，再結合有理數(shù)的乘方進行計算，即可得到答案.

【詳解】解：x2+x-6=(x+3)(%-2),

又