湖南省寧遠(yuǎn)第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期新年第一考（開學(xué)）數(shù)學(xué)試卷

湖南省寧遠(yuǎn)縣第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期新年第一考（開學(xué)）數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題1．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫已知集合，，則()A. B.S C.T D.Z1．答案：C解析：任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.2．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫若，則()A. B. C.1 D.22．答案：D解析：由題設(shè)有，故，故，故選：D3．[2024春·高三·湖南株洲·開學(xué)考試?？糫已知向量，，若，則()A.-6 B.-5 C.5 D.63．答案：C解析：,,即解得,故選：C4．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫已知等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4．答案：B解析：“”，即，則，則“”是“”的充要條件.故選：B5．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫已知雙曲線的離心率為，則點(diǎn)到C的漸近線的距離為A. B.2 C. D.5．答案：D解析：，所以雙曲線的漸近線方程為所以點(diǎn)到漸近線的距離故選D6．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試校考]在中內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則()A. B. C. D.6．答案：C解析：因?yàn)?，，則由正弦定理得.由余弦定理可得：，即：，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)锳，C為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.7．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球：再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則錯(cuò)誤的選項(xiàng)為()A. B. C. D.7．答案：C解析：由題意可知，，，，所以，，綜上ABD說法正確，C說法錯(cuò)誤；故選：C8．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫若函數(shù)在內(nèi)恰好存在8個(gè)，使得，則的取值范圍為()A. B. C. D.8．答案：D解析：由題意可得：，由可得，因?yàn)?，，則，由題意可得，解得，所以的取值范圍為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫已知數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，若，，則()A. B. C. D.9．答案：ACD解析：因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故D正確.故選：ACD.10．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，且，若，，，則()A. B. C. D.10．答案：AC解析：因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.令，得，故A項(xiàng)正確；因?yàn)?所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，則的一個(gè)周期為4.因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以是的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，所以，則.故B項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，，即.所以，故C項(xiàng)正確；設(shè)（c為常數(shù)），定義域?yàn)镽，則，，，又，所以，顯然也滿足題設(shè)，即上?下平移均滿足題設(shè)，顯然的值不確定，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC11．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試校考]“角谷猜想”是“四大數(shù)論世界難題”之一，至今無(wú)人給出嚴(yán)謹(jǐn)證明.“角谷運(yùn)算”指的是任取一個(gè)大于1的正整數(shù)，如果它是偶數(shù)，我們就把它除以2，如果它是奇數(shù)，我們就把它乘以3再加上1.在這樣一個(gè)變換下，我們就得到了一個(gè)新的正整數(shù).如果反復(fù)使用這個(gè)變換，我們就會(huì)得到一串自然數(shù)，該猜想就是：反復(fù)進(jìn)行角谷運(yùn)算后，最后結(jié)果為1.我們記一個(gè)正整數(shù)經(jīng)過次角谷運(yùn)算后首次得到1（若n經(jīng)過有限次角谷運(yùn)算均無(wú)法得到1，則記），以下說法正確的是()A.可看作一個(gè)定義域和值域均為的函數(shù)B.在其定義域上不單調(diào)，有最小值，無(wú)最大值C.對(duì)任意正整數(shù)，都有D.是真命題，是假命題11．答案：BCD解析：對(duì)于A，依題意，的定義域是大于1的正整數(shù)集，A說法錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，可知在其定義域上不單調(diào)，根據(jù)題意可知，，，則有最小值1，無(wú)最大值，B說法正確；對(duì)于C，對(duì)任意正整數(shù)，，又，所以，C說法正確；對(duì)于D，對(duì)任意正整數(shù)n，每次除以2，最后得到1的次數(shù)為n，因此，由，可知是假命題，D說法正確；故選：BCD三、填空題12．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為________.12．答案：5解析：由題展開式通項(xiàng)公式為，且，設(shè)展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則，即，又，故，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為.故答案為：5.13．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試校考]已知為第一象限角，為第三象限角，，，則________.13．答案：解析：法一：由題意得，因?yàn)?，，，則，，又因?yàn)?，則，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，為第三象限角，則，，，，則故答案為：.14．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試校考]若曲線與曲線有三條公切線，則k的取值范圍是________.14．答案：解析：設(shè)公切線為l，是l與的切點(diǎn)，由，得，設(shè)是l與的切點(diǎn)，由，得，所以l的方程為，因?yàn)椋淼?，同理，因?yàn)?，整理得，依題意兩條直線重合，可得，消去，得，由題意此方程有三個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，即直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)?，令，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以有極小值為，有極大值為，因?yàn)?，，，所以，?dāng)x趨近于時(shí)，趨近于0；當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，故的圖象簡(jiǎn)單表示為下圖：所以當(dāng)，即時(shí)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，故答案為：四、解答題15．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試校考]在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c，且.(1)證明：；(2)若，求的取值范圍.15．答案：(1)證明見解析；(2)解析：（1）因?yàn)椋?，即，即，所以，又因?yàn)橹校?，所以或，又因?yàn)?，，即（舍）或，所?（2）由（1）得，因?yàn)?，所以，，則，又由解得，所以，所以，所以的取值范圍為.16．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).16．答案：(1)；(2)答案見解析解析：（1）若，則，.又，切點(diǎn)為，曲線在處的斜率，故所求切線方程為即.（2）由題.①當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞減，又，.故存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.②當(dāng)時(shí)，令得，令得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故的最小值為.當(dāng)時(shí)，的最小值為0，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的最小值大于0，此時(shí)沒有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的最小值小于0，，，時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn).17．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，M為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.17．答案：(1)證明見詳解；(2)解析：（1）因?yàn)?，，，M為的中點(diǎn)，所以，，四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）如圖所示，作交于O，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，O為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，M為中點(diǎn)，所以，，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)O重合，，，因?yàn)?，所以，所以，，互相垂直，以方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸，方向?yàn)閦軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，即，令，得，，即，則，即，令，得，，即，，則，故二面角的正弦值為.18．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立.(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率.(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？18．答案：(1)0.686；(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；解析：（1）甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績(jī)不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為，，，，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)X的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，記乙先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)Y的所有可能取值為0，5，10，15，同理，因?yàn)?，則，，則，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.19．[2025春·高三·湖南永州·開學(xué)考試?？糫設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線，，且與拋物線C