第8章 冪的運算（章末測試）-2023-2024學年七年級數(shù)學下冊

第8章塞的運算

(時間：120分鐘，滿分：120分)

一.選擇題(共10小題，滿分30分，每小題3分)

1.在等式/.(_.).()=/中，括號內(nèi)的代數(shù)式應是()

A.a8B.(-a)8C.-a8D.(-a)9

【詳解】解：,.々?(一辦(一。8)="1,

,括號內(nèi)的代數(shù)式應是

故本題選：C.

2.細菌、病毒、支原體感染都會引起呼吸系統(tǒng)感染，支原體是比細菌小，比病毒大的微生物，直徑在

150?m~300nm(lnm=109m),數(shù)據(jù)300〃加用科學記數(shù)法表示為()

-8

A.3x10-7加B.3x10-6加C.300x10-9俏D.3xl0m

【詳解】解：300〃〃？=300x10-9”？=3x10-7”？.

故本題選：A.

3.若(x-4)°-(2x-6『有意義，則x的取值范圍是()

A.x>4B.x<3C.xw4或x/3D.xw4且xw3

【詳解】解：?.?-4)°一(2工一6)-2有意義，

|x-4*°,解得：丁片4且xw3.

[2x-6/0

故本題選：D.

4.下列計算正確的是()

A.a-a=2aB.(x3)2-x5C.-(x4)3=-x12D.(-2x3)4=8x12

【詳解】解：/、a-a=a2,故/不合題意；

B、(x3—x6,故8不合題意；

C、-(x4)3=-x12,故C合題意；

D、(-2/>=16產(chǎn)，故。不合題意.

故本題選：C.

5.若x"=5,x”=!,則姆-=()

4

525

A.-B.40C.—D.100

24

【詳解】解：?.5"=5,x"=L

4

...—=(尤m)2+x"=25+[=100.

故本題選：D.

6.若x=3"'+l了=2+9"',則用含x的代數(shù)式表示^為()

rr2

A.2+-B.2+x2C.2+—D.2+9x2

29

【詳解】解：?.—=3的1=3x3%

3m=-,

3

■.■y=2+9m,

■?-y=2+(32r=2+(3ra)2=2+(j)2=2+：.

故本題選：C.

7.下列計算正確的是()

A./+(/+工2)=關’B.(xy)84-(xy)4=(xy)2

C.x4"<x2"-x2"=1D.x2<m+I)^xm+1=x2

【詳解】解：/、/+(/+/)=》5,故/符合題意；

B、(xy)8+(盯y=(xy)4,故B不合題意；

C、x4n^x2n-x2>>=x4n,故C不合題意;

D、x2(m+')^xm+1=x"'+1,故。不合題意.

故本題選：A.

8.若4=0.42,6=_4-2,c=(_1)-2,4/=(-1)%貝1]()

A.b<a<c<dB.b<a<d<cC.c<d<a<bD.c<a<d<b

【詳解】解：；a=0.42=0.16,b=-^~=~,c=(一;尸=16,d=(-；)°=l,

:.b<a<d<c,故8正確.

故本題選：B.

9.已知：a=222,b=311,c=129,甲、乙、丙的判斷如下，則正確的是()

甲：a>b■,乙：ab>c；丙：b<c

A.只有甲和乙B.只有甲和丙C.只有乙和丙D.甲、乙、丙

【詳解】解：???2?2=(22尸=4”,

又?.?4">3”,

a>6,.,.甲的判斷正確；

aZ)=222x3"=4"x3"=(4x3)"=12'*,

又?.?12”>129,

ab>c,.?.乙的判斷正確；

V6-c=311-(3x4)9311-39x49=39(32-49),

X32-49<0,

:.b-c<0,

:.b<c,.?.丙的判斷正確；

綜上，正確的是甲，乙，丙.

故本題選：D.

10.已知a,b,c為正整數(shù)，且滿足2"x3"x4。=384,貝Ua+6+c的取值不可能是()

A.5B.6C.7D.8

【詳解】解：由題意可得：r+2c-36=27x3,

..Q+2c=7,6=1,

???a,b,c為正整數(shù)，

當。=1時，。=5,a+b+c=7；

當c=2時，a=3,q+b+c=6；

當c=3時，Q=1,a+b+c=5；

a+6+c不可能為8.

故本題選：D.

二.填空題(共8小題，滿分24分，每小題3分)

11.計算：(-/)4^/-(-y)3=—.

【詳解】解：(~y2>+y1,(-pF=,+J、?(~y3)=y4,(~y3)=~y7?

故本題答案為：-

12.已知abwO,貝(](〃°+6一2尸=.

【詳解】解：:abw0,

"+"2尸=(1+。尸=念？

故本題答案為：4.

b+1

13.計算(-1)2024x(1.25嚴3*5的值等于—.

【詳解】解：M^=(-1xl.25)2023x(-1)x5=(-1)2023X(-1)X5=(-1)X(-1)X5=4.

故本題答案為：4.

14.若9"-27'+8r=9,貝！12。+3b-4c的值為.

【詳解】解：9。27唯8『=9,

32a-336+3%=3*,

^2a+3b—4c_^2

2。+36-4c=2.

故本題答案為：2.

15.已知2"'=*32"=6,其中加、"均為正整數(shù)，貝1]23為+助'=.

【詳解】解：交"'=。，32"=6,

2im+l0n=(2嚀-⑵產(chǎn)=(2"'r-322"=(2"'r?(32")2=a3b2.

故本題答案為：a3b2.

16.已知2。=3,2〃=6,2。=12,現(xiàn)給出3個數(shù)a,b,c之間的四個關系式：①a+c=2Z>；

②a+8=2c-3；③6+c=2a+3；@b=a+2.其中，正確的關系式是(填序號).

【詳解】解：?.?2"*2C=20+C=3X12=36,(2fc)2=62,22i=36,

,2。+。-

:.a+c=2b,故①正確，

2"x2"=2a+b=3x6=18,⑵>+2?=22c-3=12?+8=18,

.2。+辦—22c-3

a+b=2c-3,故②正確；

2bx2c=2b+c=6x12=72,(2a)2x23=22a+3=72,

.2方+。一22。+3

:.b+c=2.a+3,故③正確；

2"x22=aa+~=3x4=12,2"=6,

O+2b

2a.故④不正確;

綜上，正確的有①②③選項.

故本題答案為：①②③.

17.如果(0-1)"4=1成立，那么滿足它的所有整數(shù)。的值是—.

【詳解】解：???(。-1)"+4=1成立，則a+4=0且a-lwO或a-l=l,

.,.①a+4=0旦a—1w0,解得：a=—4,

②。-1=1,解得：a=2,

③a-1=-1且a+4為偶數(shù)，解得：(7=0,

綜上，a的值是-4、2或0.

故本題答案為：-4、2或0.

18.已知實數(shù)a,b,?滿足2"=5,2〃=10,2,=80,則2023a-40476+2024c的值為

【詳解】解：=5,2〃=10,2°=80,

...2〃+2"=2、2°+2"=8=23,

:.b-a=l,c-b=3,

2023a-40476+2024。

=2023。-20236-2024b+2024c

=-2023(6-a)+2024(0-b),

=-2023x1+2024x3

=-2023+6072

=4049.

故本題答案為：4049.

三.解答題(共8小題，滿分66分)

19.(12分)計算：(1)(a-b)"6-a)3+[S-a)3]2；

(2)28xsy44-(-7X4/)+(2x2)2；

(3)(2m2n-2)2-3m-3n3；

(4)_「2023+(2024-yr)0-(-g尸+(—2)3.

【詳解】解：(1)5^=[-(Z?-a)]3(b-a)3+[(b-a)3]2=[-(b-a)3](6-a)3+[(ZJ-a)3]2--(b-a)6+(b-a)6

=0；

(2)原式=-28x8/+7/>4+4x,=-4x4+4x4=0；

(3)原式=4—?3"廠3/=12機”、-4+3=12m?-i.

o41

(4)原式=一1+1——+(-8)=——

44

20.(6分)“黑洞”是恒星演化的最后階段.根據(jù)有關理論，當一顆恒星衰老時，其中心的燃料(氫)已經(jīng)

被耗盡，在外殼的重壓之下，核心開始坍縮，直到最后形成體積小、密度大的星體.如果這一星體的質(zhì)量

超過太陽質(zhì)量的三倍，那么就會引發(fā)另一次大坍縮.當這種收縮使得它的半徑達到施瓦氏(SMwarzsMZ)半

徑后，其引力就會變得相當強大，以至于光也不能逃脫出來，從而成為一個看不見的星體一黑洞.施瓦氏

半徑(單位：加)的計算公式是.R=學，其中G=6.67xl0-W病/炫2,為萬有引力常數(shù)；河表示星

C

球的質(zhì)量(單位：kg)；c=3xl08m/s,為光在真空中的速度.

已知太陽質(zhì)量為2x103°修，計算太陽的施瓦氏半徑.

…收、到c2x6.67xlO-11x2xlO30……、

【詳解】解：R=------------------------------=2.96xl03(m),

(3xl08)2

答：太陽的施瓦氏半徑為2.96x10%.

21.(6分)已知4"=2,8"=5,

(1)求：的值；

(2)求:236"的值.

【詳解】解：(1)???￥=2,8"=5,

...22m=2,23"=5,

?加+3〃_c2m、/G、，<_1八.

(2)V4m=2,8"=5,

:.2"=2,2"=5,

4

2*6〃=4+25=二

25

22.（6分）如圖是東東同學完成的一道作業(yè)題，請你參考東東的方法解答下列問題:

4X0.25

(1)計算：082024x(-O.125)2024；②(y)11x(1)13x(1)12；

（2）若3x9"x81”=3巴請求出〃的值.

【詳解】解：(1)@82024X(-0.125)2024-[8X(-0.125)]2024=(-1)2024=1；

②爭吟隈（孑W"64=1限"xLlx25

36236272

(2)3x9"x81"=325,

3x(32yX(34)"=325,

3x32"x34"=325,

^l+2n+4n

1+2〃+4〃=25,解得：〃=4.

23.（8分）若〃加=。"（〃>0且owl,m>幾是正整數(shù)），則加=〃.利用上面的結(jié)論解決下面的問題:

(1)如果3a+2.5a+2=153"-4,求a的值;

如果（27-，）2=（：尸，求x的值;

(2)

(3)已知夕=5"q=T,用含p,q的式子表示35g.

【詳解】解：(1)???3"+2.5"+2=153。-4,

二.(3x5)“+2ndI,

.?.15a+2=153^4,

Q+2=3Q—4,解得：。=3；

(2)???(27-)2=(3小)2=(3、)一6二(1)-6,

y=—^

9

?/3-2」，

9

x——2；

(3)?:p=S,q=T,

：.35*=(35，)5=⑸X7，)5=值7)5X05)7=月7.

24.(8分)在上個月，我們學習了“有理數(shù)的乘方”運算，知道乘方的結(jié)果叫做“塞”，下面介紹一種有關“需

的新運算，定義：/與a”(。/0,m、〃都是正整數(shù))叫做同底數(shù)嘉，同底數(shù)累除法記作"".

運算法則如下：

當加〉"時，am^an=am-n

。"'+。"=［當加=〃時，a"；a"=1.

當加<〃時,a"'+a”=-n-—-m

Ia

根據(jù)“同底數(shù)累除法”的運算法則，回答下列問題：

(1)填空：(1)4-(1)2=,2,+2'=；

(2)如果3+3*4=工，求出x的值；

81

(3)如果(5-2X)3A；(5-2X)"7=1,請直接寫出x的值.

【詳解】解：(1)d)4+(g)2=q)"2=(g)2=g,2、27=^=：=A，

故本題答案為：-；

916

(2)V3+3*4=5=:，

3x+4—1=4,解得：x=—■,

3

(3)v(5-2x)31+(5—2幻，+7=1,

3x—1—x+7或5—2x—15—2x——1,角軍■/導：x—423.

25.(10分)我們規(guī)定兩數(shù)a、6之間的一種運算，記作［a,b］：如果那么［a,b］=c.

例如［2,8］=3,對于任意自然數(shù)〃，可以證明［3〃,4〃］=［3,4］.

理由如下：設[3",4"]=x,貝ij(3")'=4",.?.(3、)"=4"，，3'=4,.?.[3,4]=x,;.[3",4"]=[3,4].

(1)根據(jù)以上規(guī)定求出：[4,64]=,[2024,1]=.

(2)①說明等式[3,3]+[3,5]=[3,15]成立的理由；

②并計算[5,2]+[5,7]=[5,]；

(3)類比猜想：[4,12]-[4,2]=[4,].

【詳解】解：(1)設[4,64]=x,貝1」4、=64=43,

故x=3,即[4,64]=3,

設[2024,1]=*,則2024,=1=2024°,

故x=0,即[2014,1]=0,

故本題答案為：3,0；

(2)①設[3,3]=加，[3,5]=",則3M=3,3"=5,

故3m-3"=T+"=3x5=15,

則[3,15]=加+〃,

即[3,3]+[3,5]=[3,15]；

②設[5,2]=加，[5,7]=〃，則5m=2,5"=7,

故5"'x5"=52"=2x7=14,

則[5,14]=m+n,

即[5,2]+[5,7]=[5,14],

故本題答案為：14；

(3)設[4,12]=",[4,2]=〃，則4M=12,4"=2,

KO[4,6]=m—n,

即[4,12]-[4,2]=[4,6],

故本題答案為：6.

26.(10分)閱讀材料：如果10"=w,那么b為〃的“勞格數(shù)”，記為6=或〃).由定義可知：及=〃與6=d(")

表示6、〃兩個量之間的同一關系.如：102=100,則d(100)=2.

理解運用:

（1）根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：4（10"）=,火1）=