抽象函數(shù)及其性質(zhì)-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)突破卷（新高考）

專題突破卷03抽象函數(shù)及其性質(zhì)

■題型陵覽Q

定義域問題

/值域問題

/求解析式

抽象畫數(shù)奇偶性問題

及其性債

Ry周期性問題

\\對稱性問題

\求解不等式

6題型突破一

1.定義域問題

1.己知函數(shù)〉=〃2工-1)的定義域是卜2,3],則y="x”n(x+3)的定義域是()

A.(-3,3]B.1,2C.[-1,3]D.(-3,5]

【答案】D

【分析】先求出y=〃x)的定義域，再根據(jù)x+3>0可得>=〃xHn(x+3)的定義域

【詳解】???函數(shù)〉=〃2x-l)的定義域是[-2,3],即》?-2,3],則2xTe[_5,5],

???函數(shù)了=/3的定義域是［-5,5］,

f-5<x<5

對于函數(shù)y=〃x”n(x+3)可得，解得一3<x45,

故y=f(x).ln(x+3)的定義域是(-3,5］.

故選：D.

2.已知函數(shù)/(x+2)的定義域為(-1,1),則函數(shù)y=/(2x-l)的定義域為()

A.(-1,1)B.(-3,1)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【分析】求抽象函數(shù)的定義域，只需要牢記對應(yīng)法則括號中的式子取值范圍相同即可.

【詳解】設(shè)x+2=l,貝lJ/(x+2)=/⑺，

因為函數(shù)〃x+2)的定義域為所以當(dāng)時，/(x+2)有意義，

所以l<x+2<3,故當(dāng)且僅當(dāng)1<"3時，函數(shù)/⑺有意義，

所以函數(shù)〃。的定義域為(1,3),

由函數(shù)/(2x-l)有意義可得l<2x-l<3,所以l<x<2,

所以函數(shù)"2x7)的定義域為(1,2),

故選：D.

3.(2023春?浙江?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)己知函數(shù)了=/(x)的定義域是R,值域為［-2,8］,則下列函數(shù)中值

域也為［-2,8］的是()

A.=3/(x)+1B.y=/(3x+l)C.y=~f{x)D.J=|/(2x)|

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義及定義域求解即可.

【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義域為R，值域為［-2,8］,

可知,y=3/(x)+l的值域為［-5,25］,y=—/(》)的值域為［一8,2］,

歹="(2x)|的值域為［0,8］,?=f(3x+1)的值域為［-2,8］,

故選：B

4.若函數(shù)y=/(x)的定義域為［-1,1］,則》=用土Q的定義域為()

X+1

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[-2,-l)u(-l,2]D.[-2,-l)o(-l,0]

【答案】D

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法，列出方程組，即可求得答案.

【詳解】因為y=/(x)的定義域是『1』，所以-iwxvi,根據(jù)抽象函數(shù)定義域求法，

+[―1<X+1W1

在函數(shù)y=Z中，,解得-24x<-l或一1<XV0.

故選：D.

/\r1/(X+1)

5.已知函數(shù)/(X)的定義域為[-U]則.=/2的定義域為_________________

vx—2%—3

【答案】[-2,-1)

【分析】抽象函數(shù)定義域求解，x+1需整體在[T』范圍內(nèi)，從而解出x的范圍，同時注意需保證

X2-2X-3>0,最后求出交集即可得解.

/(x+1)

【詳解】由己知，/'(x)的定義域為[-U],所以對于〉=

-2龍-3

—1Wx+lWl「、

x需滿足Ax-3＞。，解得U)

故答案為：卜2,-1).

2.值域問題

6.己知/(x)是定義在卜2,2]上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，〃x)的圖象如圖所示，那么〃x)的值域是(

B.(-3,-2]U[2,3)

C.[-3,-2)U(2,3]D.[-3,-2)U{0}U(2,3]

【答案】D

【分析】由圖象得出函數(shù)y=〃x)在區(qū)間(0,2］上的值域，并得出/(o)=o,利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)

V=/(X)在區(qū)間［-2,0)上的值域，由此可得出函數(shù)了=/(無)的值域.

【詳解】由圖象可知，當(dāng)0<xV2時，2</(x)<3,

由于函數(shù)y=/(x)是定義在卜2,2］上的奇函數(shù),則"0)=0.

當(dāng)一2(x<0時，0<—尤42,則2</(—x)43,即2<—/(x)43,解得一34/(x)<—2.

即函數(shù)了=/(尤)在區(qū)間［-2,0)上的值域為卜3,-2).

因此，函數(shù)尸的值域為［T-2)U{0}U(2,3］.

故選D.

【點睛】本題考查奇函數(shù)值域的求解，解題時應(yīng)充分利用奇函數(shù)的性質(zhì)來求解，考查分析問題和解決問題

的能力，屬于中等題.

7.(1)已知函數(shù)/(x)的定義域為(12,值域為［-5,+9),設(shè)g(x)=/(2x-l),求g(x)的定義域和值域;

(2)已知g(x)=/(2x-l)+l,且g(x)的定義域為(1,2］,值域為［-5,+孫求函數(shù)/⑺的定義域和值域.

【答案】(1)g(x)的定義域為［1］，值域為［-5,+◎.(2)/0)的定義域為(1,3］,值域為［-6,+/).

【解析】(1)根據(jù)1<2尤-142得到定義域,g(x)和/⑴值域相同得到答案.

(2)根據(jù)l<x〈2得到1<2X-1V3,得到定義域，再計算值域得到答案.

【詳解】⑴因為l<2x-1K2,所以.值域為［-5,+8).

因此函數(shù)g(x)的定義域為［1,1,值域為［-5,+8).

(2)因為1<XW2,所以2<2xV4,所以1<2X-1W3.

因為g(x)2-5,所以g(x)-l16.

因為g(x)=/(2x-1)+1,所以f(2x-1)=g(x)-l>-6>-6.

因此函數(shù)/(x)的定義域為(1,3］,值域為［-6,+8).

【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域和值域，意在考查學(xué)生的計算能力.

8.定義在尺上的函數(shù)/(x)對一切實數(shù)x、y都滿足/(x))0,且/(x+y)=/(x)?/(力，已知在(0,+叼)

上的值域為(0,1),則/(x)在尺上的值域是()

A.RB.(0,1)C.(0,+功D.(0,1)11(1,+<?)

【答案】C

【分析】令x=y=O,可得/(0)=/(())?/(0)"(0)=1,再令y=-X,可得"0)=/(力/(一幻=1,得到/(工)

在(一應(yīng)0)上的值域為(1，+句，即得解.

【詳解】因為定義在7?上的函數(shù)」(x)對一切實數(shù)小.都滿足/(x)*0,且/(x+y)=/(x"(y),

令x=7=0,可得/(0)=/(0)./(0).'./(0)=1,

再令y=-X,可得〃o)=〃x)得(r)=i,

又〃x)在(0,+8)上的值域為(0,1),因此在(-8,0)上的值域為(1,+8)

則〃X)在R上的值域是(0,+8).

故選：C

【點睛】本題考查了抽象函數(shù)的值域問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較

難題.

9.設(shè)〃x)是定義域為尺的奇函數(shù)，g(x)是定義域為尺的偶函數(shù)，若函數(shù)〃x)+g(x)的值域為［1,3),則函

數(shù)/(X)-g(X)的值域為.

【答案】(-3,-1］

【分析】設(shè)〃(x)=/(x)+g(x),根據(jù)奇偶性的定義得出/(x)-g(x)=-M-x),再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得

出函數(shù)V=/(x)-g(x)的值域.

【詳解】設(shè)Mx)=/(x)+g(x),由于該函數(shù)的值域為［1,3),則函數(shù)y=M-x)的值域也為［1,3),即

1<//(-%)<3.

1?,函數(shù)了=/(力是定義域為尺的奇函數(shù)，y=g(x)是??上的偶函數(shù)，

，力(-X)=/(-X)+g(-X)=-/(X)+g(X),則/(x)-g(x)=,

由不等式的性質(zhì)得-3<因此，函數(shù)/(X)-g(x)的值域為

故答案為(-3,-1］.

【點睛】本題考查了抽象函數(shù)的值域，同時也考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及不等式的性質(zhì)，考查分析問題

和解決問題的能力，屬于中等題.

10.已知函數(shù)V=/(x),xe{l,2,3},yeN*,對任意"e{1,2}都有/(〃叫=3〃，且/⑺是增函數(shù)，則用

列舉法表示函數(shù)“X)的值域是.

【答案】{2,3,6}

【分析】根據(jù)題意，令/⑴=*由條件求得而0=2,即/⑴=2.而由〃“)=3知,42)=3,于是得到〃3)

的值，將其值域用列舉法表示即可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，令/⑴=%

對任意〃eN*都有/'[/(〃)]=3",故有awl,否貝h可得/[/。)]=/。)=1,這與/[/(l)]=3xl=3矛盾；

從而。>1,而由/(/(1))=3,即得/(a)=3.

又由/(x)是增函數(shù)，則〃a)>〃l)=a,即a<3,于是得到l<a<3.

又aeN*,從而a=2,即/(1)=2.

而由〃。)=3知，"2)=3.

于是〃3)=/(/(2))=3X2=6,

則函數(shù)〃x)的值域{2,3,6}；

故答案為{2,3,6}.

根據(jù)題意，令/(1)=。，由條件求得而a=2,即〃1)=2.而由〃a)=3知，〃2)=3,于是得到“3)的值,

將其值域用列舉法表示即可得答案.

【點睛】本題考查抽象函數(shù)的求值，涉及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，求出。=2,是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

11.設(shè)函數(shù)/(X)對任意實數(shù)X,7都有〃>+了)=/(工)+/0),且x<0時，/(X)>0,/(1)=-1.

(1)求證/(x)是奇函數(shù);

(2)求/")在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值.

【答案】(1)詳見解析；(2)最小值-1,最大值1.

【分析】(1)利用賦值法，令x=0,y=0代入函數(shù)式,可求得了(O),再令V=f代入函數(shù)式，即可證明函數(shù)為奇

函數(shù).

(2)利用定義法，可證明函數(shù)在R上單調(diào)遞減.再根據(jù)/(x+y)=〃x)+/(y)，用〃1)表示出最大值與

最小值即可求解.

【詳解】(1)證明：令x=O,y=o代入函數(shù)式可得

/(0+0)=/(0)+/(0)

即/(0)=0

令)=-X,代入函數(shù)式可得

/(-x)+/(x)=/(0)=0

所以/'(-x)=-/(x)

函數(shù)定義域為R,所以/(X)是奇函數(shù)

(2)先證明函數(shù)的單調(diào)性，證明過程如下：

任取王<工2,則再一/<°

由題意可知/1(國-尤2)>0

因為/(x+y)=/(x)+/(y)

所以/(為)一/(9)=/[(玉一工2)+苫2]-/(*2)

=/(再-切+/(工2)-/(工2)

=/(玉_遍)>0

即/(項)>〃％)

所以/(x)在R上單調(diào)遞減，且/(1)=-1

所以/(X)在區(qū)間[-3,3]上的/(x)m-/⑶，/(力皿=/(-3)

/(^=/(3)=/(1+2)

=/(1)+/(2)=3/(1)=-1

/⑺皿=/(-3)=-〃3)=1

【點睛】本題考查了抽象函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意在解決此類問題時，賦值法在求值中的應(yīng)用，屬

于中檔題.

3.求解析式

12.已知函數(shù)/(x)為定義在R上的函數(shù)滿足以下兩個條件：

(1)對于任意的實數(shù)x,y恒有/(尤+力=/(力+/(力+1；

(2)/(x)在R上單調(diào)遞減.

請寫出滿足條件的一個/(x)=.

【答案】-x-1(答案不唯一)

【分析】由⑴(2)可設(shè)〃"="+可”0),由/(x+力=/(x)+/3+l可求6=-1,從而可求解.

【詳解】由(1)(2)可設(shè)/'(x)=ar+6(a<0),

由/(x+y)=/(x)+/(y)+l,

可得Q(%+〉)+b=Qx+b+@+b+l=q(x+y)+2b+l,

化簡可得b二-1.

故〃X)的解析式可為〃無)=ax-l(a<0).

取a=T可得滿足條件的一個/(x)=-xT.

故答案為:-x-1.

13.定義在R上的函數(shù)於)滿足/(0)=0,并且對任意實數(shù)x,y都有〃xr)=〃x)r(2xr+2),求/(x)

的解析式.

【答案】/(x)=/+2x

【分析】對心-力=/(x)-y(2x-y+2)進行賦值,解方程求得f(x)的解析式.

【詳解】對任意實數(shù)x,九f(x-y)=f(x)-y(2x-y+2),

令…,得/(O)=/(x)-x(2x-x+2),即/(O)=/(x)-x(x+2),

又〃0)=0,所以/(x)=x(x+2)=f+2x.

14.定義在實數(shù)集上的函數(shù)〃x)的圖象是一條連綿不斷的曲線，VxeR,[/(X)]3+X6=[/(X)]2+X6/(X),

且的最大值為1,最小值為0.

⑴求/⑴與/(T)的值；

(2)求/(x)的解析式.

【答案】⑴/⑴=1,/(-1)=1

1,XE(-8,1]31，+動

⑵/(%)=<-x3,xe(-l,o)

x3,xe[0,1)

【分析】(1)利用賦值法，令X=l,得到〃1)=1;令X=—1,得到/(-1)=1;

(2)先由[/3(x)+x6]="(x)了一x6〃x)得到[〃尤)一尤3][〃尤)+T]"(x)一1]=0,根據(jù)的最大值為

1,最小值為。及

圖象連續(xù)，寫出/(X)的解析式.

(1)

令X=l,貝。r⑴+1=尸⑴+川)，得產(chǎn)⑴(/⑴T=

(41)+1乂/⑴-1)2=0,/(x)NO

令尸一1,則U(-1)+1=尸(一1)+〃一1),

同理〃-1)=1；

(2)

由[/3(x)+尤，]=[/(X)]2-X6/(X)

得[尸(x)-x6][y(x)-l]=0,gp[/(x)-x3][/(x)+x3][/(x)-l]=O

這說明VxeR,〃x)至少與1,一V其中之一相等

??"(無)的最大值為1，最小值為0

.??在區(qū)間(-切』和[L+⑹上，一定有/(力=1

/(x)=0只能在x=0處取得，因此〃0)=0

又???函數(shù)/(x)的圖象是一條連綿不斷的曲線

l,xe(-a

；.〃X)的解析式為〃x)=-x\x€(-l,o)

x3,xe［0,1)

15.若定義在R上的函數(shù)/(x)滿足〃x)=3/(忖)+/一2x,則〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(-8,-10］和［0,1］B.(-8,-5］和［0,1］

C.［—10,0］和［1,+8)D.［―5,0］和［1,+co)

【答案】B

【分析】當(dāng)尤20可求得/(%)=-；/+不當(dāng)》<0時，—》>0,由已知關(guān)系式可得/(無)=3/(-X)+/-2X,

進而得到〃x)=-；/-5x；由二次函數(shù)性質(zhì)可得單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】當(dāng)x20時，/(X)=3/(X)+X2-2X,則/(X)=-；X2+X,

.../(外在［0』上單調(diào)遞增；

當(dāng)X<0時，—X>0,X)=-%,

31o

/(x)=3/(-x)+X?—2x=一-3x+—2x=-~-5x,

???/(%)在(-8,-5］上單調(diào)遞增；

綜上所述：/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-*-5］和［05.

故選：B.

16.已知函數(shù)/(x)是定義域為(。,+⑹的單調(diào)函數(shù)，若對任意的xe(0,+s),都有-f)=2,貝！|

/(V2022)=.

【答案】2023

【分析】由/⑴是定義域為(0,+功的單調(diào)函數(shù)及/(/(x)-x2)=2知Ax)-/為常數(shù)，

設(shè)〃x)-x2=〃z,可得〃加)=2,從而可求得加值確定/(x)的解析式即可.

【詳解】???對任意無e(0,+s),均有/(/(x)-無，=2,且〃x)在(0,+8)上單調(diào)，

所以/(x)-/為常數(shù)，

???設(shè)/(工)一工2二加，f(x)=x2+m,加為常數(shù),

函數(shù)/(X)是定義域為(0,+s),故機>0

又：/(加)=2=>/+〃？=2=>〃？=1或機=-2(舍)，

二f(x)=x2+l,/(V2022)=2023

故答案為：2023.

17.求下列函數(shù)解析式：

⑴已知/(?+l)=x-26，求/(x)的解析式.

⑵已知/3+=3x-2,求的解析式.

[^](1)/(X)=X2-4X+3(X>1)

22

(2)/(x)=-x+—-(x^O)

x3

【分析】(1)令石+1=*蜂1),使用換元法求解析式；

(2)令得/(L]+2/(X)=3-2,與原式組成方程組求解.

【詳解】(1)令6+1=%(d1),則6=/-1

所以/(*)=(￡_1)2_2(/_1)="_4%+3

所以fM=x2-4x+3(x>1)

綜上所述，結(jié)論是:/(%)=/一4%+3(x21)

(2)令X」得/1]+2/(x)=3-2,

X\XJX

/(X)+2/Q^=3X-2

由<(、

/1+2/(x)=--2

)x

22

解得/(x)=_x+__；(x*0)

x3

22

綜上所述，結(jié)論是:/(x)=f+—-三(無/0)

x3

4.奇偶性問題

18.(多選)已知“X)是定義在R上不恒為0的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上不恒為0的奇函數(shù)，貝lj()

A./(/(x))為奇函數(shù)B.g(g(x))為奇函數(shù)

C./(g(x))為偶函數(shù)D.g(/(x))為偶函數(shù)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)已知，利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)進行判斷.

【詳解】由題意可知，/(r)=/(x),所以/(/(-喇=/(/(切)，所以為偶函數(shù)，A項錯誤；

由g(-x)=-g(x),Mg(g(-^))=g(-g(x))=-g(g(x)),所以g(g(x))為奇函數(shù)，B項正確；

因為/(g(-x))=/(-g(x))=/(g(x)),所以/(g(x))為偶函數(shù),C項正確；

因為g(7(-x))=g(/(x)),所以g(/(x))為偶函數(shù),D項正確.

故選：BCD.

19.已知定義在R上的偶函數(shù)〃x)滿足/(f)=-/(2+x),當(dāng)-2VxV0時，/⑺單調(diào)遞增，貝U()

tan2023lo

A./(^</()</［g31}

B./，an^</,g』</(2023)

C./卜唱J</(2023)<.tan*1

D.小。g3g</(tan^</(2023)

【答案】A

【分析】由題意求出函數(shù)的周期，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)在［0,2］上的單調(diào)性，進而將自變量的取

值轉(zhuǎn)化到區(qū)間［0,2］上，利用放縮法判斷出它們的大小關(guān)系,最后根據(jù)單調(diào)性求得答案.

【詳解】因為/(x)為偶函數(shù)，所以/(—x)=/(x),

X/(-x)=-/(2+x),所以〃x)=-/(2+x),

所以〃x)=/(x+4),即/(x)是周期為4的函數(shù)，

則/(2023)=/(506x4-l)=/(-l)=/(I).

.一...7177171

因為:<彳7<；，

4243

所以1<ta吟<5/］噫=/(-log32)=/(log32),

0<log32<1.

因為/(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)-2WxW0時，/(X)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)04x42時，/(x)單調(diào)遞減，故/(ta吟卜”2023)〈小

故選：A.

20.(多選)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，2(x)=/(2-頊/⑴=2,設(shè)g(x)="+l),則()

A.函數(shù)/⑴的周期為4B./(2022)+/(-2023)=2

50

C.g(x)是偶函數(shù)D.Zg優(yōu))=一52

k=l

【答案】ABD

【分析】先由函數(shù)是奇函數(shù)，/?=/(2-x),可判斷函數(shù)的周期，再根據(jù)周期性可將選項B中的函數(shù)值轉(zhuǎn)

化，由函數(shù)奇偶性的定義判斷g(x)是奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)周期性可以推得g(軟-2)+g(4⑥=4,進而求得

5g(左)=-52.

左=1

【詳解】對于A：因為/(x+4)=/(-尤-2)=-/(X+2)=-〃T)=/(X),所以/(x)是周期為4的函數(shù)，故A

正確；

對于B：因為/⑴的周期為4,所以/(2022)=/(2)=/(0)=0,所以“2022)=0,

/(-2023)=-/(2023)=-/(-I)=/(I)=2,所以〃2022)+/(-2023)=2,故B正確;

對于c：H^jg(-x)=-V'(i-^)=-V(1+^)=-gW?所以g(x)是奇函數(shù)，故c錯誤；

對于D：因為/(2)=/(0)=0,/(4)=/(0)=0,所以〃24)=0,左eN*,

所以g(2k-1)=(2k-1)/(2后)=0,后eN*,

因為f(4k+1)=/(1)=2J(4I)=/(-I)=一2,左eN*,

g(4k-2)+g(41)=(4k-2)-f(4k-1)+4A-f(4k+1)=-2(44-2)+2?42=4,6eN*,

50

???Zg㈤=[g(1)+g⑶+…+g(49)]+[g(2)+g(4)+…+g(48)]+g(50)

k=l

=0+4+^+4+50X/(5l)=48+50x/(3)=48+50x(-2)72,故口正確.

12個4

故選：ABD.

21.已知/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，單調(diào)遞增，且/(-收)=0,

/(2)>3,則函數(shù)g(x)=|〃x)卜3的零點個數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性結(jié)合函數(shù)值的范圍，作圖數(shù)形結(jié)合即可判斷.

【詳解】當(dāng)x>0時，/(x)單調(diào)遞增，且/(一行)=0,且/(x)為定義在R上的奇函數(shù),

所以〃T)=-/3，可得/(四)=0且〃x)在,0)上單調(diào)遞增,

由g(x)=|/(x)[-3=0,得|〃x)|=3.

又因為/g卜一3,/(2)>3，可得>3,|/(2)|>3,

/(x)為定義在R上的奇函數(shù),又可得/>3,|/(-2)|>3,

根據(jù)題意作出滿足要求的了=|/(x)|的大致圖像，

由圖知，直線V=3與y=|〃x)|的圖像有4個公共點，

所以g(x)=|〃x)卜3有4個零點.

22.(多選)己知函數(shù)/(x)的定義域為R,為奇函數(shù)，且對于任意xeR,都有了(2-x)寸(x),

則()

A.f(x+l)=f(x)B.

C.〃x+2)為偶函數(shù)D.為奇函數(shù)

【答案】BCD

【分析】由題意可得/(2-x)=f(x),結(jié)合/(x+￡|為奇函數(shù)可得〃x+2)=/(x),從而可判斷選項A；由

=得/(￡|=0,在/(x+l)=—/(x)中，令戶一;可判斷選項B；由〃x+2)=/(x),

/(2-x)寸(x)可判斷選項C；由/(6=-/(1),/(x+2)=/(x)可判斷選項D.

【詳解】由)[x+￡]為奇函數(shù)，可得/口+￡|=-/，%+￡|,即=

又因為/(2-x)=f(x),所以/(2—x)=—/(l-x),即/(x+l)=—/(x),

所以〃x+2)=-〃x+l),所以/(x+2)=/(x),故選項A錯誤;

由/3=-/(1一月，得/(￡|=0,由/(x+l)=—/(x),得/弓

所以一'=0'故選項B正確；

由/(x+2)=/(x),f[2-x)=f(x),得〃2-x)=〃x+2),

所以〃x+2)為偶函數(shù)，故選項C正確;

由/(x)=-/(l-x),/(x+2)=/(x),可得-/(1-x)=-/(-l-x),

所以〃x)=-/(T-x),

即/卜彳卜-

為奇函數(shù)，故選項D正確.

故選：BCD

23.(多選)已知〃x),g(x)都是定義在R上且不恒為0的函數(shù)，貝|()

A.y=/(x)―/(-x)為偶函數(shù)

B.y=g(x)+g(-x)為奇函數(shù)

C.若g(x)為奇函數(shù)，/(x)為偶函數(shù)，則y=/(g(x))為奇函數(shù)

D.若/(尤)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),則y=/(尤)-g(尤)為非奇非偶函數(shù)

【答案】AD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】選項A：

設(shè)"(x)=〃x)./(-x),

因為/(X)是定義在R上的函數(shù)，所以“X)的定義域為R,

M-x)=〃-x)-〃x)=〃(x),所以“x)為偶函數(shù)，故A正確;

選項B：

f(x)=g(x)+g(-X),

因為g(x)是定義在R上的函數(shù)，所以f(x)的定義域為R,M-x)=g(r)+g(x)=/(x),所以《x)為偶函數(shù),

故B錯誤；

選項C：

設(shè)m(x)=/(g(x))，

因為/(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，所以％(x)的定義域為R,

因為g(x)為奇函數(shù),/(X)為偶函數(shù)，所以加(f)=/(g(-x))=/(_g(x))=/(g(x))="?(x),

所以加(無)為偶函數(shù)，故C錯誤；

選項D：

設(shè)〃(x)=/(x)-g(x),

因為〃x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，所以〃(x)的定義域為R,

n(x)+n(-x)=/(x)-g(x)+/(-x)-g(-x)=/(x)-g(x)-/(x)-g(x)=-2g(x),

因為g(x)是不恒為0的函數(shù)，

所以〃(工)+〃(-》)=。不恒成立，所以“(X)不是奇函數(shù)，

n(x)-n(-x)=/(x)-g(x)-[/(-x)-g(-x)]=/(x)-g(x)+/(x)+g(x)=2/(x),

因為/(x)是不恒為0的函數(shù)，所以〃(x)=〃(-x)不恒成立，

所以〃(x)不是偶函數(shù)，所以〃(x)是非奇非偶函數(shù)，故D正確，

故選：AD.

5.周期性問題

24.若函數(shù)的定義域為R,且/(x+l)=〃l-x)=-/(-x-3),則〃2023)=.

【答案】0

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于點(TO)中心對稱，可得出=推導(dǎo)出函數(shù)〃x)為周期函數(shù),

確定該函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的周期性可求得/(2023)的值.

【詳解】因為/(x+l)=-/(-x-3),所以，〃同=一/[一(工一1)-3]=-〃^一2),

所以函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(-1,0)中心對稱，

又因為函數(shù)〃x)的定義域為R,所以〃-1)=0.

由(-X-3),可得〃x+l)=-〃X-3),即/(x+4)=-/(X),

所以，/(x+8)=-/(x+4)=/(x),所以函數(shù)/(x)的周期是8,

所以〃2023)=/(8x253-1)=〃-1)=0.

故答案為：0.

25.設(shè)函數(shù)的定義域為R,/(x+1)為奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時，f(x)=ax2+b,若

/(0)+/(3)=12,則佃=()

5

A.5B.4C.-D.2

2

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的周期性、代入法進行求解即可.

【詳解】因為/(x+1)為奇函數(shù)，所以有〃x+l)=-/(-x+1),

因為/(x+2)為偶函數(shù),所以有/(x+2)=/(r+2),

/(x+l)=-/(-x+l)o/(x+2)=-〃-x)=/(-x+2)n-/(x)=〃x+2)

=^>-/(x+2)=/(x+4)^>/(x)=/(x+4),

所以函數(shù)/(x)的周期為4,

由〃%+1)=-〃一尤+1)=〃0)=-〃2),

由/(x+2)=〃T+2)n/(3)=f⑴,

由/'(0)+/(3)=12=_〃2)+/(l)=12n_(4a+6)+a+6=12=a=_4,

/(x+l)=-〃-x+l)n〃l)=_〃l)n〃l)=0nq+6=0=>6=4,

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的周期，利用賦值法是解題的關(guān)鍵.

2023

26.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+3)+/(x+l)=/(2)=l,則￡/伏)=

k=\

【答案】1012

【分析】先根據(jù)題意可得到/(X+3)=/(XT),從而可得到函數(shù)的周期性，再通過賦值產(chǎn)-1和x=0得到

"4)=0和/⑴+/⑵+/(3)+/(4)=2,進而即可求解.

【詳解】由〃x+3)+〃x+l)=/(2)=l,

則小+1)+小-1)=〃2)=1,

所以/(x+3)=/(x-l),即〃x+4)=/(x),

所以/(x)是以4為周期的周期函數(shù).

令x=-l,得〃2)+/(0)=/⑵,所以/(0)=0=/(4),

令尤=0,則/⑶+/⑴=/(2),所以/。)+/(2)+/⑶+/(4)=2/(2)=2,

2023

所以￡〃4)=505X[〃1)+"2)+〃3)+"4)]+[〃1)+〃2)+〃3)]=1012.

k=\

故答案為：102.

27.己知定義在R上的函數(shù)滿足：/(-x)+/(x)=0,/(2-x)=/(x),當(dāng)OVxVl時，/(x)=2=1,

貝|〃1晚2023)=.

【分析】根據(jù)已知條件推導(dǎo)出函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，求得2<log22023-8<3,結(jié)合

/(log22023)=/(log22023-8)=-/(log22023-10),結(jié)合已知條件代值計算即可得解.

【詳解】因為定義在R上的函數(shù)“X)滿足：/(-x)+/(x)=0,/(2-x)=/(x),

所以，/(-x)=-/(%),即函數(shù)為奇函數(shù)，

則〃x)=〃2-x)=-/(x-2),所以，/(x+2)=-〃x)=〃x-2),

故函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

因為2*1024<2023<2"2048,所以，10<log,2023<11,

則2<log22023-8<3,-1<10-log22023<0,

所以,/(log22023)=f(log22023-8)=/[2-(log22023-8)]-/(10-log22023)

999

=-/(10g22023-10)=1-2bg22023-1。=i—22Z2

1024

999

故答案為：-同

28.(多選)定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃x+3)+〃x+l)=〃2)，/(2-x)=/(x+4),若/

則()

A./(x)是周期函數(shù)

C.〃x)的圖象關(guān)于x=l對稱

【答案】ACD

【分析】根據(jù)f(x+3)+/(x+l)=f(2),可得小+1)+/(1)=〃2),進而可得/(x+3)=〃x-l),從而

可得函數(shù)的周期性，即可判斷A；結(jié)合〃2-x)=〃尤+4),可得函數(shù)的對稱性，即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的

周期性及對稱性計算即可判斷BD.

【詳解】因為VeR,/(x+3)+/(x+l)=/(2),所以/(工+1)+/(尤-1)=/(2),

所以/(x+3)=/(x—l),即〃x+4)=/(x),

所以/(x)是周期為4的周期函數(shù)，則A正確；

在〃x+3)+〃x+l)=/(2)中，令x=-1，得〃2)+/(0)=/⑵,則/(0)=0,

因為/(2-X)=/(4+X)=/(X),

所以/(X)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，則C正確；

因為〃0)=0,所以八2)=/(0)=0,所以/(2022)=/⑵=0,則B錯誤;

1

由函數(shù)的對稱性與周期性可得f

2

因為/(x+3)+/(%+1)=/(2)=0,即/(x+3)=—/(x+1),

11

所以/

22

2001399

則左+2/+???+200/

k=\22

=1[(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+-??+(197+198-199-200)]

(-4x50)=-100,則D正確.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:根據(jù)〃x+3)+〃x+l)=〃2),可得7-1)=〃2),進而可得

/(x+3)=/(x—l),從而可得/(x)是周期為4的周期函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵.

29.(多選)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,且滿足/(2-x)+/(x)=0,/(l-x)+g(x)=3,

f(x)+g(x-3)=3,則()

A./(x)為奇函數(shù)B.4為g(x)的周期

C./(1)+/(2)+-+/(20)=60D.g(l)+g(2)+-+g(20)=60

【答案】BD

【分析】對于A,由〃2-x)+〃x)=0得出/(x)的對稱中心為(1,0),再由f(I)+g(x)=3和

/(x)+g(x-3)=3得出/(x)關(guān)于x=2對稱，則/(x)關(guān)于7軸對稱，為偶函數(shù)，判斷出A；對于B,由

〃2-x)+/(x)=0和/(x+3)=/(l-x),得出/(x)的周期為4,再根據(jù)g(x)=3-〃l-x),即可得出g(x)的

周期；對于C,由〃x)的周期性和奇偶性，求出/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,即可判斷c；對于D,根據(jù)

g(x)=3-〃l-x)和g(x)的周期即可判斷D.

【詳解】對于A：

因為〃2-力+/(力=0,

所以/(x)的對稱中心為(1,0),

因為/(x)+g(x-3)=3,

所以〃龍+3)+g(無)=3,

X/(l-x)+g(x)=3,

所以〃x+3)=/(lr),則/(x)關(guān)于x=2對稱，結(jié)合/0)的對稱中心為(1,0),

所以/(x)關(guān)于V軸對稱，即/")為偶函數(shù)，故A錯誤；

對于B：

因為/(2-x)+/(x)=0,

所以〃l+x)+/(l-x)=O,

又/(X+3)=/(1T),

所以/(x+3)=-f(x+1),即f(x+2)=-/(x),

所以〃x+4)=-f(x+2)=-[-/(%)]=f(x),即f(x)的周期為4,

又g(x)=3-/(l-x),

所以g(x)的周期也為4,故B正確；

對于C：

由/(x)對稱中心為(1,0),得川)=0,

又因為/⑴對稱軸為x=2,所以/(3)=0,所以/⑴關(guān)于(3,0)對稱中心，

所以(2,7(2))和(4,7(4))關(guān)于點(3,0)對稱，

所以〃2)+/(4)=0,

所以7(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

所以〃1)+〃2)+…+"20)=0,故C錯誤；

對于D：

由C得/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=0,

因為g(x)=3-/(l-x),

所以g(l)=3-/(0),g(2)=3-/(-l)=3-/(1),g⑶=3-/(2),g(4)=3-/(3),

所以g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=3-/(0)+3-/(1)+3-/(2)+3-/(3)

=12-[/(0)+/(1)+/(2)+/(3)]=12,

又因為g(x)的周期為4,

所以g⑴+g(2)+…+g(20)=5x[g(l)+g(2)+g⑶+g(4)]=60,故D正確，

故選：BD.

【點睛】方法點睛：①若函數(shù)/'(ax+6)是奇函數(shù)，則函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(40)對稱；②若函數(shù)

是偶函數(shù)，則函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=b對稱；③若函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)/(◎+6)(0*0)的圖像

關(guān)于點(-々0)對稱；④若函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)/(辦+6)(aw0)的圖像關(guān)于直線x=對稱；⑤若函

aa

數(shù)/（X）的圖像既有對稱軸又有對稱中心，則對稱軸關(guān)于對稱中心對稱的直線仍是函數(shù)/（X）圖像的對稱軸,

對稱中心關(guān)于對稱軸對稱的點仍是函數(shù)/(幻圖像的對稱中心；⑥若函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于點(私77)對稱，且函

數(shù)/(X)在X=m時有意義，則有人間=n；⑦若函數(shù)"X)的圖像具有雙對稱性,則函數(shù)/(X)為周期函數(shù);若/(X)

的圖像關(guān)于直線x=a,x=b對稱，則函數(shù)/(X)是以21a-耳為周期的周期函數(shù)；若/(x)的圖像關(guān)于點(。?和

(Ac)對稱，則函數(shù)/(')是以2卜-6|為周期的周期函數(shù)；若/")的圖像關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點S?對

稱，則函數(shù)/(x)是以4k-可為周期的周期函數(shù)；⑧若函數(shù)〃x)的周期為T,則函數(shù)/(辦+6)(。/0)的周期為

T

問.

6.對稱問題

30.已知函數(shù)/(x)是定義域為(-叫+⑹的奇函數(shù)，滿足/(2-x)=/(2+x),若/⑴=2,則

/(1)+/(2)+/(3)+---+/(2023)=()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)/'(x)是以8為周期的周期函數(shù)，進而求得〃1)+/(2)+…+〃8)=0,結(jié)合周期

性，即可求解.

【詳解】解：由函數(shù)f(x)是定義域為(-%+oo)的奇函數(shù),可得〃-元)=-〃x),

又由〃2-x)=〃2+x),可得/(-x)=/(4+x),

所以-/(x)=/(x+4),可得/(x)=-/(x+4)=/(x+8),

所以函數(shù)/(x)是以8為周期的周期函數(shù)，且/⑴=2,

因為函數(shù)為奇函數(shù)，可得〃0)=0,所以〃8)=0,

又由"1)=2,可得/(1+2)=〃2-1)=/(1)=2,即/⑶=2,

〃4)=/(0)=0,〃5)=-〃1)=-2,〃6)=-〃2),〃7)=/(-1)=-八1)=-2,

所以/()+/⑵+/(3)+…+/⑻=2+/(2)+2+0-2-/⑵-2+0=0,

所以/⑴+/⑵+-+/(2023)=252v⑴+/⑵+…+/⑻]+/⑴+/⑵+…+*7)=252x0+0=0.

故選：B.

31.(多選)己知/(x)是定義在R上的函數(shù)，函數(shù)/'(x-2)圖像關(guān)于了軸對稱，函數(shù)/(x-1)的圖像關(guān)于原

點對稱，則下列說法正確的是()

A./(-2)=0B.對TxeR,/(x)=〃x+4)恒成立

C.函數(shù)關(guān)于點(TO)中心對稱D.7(2023)=0

【答案】BCD

【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的對稱性和周期性，利用相關(guān)性質(zhì)判斷選項即可.

【詳解】?.?函數(shù)/(X-2)的圖像關(guān)于y軸對稱，.?.函數(shù)“X)的圖像關(guān)于直線x=-2對稱，

.?./(x-2)=/(-x-2),則/(x)=/(-x-4),

???函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，，函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(TO)中心對稱，/(-1)=0,

."(x-1)=-/(-x-1),則=C選項正確;

???/(x)=/(-x-4)=-/(-x-2),.-./(x-4)=-/(x-2),故〃x)=〃x+4),B選項正確；

/(2023)=/(506x4-l)=/(-l)=0,D選項正確；

沒有條件能確定/(-2)=0,A選項錯誤.

故選：BCD.

32.(多選)已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足=且/1+:為奇函數(shù)，/(-1)=-1,

/(0)=2.下列說法正確的是()

A.3是函數(shù)歹=/卜)的一個周期

B.函數(shù)V=/(x)的圖象關(guān)于直線'=:對稱

4

C.函數(shù)歹=/(%)是偶函數(shù)

D./