江蘇省蘇州市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期初統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第第頁2025屆蘇州市高三期初統(tǒng)考2025.02一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式可得集合，再由并集運算可得結(jié)果.【詳解】易知，所以.故選：C2.若，則（）A.－ B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先觀察兩個角之間的關(guān)系：，因此兩邊同時取余弦值即可．【詳解】因為所以所以，選B.【點睛】本題主要考查了三角函的誘導(dǎo)公式．解決此題的關(guān)鍵在于拼湊出，再利用誘導(dǎo)公式（奇變偶不變、符號看象限）即可．3.直線和直線互相平行，則的值為（）A.-1 B.3 C.3或-1 D.-3【答案】A【解析】【分析】由已知中易求出他們的斜率，再根據(jù)兩直線平行的充要條件，即斜率相等，截距不相等，即可得到答案.【詳解】∵直線和，由于的斜率存在，故的斜率也一定存在，∴，，由于兩條直線互相平行，故，即，解得：或，又∵時，兩條直線重合，∴故選：A.【點睛】本題考查的知識點是直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系，其中兩個直線平行的充要條件，易忽略截距不相等的限制，屬于中檔題.4.已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圓錐的側(cè)面展開圖扇形基本量與圓錐基本量間的關(guān)系可得.【詳解】已知圓錐的底面半徑，高，則母線長，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，且扇形的弧長為圓錐底面圓周長，扇形的半徑為圓錐的母線長，則圓錐側(cè)面積.故選：B.5.若正項等差數(shù)列的前項和為，則的最大值為（）A.9 B.16 C.25 D.50【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值.【詳解】因為，所以，則又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；所以的最大值為25.故選：C6.在5張彩票中有2張有獎，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計算即得.【詳解】記甲中獎的事件為，乙中獎的事件為，則，，，所以.故選：B7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得，；分別代入和，整理可得的大小關(guān)系.【詳解】令，則，在上單調(diào)遞增，，即，，，即；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，即；綜上所述：.故選：D【點睛】思路點睛：本題考查與指數(shù)、對數(shù)有關(guān)的大小關(guān)系的比較，解題基本思路是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的函數(shù)值大小關(guān)系的比較，進而通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，從而得到兩函數(shù)的大小關(guān)系.8.設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意對分段函數(shù)的兩部分解析式分別分類討論，得出各部分對應(yīng)的零點表達式，再根據(jù)在區(qū)間內(nèi)恰有4個零點對參數(shù)進行分類討論，得出各部分的有效零點個數(shù)即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】易知當(dāng)時，令，可得，即可得，又因為，所以;因此時的有效零點為，為負整數(shù)；當(dāng)時，令，可得;若為有效零點可得，解得；當(dāng)時，令，可得;若為有效零點可得，解得；因為在區(qū)間內(nèi)恰有4個零點，所以至少表示兩個有效零點，所以需滿足，可得；此時和也為有效零點，此時實數(shù)的取值范圍是；當(dāng)時，顯然不是有效零點，所以能表示三個有效零點，因此，解得，此時實數(shù)的取值范圍是.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于求出分段函數(shù)各部分零點的表達式，再結(jié)合零點所在區(qū)間及其個數(shù)限定出對應(yīng)不等式，即可求出實數(shù)的取值范圍.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的兩根為，其中，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程中韋達定理可求出判斷B，再由韋達定理判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法及共軛復(fù)數(shù)判斷C，再由復(fù)數(shù)除法判斷D.【詳解】因為且實系數(shù)一元二次方程的兩根為，所以，可得，故B正確；又，所以，故A錯誤；由，所以，故C錯誤；，故D正確.故選：BD10.已知數(shù)列是等比數(shù)列，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)的公比為q，則

，由等比數(shù)列的定義依次判斷AB；舉反例判斷CD.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則

對于選項A：因為，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故A正確；對于選項B：因為

，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故B正確；對于選項CD：例如，則，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯誤；則，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：AB.11.在正方體中，點E，F(xiàn)滿足，，且x，y，．記EF與所成角，與平面ABCD所成角為，則（）A.若，三棱錐E-BCF的體積為定值B.若，則C.，D.，總存在，使得平面【答案】ACD【解析】【分析】對于A：確定以及點到面的距離的取值情況即可判斷；對于B：假設(shè)，找出矛盾即可判斷；對于C：過作交于，連接，找到和即可判斷；對于D：作圖，然后證明平面即可.【詳解】對于A：若，點在過線段的三等分點（靠近點）并且與平行的線上，因為點在線段上，且，所以點到線段的距離為定值，則為定值，又點到面，即面的距離不變，所以為定值，A正確；對于B：若，則點為線段的中點，點為線段的交點，若，又，且面，，所以面，又面，所以，設(shè)正方體的棱長為，則，此時，即，與矛盾，故不正確，B錯誤；對于C：，則點在線段上（不含端點），點在正方形內(nèi)（不含邊界），過作交于，連接，則為EF與所成角，即，因為面，，所以面，則為與平面ABCD所成角，即，因為為直角三角形，所以，C正確；對于D：過作交于，過作交于，連接，此時滿足，，，，接下來只需要證明平面即可，因為，面，面，所以面，又，面，面，所以面，又，且面，所以面面，又面，所以平面，所以，總存在，使得平面，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若，則___________．【答案】0【解析】【分析】先根據(jù)條件求出，然后由賦值法即可求解.【詳解】由題意，所以，即，令，則，令，則，所以.故答案為：0.13.已知為雙曲線的左、右焦點，圓與相交于點（點位于第一象限），若，則的離心率為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義并結(jié)合圓的直徑所對圓周角為直角，且由，得到，進而可以得到離心率.【詳解】由圓，則圓以為直徑的圓，又由是雙曲線與圓的交點，則,,由,則，，所以,在直角中，則,故.故答案為：.14.已知非零向量滿足：，設(shè)，若存在，使得，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)和，求出，由得到，聯(lián)立得到，故，換元得到，得到答案.【詳解】由題意得，即，又，故，所以，故①，因為，所以②，聯(lián)立①②得，解得，則，令，則，則，故.故答案為：【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)運算法則可得結(jié)果.（2）根據(jù)兩個函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)運算法則可得結(jié)果.（3）根據(jù)兩個函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)運算法則可得結(jié)果.（4）通過誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡函數(shù)解析式，利用兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)運算法則可得結(jié)果.【小問1詳解】.【小問2詳解】.【小問3詳解】.【小問4詳解】∵，∴.16.隨著冬天的臨近，哈爾濱這座冰雪之城，將再次成為旅游的熱門目的地.為更好地提升旅游品質(zhì)，我市文旅局隨機選擇名青年游客對哈爾濱出行體驗進行滿意度評分（滿分分），分及以上為良好等級，根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值并估計該評分的上四分位數(shù)；（2）若采用按比例分層抽樣的方法從評分在，的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人進行單獨交流，求選取的3人中評分等級為良好的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為進一步了解不同年齡段游客對哈爾濱出行體驗的反饋，我市文旅局再次隨機選擇100名中老年游客進行滿意度評分，發(fā)現(xiàn)兩次調(diào)查中評分為良好等級的人數(shù)為120名.請根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析游客的評分等級是否良好與年齡段（青年或中老年）是否有關(guān).附：，0.050010.00138416.63510.828【答案】（1），（2）分布列見解析，（3）無法認為游客的評分等級是否良好與年齡段有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為計算出的值；先判斷出上四分位數(shù)所在區(qū)間，然后結(jié)合區(qū)間端點值以及該組的頻率完成計算；（2）先根據(jù)分層抽樣計算出每組抽取的人數(shù)，然后確定出的可取值并計算對應(yīng)概率，由此可求分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)已知條件得到對應(yīng)列聯(lián)表，然后計算出的值并與對應(yīng)比較大小，由此得到結(jié)論.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，，解得；因為的頻率為，且為最后一組，所以評分的上四分位數(shù)位于區(qū)間中，所以上四分位數(shù)為：；【小問2詳解】評分在與兩組的頻率分別為，所以內(nèi)抽取人數(shù)為，內(nèi)抽取人數(shù)為，故人中評分等級為良好的有人，由題意可知，的可取值為，，，，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望；【小問3詳解】青年游客評分等級良好的有人，所以老年游客評分等級良好的有人，由上可得如下列聯(lián)表，

青年游客老年游客總計評分等級良好評分等級非良好總計零假設(shè)：游客的評分等級是否良好與年齡段無關(guān)，由表中數(shù)據(jù)可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可知零假設(shè)成立，即無法認為游客的評分等級是否良好與年齡段有關(guān).17.在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，，求的面積；（3）若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解；（2）利用余弦定理求出，再由面積公式計算可得；（3）利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，結(jié)合三角形為銳角三角形求出的范圍，即可求出的取值范圍.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，∴，∵，則，∴，又，∴；【小問2詳解】因為，，由余弦定理，即，∴，解得，∴；【小問3詳解】在中，由正弦定理，∴，∴，又為銳角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故周長的取值范圍為18.如圖，四面體中，，為的中點．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點在上且，記與平面所成角為，求的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由≌得到，得到，即可求證；（2）過作面于，連．由線面角定義得到，再由等體積法求得，進而可求解；法二：建系求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；【小問1詳解】證明：在和中，，∴≌（SAS），∴，∵為中點，∴且，，都在平面內(nèi)，∴平面，∵平面，∴平面平面．【小問2詳解】方法一：過作面于，連．由線面角的定義可知．由于點是定點，平面面也是固定的，所以是個定值，因此最大，也即最小，易知此時時取到．因為，，所以，又，所以，所以，所以，以及，，所以，由，得到：，所以當(dāng)時，，故此．法二：∵，∴為等邊三角形且邊長為2，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，都在平面內(nèi)，∴平面，如圖建系，∴，，∴，設(shè)平面的一個法向量，∴，設(shè)，得到，所以，∴．當(dāng)且僅當(dāng)時取“”．所以的最大值.19.已知橢圓的右頂點為，焦距為．（1）求的標準方程；（2）設(shè)的左焦點為，過點作斜率不為零的直線交于兩點，連接分別交直線于點，過點且垂直于的直線交直線于點，則①求證：為線段中點；②記的面積分別為，試探究：是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）①證明見解析；②存在；【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距、頂點坐標和橢圓關(guān)系可直接求得標準方程；（2）①將直