常用邏輯用語(yǔ)（十四大題型+模擬練）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

專題02常用邏輯用語(yǔ)（十四大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01命題及其關(guān)系

?題型02充分條件與必要條件

?題型03全稱量詞與存在量詞

?題型04集合與充分條件、必要條件

?題型05復(fù)數(shù)與充分條件、必要條件

?題型06函數(shù)與充分條件'必要條件

?題型07三角函數(shù)與充分條件'必要條件

?題型08平面向量與充分條件'必要條件

?題型09統(tǒng)計(jì)、概率與充分條件、必要條件

?題型10立體幾何與充分條件、必要條件

?題型11平面解析幾何與充分條件'必要條件

?題型12數(shù)列與充分條件、必要條件

?題型13導(dǎo)數(shù)與充分條件、必要條件

?題型14高考新考法一新定義充分條件、必要條件綜合

?題型01命題及其關(guān)系

I.（2022高一上?全國(guó)?專題練習(xí)）下列語(yǔ)句中，命題的個(gè)數(shù)是（）

①空集是任何集合的真子集；②請(qǐng)起立；

③-1的絕對(duì)值為1；④你是高一的學(xué)生嗎？

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

根據(jù)命題的概念逐一判斷.

【解析】①③是命題；②是祈使句，不是命題；④是疑問句，不是命題.

故選：C.

2.（23-24高一上映西延安?階段練習(xí)）已知。:2+2=5,q:3N2,則下列判斷中，正確的是（

A.p為真，q為假B.p為假，q為真

C.p為真，q為真D.p為假，q為假

【答案】B

【分析】根據(jù)命題的真假即可判定.

【解析】0為假，4為真，

故選：B

3.（22-23高三上?寧夏?階段練習(xí)）已知命題P：對(duì)任意xeR,總有f-x+l";Q：若/</,則

。<6.則下列命題為真命題的是（）

A.M人qB.pjqc.f人fD.PI

【答案】B

【分析】先判斷命題。，命題9的真假，在判斷選項(xiàng)的真假

17

【解析】由龍2-尤+1=。一彳）2+：>0

24

所以命題P為真命題

令。=0,6=一1,則/<%2,但是a>b

所以命題9為假命題

故為真

故選：B.

?題型02充分條件與必要條件

4.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）“x為整數(shù)”是“2x+l為整數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，2x+l必為整數(shù)；當(dāng)2x+l為整數(shù)時(shí)，x不一定為整數(shù)；即可選出答案.

【解析】當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，2x+l必為整數(shù)；

當(dāng)2x+l為整數(shù)時(shí)，x不一定為整數(shù)，

例如當(dāng)2x+l=2時(shí)，x=1.

所以“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

5.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）對(duì)于非零向量a,b,“a+2b=0”是“a//b”的C）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若a+2b=0,則a=-2b,所以a||b.若a||b,則a+2b=0不一定成立，故前者是后者的充分不必

要條件.故選A.

6.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）在。3c中，已知48=30°,c=2,則“=也”是"NC=45°”成立的（）

條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理以及“大邊對(duì)大角”即可判斷出結(jié)果.

bc6_2

【解析】由正弦定理得二彳=’"，即丁一而不，

sinBsinC—

2

sinC=——，又因?yàn)閏〉b,

2

二.C=45°或。=135°;

則“=V2”是“NC=45?！背闪⒌谋匾怀浞謼l件.

故選：B.

7.（23-24高三下?河南周口?開學(xué)考試）若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

（）

A.（-（x）,l）B.（-oo,l]C.（l,+°o）D.[l,+oo）

【答案】A

【分析】由題意可得｛x|x>l｝呈｛x|x>a｝,再根據(jù)集合的包含關(guān)系求參即可.

【解析】因?yàn)椤盁o(wú)】a”是“x>1”的必要不充分條件，

所有｛小>1｝些｛小>.｝,所以a<1,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為（-叫1）.

故選：A.

8.（23-24高一上?重慶渝北?階段練習(xí)）若不等式一。<工<。的一個(gè)充分條件為0<xvl,則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（）

A.0<a<lB.0<?<1C.a>\D.a>1

【答案】C

【分析】將充分條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.

【解析】由題意可得{x[O<x<l}u{M-a<x<a},

所以-aWO且解得a21,

故選：C

?題型03全稱量詞與存在量詞

9.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）命題“VxeZ,的否定是（）

A.eZ,x2>0B.3xgZ,x2<0

C.eZ,%2<0D.3xgZ,x2<0

【答案】C

【分析】根據(jù)命題“Wxe/,O（x）”的否定是FxeM,”（尤）”直接得出結(jié)果.

【解析】命題“VxeZ,/20"的否定是“*eZ,/<0”.

故選：C.

10.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）下列正確命題的個(gè)數(shù)為（）

①VxeR,x2+2>0；②VxeN./Nl；③ireZ）/cl；④mxeQ,/=3.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用全稱量詞命題、存在量詞命題真假判斷方法逐一判斷各個(gè)命題即得.

【解析】VxeR,x2+2>2>0,①正確；當(dāng)x=0時(shí)，x4=0<1,②錯(cuò)誤；

當(dāng)x=0時(shí)，x3=0<l,③正確；由于（±右）2=3,而-。，石都是無(wú)理數(shù)，④錯(cuò)誤,

所以正確命題的個(gè)數(shù)為2.

故選：B

11.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）命題玉?-1』/+國(guó)<0的否定是（）

A.3xe[-l,l],x+|x|>0

B.Vxe[-l,l],x+|x|>0

C.Vxe(-ao,-l)u(l,+<?),x+|x|>0

D.Vxeu(l,+oo),x+|x|<0

【答案】B

【分析】由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結(jié)果.

【解析】因?yàn)槊}上?-1,1］廣+忖<0,

則其否定為心目-1,1］廣+卜但。

故選:B

12.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若命題“*oeR,x；-2%+〃7<0"為真命題，則實(shí)數(shù)"?的取值范圍是（）

A.（-℃,1）B.

C.（0,1）D.（1,+℃）

【答案】A

【分析】由題意可得不等式V-2x+加<0在R上有解，結(jié)合△>（）計(jì)算即可求解.

【解析】由題意可知，不等式/-2x+7〃<0在R上有解，

A=4-4w>0,解得m<\,

??.實(shí)數(shù)〃？的取值范圍是

故選：A.

13.（23-24高三上?山東濰坊?期中）若“*eR,sinx<a”為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.a>1B.a>1C.a>-\D.a>-\

【答案】D

【分析】只需sinx的最小值小于。即可.

【解析】3xeR,sinx<a,只需sinx的最小值小于。即可，

由于sinx的最小值為-1,故a>-l.

故選：D

?題型04集合與充分條件、必要條件

14.（23-24高三上?安徽合肥?階段練習(xí)）給出如下三個(gè)條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請(qǐng)從中選

擇補(bǔ)充到下面橫線上.

已知集合？=卜卜1Wx45},S=^x\2-m<x<3+2m^,存在實(shí)數(shù)加使得“xeP"是"xeS”

的條件.

【答案】②，③

【分析】分別根據(jù)充要條件及充分不必要條件，必要不充分條件計(jì)算求解即可.

【解析】①“xe尸”是“xes”的充要條件，則2-加=-1,3+2/71=5,此方程無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)加，則不

符合題意；

②"xeP"是"xeS”的充分不必要條件時(shí)，2-加4-1,3+2m>5,2-m<3+2m；解得加23,符合題意；

③"xeP"是“xeS”的必要不充分條件時(shí)，當(dāng)S=0,2-/77>3+2m,得，"<；；

當(dāng)S/0,需滿足2-加W3+2加，2-m>-l,3+2m<5,解集為一

3

綜上所述，實(shí)數(shù)〃?的取值范圍-生加<上

33

故答案為：②，③.

?題型05復(fù)數(shù)與充分條件、必要條件

15.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)句名，則"z；=z/是“聞=團(tuán)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)性質(zhì)和充分不必要條件即可得到答案。

【解析】z；=z；=0=（Z]-Z2）（Z]+Z2）=OOZ]=Z2或Z]=-z2n匕|=匕|。

因?yàn)棰?㈤至4=Z?或Z]=?2,

例如取4二字+等匕=i,此時(shí)㈤=忤|,不滿足㈤=㈤中馬=z?或4=~2,

故選：A.

?題型06函數(shù)與充分條件、必要條件

16.（23-24高三下?四川成都?階段練習(xí)）若a<x<3是不等式l°g[X>T成立的一個(gè)必要不充分條件，則實(shí)

2

數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-%0）B.（-?,0]C.[0,2）D.（2,3）

【答案】B

【分析】求出不等式bg±x>T成立的充要條件，根據(jù)充分必要條件關(guān)系判斷.

2

【解析】loglX>=logj.X>logj2=0<X<2,

222

因?yàn)閍<x<3是1O§1無(wú)>T成立的必要不充分條件，

2

所以a<0.

故選：B.

17.（2024?湖南?一模）已知a,beR,且a>0,6>0,則仍>1是Ina-1昉>0的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】利用不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算及充分、必要條件的定義判定即可.

【解析】若。=6,6=1,符合°6>1,但此時(shí)lna/n6=0,不滿足充分性，

若（7=「=，，符合lna/n6>0,但是ab<l,不滿足必要性.

故選：D

?題型07三角函數(shù)與充分條件'必要條件

18.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）"函數(shù)>=tanx的圖象關(guān)于伉,0）中心對(duì)稱”是“sin2x0=0”的—條件.

【答案】充分必要

【分析】先由函數(shù)丁=122的圖象關(guān)于（％,0）中心對(duì)稱求得%的值，再解方程sin2x°=0求得％的值，進(jìn)而得

到二者間的邏輯關(guān)系.

【解析】函數(shù)y=tamr圖象的對(duì)稱中心為左eZ,

所以由“函數(shù)產(chǎn)taiu的圖象關(guān)于的,0）中心對(duì)稱”等價(jià)于“％=g,左eZ”.

因?yàn)閟in2xo=0等價(jià)于2%=kn,k&Z,即Xo=g,EeZ.

所以“函數(shù)片tanx的圖象關(guān)于伉,0）中心對(duì)稱”是“sin2x0=0”的是充分必要條件.

故答案為：充分必要

19.（23-24高三下?浙江金華?階段練習(xí)）設(shè)ae（0,兀），條件p:sina=；,條件q：costz=立，則p是q的

22

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可求解.

【解析】由于ae（O,兀），

若sina=—,貝。cosa=±，1-sin%=士——,充分性不成立，

22

若cosa=且，則sina=A/1-COS%=』,必要性成立，

22

故P是9的必要不充分條件.

故選：B.

?題型08平面向量與充分條件'必要條件

20.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量方=（4,用），B=（m-2,2）,貝廣加=4”是“I與B共線''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由m=4,可得Z與刃共線，充分性成立；由3〃?？傻?=-2或心=4,必要性不成立，可得結(jié)

論.

【解析】由%=4,得2=（4,4）,5=（2,2）,所以力與3共線，

所以“m=4”是“是a與b共線”的充分條件；

由a〃5，可得加-2）=8,解得小=-2或心=4,

“加=4”是“3與b共線”成立的不必要條件，

故'加=4”是“?與b共線”的充分不必要條件.

故選：A.

21.（2024?四川成都三模）在"8C中，"http://。8是鈍角”是“|聲+口|<|京卜的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】C

【分析】先將用+詞<麗等價(jià)變形為用+詞<|赤-可，兩邊平方后得5?而<0,且42,C三點(diǎn)不

共線，即可做出判斷.

【解析】而+3|<|萬(wàn)卜等價(jià)于"而+3|<|9-引”，

所以q+C聞=CA+2CACB+CB<|C5-G4|=CA-2CACB+CB,

從而

在“3。中，顯然4瓦C三點(diǎn)不共線，即兩個(gè)向量而，而不能方向相反，則N/C8是鈍角，則必要性成立,

若N4C8是鈍角，則段而<0,則向+用<阿，則充分性成立，

則“//C2是鈍角”是“向+詞<畫”的充要條件.

故選：C.

?題型09統(tǒng)計(jì)、概率與充分條件'必要條件

22.（2024?河北?二模）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布"（2,才）9>0）,則，加=「，是

“尸（刀2:叫+尸（X>%+2）=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【解析】因?yàn)閄~N（2,4）,則尸（X<1）=尸（X>3）,尸（X>4）=尸（X<0）,

若力=1則尸（X21）+尸（X>3）=尸（X21）+尸（X<1）=1,

即尸（X2/）+尸（x>m+2）=l,故充分性成立，

若尸（X2加2）+尸（x>加+2）=1,則/+",+2=2x2,

解得加=1或加=-2,故必要性不成立，

所以“m=1”是“尸（X2/）+p（x>加+2）=1”的充分不必要條件.

故選：A

?題型10立體幾何與充分條件、必要條件

23.（2024?廣西賀州?一模）已知加，〃為不同的直線,見尸為不同的平面,若""，加//〃,則是

“m//a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【分析】由給定條件可得加，尸，再利用面面垂直的判定、性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【解析】由〃"刈//",得加

若a_L「，則機(jī)//a或加ua,“c”不是“機(jī)//a”的充分條件；

若加〃a,則存在過直線加的平面/與平面。相交，令交線為/,則/〃加，而加_L/?,

于是又/ua,因此即“a，￡”是“〃?//a”的必要條件，

所以“c_L/”是“mIla”的必要不充分條件.

故選：B

?題型11平面解析幾何與充分條件'必要條件

24.（23-24高三下?安徽蕪湖?階段練習(xí)）已知直線4:sx—y—3=OJ?：（機(jī)—2）x—y+1=0,貝！=是

414”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【分析】當(dāng)比=1時(shí)可得上色=-1,即4^/2；當(dāng)《工4時(shí)可得加=1，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.

【解析】當(dāng)7〃=1時(shí)，/,:x-y-3=0,/2:-x-y+l=0,

即4:y=x-34:y=-x+1,則上/?=-1,即乙;

當(dāng)Z[_L，2時(shí)，加（加-2）+（-1）x（-1）=0,解得心=1.

所以"7"=1”是“42”的充要條件.

故選：C

25.（2024?四川成都三模）已知圓C：x2+y2=l,直線/：x-y+c=0,貝『％=變”是“圓C上恰存在三個(gè)

2

點(diǎn)到直線/的距離等于的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于：，等價(jià)于0（0,0）到直線/：x-y+c=0的距離為

1,從而利用點(diǎn)線距離公式與充分必要條件即可得解.

【解析】因?yàn)閳AC：/+了2=1的圓心。倒⑼，半徑為-1,

當(dāng)圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于y時(shí)，

則。（0,0）到直線/：x-y+c=o的距離為9

所以卑卻=:，解得c=±Y2,即必要性不成立；

V1+122

當(dāng)c=#時(shí)，由上可知。（0,0）到直線/：x7+c=0的距離為.

此時(shí)圓c上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于3,即充分性成立；

所以“c=包”是“圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線I的距離等于:'的充分不必要條件.

22

故選：A.

?題型12數(shù)列與充分條件、必要條件

26.（2024?北京東城?一模）設(shè)等差數(shù)列｛g｝的公差為d,貝『'0</<1”是"｛%｝為遞增數(shù)歹|]''的（）

n

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出％,再利用單調(diào)數(shù)列的定義，結(jié)合充分條件、必要條件的意義判斷即

n

得.

【解析】由等差數(shù)列｛%｝的公差為d,得a“=a「d+nd,則2=%二4+”,

nn

當(dāng)0</<d時(shí)，％-4<0,而,>々，貝|]幺二1<幺4,因此冬<瑪，｛%｝為遞增數(shù)列；

當(dāng)｛5｝為遞增數(shù)列時(shí)，則&<4當(dāng)，即有義二《<幺二?，整理得不能推出0</<",

nnn+1nn+1

所以"0</<d”是“｛%｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

n

故選：A

27.（2024?青海?模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為設(shè)甲：｛%｝為等比數(shù)列，乙：為等比數(shù)列,

則（）

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲是乙的既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列定義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷得解.

【解析】若｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為9,貝普“=%尸，小可嚴(yán)…"-嗔耽婚，

Ta.四）

T螞2瑞今）"％2a

于是3=（?a）%=，V=―k=十a(chǎn)九當(dāng)時(shí)，$/'不是常數(shù)，

22

余仔2〒22

此時(shí)數(shù)列｛今｝不是等比數(shù)列，則甲不是乙的充分條件；

若修為等比數(shù)列，令首項(xiàng)為4,公比為P,則會(huì)=60,7；=2*（2。尸，

于是當(dāng)"22時(shí)，a“=?==功，而q=4=24，

T；,H（i）

I2*2p

當(dāng)時(shí)，｛%｝不是等比數(shù)列，即甲不是乙的必要條件，

所以甲是乙的既不充分也不必要條件.

故選：D

28.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)｛%｝是公比不為1的無(wú)窮等比數(shù)列，貝廣｛?！埃秊檫f增數(shù)列”是“存在正整數(shù)

No,當(dāng)〃>N0時(shí)，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】借助充要條件的定義，分別驗(yàn)證充分性與必要性，結(jié)合等比數(shù)列、遞增數(shù)列的定義，借助反證法

證明即可得.

【解析】若｛%｝為遞增數(shù)列，

當(dāng).1<0,且0<?<1時(shí)，有4+1-%>0,

此時(shí)｛??）為遞增數(shù)列，當(dāng)對(duì)任意?eN+,??<0,

故"｛%｝為遞增數(shù)列''不是"存在正整數(shù)乂，當(dāng)”>N。時(shí)，%>1”的充分條件；

若存在正整數(shù)或，當(dāng)〃>乂時(shí)，a?>l,

此時(shí)an+l=a^q">1,故4>0,g>0,

m

假設(shè)存在m>N0,使得am+lWam,則有am+1-am=al(q-l)q~'<0,

則”1<0,又q>0且qwl,故0<4<1,

則當(dāng)〃f+co時(shí)，a“=%q"T-0,與條件矛盾，

故不存在m>N。,使am+lWam,即％十］>an在(乂什功上恒成立，

即?！?］-%=%(q-l)q"T>0,又％>0,q〉0,故g>l,

即對(duì)任意的〃wN+,=%(q-l)/T>0,

即｛%｝為遞增數(shù)列，

故"｛%｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)既，當(dāng)〃>乂時(shí)，an>1”的必要條件；

綜上所述，“｛%｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)乂，當(dāng)心N。時(shí)，%>1”的必要不充分條件.

故選：B.

?題型13導(dǎo)數(shù)與充分條件'必要條件

29.(23-24高三下?貴州?階段練習(xí))已知命題〃。=2,命題見函數(shù)/(無(wú))=龍口-〃)?有極小值點(diǎn)2,則〃是

9的條件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一).

【答案】充要

【分析】

利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合由極值點(diǎn)求出參數(shù)，再判斷即可.

【解析】當(dāng)。=2時(shí)，函數(shù)/(x)=x(x-2)2=Y-4/+4x,求導(dǎo)得/，(x)=3x'-8x+4=(3x-2)(x-2),

22

顯然當(dāng)x<W或無(wú)>2時(shí)，/V)>0,當(dāng)黃x<2時(shí)，r(x)<0,因此2是/(X)的極小值點(diǎn)，

當(dāng)函數(shù)/(無(wú))=x(x-a)2有極小值點(diǎn)2時(shí)，f\x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a),

顯然/''(2)=0,貝?。輆=6或a=2,

當(dāng)a=6時(shí)，x<2有/'(x)>0,2不是極小值點(diǎn)，不符合題意，

22

當(dāng)a=2時(shí)，當(dāng)或x>2時(shí)，r(x)>0,當(dāng);<x<2時(shí)，f'(x)<0,因此2是/⑶的極小值點(diǎn)，即a=2,

所以P是9的充要條件.

故答案為：充要

?題型14高考新考法一新定義充分條件'必要條件綜合

30.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))設(shè)X,y為任意集合，映射定義:對(duì)任意再用ex,若X產(chǎn)乙，則

/(XJH/(X2),此時(shí)的/為單射.

(1)試在R-R上給出一個(gè)非單射的映射；

(2)證明：/是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合Z與映射g,ZfX,若對(duì)任意zeZ,有

f(g(z))=f(h(z)),則g=〃；

⑶證明：/是單射的充分必要條件是：存在映射夕:Y-X,使對(duì)任意xeX,有夕(〃x))=x.

【答案】(l)/(x)=x2(答案不唯一)

(2)證明過程見解析

(3)證明過程見解析

【分析】

(1)結(jié)合單射的定義舉出符合條件的例子即可；

(2)結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來(lái)說(shuō)明即可；

(3)結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來(lái)說(shuō)明即可.

【解析】(1)由題意不妨設(shè)/(x)=x2,當(dāng)%(%,%非0)互為相反數(shù)時(shí)，/(再)=/仁)滿足題意；

(2)一方面若/是單射，且〃g(z))=/(抑z是,則g(z)=〃(z),即g=〃(否則若g(z)w〃(z),有

f(g(z))w/(/z(z)),矛盾),

另一方面，若對(duì)任意zeZ,由/(g(z))=/(/z(z))可以得到g=A,

我們用反證法證明/'是單射，

假設(shè)/不是單射，即存在g(z)#/z(z),有〃g(z))=jW)),

又由〃g(z))=/(〃(z))可以得到g=/7,即g(z)=〃(z),這就產(chǎn)生了矛盾，

所以/是單射，

綜上所述，命題得證；

(3)一方面若/是單射，則由再可得/(再)//(%2),

同理存在單射。，使得/(x1)^/(x2),有夕(/(%))=』會(huì)2=夕(/3))，

另一方面，若存在映射。:￥-＞丫，使對(duì)任意xeX,有夕(/(x))=x,

我們用反證法來(lái)證明了是單射，

若/■不是單射，即存在x產(chǎn)乙,有/(國(guó))=/6)，

又若/(網(wǎng))片/(%2)，則由題意夕(/(再))=玉=%=0(八>2)),這與Xi#9產(chǎn)生矛盾，

所以此時(shí)/是單射，

綜上所述，命題得證.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：后面兩問的關(guān)鍵是結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來(lái)說(shuō)明，由此即可順利得證.

31.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))已知集合A中含有三個(gè)元素x，-z,同時(shí)滿足①X<y<z；②x+y>z；③x+y+z

為偶數(shù)，那么稱集合A具有性質(zhì)尸.已知集合S“={1,2,3,…,2〃}(”eN*,〃24),對(duì)于集合S,的非空子集8,

若S”中存在三個(gè)互不相同的元素。也c,使得。+仇人+c,c+”均屬于8,則稱集合B是集合S?的“期待子集”.

⑴試判斷集合/={1,2,3,5,7,9)是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由；

(2)若集合3={3,4,可具有性質(zhì)產(chǎn)，證明：集合B是集合其的“期待子集”；

(3)證明：集合“具有性質(zhì)P的充要條件是集合M是集合S.的“期待子集”.

【答案】(1)不具有，理由見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)分取到的三個(gè)元素都是奇數(shù)和有偶數(shù)2,兩種情況比較三個(gè)條件，即可判斷；

(2)首先根據(jù)性質(zhì)P,確定集合8,再根據(jù)“期待子集”的定義，確定集合3是集合邑的“期待子集”；

(3)首先證明充分性，存在三個(gè)互不相同的。,仇。，使得a+b/+c,c+a均屬于“

證明滿足性質(zhì)產(chǎn)的三個(gè)條件；再證明必要性，首先設(shè)滿足條件的上c,再證明a+b,A+c,c+a均屬于

即可證明.

【解析】(1)集合/={1,2,3,5,7,9}不具有性質(zhì)p,理由如下：

(i)從集合A中任取三個(gè)元素x/,z均為奇數(shù)時(shí)，x+y+z為奇數(shù)，不滿足條件③

(ii)從集合A中任取三個(gè)元素有一個(gè)為2,另外兩個(gè)為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)y=2,x<z,

則有z-x22,即z-xNy,不滿足條件②，

綜上所述，可得集合/={1,2,3,5,7,9}不具有性質(zhì)P.

(2)證明：由3+4+。是偶數(shù)，得實(shí)數(shù)。是奇數(shù)，

當(dāng)Q<3<4時(shí)，由Q+3>4,得l<a<3,即a=2,不合題意，

當(dāng)3<4<〃時(shí)，由3+4〉〃，得4<。<7,即a=5,或〃=6(舍),

因?yàn)?+4+5=12是偶數(shù)，所以集合5={3,4,5},

令a+6=3,b+c=4,c+a=5,解得3=2,b=1,c=3,

顯然。,6,ceS4={l,2,3,4,5,6,7,8},

所以集合3是集合國(guó)的“期待子集”得證.

(3)證明：

先證充分性:

當(dāng)集合初是集合S’的“期待子集”時(shí)，存在三個(gè)互不相同的6,c,使得a+b,6+c,c+a均屬于”,

不妨設(shè)a<6<c,令x=a+6,y^a+c,z=b+c,貝！即滿足條件①，

因?yàn)閤+y-z=(a+6)+(a+c)-(6+c)=2a>0,所以x+y>z,即滿足條件②，

因?yàn)閤+y+z=2(a+b+c),所以x+7+z為偶數(shù)，即滿足條件③，

所以當(dāng)集合M是集合S”的“期待子集”時(shí)，集合M具有性質(zhì)P.

再證必要性:

當(dāng)集合〃■具有性質(zhì)產(chǎn)，則存在x/,z,同時(shí)滿足①x<y<z；@x+y>z.③x+y+z為偶數(shù),

^-a=X+y^Z-z,b=X+y^Z-y,c=x+；+z_x,則由條件①得。<6<c,

由條件②得。=書"-z=葉尸>0,

由條件③得均為整數(shù)，

甲*x+y+zz+x-yz+(z-y)-y

因?yàn)閦-c=z+x--------=-------->--------=z-y>0,

222

所以0<Q<b<c<z,且4,6,。均為整數(shù)，

所以a,b,c￡S〃，

因?yàn)閍+b=x,a+c=y,6+c=z,

所以。+仇b+c,c+a均屬于M,

所以當(dāng)集合初具有性質(zhì)尸時(shí)，集合M是集合S”的“期待子集”.

綜上所述，集合刊是集合S”的“期待子集”的充要條件是集合州具有性質(zhì)P.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用“性質(zhì)P”和“期待子集”的定義

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知命題oVxeZlNO,則“為（）

A.eZ,x2<0B.3x^Z,x2<0

C.eZ,x2<0D.gZ,x2<0

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.

【解析】由題意，全稱命題的否定是特稱命題，可得：

命題p:VxeZ,x?20的否定為：「。為IreZ,/<0.

故選：C.

2.（2024?浙江寧波?二模）已知平面a,吠%ac￡=/,則“/_L是“a且力_L7"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)線面垂直即可求證面面垂直，即可說(shuō)明充分性，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，即可利

用線面垂直的判斷求證必要性.

【解析】由于an尸=/,所以/ua,/u4,

若Z1/,則a，/,j,故充分性成立，

若a-Ly,y51/,設(shè)</□?=，"，￡□/=〃，

則存在直線au%使得qj_加，所以a_La,由于/utz,故。

同理存在直線6u%使得6_L〃，所以由于/u￡,故

由于a力不平行，所以。力是平面7內(nèi)兩條相交直線，所以故必要性成立，

故選：C

3.（2024?陜西咸陽(yáng)三模）己知“l(fā)n（a+l）>0,q:*20,2*+l〈a,則P是-'4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】分別求得。為真時(shí)，a>0,「4為真時(shí)，a<2,可得結(jié)論.

【解析】P為真時(shí)，可得。+1>1,所以。>0,

9為真時(shí)，?>(21+1)^,又xNO,所以2工+1220+1=2,所以。22,

所以為真時(shí)，a<2,

所以。是「4的即不充分又不必要條件.

故選：D.

4.（2024?江西南昌?二模）已知集合/={x|lnxW0},8={x|2，W2},貝「xe/”是“xe3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解集合中的不等式，得到這兩個(gè)集合，由集合的包含關(guān)系，判斷條件的充分性和必要性.

【解析】不等式InxVO解得0<尤<1,則4=（0』；

不等式2，W2解得xWl,則8=（一叫1].

(0,1］口(-8』,

所以“xeA”是“xeB”的充分不必要條件.

故選：A

5.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）若命題：“血，beR,使得a-cosbW6-cosa”為假命題，則。，b的大小

關(guān)系為（）

A.a<bB.a>bC.a<bD.a>b

【答案】B

【分析】由命題的否定為真命題，轉(zhuǎn)化為a+cosa>b+cosb成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可得解.

【解析】由題意，命題的否定“V。，beR,使得a-cos6>6-cosa”為真命題，

即a+cosa>b+cosb,

設(shè)/（x）=x+cosx,則/'（x）=1-sin尤20,

所以/（x）為增函數(shù)，

所以由可知a>b,

故選：B

6.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)/"）="2-2"，命題“土式2,6],W-2。+3”是假命題，則實(shí)

數(shù)Q的取值范圍是（）.

-w

A.B.(3,+oo)C.(2,+co)D.

【答案】A

【分析】根據(jù)特稱名為假命題可得辦2-2ax+2a-3>0,對(duì)右右微⑹恒成立，令/z(x)=ax~-2辦+2。-3,

利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可得結(jié)論.

【解析】因?yàn)槊}“二e[2,6],f(x)V-2a+3”是假命題,所以Vxe[2,6],/(x)>-2°+3恒成立，

?ax2-2ax+2a-3>0,對(duì)Vxe[2,6]恒成立,

令/?(x)=ax2-2"+2a-3,則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1,

要使得Vxe2,6,4x>0恒成立，貝葉解得。>：,

[用⑼=26〃一3>02

所以實(shí)數(shù)0的取值范圍是

故選：A.

7.(2024?四川成都?三模)已知圓C:x2+/=i,直線/：x-y+c=0,貝『心0”是“圓C上任取一點(diǎn)(x,y),

使尤-y+cV0的概率小于等于?的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】由事件從圓C上任取一點(diǎn)(x,y),使x-y+cWO的概率小于等于。，求。的范圍，結(jié)合充分條件和

必要條件的定義判斷結(jié)論.

【解析】直線x-y+c=O的斜率為1,在X軸上的截距為-c,在V軸上的截距為C,

當(dāng)c>0時(shí)，如圖，圓C上不存在點(diǎn)(XJ),使x-y+cWO,

所以事件圓C上任取一點(diǎn)(x,田，使x-y+cV0的概率為0,

當(dāng)c=也時(shí)，如圖，圓C上有且僅有一個(gè)點(diǎn)(xj),使x-y+cVO,

所以事件圓C上任取一點(diǎn)（x,y）,使X-V+C40的概率為0,

若0＜c〈后，如圖，圓c上滿足條件無(wú)-V+CWO點(diǎn)為劣弧48（含45）上的點(diǎn),

設(shè)劣弧48的長(zhǎng)度為f,貝1]0＜/＜兀，

所以事件圓C上任取一點(diǎn)使x-y+cWO的概率尸=[＜：,

2兀2

若c=0,如圖，圓C上滿足條件x-y+c40點(diǎn)為直線/上方的半圓上的點(diǎn),

所以事件圓C上任取一點(diǎn)（X,.y,使x-y+cwo的概率尸=F7T=彳1，

2712

若-冊(cè)＜c＜0,如圖，圓C上滿足條件x-7+cWO點(diǎn)為優(yōu)弧CD（含C。）上的點(diǎn),

設(shè)優(yōu)弧的長(zhǎng)度為s,則兀＜S＜2TI,

所以事件圓C上任取一點(diǎn)（x,?,使x-y+c4O的概率P=《＞:，

若c"也,如圖，圓C上所有點(diǎn)滿足條件x-y+cwo,

27r

所以事件圓C上任取一點(diǎn)（X））,使x-.y+cMO的概率尸=h=1,

所以“圓C上任取一點(diǎn)（x,y）,使x-y+cW0的概率小于等于A-”等價(jià)于“c20”，

所以“c對(duì)”是“圓C上任取一點(diǎn)（羽力，使x-y+cV0的概率小于等于!”的充要條件，

故選：C.

2

8.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知命題“Vxe[1,4],e*-1-加20”為真命題，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為（）

A.（-00,e-2]B.1一叫/一；C.[e-2,+oo）D.5一;,+oo）

【答案】A

【分析】分離參數(shù)加Ve'->求函數(shù)/仁）=/-、6?1,4]的最小值即可求解.

2?

【解析】因?yàn)槊}"Vxe[l,4]e-二機(jī)20”為真命題，所以也<1,4],小《6'-1

令〃x）=e，-Fxe[l,4],y=ex與k在[1,4]上均為增函數(shù)，

故〃x）為增函數(shù)，當(dāng)x=l時(shí)，/（*）有最小值e-2,即加Ve-2,

故選：A.

二、多選題

9.(2024?云南楚雄?模擬預(yù)測(cè))下列命題為真命題的是（）

A.VxeR,x+—>2B.VxeR,W1

xVJx2+1

C.3xeR,ln(|x|+l)=0D.3xeR,x2+x+1<0

【答案】BC

【分析】運(yùn)用全稱和特稱量詞的命題的知識(shí)分析即可.

【解析】對(duì)A,當(dāng)x=0時(shí)，x+工無(wú)意義,故A錯(cuò)誤;

X

對(duì)B,易得VxeR,x2+l>l,則&+121，可得f故B正確；

+1

對(duì)C,當(dāng)x=0時(shí)，ln(|x|+l)=O成立，故C正確；

對(duì)D,A=l-4=-3<0,可得—+》+1>0,故D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.(2024?海南省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè))已知集合/=｛小<3｝,集合8=｛小<%+1｝,能使么口8=/

成立的充分不必要條件有()

A.m>0B.m>1C.m>3D.m>4

【答案】CD

【分析】由4nB=/成立的充要條件求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)加的范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義即可得解.

【解析】=4當(dāng)且僅當(dāng)A是3的子集，當(dāng)且僅當(dāng)加+1N3,即加22,

對(duì)比選項(xiàng)可知使得加22成立的充分不必要條件有m>3,m>^.

故選：CD.

11.(2023?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛七｝滿足再=2m用=再二T^eN*).給出以下兩個(gè)命題：命題“對(duì)任

意〃eN*,都有1<Z+1<X"；命題方e(0,l),使得對(duì)尸+1成立.()

A.p真B.p假c.q真D.9假

【答案】AD

【分析】對(duì)于命題,，利用數(shù)學(xué)歸納法和作差法可判斷，對(duì)于命題9,利用反證法進(jìn)行分析判斷.

【解析】對(duì)于命題P,先利用數(shù)學(xué)歸納法證明%>1,

當(dāng)”=1時(shí)，無(wú)]=2>1,不等式成立，

假設(shè)當(dāng)〃=上時(shí)不等式成立，即4>1,則

X"+]=-1〉J2x1-1=1,

所以當(dāng)”=k+1時(shí)，不等式也成立，

綜上，%>1,

因?yàn)閤；+1-x；=2x,-1一x；=-(x“-I)2<0,所以x；+i<x；,

因?yàn)槎?gt;1,所以l<x0+i<x"，所以命題P為真命題，

對(duì)于命題9,假設(shè)存在飛(0,1),使得對(duì)V〃eN*,x“Vr"T+l,

X—12

由已知可得1=2(怎-1),得4T

XnTx”+i+l

222

所以當(dāng)+1-1=-7?——…一——,

%+1X3+IX?+1+1

2222〃

所以尸〃>----------……-----=----------------------

n2

r+2/+2r+2(r+2)(r+2).?…(/+2)

/〃c、2〃(2丫

所以3+2)(，+2)

所以V(r+