北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步訓(xùn)練：平方差公式和完全平方公式（10類熱點(diǎn)題型）（原卷版）

第06講平方差公式和完全平方公式(10類熱點(diǎn)題型講練)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用;

2.理解平方差公式和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算;

3.會(huì)用幾何圖形說(shuō)明公式的意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

思維導(dǎo)圖

平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)

數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方

差.

平方差公式和完全平方完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,

公式等于它們的平方和加(減)它們積

的2倍.

平方差和完全平方差區(qū)別

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01平方差公式

平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

即(a+b)(a-b)="-b2

公式的幾種變化：

①位置變化：(6+。)(-6+。)=(a+b)(a-Z?)=a2~b2；

(-a-b)(a-b)=(rb-a)(V+a)=(~b+a)(-b-a)=(-￡>)2-a1=b2~a2

②系數(shù)變化：(2a+36)(2a-36)=(2a)2-(36)2=4〃-9〃

③指數(shù)變化：(〃+〃)("_")=(〃)2_g2=a4-b4

④增項(xiàng)變化：Q-b-c)(a-b+c)=(a~b)2

44

⑤連用公式變化：(a+b)(a-b)(〃+〃)=—(/+〃)=(")2_g^a-b

⑥公式逆運(yùn)算：a2-b2=(a+b)(a-b)

知識(shí)點(diǎn)02完全平方公式

完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的平方和,加(減)它們積的2倍.

22

即完全平方和(〃+/?)2=/+2ab+b完全平方差(。-引之二/-2ab+b

(1)公式的特征：前平方，后平方，中間是乘積的2倍

(2)公式的變化：

222222

①。2+b=(a+b)-2ab；②。?+〃=(a-b)+2ab；③(〃+/?)?=(?-/?)+4ab；(4)(a-b)=(a+b)-4ab

⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab

知識(shí)點(diǎn)03平方差和完全平方差區(qū)別

平方差公式：(〃+。)一加

完全平方差公式：(a~b)2=a2-2ab+b2

平方差公式和完全平方差公式易混淆，切記完全平方差中間有乘積的2倍

題型精講

題型01判斷是否可用平方差公式運(yùn)算.

【例題】下列各式中不能用平方差公式計(jì)算的是()

1

A.—a+2b\\—a-2bB.(-2x+3y)(-3y-2x)

22

C.(-2x+y)(-2x-y)D.(x—

【變式訓(xùn)練】

1.下列能使用平方差公式的是()

A.(x+3)(3+x)B.(-x+y)(x-y)C.(577i+n)(—5/TI—M)D.(3m+n)(3m—n)

2.下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是(

A.(2x-j)(2x+y)B.(T+y)(x-y)

C.[b-a)(b+a)D.(x-y)(-y-x)

題型02運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算.

【例題】(2023上?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))計(jì)算：

⑴(〃+/?)(〃—2)；⑵卜J］卜+；］：

(3)(m+n)(m—n)；

(4)(0.1-x)(0.1+x)；⑸(x+y)(—y+x).

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算:

⑴（5加一3九）（5根+36；(2)(-2?2+5Z?)(-2<72-5ZJ)；

⑶卜+力1-++力；

(4)(-3y-4x)(3y-4x).

2.（2023?上海?七年級(jí)假期作業(yè)）計(jì)算：

（l）（2a-3）（2?+3）（4a2+9）；⑵（ga++方。

題型03利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.

【例題】（2023上?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:

⑴498x502（2）20222-2023x2021

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：

（1）10.3x9.7；⑵2020x2022—20212.

2.(2023上?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))計(jì)算:

13

(l)100-x99-.

44

(2)198x202.

(3)________________

20222-2023x2021,

題型04平方差公式與幾何圖形.

【例題】（2023上?江蘇泰州?七年級(jí)靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考期中）圖1、圖2分別由兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成.

⑴圖1中圖形的面積為/-62,圖2中圖形的面積為（a-6）x_.（用含有a、b的代數(shù)式表示）

⑵由（1）可以得到等式：

⑶根據(jù)你得到的等式解決下列問(wèn)題：

①計(jì)算：68.52-31.52.

②若用+4〃=2,求（m+l）2-m2+（2n+l）2-（2n-l）2的值.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?陜西安康?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）【實(shí)踐操作】

（1）如圖1,在邊長(zhǎng)為。的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形（。＞6）,把圖1中L形的紙片按圖②剪

拼，改造成了一個(gè)大長(zhǎng)方形如圖③，用含。、6的式子表示圖③中大長(zhǎng)方形的面積為；

（2）請(qǐng)寫(xiě)出圖①、圖②、圖③驗(yàn)證的乘法公式為：

【應(yīng)用探究】

（3）利用（2）中驗(yàn)證的公式簡(jiǎn)便計(jì)算：499x501+1；

2.（2023上,山東濟(jì)南?七年級(jí)山東省濟(jì)南稼軒學(xué)校?？茧A段練習(xí)）實(shí)戰(zhàn)與探究，如圖1,邊長(zhǎng)為a的大正方

形有一個(gè)邊長(zhǎng)為。的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）.

aa

⑴上述操作能驗(yàn)證的公式是.（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）.

A.a2+ab=a^a+b）B.a2—b"—(^a—b^a+bjC.a'-2ab+=(a-b)

⑵請(qǐng)應(yīng)用上面的公式完成下列各題：

①已知4a2-/=24,2。+〃=6,貝!]2。-6=

②計(jì)算:1002-992+982-972+……+42-32+22-12；

③計(jì)算:(2/1)2-(2〃-丁+(2〃-2)2-(2〃-3)2+......+42-32+22-12(M>1)

題型05運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算

【例題】（2023上?河南信陽(yáng)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用乘法公式計(jì)算

（l）（x+y+z）2

（2）（2x-3+y）（2x-y+3）

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))計(jì)算:

⑴(x+7?;

⑵(Ta+5Z?)2；

(3)(—2777—tlj；

⑷(2x+3y)(-2x-3y).

2.(2023上,八年級(jí)課時(shí)練習(xí))計(jì)算:

⑴(龍+2y-z)(尤-2y+z)；

⑵(5a+26-3c)2；

(3)(5o+3Z7-2c)(5a-3Z?+6c).

題型06利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算

【例題】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：^X3.72-3.7X2.7+^X2.72.

【變式訓(xùn)練】

1.用簡(jiǎn)便算法計(jì)算

⑴20172—2016x2018(2)2022+202x196+982

題型07通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值

【例題】(2023上?四川宜賓?八年級(jí)校考階段練習(xí))已知：a+b^-3,ab=2,求下列各式的值:

⑴二+〃；

(2)(。一刀，

【變式訓(xùn)練】

1.已知7W-〃=T,mn=2,求下列代數(shù)式的值.

⑴加之+“2

(2)(m+l)(n-l)

3

2.已知”+b=5,ab=-,求下列式子的值:

2

(i)a2-ab+b2;

⑵(

題型08求完全平方式中的字母系數(shù)

【例題】已知關(guān)于％的式子4d+4+1是某個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，那么A是.

【變式訓(xùn)練】

1.若V+(。一1卜+25是一個(gè)完全平方式，則〃=.

2.若整式4/+/+。是完全平方式，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的。是—.

題型09完全平方式在幾何圖形中的應(yīng)用

【例題】(2023上?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式(4±勾2=/±2仍+62的多種運(yùn)用，可

以運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式尤2+M+5的最小值.解答如下：

解：尤2+4x+5=+4x+4+1=(x+2)+1,

(x+2)2>0,回當(dāng)x=-2時(shí)，(x+2)2的值最小,最小值是0,

0(X+2)2+1>1,團(tuán)當(dāng)(x+2『=0時(shí)，(尤+2丫+1的值最小，最小值是1,

Elf+4x+5的最小值是1.

請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題.

⑴知識(shí)再現(xiàn)：當(dāng)了=時(shí)，代數(shù)式/一4x+15的最小值是；

(2)知識(shí)運(yùn)用：若，=-爐+6115,當(dāng)工=時(shí)，y有最______值(填"大"或"小")，這個(gè)值是；

(3)知識(shí)拓展：^-x2+5x+y+10=Q,求，+x的最小值.

【變式訓(xùn)練】

1.例:求代數(shù)式爐+4彳-5的最小值.

解：?尤2+4X-5=X2+4X+4—4—5=(X+2)2-9,

(X+2)2>0,A(x+2)2-9>-9,

.,.當(dāng)x=-2時(shí)，代數(shù)式f+4.X-5有最小值-9,

仿照以上方法，完成下列問(wèn)題：

(1)求代數(shù)式x?-3x+2023的最小值;

(2)求代數(shù)式+x+3的最大值.

2.我們已學(xué)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2,觀察下列式子：

??+4%+2=(尤2+4%+4)—2=(元+2)2—2,

(x+2)2>0,/+4x+2=(x+2產(chǎn)-22-2,原式有最小值是-2；

—x2+2元―3=_(尤2_2x+l)_2=_(無(wú)一1)一一2,

,J-(x—I)-<0,—X2+2x—3=—(x—I)"—2<—2,原式有最大值是—2；

并完成下列問(wèn)題：

圍墻(大于100米)

x

⑴代數(shù)式爐-4尤+1有最(填大或小)值，這個(gè)值=.

⑵解決實(shí)際問(wèn)題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長(zhǎng)為100米的木欄圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，為了設(shè)

計(jì)一個(gè)盡可能大的花圃，如圖設(shè)長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)度為x米，完成下列任務(wù).

①用含x的式子表示花圃的面積；

②請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)無(wú)取何值時(shí)，花圃的最大面積是多少平方米？

題型10完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用

【例題】現(xiàn)有長(zhǎng)與寬分別為。、b的小長(zhǎng)方形若干個(gè)，用兩個(gè)這樣的小長(zhǎng)方形，拼成如圖1的圖形，用四個(gè)

相同的小長(zhǎng)方形拼成圖2的圖形，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題：

⑴根據(jù)圖中條件，請(qǐng)寫(xiě)出圖1和圖2所驗(yàn)證的關(guān)于4、b的關(guān)系式：(用。、6的代數(shù)式表示出來(lái))；

圖1表示：；圖2表不：；

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：

(2)若x+y=8,x2+y2=40,貝無(wú)一,/=；肛=；

(3)如圖3,點(diǎn)C是線段A3上的一點(diǎn)，以AC,8C為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB=7,兩正方形的面積和

H+Sz=16,求圖中陰影部分面積.

【變式訓(xùn)練】

1.將完全平方公式(。±6)2="±2乃+62進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如：若。+6=3,

ab-1,求1+匕?的值.

解：因?yàn)椤?方=3,所以(a+b)2=9,BPa2+2ab+b2=9.

又因?yàn)榉?1,所以/+〃=7.

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：

⑴若x+y=8,x2+y2=40,貝!］沖=_；

(2)若x-y=6,孫=5,求9+y2的值；

⑶兩個(gè)正方形ABCD、AEFG如圖擺放，面積和為34,BG=8,則圖中陰影部分面積和為.

2.如圖①，正方形ABCD是由兩個(gè)長(zhǎng)為0、寬為6的長(zhǎng)方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形拼成的.

圖①圖②

⑴利用正方形45co面積的不同表示方法,直接寫(xiě)出(。+6)2、1+〃、必之間的關(guān)系式,這個(gè)關(guān)系式是

(2)若滿足(2024—機(jī)了+(機(jī)一2023)2=4047,請(qǐng)利用中的數(shù)量關(guān)系，求(2024一切)(《7-2023)的值；

(3)若將正方形EFG”的邊尸G、G”分別與圖①中的尸G、MG重疊，如圖②所示，已知Pb=8,NH=32,

求圖中陰影部分的面積(結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值).

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.(2023上?河南駐馬店?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))下列算式能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(x+y)(y+x)B.(-x-y)(-x+y)

C.(x-y)(-x+y)D.(x-y)(y-x)

2.(2023上?河南南陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中)下列式子：?(x+y)2=(-%-y)2；②=(y-尤)？；③

(-%-y)(-x+y)=x2-y2,其中正確的是()

A.①②③B.只有①②C.只有②D.只有①

3.(2023上?四川宜賓?八年級(jí)校考階段練習(xí))若。+6=-3,ab=—10,則的值是()

A.27B.28C.29D.30

4.(2023上?山東濟(jì)南,七年級(jí)山東省濟(jì)南稼軒學(xué)校校考階段練習(xí))若a=2023°,8=2021x2023-20222,

(3?022

C=-1X|，則4,b,C的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

5.(2023上?山東青島?八年級(jí)統(tǒng)考期中)我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可

以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.例如由圖1可以得到/+3仍+2〃=(a+2b)(a+b).若已知

a2+b2+c2=45,ab+bc+ac=38,由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式，貝1Ja+b+c的值為()

A.12B.11C.10D.9

二、填空題

6.（2023上,上海楊浦?七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：（-x-2y）（-x+2y）=.

7.（2023上?重慶開(kāi)州?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若尤2-（0+i）x+4是一個(gè)完全平方式，那么。=

8.（2023上?河南新鄉(xiāng),八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中減去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形

（a>5）,把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分面積，驗(yàn)證了公式.

9.（2023上,黑龍江牡丹江?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)。泊是實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算；a*6=（a-6）2.下面有

四個(gè)推斷：（1）a*b-b*a；②（a*/?）?="折；③（-a）*b=a*（-6）；（4）a*+c）=a*b+a*c.其中正確推斷

的序號(hào)是.

10.（2023上?甘肅蘭州?七年級(jí)蘭州市第五十五中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于任意的代數(shù)式a,b,c,d,我們規(guī)

(%-y)2x

定一種新運(yùn)算:=ad—be.根據(jù)這一規(guī)定，計(jì)算

d-3y(x+y)

三、解答題

11.（2023上?江蘇南通?八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算:

(l)(4%-3y)2；

(2)(x+y+l)(x+y-l)；

(3)(2x+3y『-(2x+j)(2x-y)；

⑷(-/力.(孫丫.

12.（2023上?河南南陽(yáng)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）利用乘法公式計(jì)算下列各題

（l）（-2m-zz）（2m-^）

⑵（-x+3y『

（3）1032+972

⑷（a+b）2（a—_（4一0）（〃+勾（〃2+/）

13.（2023上,四川宜賓?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）⑴已知3〃-4〃-7=0,求代數(shù)式⑶-丁+

的值.

(2)若X2-----=5,求/H----

ab

14.（2023上?吉林白城?八年級(jí)校聯(lián)考期末）符號(hào)〃/〃稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法規(guī)為

ca

ab

=ad—bc.

cd

24

⑴計(jì)算：35=;

a+2b0.5a-b

⑵化簡(jiǎn)二階行列式〃的值.

4。a—2b

15.（2023上?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小明同學(xué)化簡(jiǎn)求值的過(guò)程，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任

務(wù).

2

先化簡(jiǎn)，再求值：2（x+l）9-x（x-l）-（x+l）（x-l）,其中工=一1.

角華：原式=2（/+2兀+1）—+%—（%2_］）第_,步

=2%2+4x+2-%2+x-x2-1第二步

=5x+l......第三步

當(dāng)了=一|時(shí)，原式=5x1-gj+l=T........第四步

⑴小明同學(xué)第