高考備考資料之數學人教B版全國用課件第一章集合與常用邏輯用語12

§1.2

命題與量詞、基本邏輯聯結詞第一章集合與常用邏輯用語基礎知識

自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.命題的概念能夠

的語句叫做命題.其中

的語句叫真命題，

的語句叫假命題.2.全稱量詞與全稱命題(1)全稱量詞：短語“

”在陳述中表示所述事物的

，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“

”表示.(2)全稱命題：含有

的命題.(3)全稱命題的符號表示：形如“對M中的所有x，p(x)”的命題，用符號簡記為“

”.知識梳理判斷真假判斷為假判斷為真所有全體??x∈M，p(x)全稱量詞命題命題的否定?x∈M，p(x)_______________?x∈M，q(x)______________3.存在量詞與存在性命題(1)存在量詞：短語“

”或“

”或“

”在陳述中表示所述事物的

或

，邏輯中通常叫做

，并用符號“

”表示.(2)存在性命題：含有

的命題.(3)存在性命題的符號表示：形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命題，用符號簡記為

.(4)全稱命題與存在性命題的否定有一個有些至少有一個個體部分存在量詞?存在量詞?x∈M，q(x)?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈q(x)pqp∧qp∨q綈p真真_________假真_________真假_________假假_________4.基本邏輯聯結詞(1)命題中的“

”、“

”、“

”叫做邏輯聯結詞.(2)命題真值表且非或真假真真假真真真假假假假1.含有邏輯聯結詞的命題真假的判斷規(guī)律(1)p∨q：p，q中有一個為真，則p∨q為真，即有真為真.(2)p∧q：p，q中有一個為假，則p∧q為假，即有假即假.(3)綈p：與p的真假相反，即一真一假，真假相反.2.含有一個量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結論”.3.命題的否定和否命題的區(qū)別：命題“若p，則q”的否定是“若p，則綈q”，否命題是“若綈p，則綈q”.【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)命題“3≥2”是真命題.(

)(2)命題p和綈p不可能都是真命題.(

)(3)若命題p，q中至少有一個是真命題，則p∨q是真命題.(

)(4)“全等三角形的面積相等”是存在性命題.(

)(5)命題綈(p∧q)是假命題，則命題p，q中至少有一個是真命題.(

)基礎自測√√√××123456題組二教材改編2.已知p：2是偶數，q：2是質數，則命題綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命題的個數為A.1 B.2

C.3

D.4123456答案√解析p和q顯然都是真命題，所以綈p，綈q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題.解析3.命題“正方形都是矩形”的否定是_________________________________.存在一個正方形,這個正方形不是矩形題組三易錯自糾4.命題“全等三角形的面積一定都相等”的否定是

A.全等三角形的面積不一定都相等B.不全等三角形的面積不一定都相等C.存在兩個不全等三角形的面積相等D.存在兩個全等三角形的面積不相等解析命題是省略量詞的全稱命題，易知選D.解析答案√1234565.(2017·貴陽調研)下列命題中的假命題是

A.?x∈R，lgx＝1 B.?x∈R，sinx＝0C.?x∈R，x3＞0 D.?x∈R,2x＞0解析當x＝10時，lg10＝1，則A為真命題；當x＝0時，sin0＝0，則B為真命題；當x＜0時，x3＜0，則C為假命題；由指數函數的性質知，?x∈R,2x＞0，則D為真命題.故選C.解析123456答案√6.已知命題p：?x∈R，x2－a≥0；命題p：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命題“p∧q”是真命題，則實數a的取值范圍為__________.解析123456(－∞，－2]答案解析由已知條件可知p和q均為真命題，由命題p為真得a≤0，由命題q為真得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.題型分類深度剖析1.(2018·濟南調研)設a，b，c是非零向量.已知命題p：若a·b＝0，b·c＝0，則a·c＝0；命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c.則下列命題中的真命題是A.p∨q

B.p∧qC.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q)題型一含有邏輯聯結詞的命題的真假判斷自主演練答案√解析如圖所示，若a＝

，b＝

，c＝

，則a·c≠0，命題p為假命題；顯然命題q為真命題，所以p∨q為真命題.故選A.解析2.(2017·山東)已知命題p：?x＞0，ln(x＋1)＞0；命題q：若a＞b，則a2＞b2.下列命題為真命題的是A.p∧q

B.p∧(綈q)

C.(綈p)∧q

D.(綈p)∧(綈q)答案√解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴l(xiāng)n(x＋1)＞ln1＝0.∴命題p為真命題，∴綈p為假命題.∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此時a2＜b2，∴命題q為假命題，∴綈q為真命題.∴p∧q為假命題，p∧(綈q)為真命題，(綈p)∧q為假命題，(綈p)∧(綈q)為假命題.故選B.解析3.已知命題p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，則有平面α∥平面γ.命題q：在空間中，對于三條不同的直線a，b，c，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.對以上兩個命題，有以下命題：①p∧q為真；②p∨q為假；③p∨q為真；④(綈p)∨(綈q)為假.其中正確的是________.(填序號)答案②解析命題p是假命題，這是因為α與γ也可能相交；命題q也是假命題，這兩條直線也可能異面，相交.解析“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命題真假的判斷步驟(1)確定命題的構成形式；(2)判斷其中命題p、q的真假；(3)確定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命題的真假.思維升華命題點1全稱命題、存在性命題的真假√題型二含有一個量詞的命題多維探究解析答案命題點2含一個量詞的命題的否定√解析答案解析

全稱命題的否定是存在性命題，“>”的否定是“≤”.(2)(2017·河北五個一名校聯考)命題“?x∈R,1＜f(x)≤2”的否定形式是

A.?x∈R,1＜f(x)≤2B.?x∈R,1＜f(x)≤2C.?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2D.?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2解析存在性命題的否定是全稱命題，原命題的否定形式為“?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”解析答案√(1)判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判斷存在性命題是真命題，只要在限定集合內找到一個x＝x0，使p(x0)成立.(2)對全稱(存在性)命題進行否定的方法①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結合命題的含義先加上量詞，再改變量詞；②對原命題的結論進行否定.思維升華跟蹤訓練

(1)下列命題是假命題的是

A.?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋cosβB.?φ∈R，函數f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數C.?x∈R，使x3＋ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且為常數)D.?a>0，函數f(x)＝ln2x＋lnx－a有零點解析答案√對于三次函數y＝f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，當x→－∞時，y→－∞，當x→＋∞時，y→＋∞，又f(x)在R上為連續(xù)函數，故?x∈R，使x3＋ax2＋bx＋c＝0，C正確；(2)(2017·福州質檢)已知命題p：“?x∈R，ex－x－1≤0”，則綈p為

A.?x∈R，ex－x－1≥0B.?x∈R，ex－x－1>0C.?x∈R，ex－x－1>0D.?x∈R，ex－x－1≥0答案√解析解析根據全稱命題與存在性命題的否定關系，可得綈p為“?x∈R，ex－x－1>0”，故選C.典例

(1)已知命題p：關于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關于x的函數y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數，若p∧q是真命題，則實數a的取值范圍是________________________.題型三含參命題中參數的取值范圍師生共研解析解析

若命題p是真命題，則Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命題q是真命題，[－12，－4]∪[4，＋∞)答案∵p∧q是真命題，∴p，q均為真，∴a的取值范圍是[－12，－4]∪[4，＋∞).(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝

－m，若對?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數m的取值范圍是_____________.解析解析當x∈[0,3]時，f(x)min＝f(0)＝0，當x∈[1,2]時，答案本例(2)中，若將“?x2∈[1,2]”改為“?x2∈[1,2]”，其他條件不變，則實數m的取值范圍是___________.引申探究解析答案(1)已知含邏輯聯結詞的命題的真假，可根據每個命題的真假，利用集合的運算求解參數的取值范圍.(2)對于含量詞的命題中求參數的取值范圍的問題，可根據命題的含義，利用函數值域(或最值)解決.思維升華解析答案√則－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.(2)(2017·洛陽模擬)已知p：?x∈，2x<m(x2＋1)，q：函數f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零點，若“p且q”為真命題，則實數m的取值范圍是_______.解析答案函數f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1＝(2x＋1)2＋m－2，故當q為真時，m<1.若f(x)存在零點，常用邏輯用語高頻小考點有關命題及其真假判斷或求參數的取值范圍、量詞等問題幾乎在每年高考中都會出現，多與函數、數列、立體幾何、解析幾何等知識相結合，難度中等偏下.解決這類問題應熟練把握各類知識的內在聯系.考點分析一、命題的真假判斷答案√解析解析因為3x＞0，當m＜0時，m－x2＜0，所以命題p為假命題；所以命題q為真命題，逐項檢驗可知，只有(綈p)∧q為真命題，故選B.(2)(2018屆全國名校大聯考)已知命題p：?x∈R,3x<5x；命題q：?x∈R，x3＝1－x2，則下列命題中為真命題的是

A.p∧q

B.(綈p)∧qC.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)答案√解析解析若x＝0，則30＝50＝1，∴p是假命題，∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命題，∴(綈p)∧q是真命題.二、求參數的取值范圍典例2

(1)已知命題p：?x∈[0,1]，a≥ex，命題q：?x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命題“p∧q”是真命題，則實數a的取值范圍是______.解析解析命題“p∧q”是真命題，p和q均是真命題.當p是真命題時，a≥(ex)max＝e；當q為真命題時，Δ＝16－4a≥0，a≤4，所以a∈[e,4].[e,4]答案解析答案(－∞，0]當且僅當x＝2時，f(x)min＝4，當x∈[2,3]時，g(x)min＝22＋a＝4＋a，依題意知f(x)min≥g(x)min，即4≥a＋4，∴a≤0.課時作業(yè)1.已知命題p：對任意x∈R，總有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要條件.則下列命題為真命題的是A.p∧q

B.(綈p)∧(綈q)C.(綈p)∧q

D.p∧(綈q)基礎保分練12345678910111213141516解析答案√解析因為指數函數的值域為(0，＋∞)，所以對任意x∈R，y＝2x＞0恒成立，故p為真命題；因為當x＞1時，x＞2不一定成立，反之，當x＞2時，一定有x＞1成立，故“x＞1”是“x＞2”的必要不充分條件，故q為假命題.則p∧q，綈p為假命題，綈q為真命題，(綈p)∧(綈q)，(綈p)∧q為假命題，p∧(綈q)為真命題，故選D.123456789101112131415162.設命題p：函數y＝sin2x的最小正周期為

；命題q：函數y＝cosx的圖象關于直線x＝

對稱，則下列判斷正確的是A.p為真

B.綈q為假C.p∧q為假

D.p∨q為真解析

函數y＝sin2x的最小正周期為

＝π，故命題p為假命題；x＝

不是y＝cosx的對稱軸，故命題q為假命題，故p∧q為假.故選C.解析答案√123456789101112131415163.下列命題中為假命題的是

A.?x∈，x＞sinxB.?x∈R，sinx＋cosx＝2C.?x∈R,3x＞0D.?x∈R，lgx＝0答案√12345678910111213141516解析解析對于A，令f(x)＝x－sinx，則f′(x)＝1－cosx，當x∈時，f′(x)＞0.從而f(x)在

上是增函數，則f(x)＞f(0)＝0，即x＞sinx，故A正確；對于B，由sinx＋cosx＝

知，不存在x∈R，使得sinx＋cosx＝2，故B錯誤；對于C，易知3x＞0，故C正確；對于D，由lg1＝0知，D正確.故選B.123456789101112131415164.(2017·豫西五校聯考)若定義域為R的函數f(x)不是偶函數，則下列命題中一定為真命題的是

A.?x∈R，f(－x)≠f(x)B.?x∈R，f(－x)＝－f(x)C.?x∈R，f(－x)≠f(x)D.?x∈R，f(－x)＝－f(x)答案√12345678910111213141516解析由題意知?x∈R，f(－x)＝f(x)是假命題，則其否定為真命題，?x∈R，f(－x)≠f(x)是真命題，故選C.解析5.(2017·安慶二模)設命題p：?x∈(0，＋∞)，x＋

＞3；命題q：?x∈(2，＋∞)，x2＞2x，則下列命題為真的是

A.p∧(綈q) B.(綈p)∧qC.p∧q

D.(綈p)∨q解析對于命題p，當x＝4時，

，故命題p為真命題；對于命題q，當x＝4時，24＝42＝16，即?x∈(2，＋∞)，使得2x＝x2成立，故命題q為假命題，所以p∧(綈q)為真命題，故選A.解析答案√123456789101112131415166.(2018屆東莞外國語學校月考)已知命題p：?x∈R，cosx＝

；命題q：?x∈R，x2－x＋1>0.則下列結論正確的是

A.命題p∧q是真命題B.命題p∧(綈q)是真命題C.命題(綈p)∧q是真命題D.命題(綈p)∨(綈q)是假命題解析答案√1234567891011121314151612345678910111213141516所以命題q：?x∈R，x2－x＋1>0是真命題.由此對照各個選項，可知命題(綈p)∧q是真命題.7.下列命題中，真命題是

A.?x∈R，ex≤0B.?x∈R,2x＞x2C.a＋b＝0的充要條件是

＝－1D.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分條件解析

因為y＝ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正確；因為當x＝－5時，2－5＜(－5)2，所以B不正確；“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要條件，C不正確；當a＞1，b＞1時，顯然ab＞1，D正確.解析答案√123456789101112131415168.命題p：?x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命題，則實數a的取值范圍是A.(0,4] B.[0,4]C.(－∞，0]∪[4，＋∞) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)答案√12345678910111213141516解析因為命題p：?x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以綈p：?x∈R，ax2＋ax＋1＜0，解析9.命題p的否定是“對所有正數x，

>x＋1”，則命題p可寫為________________________.解析因為p是綈p的否定，所以只需將全稱命題變?yōu)榇嬖谛悦}，再對結論否定即可.解析答案1234567891011121314151610.已知函數f(x)的定義域為(a，b)，若“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命題，則f(a＋b)＝_____.解析若“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命題，則“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命題，即f(－x)＝－f(x)，則函數f(x)是奇函數，則a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0.解析123456789101112131415160答案11.以下四個命題：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命題的個數為______.解析0答案12345678910111213141516解析∵x2－3x＋2＝0的判別式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴當x>2或x<1時，x2－3x＋2>0才成立，∴①為假命題；12345678910111213141516∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②為假命題；對?x∈R，x2＋1≠0，∴③為假命題；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即當x＝1時，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④為假命題.∴①②③④均為假命題.故真命題的個數為0.12.(2017·江西五校聯考)已知命題p：?x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q為假命題，則實數m的取值范圍為_______________________.解析由命題p：?x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，由命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2<m<2，因為p∧q為假命題，所以m≤－2或m>－1.解析(－∞，－2]∪(－1，＋∞)答案1234567891011121314151613.已知命題p：x2＋2x－3>0；命題q：

>1，若“(綈q)∧p”為真，則x的取值范圍是____________________________.技能提升練答案12345678910111213141516解析(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)所以當q為假命題時，有x≥3或x≤2；當p為真命題時，由x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，12345678910111213141516解析因為“(綈q)∧p”為真，即q假p真，得x≥3或1＜x≤2或x<－3，所以x的取值范圍是{x|x≥3或1＜x≤2或x＜－3}.14.下列結論：①若命題p：?x∈R，tanx＝1；命題q：?x∈R，x2－x＋1>0，則命題“p∧(綈q)”是假命題；②已知直線l1：ax＋3y