河南省商丘市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

第頁(yè)，共頁(yè)第13頁(yè)，共13頁(yè)2024~2025學(xué)年度高二上學(xué)期期末聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章~第五章第2節(jié).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A.B.C.D.2.已知某質(zhì)點(diǎn)的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系式，則當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（）A.10B.9C.8D.73.若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.4.在等比數(shù)列中，若，則（）A.1B.C.D.5.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且，點(diǎn)在圓上，則的面積的最大值為（）A.15B.20C.D.6.如圖所示的幾何體為兩個(gè)正方體組成的正四棱柱，記集合，則集合中元素個(gè)數(shù)為（）A.9B.6C.4D.37.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則使得成立的正整數(shù)的最大值為（）A.23B.22C.21D.208.橢圓是軸對(duì)稱圖形，亦是中心對(duì)稱圖形，因其對(duì)稱性，受到一些藝術(shù)制品設(shè)計(jì)者的青睞.現(xiàn)有一工藝品，其圖案的基本圖形由正方形和內(nèi)嵌其中的“斜橢圓”組成（如圖）.在平面直角坐標(biāo)系中，將標(biāo)準(zhǔn)方程表示的橢圓繞著對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)一定角度，可得“斜橢圓”.已知一“斜橢圓”的方程為，則該“斜橢圓”的離心率為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則（）A.的最小值為B.原點(diǎn)到的距離的最大值為C.的充要條件為D.的充要條件為或10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列各條件能推出數(shù)列一定為等比數(shù)列的是（）A.B.C.D.且11.在正方體中，，則（）A.若，則點(diǎn)的軌跡為線段B.若，則點(diǎn)的軌跡為連接棱的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段C.若，則三棱錐的體積為定值D.若，則與平面所成角的余弦值的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則__________.13.已知，若，則的值為_(kāi)_________.14.已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于一條漸近線的直線交的右支于點(diǎn)，若，則的離心率__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程.16.（本小題滿分15分）（1）求兩焦點(diǎn)分別為，且過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與雙曲線共漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.17.（本小題滿分15分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)（其中）在拋物線上，.（1）求和的值；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于另一點(diǎn).求直線的方程.18.（本小題滿分17分）如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起到位置，使得平面平面，如圖2.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.19.（本小題滿分17分）在數(shù)列中，記，若為等差數(shù)列，則稱為二階等差數(shù)列.（1）若，判斷是否為二階等差數(shù)列？并說(shuō)明理由；（2）已知二階等差數(shù)列滿足.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②若，記的前項(xiàng)和為，證明：.2024~2025學(xué)年度高二上學(xué)期期末聯(lián)考試卷·數(shù)學(xué)參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則1.B由題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選B.2.A，則.故選A.3.C由題意得解得.故選C.4.B由，得，所以.故選B.5.A設(shè)圓心到直線的距離為到直線的距離為，又圓心坐標(biāo)為，所以，又半徑為，則當(dāng)最大時(shí)，，此時(shí)的面積也最大，最大值為.故選A.6.D因?yàn)槠矫?，平面，平面均與直線垂直，所以終點(diǎn)在這三個(gè)平面上的相應(yīng)向量在向量上的投影向量分別相同，且互不相等，故共有3個(gè)不同的值.故選D.7.C設(shè)公差為，由，知，即，所以公差.又，所以使得成立的正整數(shù)的最大值為21.故選C.8.D由題知“斜橢圓”的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性得長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，短半軸的長(zhǎng)度為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，由基本不等式，得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，所以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，所以橢圓的離心率為.故選D.9.BCD當(dāng)與相交時(shí)，兩條直線上的點(diǎn)之間的最小距離為0，故A錯(cuò)誤；易知過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)垂直于定點(diǎn)與原點(diǎn)的連線時(shí)，原點(diǎn)到的距離最大，最大距離為，故B正確；的充要條件為，即，故C正確；的充要條件為且，即或，故D正確.故選BCD.10.ACD對(duì)于A，由等比數(shù)列的定義，知是等比數(shù)列；對(duì)于滿足，但不是等比數(shù)列；對(duì)于C，可得，是公比為1的等比數(shù)列；對(duì)于D，由且，可得是等比數(shù)列.故選ACD.11.BCD若，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)與三點(diǎn)共線，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A錯(cuò)誤；若，則，故點(diǎn)的軌跡為連接的中點(diǎn)和的中點(diǎn)的線段，故B正確；若，則點(diǎn)在線段上，易知平面，且，所以三棱錐的體積為定值，故C正確；若，點(diǎn)的軌跡為連接和的中點(diǎn)的線段，過(guò)作，垂足為，易證平面，連接，則與平面所成的角為，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，故D正確.故選BCD.12.6，由導(dǎo)數(shù)的概念可知.13.5由，可得存在實(shí)數(shù)，使得，則解得所以.14.由題意知，點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，因?yàn)?，且，所以，所以，又，所?在中，由，即，得，因?yàn)椋?，在中，，即，所以，所以，?15.解：（1）由，得，又，所以，解得.（2）由，得，所以，即切點(diǎn)為，又切線的斜率為，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.16.解：（1）設(shè)橢圓的方程為，則，所以，由題意知橢圓的半焦距，所以，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)所求雙曲線的方程為，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，所以，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.17.解：（1）由拋物線的定義及，知，解得.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，得，又，所以，故的值為的值為4.（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得或（舍去）.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為.法二：由題知的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，整理得.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程得，所以.因?yàn)椋?，解得?當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，滿足題意，故直線的方程為.18.（1）證明：在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得，所以，所以，所?如圖1所示：在中，作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平?（2）解：方法一：如圖2所示：存在點(diǎn)，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，二面角的大小為.證明如下：由（1）知平面，所以且，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，同理可得：，取的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以是二面角的平面角，又因?yàn)?，所?此時(shí).方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則.假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，可得，又平面的一個(gè)法向量為，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，則，解