2024-2025學年高中數學 第二章 直線和圓的方程 2.3.4 兩條平行直線間的距離教學實錄 新人教A版選擇性必修第一冊

2024-2025學年高中數學第二章直線和圓的方程2.3.4兩條平行直線間的距離教學實錄新人教A版選擇性必修第一冊學校授課教師課時授課班級授課地點教具設計思路本節(jié)課以新人教A版選擇性必修第一冊第二章2.3.4兩條平行直線間的距離為主題，通過引導學生回顧平行線性質，結合圖形直觀理解兩條平行線間的距離概念，進而通過幾何作圖和代數運算推導出計算公式。通過實際例題練習，使學生掌握計算方法，并培養(yǎng)空間想象能力和邏輯思維能力。核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學生空間觀念，通過直觀圖形理解幾何概念，提升幾何直觀能力；發(fā)展數學抽象思維，通過公式推導過程，強化數學符號表達和邏輯推理能力；增強數學運算能力，通過實際計算練習，提高解決實際問題的能力。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生在進入本節(jié)課之前，已經學習了平面幾何的基本知識，包括直線和圓的方程，以及點到直線的距離公式。他們能夠運用這些知識解決簡單的幾何問題，具備一定的幾何直觀能力和基本的數學運算技能。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高中學生對幾何圖形和實際問題結合的數學內容普遍感興趣。他們在解決問題時傾向于使用圖形直觀和代數運算相結合的方法。學生的數學能力水平參差不齊，部分學生可能在空間想象能力和邏輯推理方面較強，而另一些可能在代數運算和符號表達上存在困難。學習風格上，有學生偏好通過觀察和實驗學習，而有的學生則更習慣于邏輯推理和公式記憶。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學生在學習兩條平行直線間的距離時，可能會遇到以下困難：一是理解空間概念和距離公式的抽象性，二是將幾何問題轉化為代數問題進行計算時的運算錯誤，三是缺乏對空間關系的直觀理解，導致無法正確作圖和推導。針對這些困難，教師需要通過多種教學方法幫助學生建立空間觀念，加強直觀教學，并提供足夠的練習機會來鞏固計算技巧。教學資源-多媒體教學設備：投影儀、計算機、電子白板

-教學軟件：幾何畫板、數學教學軟件

-課本與教輔材料：新人教A版選擇性必修第一冊數學教材、相關教輔書籍

-實物教具：直尺、圓規(guī)、量角器

-練習題與測試題：配套練習冊、自制練習題

-信息化資源：在線教學平臺、數學教育網站資源教學過程一、導入新課

（1）師生互動，復習導入

師：同學們，上節(jié)課我們學習了點到直線的距離，還記得我們是如何計算點到直線的距離的嗎？

生：使用點到直線的距離公式。

師：很好，今天我們要學習的是兩條平行直線間的距離，這個概念和點到直線的距離有什么聯系呢？請大家結合自己的思考，分享一下你們的想法。

（2）展示課題，激發(fā)興趣

師：經過同學們的思考，相信大家對今天要學習的內容有了初步的了解。接下來，我們就一起走進今天的課題——《兩條平行直線間的距離》。

二、新課講授

1.理解概念

（1）直觀展示

師：同學們，請大家看黑板上的兩條平行直線，我們如何表示這兩條直線呢？能否用字母來表示？

生：直線1：\(l_1\)；直線2：\(l_2\)

師：很好。接下來，我們假設這兩條直線分別為\(l_1\)和\(l_2\)，它們的方程分別為\(y=k_1x+b_1\)和\(y=k_2x+b_2\)?，F在，我們要計算這兩條平行直線間的距離。

（2）引導探究

師：請大家觀察這兩條平行直線，它們之間是否存在一條線段，其兩個端點分別在兩條直線上，并且這條線段與這兩條直線都垂直？

生：存在，這條線段就是我們要找的距離。

師：那么，如何找到這條線段呢？

生：作\(l_1\)的垂線，與\(l_2\)相交，得到的交點即為距離的一個端點。

師：很好。那么，如何表示這條垂線呢？

生：垂線的斜率為\(-\frac{1}{k_1}\)，方程為\(y-k_1x-b_1=0\)。

師：現在，我們找到了這條垂線，那么如何表示垂足呢？

生：將垂線方程與\(l_1\)聯立，解得垂足坐標。

（3）公式推導

師：經過上面的探究，我們找到了表示垂足的坐標。接下來，我們要計算這兩條平行直線間的距離。

生：根據點到直線的距離公式，距離\(d\)為垂足到\(l_2\)的距離。

師：很好，那么如何表示垂足到\(l_2\)的距離呢？

生：設垂足坐標為\((x_0,y_0)\)，則垂足到\(l_2\)的距離為\(|k_1x_0+b_2-y_0|\)。

師：現在，我們有了距離的表達式，那么如何化簡呢？

生：將垂足坐標代入\(l_1\)的方程，得到\(y_0=k_1x_0+b_1\)。將\(y_0\)代入距離的表達式中，得到\(d=|k_1x_0+b_2-(k_1x_0+b_1)|\)。

師：經過化簡，我們得到了兩條平行直線間的距離公式。下面，我們一起用這個公式來解決一個實際問題。

2.實際應用

（1）例題展示

師：請看例題：已知兩條平行直線\(l_1\)：\(y=2x-1\)和\(l_2\)：\(y=2x+3\)，求這兩條直線間的距離。

生：根據距離公式，\(d=|k_1x_0+b_2-y_0|\)，其中\(zhòng)(k_1=2\)，\(b_1=-1\)，\(b_2=3\)。

（2）學生獨立解答

師：請同學們自己完成這個例題。

（3）展示解答，講解點評

師：哪位同學愿意上來展示一下你的解答過程？

（4）總結方法

師：同學們，通過剛才的例題，我們學會了如何運用距離公式來解決實際問題。接下來，讓我們一起來練習幾道類似的題目。

三、課堂練習

1.實踐鞏固

師：請同學們完成以下練習題，并在完成后相互檢查、交流。

（1）已知兩條平行直線\(l_1\)：\(y=3x-2\)和\(l_2\)：\(y=3x+4\)，求這兩條直線間的距離。

（2）已知兩條平行直線\(l_1\)：\(y=-\frac{1}{2}x+1\)和\(l_2\)：\(y=-\frac{1}{2}x-3\)，求這兩條直線間的距離。

2.鞏固提升

師：請同學們完成以下提高練習題。

（1）已知兩條平行直線\(l_1\)：\(4x+3y-1=0\)和\(l_2\)：\(4x+3y+6=0\)，求這兩條直線間的距離。

（2）已知兩條平行直線\(l_1\)：\(x^2+y^2-1=0\)和\(l_2\)：\(x^2+y^2-4=0\)，求這兩條直線間的距離。

四、課堂小結

1.回顧知識

師：今天我們學習了什么內容？誰能總結一下？

生：學習了兩條平行直線間的距離概念和計算方法。

師：很好，同學們對今天學習的內容掌握得怎么樣？

生：我已經掌握了距離公式的推導和應用。

2.提出思考

師：在學習過程中，大家遇到了哪些困難？有什么想法或建議？

生：我在計算過程中發(fā)現，有些同學容易出錯，我覺得我們應該加強練習。

師：非常好，通過交流，我們發(fā)現同學們在計算過程中確實存在一些困難。在今后的學習中，我們要注重練習，提高計算能力。

3.布置作業(yè)

師：請同學們完成以下作業(yè)。

（1）完成課本中的課后習題。

（2）預習下一節(jié)課的內容。教學資源拓展1.拓展資源：

-幾何學中的平行線性質：介紹平行線的定義、性質以及平行線在幾何圖形中的應用，如平行四邊形、梯形等。

-圓的方程及其性質：回顧圓的標準方程、圓心坐標、半徑以及圓與直線的位置關系。

-點到直線的距離公式：復習點到直線的距離公式及其應用，包括如何計算點到直線的距離。

-解析幾何中的距離公式：探討解析幾何中不同幾何圖形之間的距離計算方法，如線段長度、點到直線距離、點到點的距離等。

2.拓展建議：

-閱讀相關書籍：推薦學生閱讀《幾何原本》等經典幾何學著作，了解幾何學的發(fā)展歷程和基本原理。

-觀看教學視頻：推薦學生觀看解析幾何相關的教學視頻，如“平行線性質”、“圓的方程及其性質”等，以加深對概念的理解。

-實踐操作：鼓勵學生利用幾何畫板等軟件進行幾何作圖和計算，通過實際操作加深對幾何知識的理解。

-解析幾何競賽：鼓勵學生參加解析幾何相關的競賽，如數學建模競賽、幾何競賽等，提高學生的幾何思維能力和解決問題的能力。

-課外閱讀：推薦學生閱讀《幾何之美》等科普書籍，了解幾何學的應用和趣味性，激發(fā)學生對幾何學的興趣。

-小組討論：組織學生進行小組討論，分享彼此對幾何知識的理解和應用，促進知識的交流和深化。

-實際應用：引導學生將幾何知識應用于實際問題中，如建筑設計、城市規(guī)劃等，提高學生的實際應用能力。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.完成課本第二章2.3.4課后練習題中的1、2、3、4題，鞏固對兩條平行直線間距離公式的理解和應用。

2.選擇一道課后習題，嘗試從不同的角度進行解答，并比較不同解法的優(yōu)缺點。

3.自主設計一個幾何問題，要求問題涉及兩條平行直線間的距離，并嘗試運用所學知識進行解答。

4.閱讀教材中關于點到直線距離公式的部分，嘗試推導出點到直線的距離公式，并與兩條平行直線間的距離公式進行對比分析。

作業(yè)反饋：

1.對學生的作業(yè)進行批改，重點關注學生對距離公式的應用和對幾何問題的理解程度。

2.對學生的解答過程進行評估，檢查是否存在邏輯錯誤、計算錯誤或理解偏差。

3.針對學生的作業(yè)情況，給出以下反饋：

-對于正確解答的學生，給予肯定和鼓勵，并提出進一步拓展的題目。

-對于存在錯誤的學生，指出錯誤的原因，如公式運用不當、計算失誤或理解偏差，并提供糾正錯誤的建議。

-對于設計問題的學生，評價其問題的創(chuàng)新性和合理性，并給予改進建議。

4.針對普遍存在的問題，進行課堂講解和示范，幫助學生理解和掌握相關知識。

5.鼓勵學生在課后進行討論和交流，互相解答疑問，共同提高。

6.定期收集學生的作業(yè)，了解學生的學習進度和存在的問題，及時調整教學策略。

7.通過作業(yè)反饋，關注學生的學習態(tài)度和學習習慣，對學生進行個性化指導，幫助其克服學習中的困難。

8.對學生的作業(yè)進行量化評價，將評價結果納入學生的平時成績，激勵學生積極參與課堂學習和課后作業(yè)的完成。教學反思今天這節(jié)課，我們學習了《兩條平行直線間的距離》，這節(jié)課的內容對于學生來說既重要又有點抽象。在回顧教學過程的時候，我想從以下幾個方面進行反思：

首先，我覺得課堂導入環(huán)節(jié)做得還可以。通過復習上節(jié)課的內容，讓學生回憶起點到直線的距離公式，然后引出兩條平行直線間的距離，這樣的過渡很自然。但是，我也注意到有些學生對于平行線的性質還不是特別熟悉，因此在導入環(huán)節(jié)，我可能需要更加細致地講解平行線的定義和性質，讓學生對平行線有一個更清晰的認識。

其次，關于新課講授部分，我采用了公式推導和例題講解相結合的方式。在推導過程中，我發(fā)現學生的參與度不高，有些學生對于公式推導的過程感到困惑。這可能是因為我在講解過程中沒有很好地引導學生思考，而是直接給出了結論。在今后的教學中，我需要更加注重啟發(fā)式教學，引導學生主動參與到公式的推導過程中，讓他們在思考中理解知識。

然后，例題講解部分，我選擇了兩個不同類型的題目，一個涉及簡單的直線方程，另一個則涉及到圓的方程。通過這樣的設計，我希望學生能夠掌握不同情況下的解題方法。但是，在講解過程中，我發(fā)現有些學生對于圓的方程理解不夠深入，導致在解題時出現了一些錯誤。這說明我在講解圓的方程時，可能需要更加詳細地解釋圓的標準方程、圓心坐標和半徑等概念，幫助學生建立清晰的知識體系。

此外，我還注意到，在課堂互動環(huán)節(jié)，有些學生表現得比較被動，不太愿意主動回答問題。這可能是因為他們對問題的回答沒有足夠的信心，或者是對問題的理解不夠深入。因此，在今后的教學中，我需要創(chuàng)造更多的機會讓學生參與到課堂互動中，鼓勵他們大膽表達自己的想法，提高他們的課堂參與度。

最后，我想說的是，教學是一個不斷反思和改進的過程。今天這節(jié)課，雖然總體上達到了預期的教學目標，但也存在一些不足。在今后的教學中，我會繼續(xù)努力，不斷完善自己的教學方法，提高教學質量。我會更加注重學生的個體差異，針對不同學生的學習需求，提供個性化的指導。同時，我也會不斷學習新的教學理念和方法，以適應不斷變化的教學環(huán)境，為學生的成長和發(fā)展貢獻自己的力量。內容邏輯關系①本文重點知識點：

-平行線的定義和性質

-點到直線的距離公式

-兩條平行直線間的距離公式

-解析幾何中距離公式的應用

②本文重點詞句：

-“兩條平行直線間的距離”是指兩條平行直線之間的最短距離。

-“點到直線的距離公式”是計算點到直線距離的基本公式。

-“垂線”是指與直線垂直的線段。

-“垂足”是指垂線與直線的交點。

③本文重點邏輯關系：

-首先，回顧平行線的定義和性質，理解平行線之間的距離是指兩條平行線之間的最短距離。

-其次，通過點到直線的距離公式，推導出兩條平行直線間的距離公式。

-最后，結合具體的例題，應用距離公式解決實際問題，鞏固所學知識。典型例題講解1.例題一：

已知兩條平行直線\(l_1\)：\(y=2x-3\)和\(l_2\)：\(y=2x+1\)，求這兩條直線間的距離。

解答：

由于兩條直線平行，它們的斜率相同，因此可以直接使用點到直線的距離公式。選擇任意一條直線上的點，例如\(l_1\)上的點(0,-3)，代入點到直線的距離公式：

\[

d=\frac{|k_1x_0+b_2-y_0|}{\sqrt{1+k_1^2}}

\]

其中\(zhòng)(k_1=2\)，\(b_1=-3\)，\(b_2=1\)，\(x_0=0\)，\(y_0=-3\)。

\[

d=\frac{|2\cdot0+1-(-3)|}{\sqrt{1+2^2}}=\frac{|1+3|}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}

\]

2.例題二：

已知兩條平行直線\(l_1\)：\(3x-4y+5=0\)和\(l_2\)：\(3x-4y-1=0\)，求這兩條直線間的距離。

解答：

同樣使用點到直線的距離公式，選擇\(l_1\)上的點(0,-5/4)，代入公式：

\[

d=\frac{|3\cdot0-4\cdot(-5/4)+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|5+5|}{5}=\frac{10}{5}=2

\]

3.例題三：

已知兩條平行直線\(l_1\)：\(x^2+y^2