7.1.2 兩條直線垂直（教學設計）-（人教版2024）

7.1.2兩條直線垂直教學設計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務教育教科書?數(shù)學》七年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第七章“相交線與平行線”7.1.2兩條直線垂直，內(nèi)容包括：理解垂線、垂線段等概念；能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線；掌握基本事實：同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離.2.內(nèi)容解析本節(jié)課是在學生已經(jīng)學習了相交線、對頂角等知識的基礎上，進一步研究兩條直線相交的特殊情況——垂直，學習垂線的概念和性質(zhì)，點到直線的距離等知識，是進一步學習空間里的垂直關系，研究三角形、四邊形等平面圖形以及平面直角坐標系等知識的基礎．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：理解垂線的概念和性質(zhì).二、目標和目標解析1.目標（1）理解垂線、垂線段的概念；能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線；掌握基本事實：同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離.（2）經(jīng)歷觀察、思考、探究、猜想、驗證等活動歸納出垂線的概念和性質(zhì)，體會從一般到特殊的數(shù)學思想方法，進一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納能力，發(fā)展空間觀念.（3）會利用所學知識進行簡單的推理，感受數(shù)學語言的簡潔美，并能將學到的知識應用到生活中去，增強應用意識．2.目標解析在本節(jié)課的學習中，學生從相交線出發(fā)，研究特殊的相交——垂直，在這個過程中感悟“從一般到特殊”的數(shù)學研究路徑.學生在觀察、思考、探究、猜想、驗證的過程中，逐步提高幾何直觀和邏輯推理能力，為今后學習幾何證明打下基礎.學生從實際問題中抽象出垂直模型，再用數(shù)學知識解決實際問題，在這個過程中逐步提高數(shù)學應用能力和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).三、教學問題診斷分析關于“有且只有”的學習：“有且只有”是一種比較嚴謹?shù)臄?shù)學邏輯用語，它和日常生活中相對模糊的表達習慣不同.“有”表示存在，“只有”表示唯一性，合起來就是強調(diào)存在且唯一.對于初次接觸這種說法的學生來說，這種精確的雙重限定的表達比較復雜.另外，要正確運用“在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”這個基本事實來解決問題，需要學生具備較強的邏輯思維能力.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：理解關于垂線的基本事實.四、教學過程設計（一）復習引入問題1如圖，在相交線的模型中，如果兩根木條a，b所成的角中有一個角∠α=35o，其他三個角分別等于多少度？如果∠α等于90o呢？設計意圖：結合上一節(jié)課的研究內(nèi)容展開本節(jié)課的學習，不僅可以讓學生感悟“從一般到特殊”的數(shù)學研究路徑，還可以加強知識間的聯(lián)系，幫助學生建構數(shù)學知識體系.（二）合作探究1.垂直一般地，當兩條直線a、b相交所成的四個角中有一個角是直角時，我們說a與b互相垂直，記作“a⊥b”.2.垂線和垂足兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足.如圖，AB⊥CD，垂足為O.3.垂線的性質(zhì)如果直線AB，CD相交于點O，∠AOD=90o，那么AB⊥CD.推理過程因為∠AOD=90o，所以AB⊥CD.4.垂線的判定如果AB⊥CD，那么∠AOD=90o.推理過程因為AB⊥CD，所以∠AOD=90o.問題2兩條直線垂直和相交是什么關系？答：垂直是相交的特殊情況.問題3如何判定兩條射線垂直？兩條線段呢？答：兩條射線垂直、兩條線段垂直、線段與射線垂直、線段與直線垂直、射線與直線垂直，都是指它們所在的直線垂直．問題4在日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見.你能再舉出其他例子嗎？探究1用三角尺畫已知直線l的垂線.(1)經(jīng)過直線l上一點A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？(2)經(jīng)過直線l外一點B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？關于垂線的基本事實在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.設計意圖：在學習了垂直的相關概念和性質(zhì)之后，讓學生聯(lián)系生活實際，從生活中發(fā)現(xiàn)垂直模型，這個過程加強了數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，有助于數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)的培養(yǎng).（三）典例分析例2如圖，過點P畫出射線AB或線段AB的垂線.（畫一條射線或線段的垂線，就是畫它們所在直線的垂線.）（2）（3）（四）合作探究問題5如圖，在灌溉時，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖渠能使渠道最短？探究2如圖，P是直線l外一點，PO⊥l，垂足為O，我們稱PO為點P到直線l的垂線段.A是直線l上除點O外一點，連接PA.測量并比較線段PO與PA的長度，你能得到什么結論？改變點A的位置呢？結論：線段PO的長度比線段PA的長度短.驗證：利用幾何畫板軟件進行驗證.1.垂線段最短連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡單說成垂線段最短.2.點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫作點到直線的距離.問題解決：設計意圖：學生在度量、猜想的基礎上，運用信息技術手段（幾何畫板）進行驗證，一是提高研究的一般性，體現(xiàn)邏輯的嚴密性；二是通過動態(tài)演示變化過程，幫助學生感受變化過程中的不變規(guī)律，增強幾何直觀，化抽象為形象.鞏固練習1.當兩條直線相交所成的四個角都相等時，這兩條直線有什么位置關系，為什么？解：這兩條直線是垂直關系.因為兩條直線相交所成的四個角都相等，所以每個角都是360o÷4=90o，所以這兩條直線是垂直關系.2.如果只有直尺，你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎？3.如圖，在一張半透明的紙上畫一條直線l，在l上任取一點P，在l外任取一點Q，折出過點P且與l垂直的直線，這樣的直線能折出幾條？為什么？過點Q呢？解：過點P且與l垂直的直線只能折出一條，過點Q且與l垂直的直線也只能折出一條.因為在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.4.如圖，分別過點P畫直線AB，CD的垂線，并量出點P到直線AB的距離.（點P到直線AB的距離就是線段PQ的長度.）5.如圖，在三角形ABC中，∠C=90o.(1)分別指出點A到直線CB，點B到直線AC的距離是哪些線段的長度？(2)三條邊AB，AC，CB中哪條邊最長，為什么？解：(1)點A到直線CB的距離是線段AC的長度；點B到直線AC的距離是線段BC的長度.(2)三條邊中AB邊最長，理由如下：因為垂線段最短，所以AB>AC，AB>BC，所以AB邊最長.6.如圖，AB⊥l，CB⊥l，B為垂足，那么A，B，C三點在同一條直線上嗎？請說明理由.解：A，B，C三點在同一條直線上.理由如下：因為在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，所以若AB⊥l，BC⊥l，則直線AB與直線BC重合，所以A，B，C三點在同一條直線上．設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調(diào)整教學策略.歸納總結

感受中考1.(2024?北京)如圖，直線AB和CD相交于點O，OE⊥OC．若∠AOC＝58o，則∠EOB的大小為（B）A．29oB．32oC．45oD．58o第1題圖第2題圖2.(2020?河北)如圖，在平面內(nèi)作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)有（D）A．0條B．1條C．2條D．無數(shù)條3.(2016?淄博)如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分別為A，D，則圖中能表示點到直線距離的線段共有（D）A．2條B．3條C．4條D．5條第3題圖第4題圖4.(2020?吉林)如圖，某單位要在河岸l上建一個水泵房引水到C處．他們的做法是：過點C作CD⊥l于點D，將水泵房建在了D