2025年中考數(shù)學二輪復(fù)習：銳角三角函數(shù) 壓軸解答題練習題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學二輪復(fù)習：銳角三角函數(shù)壓軸解答題練習題

填空題（共25小題）

1.如圖，sin/O=1,長度為2的線段DE在射線。2上滑動，點C在射線。4上，且OC=5,△CZ）E的

兩個內(nèi)角的角平分線相交于點F,過點F作FGVDE,垂足為G,則FG的最大值

為____________________.

2.如圖，△ABC為等邊三角形，點。在△ABC外，連接2。、CD.^ZABD^2ZACD,tan/ACO=等,

BD=V37,則CD=.

3.如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=90°,AB//CD,點E是四邊形ABC。內(nèi)一點，NBEC=90°,F

是AE的中點，連DF,若A3=3,BC=2,tanZBAD=2,貝UDF+^-AF的最小值

為.

4.如圖，BE是△ABC的角平分線，歹是A8上一點，ZACF=ZEBC,BE、CF相交于點G.若sin/AEB=

2R

-g-,BG=4,EG=5,貝IS^ABE=.

E

G

B'

5.圖1是某折疊式躺椅的實物圖，圖2是靠背垂直地面時的側(cè)面展開圖，此時四邊形A8C。是矩形，AB

=20cm,AD=30y/5cm,DE=60cm,8尸=30c〃z.點”在8c上，椅子的支撐桿AF、BG、CE分別繞B、

H、。轉(zhuǎn)動并帶動A/轉(zhuǎn)動，支撐桿LK、不動.躺椅在轉(zhuǎn)動時：

(1)若直線取過點J,當NAOE=120°時，的面積是cm2.

1

(2)若&<tan/E￡)/<2,所與地面的夾角為a,貝Utana的取值范圍是

圖1圖2

6.如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，已知Rt^ABC可運動(平移或旋轉(zhuǎn))，且/C=90°,BC=V5+4,

1

tanA=i若以點M(3,6)為圓心，2為半徑的OM始終在△ABC的內(nèi)部，則△ABC的頂點C到原點

O的距離的最小值為.

7.“曲柄搖桿機構(gòu)”是一種運動零件.圖1是某個“曲柄搖桿”的示意圖，它由四條固定長度的線段組成，

其中AB是靜止不動的機架，是繞A做圓周運動的曲柄，BC是繞8上下擺動的搖桿，是連結(jié)A。

和BC兩個運動的連桿，A,B,C,。始終在同一平面內(nèi).已知43=2。=5.當。運動到圖2位置時，

記A8,CD的交點為E,現(xiàn)測得AOLBC,AD=DE,tanZDAE=則8=.圖

2之后，。繞A繼續(xù)運動，當C再次回到圖2位置時(如圖3),則此時“曲柄搖桿”所圍成的四邊形

ABCD的面積為

8.如圖，/XABC中，。為邊AB上的中線，點E在AC上，連接8E交CD于點EZBEC=120°,BF

=AE+EF,若42=4夕，AE=8,則CD的長為.

9.如圖是一種手機三腳架，它通過改變鎖扣C在主軸AB上的位置調(diào)節(jié)三腳架的高度，其它支架長度固定

不變，已知支腳。E=A8.底座CZ）_LAB,BG1AB,且05=23,尸是。E上的固定點，且ERDF=

2：3.

（1）當點8,G,E三點在同一直線上（如圖1所示）時，測得tan/8EO=2.設(shè)BC=5a,則尸G=

（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）在（1）的條件下，若將點C向下移動24cm則點8,G,尸三點在同一直線上（如圖2）,此時

點A離地面的高度是cm.

10.如圖2,有一塊四邊形的鐵板余料4BCD,經(jīng)測量A8=50cmBC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=

,若要從這塊余料中裁出頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN,則該矩形的面積為

cm2.

D

A

BL---------------------------

11.如圖，在△ABC中，A8=A。，點。為△ABC內(nèi)部一點，_aZADB+ZBAC=240°,ZADC=2ZABC,

若3BD=2CD,則tanNADC的值為.

12.如圖，△ABC中，AB=AC,tanC=7,D、/分另U在邊AC、8c上，作AE_L5Z),DE//AF^AE^E.若

4

13.在△ABC中，已知6=1,c=2,AD是NA的平分線，AO=孥，則NC=.

1

14.如圖，RtAABC,/C=90°,tanA=京。是AC中點，/ABD=NFBD,BC=6,CF//AB,貝U止

15.如圖，在△ABC中，AB=AC,8c=12,。為AC邊的中點，線段8。的垂直平分線分別與邊BC,AB

交于點E,F,連接。RDE.設(shè)BE=x,tanZACB^y.給出以下結(jié)論：①DF〃BC；②△BOE的面積

3

為吐；③△CDE的周長為12+無；④/->2=%⑤2x-y2=9.其中正確結(jié)論有（把你認為

正確結(jié)論的序號都填上）.

QAD

16.如圖，C為射線AM上一點’以點C為直角頂點作交射線AN于。,8兩點‘當tanA=&時，茄的

最大值為____________________

17.在△ABC中，NABC=60°，BC=8,點。是BC邊的中點，點E是邊AC上一點，過點D作即的

垂線交邊AC于點F,若AC=1CF,且DE恰好平分△45C的周長，則△ABC的面積

為.

18.如圖，已知四邊形ABC。的一組對邊A。、8C的延長線相交于點E.另一組對邊A3、0c的延長線相

父于點F,若cosZABC=cosZADC=CD=5,CF=ED=n,則AD的長為（用

含n的式子表示）.

19.如圖，線段AC,BD交于點P,ZA=30°,ZACZ)=120°,ZD=15°,AB=1,CD=V3,則BD

的長為__________________

20.等腰三角形ABC,AB=BC,tan/2AC=2,。為△ABC內(nèi)一點，連接A。、BD、CD,A￡>=3,BD=

2V5,CD=5,貝ijAB=.

114

21.已知△ABC中，滿足一+―c=—B，b=4,貝Ua+c=.

tan-tan-tan—

222

22.“572”汶川大地震使不少建筑物受損.某地一水塔地震時發(fā)生了嚴重沉陷（未傾斜）.如圖，已知地

震前，在距該水塔30米的A處測得塔頂B的仰角為60°；地震后，在A處測得塔頂B的仰角為45°,

則該水塔沉陷了米.（精確到0.01,V3?1.7321,a=1.4142）.

地震前地震后

23.（按課改要求命制）如圖，設(shè)尸是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，PA=1,PB=2,PC=V5,將△A8P繞

點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合,點P旋轉(zhuǎn)到P'外，則sinZPCP1的值是

（不取近似值）.

24.如圖，在矩形ABC。中，E,F,G,反分別為AB,BC,CD,D4的中點，若AH：AE=4：3,四邊

形EFGH的周長是40cm,則矩形ABCD的面積是cm1.

25.在△ABC中，tan/ABC=W，2。平分NABC交AC于點。，過A作AE_LAB交BC于點E,若AE=

EC,BD=V26,則AB的長為.

參考答案與試題解析

填空題（共25小題）

1.如圖，sin/O=1,長度為2的線段DE在射線。2上滑動，點C在射線。4上，且0C=5,△CZ）E的

兩個內(nèi)角的角平分線相交于點R過點/作尸GLOE,垂足為G,則尸G的最大值為—空二

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】容.

【分析】如圖1中，連接CF,過點F作FMA.CD于M,FNLEC于N,過點C作CH_LOE于H.利

用面積法可得FGY2+EC+C。）=6,推出當EC+CD的值最小時，PG的值最大，想辦法求出EC+C。

的最小值即可.

【解答】解：如圖1中，連接CF,過點F作戶于FNLEC于N,過點C作CH_LOE于H.

「△COE的兩個內(nèi)角的角平分線相交于點RFG1DE,FMLCD,FN1EC,

:.FG=FM=FN,

在Rtz\OCH中，VZCHO=90°,0c=5,

：.CH=3,

1111

:&DEC=^DE-CH=?EUFN+寧CD，F(xiàn)M+?DE?FG,

：.FG<2+EC+CD)=6,

當EC+CD的值最小時，F(xiàn)G的值最大，

如圖2中，過點C作CK〃OE,使得CK=DE=2,作點K關(guān)于直線08的對稱點J,連接CJ交08于

E,連接EJ交0B于T,截取ED=CD,此時CE+CD的值最小，最小值=CJ的長.

在RtZVKC中，VZJKC=90°,CK=2,JK=6,

；.CJ=yjKJ2+CK2=762+22=2V10,

Z.CE+CD的最小值=2VIU,

?JG的最大值=春同—1

-3-

Vio-i

故答案為:

3

【點評】考查了軸對稱最短問題，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬

于中考壓軸題.

2.如圖，ZVIBC為等邊三角形，點￡>在△ABC外，連接BIXCD.若tan/ACO=等,

BD=V37,則CD=11.

【考點】解直角三角形；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的計算；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】如圖，連接4D,作3H_LAD于作DEJ_CB交CB的延長線于E,作CN_LD4交D4的延

長線于林首先證明BO=BC,推出△AOC的外接圓的圓心是點2,推出NA￡)C=RABC=30°,解

直角三角形求出。H,設(shè)CM=x,則。Af=VIx,CD=2x,AM=V3x-4V3,在RtZkACM中，根據(jù)AC?

^AM2+CM2,構(gòu)建方程解決問題即可.

【解答】解：如圖，連接A。，作8H_LAD于H,作。E_LC8交CB的延長線于E,作CM_LZM交。A

的延長線于M.

：△ABC是等邊三角形，

ZABC=ZACB^60°,

VZDB￡=180°-AABD-ZABC=120°-2ZACD=12Q°-2(60°-/BCD)=2NBCD,

又,?ZDBE=ZBDC+/BCD,

：.NBCD=ZBDC,

:.BD=BC,

：.BD=BA=BC=AC=V37,

AADC的外接圓的圓心是點2,

1

AZADC=^ZABC=30°,

9

：BD=BAfBHLAD,

：.ZABH=NDBH,

'：ZABD=2ZACD,

：.NBDH=ZACD,

?，Zr\r?TT—X/4"A2A/3DH

??tanN。3H=tanNAC￡)=--=

設(shè)DH=2Wk,BH=5k,

（2回）2+（5k）2=37,

...左=1或-1（舍棄），

:.DH=AH=2W,

設(shè)CM=尤，貝1]00=倔:，CD=2x,

：.AM=V3x-4V3,

在RtAACM中，AC2=AM1+CM1,

.\37=（V3x-4V3）2+x2,

解得尤=/（舍棄）或T7，

/2

11

；.CM=蕓，

；.C￡）=2x=ll,

故答案為11.

【點評】本題考查解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點B

是△AC。的外接圓的圓心，屬于中考填空題中的壓軸題.

3.如圖，在四邊形ABC。中，NABC=90°,AB//CD,點E'是四邊形內(nèi)一點，NBEC=90°,F

是AE的中點，連。R若AB=3,BC=2,tanZBAr>=2,則。尸+需4尸的最小值為—回亞

【考點】解直角三角形；勾股定理.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】取BC的中點為點G,連接GE、AG,取AG的中點為點H連接切，根據(jù)直角三角形斜邊上

中點的性質(zhì)以及三角形的中位線定理可得GE=1,HF=^,由勾股定理可得AG=VTU,從而得到AH=

FHFM

寫，在A"上取一點M,使得N"FN=NHAR連接尸則△尸/〃—△4”方,從而即可得到一=—=

2AHAF

器=套=噂，F(xiàn)M=^-AF,HM=^HF=^*=嚼,nTWDF+^-AF=DF+FM,連接

~2~

DM,可知當。、F、M三點共線時，。尸+黑AF的值最小.連接Z5H過點D作。NLA8于N,連接

DG,通過證明四邊形SCAN是正方形，可得CO=Z）N=2,從而即可證明△CZX?gZkND4（SAS）,得

到△AOG是等腰直角三角形，即可推出OH=%G=孚，DH±AG,最后由勾股定理計算出DM=

7DH2+HM2=J（孚）2+（鑼）2=嚼^即可得到答案.

【解答】解：如圖，取BC的中點為點G,連接GE、AG,取AG的中點為點X,連接切，

\'BC=2,ZCEB=90°,點G為BC的中點,

11

GE=^BC=x2=1,

??,尸為AE的中點，”為AG的中點，

???"/為AAGE的中位線，

11

：.HF=^GE=I，

在RtZVIBG中，5G=1,AB=3,

；?AG=y/BG2+AB2=Vl2+32=VTO,

TH為AG的中點，

：.AH=孚，

在AH上取一點M,使得/HFM=/HAF,連接FM,

??ZFHM=ZAHF,

1I-

.FHFMHM2V10

'"AH——HF―叵―10)

2

?I7A4—AJ7J-TA/f—UT7—sz1—

..FM=^-AF,HM=~IQHF=^-X2=

：.DF+^-AF=DF+FM,

連接。M,

...當。、F、M三點共線時，。尸+黑1的值最小.

連接。H,過點。作。N_LA8于N,連接。G,

'：AB//CD.ZABC=90°,

AZABC=ZBCD=ZBND=9Q°,

???四邊形8C0N是矩形，

:.DN=BC=2,ZDNA=90°,

??/CACDN2c

?1^ZBAD=AN=AN=2^

：.AN=1,

：.BN=AB-AN=3-1=2=8C,

???四邊形BCDN是正方形，

:.CD=DN=2,

在△CDG和△ND4中，

CG=AN

乙DCG=乙DNA,

CD=ND

：./\CDG^/\NDA(SAS),

：.ZCDG=ZNDA,GD=AD,

?；/CDG+NGDN=90°,

???NNQA+NGDN=NGDA=90°,

???AADG是等腰直角三角形,

DHLAG,

：.ZDHM=90°,

71010

：.DM=y/DH2+HM2

20'

：.DF+^-AF的最小值為

M依4位V1010

故答案為：k

【點評】本題主要考查了三角形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、

全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定

理等知識，添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，BE是△A8C的角平分線，尸是上一點，ZACF=ZEBC,BE、CF相交于點G.若sin/AEB=

■?K81

-F-，8G=4,EG=5,貝IS/\ABE=?

5-5一

E

【考點】解直角三角形；角平分線的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】如圖，過點8作BT_LAC于T,連接EF.在RtZ\8ET中，解直角三角形求出8T,ET,BC,

由△ECGs/^EBC,求出EC,CG,再利用相似三角形的性質(zhì)求出EF,BF,AE,AB,證明點T與點A

重合即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點3作B7UAC于T,連接EE

平分NABC,

/ABE=NCBE,

'：ZECG=ZABE,

:./ECG=/CBE,

?：/CEG=/CEB,

:.△ECGS^EBC,

.ECEGCG

,,EB~EC~CB'

:.Ed=EG?EB=5義（5+4）=45,

-：EC>0,

.?.EC=3V5,

在RtZXBET中，：sin/AE8=f^=攣，BE=9,

DCb

.RT1875

??8T=F-'

：.ET=y/BE2-BT2=小2_（嘩耳=誓，

24匹

???CT=ET+CE=

：.BC=7BT2+C72=J（1^）2+（^^）2=6后

EG-BC

：

.CG=EC=10,

?：/ECG=/FBG,

???E,F,B,。四點共圓,

:?/EFG=/CBG,

ZFGE=NBGC,

:?叢EGFsACGB,

.EFEG

??—,

CBCG

.EF_5

:萩=10，

:?EF=3瓜

VZAFE=ZACB,NEAF=/BAC,

AAEAF^ABAC,

AEAFEF1_,

/.—=—=一二一，設(shè)AE=x,則AB=2x,

ABACBC2

ZFBG=/ECG,ZBGF=/CGE,

:?叢BGFs叢CGE,

.BF_BG

??一,

CECG

.BF4

?二親=適

??2廿

AR

?\x(x+3V5)=(2x——g-)*2x,

解得》=竽

?人？Z7T9/5

..AE=ET=-g-

???點A與點T重合,

1875

：.AB=2AE=

-5-,

.口118A/59A/581

??Sc/^ABE—2xABXAE=ax——x———

故答案為g.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓等知識,

解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

5.圖1是某折疊式躺椅的實物圖，圖2是靠背垂直地面時的側(cè)面展開圖，此時四邊形ABC。是矩形，AB

=2Qcm,AD=3Qy/5cm,DE=60cm,8/=30c%.點”在8c上，椅子的支撐桿AF、BG、CE分別繞B、

H、。轉(zhuǎn)動并帶動4/轉(zhuǎn)動，支撐桿LK、不動.躺椅在轉(zhuǎn)動時：

1Qr7匚/1匚

(1)若直線取過點J,當NADE=120°時，△AF/的面積是--------cm2.

—11—

11111

(2)若一<tanZEZ)/<2,成與地面的夾角為a,貝hana的取值范圍是一VtanaV稱.

2—3713—

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題；矩形的判定；銳角三角函數(shù)的增減性.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力.

ZFAIAFAI505

【分析】(1)先證明△RVS\ED/,得到一=—,進一步得到——=-=—=求得A/,過點F

2DEDJDED]606

作FMLD4交D4的延長線于點N,則/ANF=90°,在RtZVUW中，求得FN,進而求得△AR7的面

積；

1

(2)分tan/即/=★和tan/ED/=2兩種情況，求解tana,由所與地面的夾角a隨著NED/的增大而

增大，求得tana的取值范圍.

【解答】解：⑴若直線即過點J,當NAZ)E=120°時，如圖1所示，

圖1

由題意可知，AB//CD,

:.NF=NE,ZFAJ=ZADE=120°,

:.△FAJsAEDJ,

?.絲.—=國,

DEDJ

9

：AF=AB-^BF=50cmfDE=60cm,

.AFAJ505

?'DE-O/—60一6’

.54n15075

..AAJT=五A￡)=—五一cm,

過點尸作FNLD4交D4的延長線于點N,則NAN/=90°,

在Rt/VIFN中，ZFAN=180°-ZFAJ=60°,AF=50cm,

：.FN=AFsinZFAN=50Xsin60°=255

：.AAFJ的面積=|xAJXFN=竺得巫a”?；

1

(2)當tan/EZ)/=*時，如圖2所示，作EP_L。/于點P,則NEPZ)=90°,設(shè)成交AO于點°,

由題意可知，AB//CD,

：.ZF=ZQED,ZFAQ=ZQDE,

△必

.AFAQ

??二,

DEDQ

,

：AF=AB-^BF=50cmfDE=60cm,

tAFAQ505

?'DE-DQ-60-6’

?nc618075

??DQ=五AO=―五一cm,

設(shè)EP=x,則。尸=2x,由勾股定理得:

221

EP+DP=DEf

，x2+(2%)2=6。2,

解得冗=12祈°租，

:.EP=12次cm,DP=24小cm,PQ=DP+DQ=號善cm,

?,+/sn店11

..tana=tan/￡QP=—EP=—12^=-.,

Il

圖3

同理可求得。。=耳與

■cm,DP=\24Scm,EP=24y[5cm,

：.PQ^DP+DQ=半鳥to,

一*EP24西11

..tana=tan/EQP=而=包還=百

11

;石尸與地面的夾角a隨著NE。/的增大而增大,

11111

，當一<tanNEZ)/V2時，tana的取值范圍是一<tana

23713

1875V1521111

故答案為:cm；一<tana

113713

【點評】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，讀懂題意，分情況畫

出圖形是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，已知Rt^ABC可運動(平移或旋轉(zhuǎn))，且NC=90°,BC=V5+4,

tanA=i若以點M(3,6)為圓心，2為半徑的OM始終在△ABC的內(nèi)部，則△ABC的頂點C到原點

O的距離的最小值為_有_.

【考點】解直角三角形；坐標與圖形變化-平移；坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】動點型；平面直角坐標系；與圓有關(guān)的計算；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】如圖，設(shè)0M與AC相切于點/,與A3相切于點T,連接0C,MJ,MT,延長交A8于？解

直角三角形求出CM,OM,根據(jù)0C20M-CM即可解決問題.

【解答】解：如圖，設(shè)0M與AC相切于點/,與A5相切于點T,連接0C,MJ,MT,延長加交A8

于足

：AC,A3是。0的切線，

\MJLAC,MT±ABf

\ZAJM=ZATM=90°,

\ZA+ZJA/T=180°,

.*ZJMT+ZFMT=1^0°,

??NA=/FMT,

1

tanA=tanZFMT=于

:MT=2,

,.TF=1,FM=yjMT2+FT2=V22+l2=V5,

,.JF=MJ+MF=2+求,

?.AJ=2FJ=4+2V5,

."AC=2BC=8+2V5,

\CJ=4,

：ZCJM=90°,

\CM=JC/2+M/2=V42+22=2V5,

：M(3,6),

\0M=V32+62=3底

：OC^OM-CM,

OC234-2V5,

oc>Vs,

」.oc的最小值為花.

故答案為有.

【點評】本題考查解直角三角形，切線的性質(zhì)，坐標由圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，

學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

7.“曲柄搖桿機構(gòu)”是一種運動零件.圖1是某個“曲柄搖桿”的示意圖，它由四條固定長度的線段組成，

其中AB是靜止不動的機架，AO是繞A做圓周運動的曲柄，8C是繞B上下擺動的搖桿，。是連結(jié)

和兩個運動的連桿，A,B,C,。始終在同一平面內(nèi).已知AB=BC=5.當。運動到圖2位置時，

Q25

記A3,CD的交點為E,現(xiàn)測得A0_L8C,AD=DEftmZDAE=^則CD=一.圖2之后，。繞

A繼續(xù)運動，當C再次回到圖2位置時（如圖3）,則此時“曲柄搖桿”所圍成的四邊形ABC。的面積

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）延長AD交CB的延長線于凡作8G〃C。交AF于G,先解Rt^ABF,求得A尸和8尸,

推出△ABG是等腰三角形，設(shè)AG=BG=x,在RtZXBFG中列出方程，求得BG,再根據(jù)

列出比例式，求得CD；

（2）在AF上截取A。'=A。，連接C。'（即還原圖2的CD的位置），根據(jù)勾股定理求得。'尸的長，

進而求得△AC?及△ABC的面積，進而求得四邊形ABC。的面積.

【解答】解：如圖1,

B

延長AO交C3的延長線于尸，作8G〃C□交Ab于G,

：.4ADEs叢AGB,△FBGs^FCD,

.DEADBGBF

…BG-AG'CD~CF'

9

：AD=DEf

:?AG=BG,

VAD1BC,

AZF=90°,

3

VAB=5,tmZDAE=y,

4

:?BF=3,AF=4,

設(shè)AG=8G=x,則/G=4-JG

在中，由勾股定理得,

FG2+BF2=BG2,

(4-x)2+32=^

CD~8’

A

圖2

D

CD1是CO在圖2的位置,

在△AC￡)和△AC。'中，

CD=CD'

AC=AC，

.AD=AD'

：.△AC￡>^AACr),CSSS),

2s

VZF=90°,CF=8,CD'=CQ=詈，

■■D'F=娉)2—82J

7q

：.AD'=AF-Df歹=4一(=|,

i1耳20

:&ACD=^AD^CF=/尹8=學

._20

??OcAACD=-g-，

11

TS^ABC=?AF=*x5x4=10,

.c_in^2050

??3四邊形A3CZ)—1。+

故答案為：拳Y-

33

【點評】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似

三角形及轉(zhuǎn)化圖形的面積.

8.如圖，△ABC中，CO為邊上的中線，點E在AC上，連接BE交C。于點RZBEC=120°,BF

=AE+EF,若A8=4V7,AE=8,則CD的長為6次.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】6V3.

【分析】如圖，延長BE到T,使得ET=AE,連接AT,過點A作A7LBE于/,過點E作EKLC。于

K.解直角三角形求出AT,BT,再利用三角形中位線定理求出。F,證明E/=EC=2,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，延長3E到T,使得ET=AE,連接AT,過點A作后于/,過點E作EKLC。

于K.

9：ZBEC=12O°,

AZAET=ZBEC=12Q°,

ZAEJ=180°-ZAET=60°,

'：AE=ET=S,

：.ZT=ZEAT=30°,

1

：.JE=1AE=4,

：.AJ=JAE2-E]2=V82-42=4V3,

.'.AT=2AJ=8V3,JT=4+8=12,

BF=AE+EF=EF+ET=FT,BD=AD,

：.DF//AT,DF=^AT=4V3,

在RtAABJ中,BJ=y/AB2-A]2=J(4^7)2-(4V3)2=8,

???BT=BJ+JT=8+12=20,

VBF=EF+8,

???BF+EF+ET=23

：.EF=2,

'：AT//FC,

：.ZECF=ZEAT=30°,ZEFC=ZT=30°,

：.ZECF=ZEFC=30°,

：.EF=EC=2,

'：EK.LCF,

1

：?EK=^EF=1

：.FK=KC=VEF2-EK2=V22-l2=V3,

:.CF=2FK=2?

：.CD=DF+CF=643,

故答案為：6A/3.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，三角形中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

9.如圖是一種手機三腳架，它通過改變鎖扣C在主軸43上的位置調(diào)節(jié)三腳架的高度，其它支架長度固定

不變，已知支腳。E=A8.底座CZ)_LA8,BGLAB,且0)=23,尸是。E上的固定點，且ERDF=

(1)當點8,G,E三點在同一直線上(如圖1所示)時，測得tan/BED=2.設(shè)8C=5a,則尸G=

乎(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)在(1)的條件下，若將點C向下移動24cm,則點8,G,尸三點在同一直線上(如圖2),此時

點A離地面的高度是(19+19V5)cm.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】壓軸題；推理填空題；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】(1)y；

(2)19+19V5.

【分析】(1)如圖1中，連接。G,EG,過點F作于則四邊形。GB是矩形.可得BC=

DG=5a,根據(jù)勾股定理和已知條件可得EG和。E,再證明可得。R根據(jù)勾股定理

即可解決問題；

(2)如圖1中，連接。G,EG,過點尸作FHLBE于H,則四邊形CDGB是矩形.如圖2中，連接

OG.作即交3尸的延長線于J.利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可.

【解答】解：（1）如圖1中，連接。G,EG,過點F作打LLBE于”，則四邊形CDG8是矩形.

nr

在RtZkOEG中，tanNOE8=^=2,

：.EG=苧,DE=yjEG2-^DG2=](苧/+(5a)2=竽

■:FH//DG,

.EFEH2

''DF~GH~3

:.XEFHSXEDG,

.EFEH2

…DE-EG-S’

EF=卷DE=Vx^^flV5a2—a2=y/5a,

:?DF=*~a,EH=|EG=|x=^,HG=EG-EH=-a=

乙。。乙乙乙

：.FH=y]EF2-EH2=V5a2-a2=2a,

：.FG=<FH2+HG2=J4a2+冢2=苧；

5a

故答案為：-；

(2)如圖1中，連接QG,EG,過點F作FHLBE于H,則四邊形COG8是矩形.

圖1圖2

設(shè)BC=DG=2xcm,

nr,

在RtZXOEG中，tanNDE8=/=2,

.\EG=x(cm),DE=y/EG2+DG2—V5x(cm),

■:FH//DG,

.EFEH2

'*DF~GH~3

DF=~(cm),EH=(cm),HG=(cm),

FH=y/EF2—FH2=尹(C7w),

:.FG=VFW2+HG2=x(cm),

如圖2中，連接。G.

,."DF2=￡)G2+FG2,

—x)2=f+(2x-24)2,

5

解得尤=15+3有或15-3V5(舍棄)，

：.AB=DE=V5x=(15+15V5)cm,

作EJ_LBF交的延長線于/.則EJ=E>sinN￡FJ=(4+4而)cm,

?'?點A離地面的高度=A8+EJ=(19+19V5)cm.

故答案為：19+19?.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用

參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

10.如圖2,有一塊四邊形的鐵板余料488,經(jīng)測量A3=50cm,BC^108cm,CD^60cm,且tan8=tanC=

A

I，若要從這塊余料中裁出頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形尸QMN,則該矩形的面積為1944

cm2.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力.

【答案】1944.

【分析】延長BA、CO交于點E,過點E作EHL8C于點“，中位線PQ的兩端點在線段A8、CD上,

在△ABC中，設(shè)BC=a,BC邊上的高&。=〃，矩形PQWN的頂點P、N分別在邊A3、AC上，頂點。、

nT

-

M在邊BC上，由△APNsAlBC,設(shè)PQ=x,則S矩形PQMN=PQ?PN=X(CI—,)=—#+"=--2

2+半，可得當PQ=軸，S矩形PQMN最大值為絲，進而可得矩形PQMN的最大面積.

4/4

【解答】解：如圖，延長BA、CD交于點E,過點￡作即，BC于點8,

交尸。于點G,如圖，設(shè)矩形PQWN,

則S簪PQMN=PQ?QH=|X(72-x)=—|(x-36)2+1944,

當％=36時，S矩形尸QWN最大值為1944,

所以當QM=36時，矩形PQMN的最大面積為1944cM2,

答：該矩形的面積為1944cm2.

故答案為：1944.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查解直角三角形的應(yīng)用、中位線定理、相似三角形的判定與性

質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值及類比思想的運用是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，在△ABC中，AB=AC,點。為△ABC內(nèi)部一點，S.ZADB+ZBAC=240°,ZADC=2ZABC,

若3BD=2CD,貝iJtan/AOC的值為4百.

B。

【考點】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】4V3.

【分析】在CD上取一點T，使得NZMT=60°,過點T作77九LA￡)于"想辦法證明之△C7A

(A4S),推出BD=AT,AD=CT,可以假設(shè)BD=3k,CD=2k,則AH=AT'cos60°=k,HT=AT?sin60°

=y[3k,設(shè)AZ)=CT=x,貝1]?！?尤-左，利用勾股定理求出可得DH=*,由此即可解決問題.

【解答】解：在C。上取一點T,使得ND4T=60°,過點T作于

B。

VZA￡)B+ZBAC=240°,

/.ZADB+ZBAD+600+ZCAT=240°,

AZADB+ZBAD+ZCAT^18Q°,

VZADB+ZBAD+ZABD=1SO°,

ZABD=ZCAT,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

VZADC=2ZABC,ZADT+ZDAT+ZATD=180°,ZBAC+2ZABC=180°,

/BAC=ZDAT+ZATD=60°+ZATD,

：.ZATC+ZABC=ZATC+ZATD+ZDAT=240°,

，ZADB=ZATC,

：.AADB^ACTA(A4S),

：.BD=AT,AD=CT,

9：3BD=2CD,

???可以假設(shè)50=2%,CD=3k,則A〃=AT?cos60°=k,HT=AT*sin60°=Wk,

設(shè)AO=CT=x,則。

211

在RtZXOHT中，D7=DH+HTf

(x-k)2+(V3/c)2=(3%-%)2,

x=左左,

：.DH=*,

?/4cHTy[3k./7T

..tanZA￡)C=—=4/3,

4k

故答案為：4V3.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，

構(gòu)造全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

Q

12.如圖，△ABC中，AB^AC,tanC=D、尸分另l]在邊AC、BC上,作DE〃AF交AE于E.若

q

AE3CD4

—=一，n貝!lJ—=一.

BD4BFS—

【考點】解直角三角形；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】如圖，過點A作AHLBC于連接EH,設(shè)交A8于0,交AE于K,設(shè)。打交AE

CDCH

于T.想辦法證明△C￡)?S/\BRI,推出一=一，由此即可解決問題.

BFAB

【解答】解：如圖，過點4作&”_18(7于〃，連接QH,EH,設(shè)8。交AH于。，交AE于K,設(shè)QH

交AE于T.

?：BD_LAE,AH±BC,

：.ZAKO=ZBHO=90°,

ZAOK=ZBOH,

：.NDBH=ZEAH,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

tanAABC—tanZC=麗=

ttAE3

?BD一4,

.AHAE

??—,