2018-2019學年高中一輪復習數學講義第四章三角函數解三角形

第四章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))三角函數、解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉方向不同分為正角、負角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧長)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數三角函數正弦余弦正切定義設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函數線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線[小題體驗]1．若θ滿足sinθ<0，cosθ>0，則θ的終邊在第________象限．答案：四2．已知角α的終邊經過點(－4，－3)，則cosα＝________.答案：－eq\f(4,5)3．α為第一象限角，則sinα＋cosα________1.(填“>”“<”“＝”)答案：>1．注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角．2．角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．3．已知三角函數值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況．4．三角函數的定義中，當P(x，y)是單位圓上的點時有sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，但若不是單位圓時，如圓的半徑為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).[小題糾偏]1．－1000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二eq\f(2π,5)2．如圖所示，在直角坐標系xOy中，射線OP交單位圓O于點P，若∠AOP＝θ，則點P的坐標是____________．答案：(cosθ，sinθ)

eq\a\vs4\al(考點一角的集合表示及象限角的判定)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[題組練透]1.下列命題中，真命題是()A．第一象限角是銳角B．直角不是任何象限角C．第二象限角比第一象限角大D．三角形的內角一定是第一或第二象限角解析：選B390°是第一象限角，但不是銳角，A錯；135°是第二象限角，390°>135°，C錯；直角不是任何象限角，D錯，B對．2．若α是第二象限的角，則下列結論一定成立的是()A．sineq\f(α,2)>0 B．coseq\f(α,2)>0C．taneq\f(α,2)>0 D．sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)<0解析：選C∵eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ.當k為偶數時，eq\f(α,2)是第一象限角；當k為奇數時，eq\f(α,2)是第三象限角，即taneq\f(α,2)>0一定成立，故選C.3．設集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))·180°＋45°，k∈Z))，N＝xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)))·180°＋45°，k∈Z，那么M________N．(填“＝”“?”“?”)解析：法一：由于M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))·180°＋45°，k∈Z))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)))·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，顯然有M?N.法二：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數，因此必有M?N.答案：?4．終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為__________________．解析：在坐標系中畫出直線y＝eq\r(3)x，可以發(fā)現它與x軸正半軸的夾角是eq\f(π,3)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)))，k∈Z)).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)))，k∈Z))5．若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第________象限角．解析：∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.當k為偶數時，eq\f(α,2)是第一象限角；當k為奇數時，eq\f(α,2)是第三象限角．答案：一或三[謹記通法]1．終邊在某直線上角的求法4步驟(1)數形結合，在平面直角坐標系中畫出該直線；(2)按逆時針方向寫出[0,2π)內的角；(3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合；(4)求并集化簡集合．2．確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置3步驟(1)用終邊相同角的形式表示出角α的范圍；(2)再寫出kα或eq\f(α,k)的范圍；(3)然后根據k的可能取值討論確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．eq\a\vs4\al(考點二扇形的弧長及面積公式)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[題組練透]1．若一扇形的圓心角為72°，半徑為20cm，則扇形的面積為()A．40πcm2 B．80πcm2C．40cm2 D．80cm2解析：選B∵72°＝eq\f(2π,5)，∴S扇形＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,5)×202＝80π(cm2)．2．若扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12cm，則弧長l等于()A.eq\f(4\r(3),3)πcm B.eq\f(8\r(3),3)πcmC.4eq\r(3)cm D．8eq\r(3)cm解析：選B設扇形的半徑為rcm，如圖．由sin60°＝eq\f(6,r)，得r＝4eq\r(3)cm，∴l(xiāng)＝|α|·r＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)πcm.3．已知扇形周長為40，則當扇形面積最大時，圓心角等于________．解析：設圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40.又S＝eq\f(1,2)θr2＝eq\f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.當且僅當r＝10時，Smax＝100，此時2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以當r＝10，θ＝2時，扇形的面積最大．答案：24．若扇形的圓心角α＝60°，半徑R＝10cm，求扇形的弧長l及扇形的弧所在的弧形的面積．解：∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴l(xiāng)＝Rα＝10×eq\f(π,3)＝eq\f(10π,3)cm.設弧形的面積為S，則S＝eq\f(1,2)R2α－eq\f(1,2)R2sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×102×eq\f(π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50π,3)－25\r(3)))cm2.[謹記通法]弧度制下有關弧長、扇形面積問題的解題策略(1)明確弧度制下弧長公式l＝|α|r，扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)．(2)求扇形面積的關鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量，如“題組練透”第3題．eq\a\vs4\al(考點三三角函數的定義)eq\a\vs4\al(題點多變型考點——多角探明)[鎖定考向]任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義屬于理解內容．在高考中多以選擇題、填空題的形式出現．常見的命題角度有：(1)三角函數定義的應用；(2)三角函數值的符號判定．[題點全練]角度一：三角函數定義的應用1．已知角α的終邊經過點P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝________.解析：∵角α的終邊經過點P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，∴cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，即x＝eq\f(5,2)或x＝－eq\f(5,2)(舍去)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－6))，∴sinα＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(13,12)＋eq\f(5,12)＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)2．已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝________.解析：設P(t,2t)(t≠0)為角θ終邊上任意一點，則cosθ＝eq\f(t,\r(5)|t|).當t>0時，cosθ＝eq\f(\r(5),5)；當t<0時，cosθ＝－eq\f(\r(5),5).因此cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f(2,5)－1＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)角度二：三角函數值的符號判定3．若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：選C由sinαtanα<0可知sinα，tanα異號，則α為第二或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)<0可知cosα，tanα異號，則α為第三或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角．4．已知點P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，則角θ是第________象限角．解析：因為點P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ＜0,2cosθ＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＞0，,cosθ＜0，))所以θ為第二象限角．答案：二[通法在握]定義法求三角函數的3種情況(1)已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數值．先求P到原點的距離，再用三角函數的定義求解．(2)已知角α的某三角函數值，可求角α終邊上一點P的坐標中的參數值，可根據定義中的兩個量列方程求參數值．(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據三角函數的定義可求角α終邊上某特定點的坐標．[演練沖關]1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標為eq\f(4,5)，則cosα的值為()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選D因為點A的縱坐標yA＝eq\f(4,5)，且點A在第二象限，又因為圓O為單位圓，所以A點橫坐標xA＝－eq\f(3,5)，由三角函數的定義可得cosα＝－eq\f(3,5).2．已知角α的終邊經過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),3)))，角β的終邊經過點B，且點B與點A關于y軸對稱，則cos∠AOB＝()A.eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：選A角β的終邊與角α的終邊關于y軸對稱，而由Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),3)))可得點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(\r(3),3)))，所以cosβ＝－eq\f(1,2)，sinβ＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝eq\f(\r(3),2)，所以cos∠AOB＝cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝eq\f(1,2).一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1．已知點P(tanα，sinα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選D因為點P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα<0，,sinα<0，))所以α的終邊在第四象限，故選D.2．設角α終邊上一點P(－4a,3a)(a<0)，則sinα的值為()A.eq\f(3,5) B.－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)解析：選B設點P與原點間的距離為r，∵P(－4a,3a)，a<0，∴r＝eq\r(－4a2＋3a2)＝|5a|＝－5a.∴sinα＝eq\f(3a,r)＝－eq\f(3,5).3．若一圓弧長等于其所在圓的內接正三角形的邊長，則其圓心角α(0<α<π)的弧度數為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\r(3) D．2解析：選C設圓半徑為r，則其內接正三角形的邊長為eq\r(3)r，所以eq\r(3)r＝αr，所以α＝eq\r(3).4．在直角坐標系中，O是原點，A(eq\r(3)，1)，將點A繞O逆時針旋轉90°到B點，則B點坐標為__________．解析：依題意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，設點B坐標為(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝eq\r(3)，即B(－1，eq\r(3))．答案：(－1，eq\r(3))5．角α的終邊與直線y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α終邊上一點，且|OP|＝eq\r(10)，則m－n＝________.解析：∵角α的終邊與直線y＝3x重合，且sinα<0，∴角α的終邊在第三象限．又P(m，n)是角α終邊上一點，故m<0，n<0.又|OP|＝eq\r(10)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝3m，,\r(m2＋n2)＝\r(10)，))解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.答案：2二保高考，全練題型做到高考達標1．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉過程中形成的角的弧度數是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)解析：選C將表的分針撥快應按順時針方向旋轉，為負角．故A、B不正確，又因為撥快10分鐘，故應轉過的角為圓周的eq\f(1,6)，即為－eq\f(1,6)×2π＝－eq\f(π,3).2．(2018·福州一模)設α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：選D因為α是第二象限角，所以cosα＝eq\f(1,5)x＜0，即x＜0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16)).解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).3．已知角α終邊上一點P的坐標是(2sin2，－2cos2)，則sinα等于()A．sin2 B.－sin2C．cos2 D．－cos2解析：選D因為r＝eq\r(2sin22＋－2cos22)＝2，由任意三角函數的定義，得sinα＝eq\f(y,r)＝－cos2.4．設θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B.第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：選B由θ是第三象限角，知eq\f(θ,2)為第二或第四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)<0，綜上知eq\f(θ,2)為第二象限角．5．點A(sin2018°，cos2018°)在直角坐標平面上位于()A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C由2018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知，2018°角的終邊在第三象限，所以sin2018°＜0，cos2018°＜0，即點A位于第三象限．6．已知角α的終邊經過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實數a的取值范圍是________．解析：∵cosα≤0，sinα＞0，∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))∴－2＜a≤3.答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，則180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，則180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱．若sinα＝eq\f(1,3)，則sinβ＝________.解析：當角α的終邊在第一象限時，取角α終邊上一點P1(2eq\r(2)，1)，其關于y軸的對稱點(－2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時sinβ＝eq\f(1,3)；當角α的終邊在第二象限時，取角α終邊上一點P2(－2eq\r(2)，1)，其關于y軸的對稱點(2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時sinβ＝eq\f(1,3).綜上可得sinβ＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．已知角θ的終邊上有一點(a，a)，a∈R且a≠0，則sinθ的值是________．解析：由已知得r＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)|a|，sinθ＝eq\f(a,r)＝eq\f(a,\r(2)|a|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，a＞0，,－\f(\r(2),2)，a＜0.))所以sinθ的值是eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)10．已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大?。?2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.解：設扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，當且僅當2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2時，扇形面積取得最大值4.∴圓心角α＝2，弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，當且僅當r＝2，即α＝eq\f(l,r)＝2時，扇形面積取得最大值4.∴弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.11．角α終邊上的點P與A(a,2a)關于x軸對稱(a＞0)，角β終邊上的點Q與A關于直線y＝x對稱，求sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ的值．解：由題意得，點P的坐標為(a，－2a)，點Q的坐標為(2a，a)．所以sinα＝eq\f(－2a,\r(a2＋－2a2))＝－eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋－2a2))＝eq\f(1,\r(5))，tanα＝eq\f(－2a,a)＝－2，sinβ＝eq\f(a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(1,\r(5))，cosβ＝eq\f(2a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(2,\r(5))，tanβ＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，故sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ＝－eq\f(2,\r(5))×eq\f(1,\r(5))＋eq\f(1,\r(5))×eq\f(2,\r(5))＋(－2)×eq\f(1,2)＝－1.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．若α是第三象限角，則y＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))),sin\f(α,2))＋eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))),cos\f(α,2))的值為()A．0 B.2C．－2 D．2或－2解析：選A由于α是第三象限角，所以eq\f(α,2)是第二或第四象限角，當eq\f(α,2)是第二象限角時，y＝eq\f(sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(－cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝1－1＝0；當eq\f(α,2)是第四象限角時，y＝eq\f(－sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝－1＋1＝0.2．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求角α的集合；(2)求eq\f(α,2)終邊所在的象限；(3)試判斷taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符號．解：(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y軸的負半軸上；由tanα＞0,知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)終邊在第二、四象限．(3)當eq\f(α,2)在第二象限時，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＞0,coseq\f(α,2)＜0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號；當eq\f(α,2)在第四象限時，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＜0,coseq\f(α,2)＞0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)也取正號．因此，taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號．第二節(jié)同角三角函數的基本關系與誘導公式_1．同角三角函數的基本關系式(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).2．誘導公式組序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口訣函數名不變符號看象限函數名改變符號看象限記憶規(guī)律奇變偶不變，符號看象限[小題體驗]1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sin(π＋α)＝______.答案：－eq\f(4,5)2．若sinθcosθ＝eq\f(1,2)，則tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)的值為________．答案：23．化簡sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的結果為________．解析：原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.答案：01．利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數為銳角三角函數，其步驟：去負—脫周—化銳．特別注意函數名稱和符號的確定．2．在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號．3．注意求值與化簡后的結果一般要盡可能有理化、整式化．[小題糾偏]1．已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，則cosα＝________.答案：－eq\f(12,13)2．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))＝________，(2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(26π,3)))＝________.答案：(1)eq\f(\r(2),2)(2)eq\r(3)eq\a\vs4\al(考點一三角函數的誘導公式)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[題組練透]1．(2018·寧波模擬)sin210°cos120°的值為()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(3,2) D.eq\f(\r(3),4)解析：選Asin210°cos120°＝－sin30°(－cos60°)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).2．已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，則A的值構成的集合是()A．{1，－1,2，－2} B.{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}解析：選C當k為偶數時，A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2；當k為奇數時，A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.3．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝________.解析：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)＋α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)4．(易錯題)設f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα≠－\f(1,2)))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))的值．解：∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－eq\f(3,5)，求sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,2)))的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(3,5).∴sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,2)))＝sin(π＋α)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))))＝sinα·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα·eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝sinα·eq\f(cosα,sinα)＝cosα＝eq\f(3,5).[謹記通法]1．利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的步驟也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了．”2．利用誘導公式化簡三角函數的要求(1)化簡過程是恒等變形；(2)結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值，如“題組練透”第4題．eq\a\vs4\al(考點二同角三角函數的基本關系)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)[典例引領]1．已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則sin2α－sinαcosα的值為()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(2,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)解析：選D依題意得：eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，∴tanα＝2.∴sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(22－2,22＋1)＝eq\f(2,5).2．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，則cosα＝________.解析：依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sinα,cosα)＝2，,sin2α＋cos2α＝1，))由此解得cos2α＝eq\f(1,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，因此cosα＝－eq\f(\r(5),5).答案：－eq\f(\r(5),5)3．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則sinθ－cosθ的值為________．解析：因為(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，所以2sinθcosθ＝eq\f(7,9)，則(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9).又因為θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，所以sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).答案：－eq\f(\r(2),3)[由題悟法]同角三角函數基本關系式的應用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表達式中含有sinθ，cosθ與tanθ“1”的變換1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ表達式中需要利用“1”轉化和積轉換利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關系進行變形、轉化表達式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ[即時應用]1．若sinα＝－eq\f(5,13)，且α為第四象限角，則tanα的值等于()A.eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)解析：選D法一：因為α為第四象限的角，故cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq\f(5,12).法二：因為α是第四象限角，且sinα＝－eq\f(5,13)，所以可在α的終邊上取一點P(12，－5)，則tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(5,12).故選D.2．已知α是三角形的內角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).求tanα的值是()A．－eq\f(3,5) B.－eq\f(4,5)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：選D聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得cosα＝eq\f(1,5)－sinα，將其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形的內角，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).3．已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，則cosα－sinα的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)解析：選B∵eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，∴cosα＜0，sinα＜0且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0，又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，∴cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2).4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＜α＜π))，則sinα－cosα＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)，得sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，①將①兩邊平方得1＋2sinαcosα＝eq\f(2,9)，故2sinαcosα＝－eq\f(7,9).∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))＝eq\f(16,9).又∵eq\f(π,2)＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.∴sinα－cosα＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sinα＝－eq\f(3,5)，則cos(－α)＝()A．－eq\f(4,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選B因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sinα＝－eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\f(4,5)，即cos(－α)＝eq\f(4,5).2．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，則θ等于()A．－eq\f(π,6) B.－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)解析：選D∵sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3).∵|θ|＜eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3).3．已知tanα＝2，則sin2α＋1＝()A．0 B.eq\f(9,5)C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)解析：選Bsin2α＋1＝eq\f(2sin2α＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α＋1,tan2α＋1)＝eq\f(9,5).4.eq\r(1－2sinπ＋2cosπ＋2)＝()A．sin2－cos2 B.cos2－sin2C．±(sin2－cos2) D．sin2＋cos2解析：選Aeq\r(1－2sinπ＋2cosπ＋2)＝eq\r(1－2sin2·cos2)＝eq\r(sin22－2sin2·cos2＋cos22)＝|sin2－cos2|.又∵eq\f(π,2)＜2＜π，∴sin2＞0，cos2＜0.∴|sin2－cos2|＝sin2－cos2.5．如果sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－A))的值是________．解析：∵sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，∴－sinA＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－A))＝－sinA＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)二保高考，全練題型做到高考達標1．已知tan(α－π)＝eq\f(3,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝()A.eq\f(4,5) B.－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選B因為tan(α－π)＝eq\f(3,4)，所以tanα＝eq\f(3,4).又因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α為第三象限的角，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα＝－eq\f(4,5).2．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2018)＝5，則f(2019)的值是()A．2 B.3C．4 D．5解析：選B∵f(2018)＝5，∴asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＋4＝5，即asinα＋bcosβ＝1.∴f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·寧波五校聯(lián)考)已知傾斜角為α的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1009π－2α))的值為()A．－eq\f(3,5) B.eq\f(3,5)C．2 D．－eq\f(1,2)解析：選B由題意可得tanα＝2，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1009π－2α))＝－cos2α＝－eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(1－tan2α,tan2α＋1)＝eq\f(3,5).4．當θ為第二象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)時，eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))的值是()A．1 B.－1C．±1 D．0解析：選B∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，∴coseq\f(θ,2)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(θ,2)在第一象限，且coseq\f(θ,2)<sineq\f(θ,2)，∴eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝－1.5．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan22π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)＝()A.eq\f(3,5) B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,4)解析：選B由5x2－7x－6＝0，得x＝－eq\f(3,5)或x＝2.則sinα＝－eq\f(3,5).故原式＝eq\f(cosα－cosα·tan2α,sinα·－sinα·－sinα)＝eq\f(1,－sinα)＝eq\f(5,3).6．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為()A．1＋eq\r(5) B.1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)解析：選B由題意知sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,4).∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5)，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq\r(5).7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________．解析：由題意知，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.答案：08．sineq\f(4π,3)·coseq\f(5π,6)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))的值是________．解析：原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).答案：－eq\f(3\r(3),4)9．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1＝2.10．已知sin(3π＋θ)＝eq\f(1,3)，求eq\f(cosπ＋θ,cosθ[cosπ－θ－1])＋eq\f(cosθ－2π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cosθ－π－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝eq\f(1,3)，∴sinθ＝－eq\f(1,3).∴原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,cosθ·－cosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(cosθ,－cos2θ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝18.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(91,2).答案：eq\f(91,2)2．已知f(x)＝eq\f(cos2nπ＋x·sin2nπ－x,cos2[2n＋1π－x])(n∈Z)．(1)化簡f(x)的表達式；(2)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2018)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(504π,1009)))的值．解：(1)當n為偶數，即n＝2k(k∈Z)時，f(x)＝eq\f(cos22kπ＋x·sin22kπ－x,cos2[2×2k＋1π－x])＝eq\f(cos2x·sin2－x,cos2π－x)＝eq\f(cos2x·－sinx2,－cosx2)＝sin2x；當n為奇數，即n＝2k＋1(k∈Z)時，f(x)＝eq\f(cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x],cos2{[2×2k＋1＋1]π－x})＝eq\f(cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x],cos2[2×2k＋1π＋π－x])＝eq\f(cos2π＋x·sin2π－x,cos2π－x)＝eq\f(－cosx2sin2x,－cosx2)＝sin2x，綜上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2018)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(504π,1009)))＝sin2eq\f(π,2018)＋sin2eq\f(1008π,2018)＝sin2eq\f(π,2018)＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,2018)))＝sin2eq\f(π,2018)＋cos2eq\f(π,2018)＝1.第三節(jié)三角函數的圖象與性質1．用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖正弦函數y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象上，五個關鍵點是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．余弦函數y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象上，五個關鍵點是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z).函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRxx∈R，且xeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))為增；eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))為減[2kπ－π，2kπ]為增；[2kπ，2kπ＋π]為減eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(π,2)))為增對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ[小題體驗]1．①y＝cos2x;②y＝sin2x;③y＝tan2x;④y＝|sinx|四個函數中，最小正周期為π的奇函數是________．答案：②2．(教材習題改編)函數y＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋2的定義域為________________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,3)))，k∈Z))1．閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎上分析單調性，含參數的最值問題，要討論參數對最值的影響．2．要注意求函數y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時ω的符號，盡量化成ω>0時的情況．3．三角函數存在多個單調區(qū)間時易錯用“∪”聯(lián)結．[小題糾偏]1．函數y＝4sin(－x)，x∈[－π，π]的單調性是()A．在[－π，0]上是增函數，在[0，π]上是減函數B．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是減函數C．在[0，π]上是增函數，在[－π，0]上是減函數D．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))上是增函數，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是減函數答案：D2．函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為________．解析：由已知x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，故函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最小值為－eq\f(\r(2),2).答案：－eq\f(\r(2),2)eq\a\vs4\al(考點一三角函數的定義域)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[題組練透]1．函數y＝eq\r(2sinx－1)的定義域為____________．解析：由2sinx－1≥0，得sinx≥eq\f(1,2)，所以2kπ＋eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)2．函數y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定義域為______________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x>0，,9－x2≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ<x<kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－3≤x≤3.))∴－3≤x<－eq\f(π,2)或0<x<eq\f(π,2).∴函數y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定義域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[謹記通法]三角函數定義域的求法求三角函數定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數圖象來求解．eq\a\vs4\al(考點二三角函數的值域或最值)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)[典例引領]1．函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為()A．2－eq\r(3) B．0C．－1 D．－1－eq\r(3)解析：選A∵0≤x≤9，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)x－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).∴y∈[－eq\r(3)，2]，∴ymax＋ymin＝2－eq\r(3).2．(2017·全國卷Ⅲ)函數f(x)＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的最大值為()A.eq\f(6,5) B.1C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,5)解析：選A因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，所以f(x)＝eq\f(6,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，于是f(x)的最大值為eq\f(6,5).3．函數y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域為________________．解析：設t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－1≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.當t＝1時，ymax＝1；當t＝－1時，ymin＝－1.∴函數的值域為[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2017·全國卷Ⅱ)函數f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．解析：依題意，f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4)＝－cos2x＋eq\r(3)cosx＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(\r(3),2)))2＋1，因為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosx∈[0,1]，因此當cosx＝eq\f(\r(3),2)時，f(x)max＝1.答案：1[由題悟法]三角函數最值或值域的3種求法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所給三角函數化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函數單調性寫出函數的值域．(3)換元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx換成t，轉化為二次函數．[即時應用]求函數y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最大值與最小值．解：令t＝sinx，∵|x|≤eq\f(π,4)，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).∴y＝－t2＋t＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，∴當t＝eq\f(1,2)時，ymax＝eq\f(5,4)，當t＝－eq\f(\