云南省曲靖市2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析

曲靖市2024-2025學(xué)年高三年級(jí)第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題卷（本卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前、考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】，，.故選：B.2.若雙曲線的焦距為4，實(shí)軸長(zhǎng)為2，則其離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求出得解.【詳解】由題可得，，，所以雙曲線的離心率為.故選：A.3.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.42 B.49 C.56 D.72【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列求和公式計(jì)算求解.【詳解】等差數(shù)列中，因?yàn)?，則，則.故選：C.4.已知復(fù)數(shù)和，滿足，則（）A. B.3 C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)平方關(guān)系計(jì)算求和即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)和，滿足，則，所以，所以.故選：C.5.有一組樣本數(shù)據(jù)為0，1，2，3，4，5，在其中添加一個(gè)數(shù)構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，若，則新舊樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)相等的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念可知，當(dāng)為1，2，3，4，5時(shí)，新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變，進(jìn)而求出概率.【詳解】由題意，，，所以原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第二個(gè)數(shù)，所以，當(dāng)為1，2，3，4，5時(shí)，新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變，所以，新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變的概率是.故選：D.6.在扇形中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系、若，，為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出與的模，進(jìn)而得到的三角函數(shù)值，再根據(jù)為的中點(diǎn)，得到的三角函數(shù)值，最后利用三角函數(shù)求出的坐標(biāo).【詳解】根據(jù)向量模的計(jì)算公式，若，則.已知，則；，則.

可得.所以.則.

則.

根據(jù)半角公式，；

因?yàn)椋O(shè).；.所以.

故選：B.7.已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，過棱作球的截面，則所得截面面積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出三棱錐外接球的半徑，取的中點(diǎn)，當(dāng)垂直截面時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面圓的直徑為長(zhǎng)，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面圓的面積最大，即可得解.【詳解】如圖，作平面，垂足為，取中點(diǎn)，外接球的球心為，連接，易得為的中心，則，所以，設(shè)外接球半徑為，則，即，解得，當(dāng)垂直過的截面時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面圓的直徑為長(zhǎng)，最小面積為，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面圓的面積最大，最大面積為，故截面面積的取值范圍是.故選：B.8.已知是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.2025【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用函數(shù)得單調(diào)性可得，運(yùn)算得解.【詳解】由題可得，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，則.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是由題得到，構(gòu)造函數(shù)并根據(jù)單調(diào)性得到.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】對(duì)于A，的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，，，由的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，將代入解析式得，所以不是的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故D正確.故選：ABD.10.若的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則（）A.B.展開式中只有第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為1960D.展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有2項(xiàng)【答案】AC【解析】【分析】由題設(shè)得即可求解n判斷A；由得二項(xiàng)式系數(shù)最大的是即可求解判斷B；求出展開式的通項(xiàng)公式，再令即可求解判斷C；由通項(xiàng)公式令即可求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的是，分別為展開式中的第三項(xiàng)和第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，即展開式中項(xiàng)系數(shù)為1960，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，所以若，則時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為，均為有理項(xiàng)，所以展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有3項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.“臉譜”是中國戲劇中特有的化妝藝術(shù)．“臉譜”圖形可近似看作如圖所示的由半圓和半橢圓組成的曲線．若半圓的方程為，半橢圓的方程為，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在半橢圓上，且，則面積的最大值為30B.若，，是半橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是C.若、是半橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）是線段的中點(diǎn)，則D.若曲線在點(diǎn)處切線為，半橢圓的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，易得，，從而求解判斷；對(duì)B，由橢圓定義可得到，由基本不等式可以得到，結(jié)合余弦定理即可求出的最小值；對(duì)C，設(shè)，，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求解判斷；對(duì)D，求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，進(jìn)而求出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在半橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則，，，當(dāng)點(diǎn)在長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值為30，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槭前霗E圓上上一點(diǎn)，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)在短軸頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，，則，，又，兩式相減得，則，即.故C正確；對(duì)于D，由橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，則切線的斜率為，點(diǎn)，所以直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，即，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題選項(xiàng)D解題的關(guān)鍵是求出橢圓在點(diǎn)處的切線方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線：與：平行，則與間的距離為__________．【答案】【解析】【分析】由兩直線平行可求得，再由平行線間的距離公式代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由與兩直線平行可得，解得；即可得：，所以與間的距離為.故答案為：13.在棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，則這兩點(diǎn)間的距離的均值為__________．【答案】【解析】【分析】立方體的個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇個(gè)作為線段的端點(diǎn)共有種可能，結(jié)合各種不同的長(zhǎng)度線段的條數(shù)可以計(jì)算得到線段長(zhǎng)度的均值.【詳解】立方體的個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇個(gè)作為線段的端點(diǎn)共有種可能，其中有條棱，長(zhǎng)度為，12條線段為立方體的個(gè)表面的對(duì)角線，長(zhǎng)度為，另有四條線段為立方體的體對(duì)角線，長(zhǎng)度為，根據(jù)均值的定義，計(jì)算均值為.故答案為：14.已知，函數(shù)，若，使得關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】首先作出的圖象，即可求出在的取值范圍，依題意可得，結(jié)合圖象可得的解集，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則定義域?yàn)?，所以的圖象是取與圖象位于下方的部分，作出的圖象如下所示（實(shí)線部分）：當(dāng)時(shí)，顯然在上單調(diào)遞減，且；因?yàn)?，使得關(guān)于的不等式成立，所以，令，解得，結(jié)合圖象可得的解集為或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是畫出的圖象，結(jié)合圖象得到的解集.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知拋物線：的焦點(diǎn)為．過點(diǎn)的直線與拋物線相交于A，兩點(diǎn)，且，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的方程；（2）若直線的傾斜角為銳角，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求外接圓的一般方程.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)，，由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出p得解；（2）由題設(shè)設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立依次求出和即可求出m，進(jìn)而求出點(diǎn)A、B，再設(shè)外接圓的一般方程列出方程組即可計(jì)算求解.【小問1詳解】設(shè)，，則，，拋物線的方程為．【小問2詳解】由題意可知直線不與軸重合，又，故可設(shè)直線的方程為，由，得，故．又，故．直線的傾斜角為銳角，，將帶入，解得或，不妨設(shè)點(diǎn)A在軸下方，則，，設(shè)外接圓的一般方程為，則，解得，所以外接圓的一般方程為．16.已知函數(shù)，設(shè)銳角三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，．（1）若，，，求的值；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若，，，求的取值范圍．【答案】（1），．（2）．【解析】【分析】（1）由二倍角和輔助角公式求得，再結(jié)合正、余弦定理即可求解；（2）根據(jù)圖像變換確定，求出，然后得到，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求解.【小問1詳解】．，．又，故，，故．，由正弦定理得．又，由余弦定理得．，．【小問2詳解】由題意可知，．且，．．為銳角三角形，,，，即的取值范圍是．17.在四棱錐中，平面，，．（1）若，為的中點(diǎn)，且平面，求的長(zhǎng)；（2）若，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．【答案】（1）4（2）．【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，易證，由平面，可得，四邊形為平行四邊形，得得解；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面和平面一個(gè)法向量結(jié)合二面角的大小為，求出，由運(yùn)算得解.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，，則，且．，．平面，平面，平面平面，．又，四邊形為平行四邊形．，又，．【小問2詳解】平面，平面，，又，，且平面，平面，平面，．如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，．，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故．又，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，故．二面角的大小為，所以，，，即．，即三棱錐的體積為．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）．【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，即得切線方程；（2）函數(shù)求導(dǎo)分解因式后，對(duì)參數(shù)分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即得原函數(shù)的單調(diào)性；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，對(duì)參數(shù)分類，分析函數(shù)的單調(diào)性，極值以及圖象變化趨勢(shì)，結(jié)合特殊值，即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，．又，故在處的切線方程為：．【小問2詳解】．當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不符合題意，故．由（2）知，當(dāng)時(shí)，．有兩個(gè)零點(diǎn)，．又，．令，則，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，即．又，在上有一個(gè)零點(diǎn)；，．當(dāng)時(shí)，，在上有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問解題的關(guān)鍵是由（2）得，，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn).19.當(dāng)今社會(huì)，每天都有海量信息通過網(wǎng)絡(luò)等渠道快速傳播，雖提供了豐富知識(shí)和多樣視角，但也存在信息過載、虛假信息等問題，需要我們謹(jǐn)慎篩選辨別．信息論之父香農(nóng)（C.E.Shannon）在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小與信息中每個(gè)符號(hào)（數(shù)字、字母或單詞）的出現(xiàn)概率或者說不確定性有關(guān)，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計(jì)算“信息熵”的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而解決了對(duì)信息的量化度量問題．設(shè)隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，…，，且，，定義的“信息熵”為．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若，探究與是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，說明理由；（3）若，，，求此時(shí)的．【答案】（1）0（2）