山東省淄博市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

學(xué)年度第一學(xué)期高二教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡上.2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.從標(biāo)有12345五張卡片中無放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之和是6）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】從五張卡片中無放回隨機(jī)抽取兩張則可能結(jié)果有，，，，，，，，，共個(gè)；其中滿足兩張卡片數(shù)字之和是6的有、共個(gè)，所以抽到的兩張卡片數(shù)字之和是6的概率.故選：A2.已知直線，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為B.當(dāng)時(shí)，C.若，則第1頁/共21頁D.直線的縱截距為a【答案】D【解析】AB和C；求出的縱截距后可判斷D．【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，直線，斜率，則傾斜角為，故A錯(cuò)誤；對于B，等價(jià)于，解得，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則且，故，故C錯(cuò)誤；對于D，，當(dāng)時(shí)，直線的縱截距為，故D正確.故選：D.3.設(shè)，則（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由向量的關(guān)系列等式求解x，y的值，再運(yùn)用向量的數(shù)乘及加法的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合向量的模計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，∴，解得∴，∴故選：C．4.若點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)總能作圓的切線，則的最小值為（）A.B.C.2D.第2頁/共21頁【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相離或相切可求的最小值.【詳解】因?yàn)檫^總能作圓的切線，故點(diǎn)在圓外或圓上，也即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最小值為.故選：B.5.將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.錐為陽馬，平面，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，若，則（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可求，從而可求它們的和.【詳解】因?yàn)?，故，而，而不共面，故，故，故選：C第3頁/共21頁6.如圖，在長方體中，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為xyz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸，y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則．從而.設(shè)平面的法向量為，則，即，得，令，則，所以點(diǎn)E到平面的距離為．第4頁/共21頁故選：A.7.已知、分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，是橢圓上異于、與斜率之積，則此橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由可求得該橢圓離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，且，可得，易知、，所以，所以，可得，故.故選：D.8.正方體的棱長為3，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是正方體下底面內(nèi).(含邊界)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為9的最大值是（）A.2B.C.D.【答案】B第5頁/共21頁【解析】，，即為到直線的軌跡是以為準(zhǔn)線，點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，然后建立平面直角坐標(biāo)系求解.【詳解】如圖，作于，因平面，，則平面，過點(diǎn)作于，因?yàn)椋?，而平面，故平面，所以長即為到直線的距離.因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，如圖建立直角坐標(biāo)系，則，則點(diǎn)的軌跡方程是，設(shè)，所以，所以當(dāng)，取得最大值.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：空間中點(diǎn)的軌跡，往往利用空間中的點(diǎn)線面的關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面中動點(diǎn)的軌跡的問題，后者往往需要利用曲線的定義來處理.第6頁/共21頁二.多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)事件，，，則下列說法正確的是（）A.若事件與事件相互獨(dú)立，則B.是事件與事件互為對立事件的充要條件C.若事件與事件互斥，，則D.若事件與事件相互獨(dú)立，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷A，舉反例判斷B，根據(jù)互斥事件的定義可得，再由對立事件的概率公式判斷C，根據(jù)和事件的概率公式判斷D.【詳解】對于A：若事件與事件相互獨(dú)立，則，故A正確；對于B：由推不出事件與事件互為對立事件，如拋擲一枚骰子，記，，則，所以，顯然事件與事件不對立，故B錯(cuò)誤；對于C：若事件與事件互斥，，則，，所以，故C正確；對于D：若事件與事件相互獨(dú)立，則，故D正確.故選：ACD10.已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（）第7頁/共21頁A.的方程為B.在上存在點(diǎn)，使得C.在上不存在點(diǎn)，使得D.上的點(diǎn)到直線的最小距離【答案】ABC【解析】求出曲線的方程可判斷AB判別式符號判斷C；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可判斷D.【詳解】已知，點(diǎn)滿足，設(shè)，則，整理得，即，故A正確；的圓心為半徑為4，因?yàn)?，所以D在以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的圓O上，因?yàn)?，所以圓O與圓C相交，所以在曲線C上存在點(diǎn)D，使得，故B正確；設(shè)，由得，即①，假設(shè)上存在點(diǎn)符合題意，則②，①②可得，代入①可得，方程無解，假設(shè)不成立，即在C上不存在點(diǎn)M，使得，故C正確；C的圓心到直線的距離，所以C上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC:的第8頁/共21頁等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③逆代法，將代入.已知曲線，則下列說法正確是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線關(guān)于對稱B.當(dāng)時(shí)，的最大值為2C.當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則D.當(dāng)時(shí)，曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為，代入方程即可判斷A，令，，利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B，由即可求出的取值范圍，即可判斷C，利用基本不等式求出的最小值，即可判斷D.【詳解】對于A：當(dāng)時(shí)曲線，設(shè)點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為，所以即，故點(diǎn)不在曲線上，所以曲線不關(guān)于對稱，故A錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)時(shí)曲線，即，令，，第9頁/共21頁則，所以當(dāng)，即時(shí)取最大值，所以的最大值為，故B正確；對于C：當(dāng)時(shí)曲線，則，所以，解得或，所以，故C正確；對于D：當(dāng)時(shí)曲線，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，所以，所以曲線上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)關(guān)鍵是三角換元，D選項(xiàng)關(guān)鍵是利用基本不等式求出的最小值.三.填空題：本題共3小題，每小題5分.共分.12.在正方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，，則異面直線與所成角的正弦值為_____.【答案】##【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值.第10頁/共21頁【詳解】設(shè)正方體中棱長為3，以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則.即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.13.已知直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【解析】【分析】利用直線與半圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)數(shù)形結(jié)合后可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】曲線即為半圓：，而直線過定點(diǎn)，如圖：當(dāng)直線過時(shí)，，過時(shí)第11頁/共21頁當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，，故或（舍）故當(dāng)直線線與半圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：14.已知點(diǎn)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的倍，則該橢圓的離心率為_____.【答案】【解析】中利用余弦定理求得圓半徑，和正弦定理可得外接圓半徑，結(jié)合已知可解.【詳解】根據(jù)橢圓的定義，余弦定理，面積相等即可求解.如圖，由橢圓的定義可知，且，又，利用余弦定理可知：，化簡可得，第12頁/共21頁所以的面積為，設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，由正弦定理可得，可得，易知的周長為，利用等面積法可知，解得，又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的倍，即，所以，即可得，所以，離心率.故答案為：(或離心率的取值范圍)有兩種方法：求出，，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于，，的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為，的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)．四．解答題：本題共5小題，共分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.15.在某次1500，甲，乙，丙三人是否通過測試互不影響，求:（1）只有2人通過體能測試的概率；（2）至少有1人通過體能測試的概率.【答案】（1）第13頁/共21頁（2）【解析】1“甲通過測試”“乙通過測試”“丙通過測試”件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（2）利用相互獨(dú)立事件及對立事件的概率公式計(jì)算可得.【小問1詳解】設(shè)事件“甲通過測試”，事件“乙通過測試”，事件“丙通過測試”，由題意有．設(shè)事件“甲?乙?丙3人中恰有2人通過測試”，則，所以；【小問2詳解】設(shè)事件“甲?乙?丙3人中至少有1人通過測試”，則的對立事件.16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)距離相等，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為32，求的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由拋物線的定義即可求出拋物線方程；(2)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程消去，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合面積即可求解.【小問1詳解】第14頁/共21頁由已知有：動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)，顯然直線的斜率不為0，可設(shè)直線，聯(lián)立，則，，所以，原點(diǎn)到直線的距離為：，所以，解得，所以直線的方程為：或.17.已知圓與圓，直線（1）判斷與圓的位置關(guān)系并證明；（2分別作兩圓的切線(分別為切點(diǎn))，求的最小值.【答案】（1）與圓相交.（2）第15頁/共21頁【解析】1）求出動直線所過的定點(diǎn)后可判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）先求出的軌跡方程后利用點(diǎn)到直線的距離公式可求最小值.【小問1詳解】直線的方程可化為：，令，故，故直線過定點(diǎn)，而，故該定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故與圓相交.【小問2詳解】兩圓的半徑均為1，因?yàn)?，故即，故，故，故的軌跡為直線.因?yàn)楸硎荆?，?故的最小值為.18.如圖，四棱錐，平面平面，，，，，，，.（1）證明:（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若點(diǎn)是平面內(nèi)的動點(diǎn)，且平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；第16頁/共21頁（2）（3）【解析】1平面，，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面此證明，結(jié)合，由線面垂直判定定理證明平面，由此證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量與平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求結(jié)論；（3）由（1）求平面的法向量，結(jié)合（2）求平面的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.【小問1詳解】因平面平面，平面平面，，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，平面，所以，【小問2詳解】由（1）平面，如下圖，以為原點(diǎn)，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，，，所以，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，第17頁/共21頁所以為平面的一個(gè)法向量，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值；【小問3詳解】由（1）平面，所以為平面的一個(gè)法向量，由（2）為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槠矫妫?，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，又，，則，即，取，則，，所以為平面的一個(gè)法向量，所以設(shè)平面與平面夾角