導(dǎo)數(shù)選擇壓軸題（解析版）

第2講導(dǎo)數(shù)選擇壓軸題

一、單選題:

1.(2021?湖北B4聯(lián)盟)已知大于1的正數(shù)。，人滿足畢,則正整數(shù)〃的最大值為()

A.7B.8C.9D.11

【答案】C

【分析】喀等價于察<g，令〃力=咤，g⑴=。，分別求〃x),g(x)的導(dǎo)數(shù),

eaDcix

，g(x)有最小值g

判斷函數(shù)的單調(diào)性，可求得/(x)有最大值(對根據(jù)題意,

“俞’等價于曹2嗚’令“上x+2X

即求/(x)M〈g(xL，代入為”-In-,即求

GJx-22

。(五)>0的最大的正整數(shù).對e(x)求導(dǎo)求單調(diào)性，可知o(x)單調(diào)遞減，代入數(shù)值計算即可求出結(jié)果.

【解析】由題干條件可知：空<5等價于y<?’

令”工)=二，則/⑺=xn~}?Inx(2一〃Inx)Inx(2-nInx)

,r+l

Xx

/")=。，X-，

?VV*

(2\/2

當(dāng),(x)>0時，XG\,en,當(dāng)尸(x)<0時，XGe",+oo

\/

/2\(

”(x)在l,e"上單調(diào)遞增，在e〃,+8上單調(diào)遞減，則/(X)有最大值

62g_〃)nn

令g(")=(x>1)?則g'(x)=,當(dāng)一時，此題無解，，一＞1,

XJV22

則g'(x)=O，x=],當(dāng)g'(x)>O,x>],當(dāng)g'(x)<°,l<x<],

???g（力在蕓上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

i2L2a￡

若匹2<J成立，只需/第

hHan<

2

n〃+2

兩邊取對數(shù)可得：/?+2＞（n-2）ln-.〃=2時，等式成立,當(dāng)〃之3時，有之吟

2n-2

xI2x

令c（x）二三一一In-,本題即求0（x）＞O的最大的正整數(shù).

x22

^，（-y）=2?V~~＜0恒成立，則。（力在艮收）上單調(diào)遞減，e(8)=[-In4>0,

（X—Z）X

IIQ3

火9）=——ln-?1.5714-1.51＞0,°（10）=——ln5＜0,：?。（力＞0的最大正整數(shù)為9.故選C.

722

【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)法解沃恒成立問題.

方法點暗雙變元的恒成立問題，經(jīng)常采用構(gòu)造成兩個函數(shù)，轉(zhuǎn)化為〃X）＜g（X2），若〃石）2

則復(fù)合恒成立的情況.

-X?

2.（2021?湖北B4聯(lián)盟）已知集合A=,十"，,集合8={x|202Lr+lnx22021},若

bJ

BQA,則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.[-e,e]C.[-l,e]D.[-1,1]

【答案】A

【分析】先求出集合8,再根據(jù)包含關(guān)系可得一"'+"lnx工]在口收）上恒成立即

x

xa-\nx（l＜e-x-In（"、）在[1,出）上恒成立，就a40,0v。K1,。＞1分類討論后可得正確的選項.

[解析]先考慮不等式202支+Inx22021的解，,:y=202Lt,y=In＞均為（0,+8）上的增函數(shù),

故f(x)=2021x+lnx為(O,+e)上的增函數(shù)，故3=[l,+oo).

故［1,+8)為不等式Z-'-r16/lnv<1的解集的子集，即產(chǎn)】1在［l,+oo)上恒成立，

XX

故/一In"X-In("X)在［L+8)上恒成立.

令g(f)=f-hu,則g，()=l」=E故當(dāng)Ovfvl時,g'⑺<0,故g(。在(0,1)上為減函數(shù);

tt

當(dāng)經(jīng)1時，/(。>0,故g(，)在(1，內(nèi))上為增函數(shù)；

當(dāng)“W0時，???工21,故無“￡(0,1］,"］￡(0,1),故/2"、在［1,4W)上恒成立，即0之一」一在［1,”)

111人

上恒成立，令S(x)=-上，故“力=一電?！荆?/p>

\nxln~N

當(dāng)1〈戈<e時，S'(x)>0,當(dāng)了>?時?，V(x)<0,故S(x)在［l,e］上為增函數(shù)，在［e,+8)上為減函數(shù)，

故S(x)=——=-e,故a2-6即-eWaK0.

'/maxIne

若。>0,當(dāng)OcaWl時，Vx>b故???爐—(注意e-'N—Inx恒

成立)，故0<。<1符合題意.

當(dāng)a>1時，???xa-\nxa<"X-In(e-')在［1,+oo)上恒成立，

3a

故_me<e』一m(e3)=+3e,即_3a<e3+,

設(shè)7(。)=*'-3aM>1,則7'(a)=袁“一3>0,故T(a)在仕+⑹上為增函數(shù)，

故%)"(1)=人3>(|)—3啜>12>3e+1>3e+/3,故e3a-3a<"3。+3G不成立，故a>1舍

去，綜上，一eWaWl.故選A.

【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下的不等式恒成立問題，應(yīng)該根據(jù)不等式中解析式的特點合理轉(zhuǎn)化，特別是

對于指數(shù)與對數(shù)同時出現(xiàn)的形式，可利用同構(gòu)的思想進行轉(zhuǎn)化.

3.(2021?浙江紹興市?高三期末)已知。、bwR,且時工0,對任意x>0均有

(lnx-6z)(x-Z2)(x-tz-Z?)>0,則()

A.avO,Z?<0B.?<0,b>0

C.tz>0*b<0D.a>0,b>0

【答案】B

【分析】推導(dǎo)出lnx-a與x—/符號相同，構(gòu)造函數(shù)/(x)=(x1")(1一〃)(/一。一〃)，然后對四個選項

中的條件逐一驗證，即可得出合適的選項.

XX

【解析】\nx-a=\nx-\nea=\n—,故lnx—a與ln="的符號相同，

e(e

xX

當(dāng)hiy>O=lnl時，x>e“；當(dāng)hi-7v0=In1時，x<ea-

ee

，lnx-a與x-e"的符號相同.

.".(lnx-6z)(x-^)(x-?-Z?)>0<=>(x-e<,j(x-/?)(x-?-￡>|>0,

令F(x)=(x-e")(x-〃)(x—a-Z?)，，當(dāng)x>0時，f(x)之0恒成立，

令f(x)=O,可得X1=e",x2=b,xy=a+b.

ab手0,分以下四種情況討論：

對十A選項，當(dāng)。<0,〃<0時，則a+hvbvOc",當(dāng)0</<，時，/(x)<0,小合乎題意，A選項

錯誤；

對于B選項，當(dāng)〃<0,匕〉0時,則。+人〈力，

若。+〃>0,若a+b、b、e”均為正數(shù)，

①若/=〃，則/(力=(%一〃一人)"一32,當(dāng)0cxva+8時，/(x)<0,不合乎題意；

②若，=4+〃，則/(X)=(X-Q—〃『(X—人)，當(dāng)0cx+〃時，/(X)<O,不合乎題意.

③若。+力、b、/都不相等，記仁min{"a+"e"},則當(dāng)0cxe，時，/(x)<0,不合乎題意.

由上可知'"后。，當(dāng)、>。歸，若使得小)2恒成立'則,=1>0,如下圖所示‘

???當(dāng)av。，人>0時，且/7=廣>0時，當(dāng)戈>0時，/(“之。恒成立;

對于C選項，當(dāng)4>0,。<0時，則〃<4+人，

①若時，則當(dāng)0cxec。時，/(%)<0,不合乎題意；

②當(dāng)Q+〃:>0時，構(gòu)造函數(shù)g(4)=e“-q-/?,其中a〉0,g'(a)=e"-1>0,

a

函數(shù)g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增：則g(a)>g(O)=l-A>0,,\e>a+b.

當(dāng)〃+〃<xve“時，由于x—〃>0,則/(力<。，不合乎題意，C選項錯誤：

對于D選項，當(dāng)〃>0,人>0時，^b<a+b,此時/?、〃+力、e“為正數(shù).

①當(dāng)8、a+b、/都不相等時，記ymin{〃,〃+。,/},當(dāng)0c<，時，/(z)<0,不合乎題意；

②若人=?",則/(x)=(x-b)~(x-o—〃)，當(dāng)0<無</?時，/(%)<0,不合乎題意；

③當(dāng)e“=a+b時，f(x)=(x-b)(x-a-by,當(dāng)0cxvZ?HT,/(x)<0,不合乎題意.

，D選項錯誤.故選B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于以下兩點：

(1)分析lnx-〃與x-e"同號；

(2)對8、a+b、/的大小關(guān)系進行討論，結(jié)合穿針引線法進行驗證.

4.12021?江蘇省天一中學(xué)高三二模)若不等式。ln(x+l)—/+2/>0在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的解集中有且僅有

三個整數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是

932，932、(9329

，D.------,+co

21n2'而2n2'記I21n2ln5121n2

【答案】C

【分析】由題可知，設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g(x)的極值點，得出單調(diào)

性，根據(jù)。ln(x+l)-V+2/〉o在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為/(x)>g(x)在區(qū)

間(0,+8)內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)。的取值范圍.

4

【解析】設(shè)函數(shù),f(x)=〃ln(x+l),g(x)=x3-2x2,Vg'(x)=3%2-4x,，g'(x)=0,.?/=0或%=司,

44f

?.?0<x<時，/(x)vO,或工<0時，g(x)>0,g(0)=g(2)=0,其圖象如下：

JJ

當(dāng)演。時，/(x)>g(x)至多一個整數(shù)根:

f(3)>g(3)

當(dāng)〃〉0時，/0)>g(幻在(。,48)內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需<1,八］八

17(4),,g(4)

4zln4>33-2x32932

<a,.故選C.

aIn5^4--2x4221n2hr5

【點睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)

合思想和解題能力.

5.(2021.江西八校4月聯(lián)考)已知函數(shù)/3)Jnx+1-M有兩個零點以〃，且存在唯一的整數(shù)

x

與￡(劣份，則實數(shù)機的取值范圍是()

D.(。罕

【答案】B

【分析】由題意可知加二”1.構(gòu)造函數(shù)〃。）=嗎［。＞0）,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)〃*）的單調(diào)性及極

x~x~

值，又X=1時，〃。）=。；當(dāng)X'”時，/7（x）f0,作出函數(shù)〃（幻的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求

e

解.

2

■幻,IT、L*、lnx+1-wix-八，曰lnx+1

【解析】由題盡/(x)=-----------=0>得m=----—,

x廠

lnx+1.、八、十曰〃/、x-2x(lnx+l)l-2(lnx+l)一(21nx+l)

設(shè)n(x)=——(x>0),求導(dǎo)h(x)=------------=------:----=------；----

XXXX

令力'(幻=0,解得

A-c

當(dāng)n-C時，〃⑴單調(diào)遞增；當(dāng)時，h\x)<0,單調(diào)遞減;

U、人、匕4/V

故當(dāng)丫_“6時，函數(shù)取得極大值，且入（”）=￡

A—c2

又4二，時，/?（x）=0；當(dāng)x—＞田時，Inx+l＞。,/＞0,故〃（x）f0：

作出函數(shù)大致圖像，如圖所示:

???存在唯一的整數(shù)與G（a,b），使得》=機與/?0）二絲把

的圖象有兩個交點，由圖可知：〃（2）Wmv〃（l）,

x

故選B.

4

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法:

（D直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍;

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

6.(2021.河南焦作市?高三三模)已知曲線G：/(x)=皓'在x=0處的切線與曲線G：

且(幻=生X(4￡2在X=1處的切線平行，令力(X)=/(X)g(R),則〃(此在(0,+8)上()

X

A.有唯一零點B.有兩個零點C.沒有零點D.不確定

【答案】A

也f求導(dǎo)，根據(jù)兩曲線在X=1處的切線平行，由導(dǎo)數(shù)的幾何意

【分析】先對函數(shù)/(x)=x/和g(x)=

義求出。，得到函數(shù)〃(x)=/(x)g(x)="lnx,對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法判定單調(diào)性，確定其在(0,+3)

上的最值，即可確定函數(shù)零點個數(shù).

【解析】:/(x)=靖，,ra)=(l+x)，,又8(工)=納"，，g'(x)=a-a\nx

X

由題設(shè)知,由⑼=g'⑴,即(1+0)/=佇”

々=1,則力(/)=/(x)g(x)=xex?=exInx,

X

.\「-(xlnx+l)《

??n(x)=elnx+—=----------，x>0?

令m(x)=xlnx+l,x>0,則加(x)=lnx+l,

(n，

當(dāng)了e0,-時，m(x)<0,即函數(shù)〃?(x)=xlnx+l單調(diào)遞減；

\e)

當(dāng)工e-,+oo\bJ-,〃j(_r)>0,即函數(shù)/〃(％)-xlnx+1單調(diào)遞增;

]A]

???在(0,+8)上加(x)的最小值為機-=1一一>0,Am(x)>0,則力'(司>0,，/[(力在(0,+功上單

\^/e

調(diào)遞增，且〃(i)=o.〃(工)在(0,+。)上有唯一零點，故選A.

【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)零點個數(shù)時，一般需要先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法判定

函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)極值和最值，即可確定函數(shù)零點個數(shù).(有時也需要利用數(shù)形結(jié)合的方法進行判斷)

Ixln^Lx>0,

7.(2021?陜西下學(xué)期質(zhì)檢)已知函數(shù)/(力=，11Mz)1、。關(guān)于工的方程「⑺+以小|=°"WR)

有8個不同的實數(shù)根，則，的取值范圍是()

21

A.——e,+ooB.-e

eee

C.°o,——D.(2,+8)U［-s,-wj

【答案】C

【分析】根據(jù)分段函數(shù)得解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(X)的性質(zhì)，作出函數(shù)/(R)的圖象，將方程有8個

不同的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為方程〃/+M+I=()在值,n存在兩個不同的實數(shù)根或在化+81和仿二［上各有1

5e)le；k

個根，進而得到/的取值范圍.

【解析】當(dāng)x>0時，/(x)=|xlnx|.令尸(x)=xlnx,則尸(x)=lnx+l.

令9(x)=0,則x=/R(：)=T，/(/)=:，

故當(dāng)x〉()時，函數(shù)/(x)在0*)上單調(diào)遞增，

在［jlJ上單調(diào)遞減，在(1,+?)單調(diào)遞增；

當(dāng)工<0時，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在(-L-g)上單調(diào)遞增，在(一:，°)單調(diào)遞減.

乂/閆Wj

U故可畫出函數(shù)/(工)的大致Z圖象如圖所示，

令m=/(x),則已知方程可化為+rm+1=0.

觀察圖象可知，當(dāng)"?>一時，只有2個交點；當(dāng)機=一時有3個交點；當(dāng)一一時，有4個交點;

ee4e

當(dāng)加=1時有5個交點；當(dāng)時，有6個交點.

44

\f1(1、

要想滿足題意，則只需使得方程加2+〃〃+1=0在存在兩個不同的實數(shù)根或在一,+8和0,二上

14ej(eI4J

各有1個根.方程〃，+.+1=0的兩根之積為1，令g(m)=1+〃%+l,

g\~<0,17

由題意只需｛解得/<-一，故選C.

4，

g(4)<0,

【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：

(1)直接求零點：令凡丫)=0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間團，包上是連續(xù)不斷的曲線，且<〃)?/(〃)<(),還必須結(jié)合函

數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

⑶利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同

的值，就有幾個不同的零點.

Inx,x>1

8.(2021?天津十二區(qū)聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)/(幻=fTe,若函數(shù)/)=/%)+以恰有

2個零點，則實數(shù)〃的取值范圍為()

A.-oo,——kJ網(wǎng)51次)B.-1,--JU{0}U(1,+00)

e)

D.(-co,-l)u{0}u-J

【答案】B

【分析】函數(shù)％(x)=/(x)+依恰有2個零點，轉(zhuǎn)化為直線)'=一?與>=/3)的圖象有兩個交點，作出

函數(shù)/(工)的圖象及直線>=一5視察它們交點個數(shù)，對函數(shù)/(力要分類討論，求在原點處或過原點的切線

斜率.

【解析】如圖，數(shù)形結(jié)合，觀察直線了=一，比與曲線)，=/(不)的位置關(guān)系.

2

當(dāng)x￡(-00,0],/(X)=x-xyf\x)=2A--l,,f(0)=-1,故在(0,0)處的切線方程為y=r.

當(dāng)xe[0,1],/U)=-x2+x,同理可得在(0,0)處的切線方程為必=工?

當(dāng)上￡(l,+oo),/(x)=Inx,f(x)=

X

設(shè)切點為億Inr),其中，>1,則過該點的切線方程為)，

/

代人(0,0),得，=6,故過(d1)的切線方程為)，3='x.

e

可得當(dāng)一4￡(一8,-1)502(%1)時，有兩個交點，即函數(shù))』左。)恰有兩個零點.

此時a6u(0}u(l,oo),故選B.

解.

9.(2021?安徽江南十校3月聯(lián)考)當(dāng)x>l時，函數(shù)y=(lnx)2+a]ru+l的圖象在直線產(chǎn)x的下方，則實數(shù)。的

取值范圍是()

A.(-00,e)B.(-00,--------------)

2

4〃一5

C.(-00,z、)D.(-00,e-2)

2

【答案】D

【分析】分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析出單調(diào)性，求出該函數(shù)的最小值，即可得到。的取值范圍.

y-1y-1

【解析】由題意知，a<-----1),構(gòu)造函數(shù)/(力=---------------1),

larIm

F7X)=――1―凹,令g(x)=x-l-hu,則^(x)=l-->0,.g(x)>lg(l)=0,故當(dāng)1vxve

xlrrxx

0'j,F(x)<O,F(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>e時，尸'(力>0,F(x)單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)..F(e)=e-2,

:.a<e—29故選D.

10.(2021?浙江金華市?高三期末)己知函數(shù)/(x)=d+ar”，a、bsR.再、七武"?,〃)且滿足

/(%)=/(〃)，/(￡)=/(〃?)，對任意的工€[〃2,〃|恒有/(〃?)</(力</(〃)，則當(dāng)〃、b取不同的

值時，()

A.〃+2%與加一2々均為定值B.〃一2M與〃7+24均為定值

C.〃一2%與加一2々均為定值D.〃+2%與〃?+2%均為定值

【答案】D

【分析】分析得出”0,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)“X)的單調(diào)性，可得知王為函數(shù)/'(X)的極大值點，%為函

數(shù)f(x)的極小值點，再由/(%)=/(〃)、“蒼)=/(機)結(jié)合因式分解可得出結(jié)論.

【解析】當(dāng)時，r(x)=3f+a之0,此時，函數(shù)/(x)在R上為增函數(shù)，

當(dāng)石、三?如〃)時,/(%)</(〃)，/(工2)>/(相)，不合乎題意，；?av0.

由r(6=o可得工=±舊，

對任意的恒有/(^)</(x)</(n),/(x)^=/(?),

又當(dāng)再、天五加，〃)且滿足/(%)=/(〃)，/(七)=/(6)，

???士為函數(shù)“X)的極大值點，%為函數(shù)/(力的極小值點，則％二—J—@，x2=J--

由.。（％）=/（〃）可得x；+時+〃=，可得（父一〃'）+4（玉-〃）=o,

即（與一〃）卜；+叫+〃2+々）=0,,.,玉工〃，則X；+g+〃2+。=0,

9

-,?jf=可得〃=一31：，.?./+〃x-2x；=0,即（〃一x）（〃+2xJ=0,

.??〃+23=0,同理可得加+29=0,故選D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于以下兩點：

（1）利用已知條件分析出國、七為函數(shù)/（x）的極值點；

（2）利用等式/&）=/（〃），/（9）=/（m）結(jié)合因式化簡得出結(jié)果.

11.（2021.河南駐馬店市.高三期末）已知函數(shù)=吧一e',則.〃，）的最大值是（）

X

A.-1B.-2C.0D.1-e

【答案】A

_eM"’_（lnx+x）―[可得答案.

【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=e]—x—l利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，然后/。）二一1

x

―匚'/./、l+lnx-xev,elllt+A-(lnx+x)-l八、,八，、工.,..

【解析】/(x)=----------------=-1---------------------------(zx>0),設(shè)g(x)=e'-x-l,z(x)=err-l,

XX

當(dāng)上〉0時，，(x)>0,g3)是單調(diào)遞增函數(shù),

當(dāng)工<0時，g\x)<0,g(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，，g(x)min=g(0)=。，

???lnx+x=O時有解，A/(x)=-1--———(lnx+”-l=_]_0=_]故選A.

」\,maxy

【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵點是構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'-x-l利用導(dǎo)數(shù)求出最小值,

考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

12.(2021?浙江紹興市?高三期末)已知函數(shù)/(x)=/一(G>0),若對任意xwR,存在外,乂使得

x~+a

則的最大值為(

/(XI)-/(A2)=/(X)(X1-X2),4)

1864

A.一B.—C/D.——

827125

【答案】C

2x，易知/(冷的值域(0,，對于/(X),

【分析】根據(jù)題意，的值域是八幻二-訴行的值域的子集

只需考慮x<0時，/f(x)>-,求解即可得出結(jié)果.

niaxa

I2x

【解析】/(x)=-^—(4/>0),/.=

x~+a(X~+a)~

/㈤一/⑸

當(dāng)王工王時，/(^1)-/(X2)=/(X)(X|-X2)<=>/(X)

若對任意X￡R,存在%，看使得/(%)—/(工2)=/(冷(工1一天)，即存在/'(%)=/(%)，

???/(x)的值域為(0,,.,./'⑴的值域包含(0，，

lx2x2

/.f\x)=

（",）2d+2G?242依+4‘根據(jù)函數(shù)性質(zhì)‘只需研究的值域即可.

X

=3x2+2a-=,xef-oo,-

令g(x)=l+2or+幺，則,g'(x)>0.

Xxj,

一^~a?，。<于<x)&蘭=.

，g\x)<Ot:.g(x)<g

，8a7a

opii2777

由上》解得：6/<—,放。的最大值為二.故選C.

8a&ia6464

【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的最值問題時，一般需要先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研

究函數(shù)單調(diào)性，求出極值，結(jié)合題中條件即可求出最值（有時解析式中會含有參數(shù)，求解時，要討論參數(shù)

的不同取值范圍，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，進行求解）

13.（2021?天津部分區(qū)期末考試）已知函數(shù)/（工）=丁丁[e為自然對數(shù)的底數(shù)），關(guān)于x的方程

rl

[/（x）1-24（x）+cL2=0（aER）恰有四個不同的實數(shù)根，則。的取值范圍為（）

(e1)(4/一2

A.(1+00)B.(2,-HX)C.-----,+ooD.------,+oo

Jc-l)14e-l

【答案】D

【分析】令〃=/（力，由[〃切2一2引力+〃一2=0（4￡/?）,可得“2—2〃〃+〃一2=0,利用導(dǎo)數(shù)分

析函數(shù)/（力的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)〃=/（力的圖象，由圖象可知，方程/—2〃〃+〃—2=0有兩根對、

%，且滿足/〉2e,0v%v2c,設(shè)g（〃）=〃2-2a〃+a-2,利用二次函數(shù)的零點分布可得出關(guān)于實數(shù)

。的不等式組，由此可解得實數(shù)。的取值范圍.

【解析】令“=/（江由[/⑺丁一2qf（x）+a-2=0（acA）,可得〃？一2a〃Ta-2=0，

此

2X---,X>0

函數(shù)/（X）的定義域為{x|xwO},/（X）=TT=<”2x.

國,x<0

當(dāng)工>0時，/（'=二'（2：一1）,由可得0<x<；,由可得

X乙乙

???函數(shù)在區(qū)間（）,g）上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，〃R）mE=/（；）=2e；

當(dāng)上<0時，小）=，*（1；2竹〉0,此時函數(shù)/（X）單調(diào)遞增，且〃力>0,作出函數(shù)〃=/（x）的圖

X

象如下圖所示：

由于關(guān)于工的方程[“X）了一2/（“+4-2=0（?！??）恰有四個不同的實數(shù)根，

則關(guān)于〃的二次方程u2-2au+a-2=0恰有兩個不同的實根%、出（%>/），

且直線〃=/與函數(shù)"=/（/）的圖象有三個交點，直線〃=〃2與函數(shù)〃=/（戈）的圖象有且只有一個交點,

/.u.I>2e,04<w,<2e,

/、.>f^（0）=6f-2>0

設(shè)g（〃）=,一加"+4—2,由二次函數(shù)的零點分布可得6。。c八，解得

[g（2e）=4e~-2ax2e+a-2<0

4e2-2/4/一21

a>—―因此，實數(shù)。的取道范圍是--「,+8.故選D.

4e-\I4e-l）

【點睛】方法點睛：本題考查利用二次函數(shù)的零點分布求參數(shù)，一般要分析以下幾個要素：

（1）二次項系數(shù)的符號：

（2）判別式；

（3）對稱軸的位置：

（4）區(qū)間端點函數(shù)值的符號.

結(jié)合圖象得出關(guān)于參數(shù)的不等式組求解.

14.（2021?江蘇揚州市?高三月考）己知函數(shù)/（"='"八，若工尸占且/（%）=/（乂），則

2x+4e,x＜（）

民一七|的最大值為（）

A.2e—B.2e+lC.D.-e

e2

【答案】D

【分析】設(shè)點A的橫坐標(biāo)為玉，過點A作了軸的垂線交函數(shù)y=/（x）于另一點4,設(shè)點4的橫坐標(biāo)為超，

并過點3作直線），=2x+4e的平行線/,設(shè)點A到直線/的距離為4,計算出直線/的傾斜角為巴，可得出

4

上一々|=血〃，于是當(dāng)直線/與曲線y=xh】x相切時，d取最大值，從而|%一9|取到最大值.

【解析】當(dāng)x＞0時，f（x）=x\nx,求導(dǎo)/'（x）=lnx+l,令尸（x）=0,得x=l

e

（1A「1、

當(dāng)工￡0-時，r（x）＜o(jì),/（X）單調(diào)遞減；當(dāng)工￡-,+00時，/（力＞0,/（X）單調(diào)遞增；

\e7Le）

作分段函數(shù)圖象如卜所示:

設(shè)點A的橫坐標(biāo)為陽，過點A作y軸的垂線交函數(shù)y=/（X）于另一點B,設(shè)點B的橫坐標(biāo)為工2，并過點B

作直線V=2x+4e的平行線/,設(shè)點A到直線/的距離為4,回-

由圖形可知，當(dāng)直線/與曲線y=xlnx相切時，d取最大值，

此時‘八中仁

令—Inx十1一2,得x=e,切點坐標(biāo)為（e,e）

lx,-x,I=—x>/5e=-e，故選D.

I1-1max22

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)零點差的最值問題，解題的關(guān)鍵將問題轉(zhuǎn)化為兩平行直線的距離，考

查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

15.（2021?天水市第一中學(xué)高三月考）函數(shù)〃x）=lnx-m在（0,+8）上有兩個零點，則實數(shù)〃的取值范

圍是（）

【答案】B

【分析】分離參數(shù)。后將函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù).

Inx

【解析】函數(shù)定義域為(o,+8)，由/(x)=lnx-ar=。,得〃=——

設(shè)g(x)=2，g'(x)J",令g'(x)=。得x=e，

XX

xe(O,e)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

x?e,+oo)時,g'(x)<0,g㈤單調(diào)遞減;

x=e時，g(x)取極大值g(e)=L

e

Inv-

%g("n，J%,g⑻f0,；.要使函數(shù)/(力二111工-0￥=0有兩個零點即方程——二〃右有兩個不

同的根，即函數(shù)g(x)與y=a有兩個不同交點即故選B.

【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)零點問題時，參數(shù)可以分離的情況下優(yōu)先選擇分離參數(shù)，然后構(gòu)建新函數(shù),

將零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù).

16.(2021?江蘇省濱海中學(xué)高三月考)已知關(guān)于x方程，(2工-1)+小。-1)=0有兩個不等實根，則實數(shù)〃?

的取值范圍是()

A.-4^2,-ljJ(-l,+oo)3

B.-oo,-4^2

(I\

C.-4/,TD.-co,-4/U(-hO)

\/

【答案】D

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“方程-〃?=’(2'-1)^(2x-l)

有兩個不等實根”，構(gòu)造新函數(shù)/(x)=,利用導(dǎo)

x-1x-\

數(shù)分析其單調(diào)性以及取值情況，由此確定出方程有兩個不等實根時〃?的取值范圍.

【解析】當(dāng)x=l時，/(2x—1)+〃7(X—l)=ewO,???x=l不是方程的解,

當(dāng)工工1時，/(2,-1)+制工-1)=0有兩個不等實根。-"?=,(2'一」有兩個不等實根,

x-\

即與上=一俏的圖象有兩個交點,

x-\

令f(x)="(2xT)(xwi),r(x)="(=：｝,令7(切=0,??.x=0或X=;，

X—1(X—I)2

當(dāng)人?-oo,0)時,/'(%)>0,/(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xe(O,l)時,/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)工時，/'(1)<0，/㈤單調(diào)遞減.，當(dāng)工￡(看+8,，/'("AO，/(X)單調(diào)遞增,

3

〃O)=IJlimf(x)=0,limf(x)=-o),limf(x)=+oo,lim/(x)=+x,

2

:.要使y="-I)與y=一根的圖象有兩個交點，則0v一〃1或_機>,

X—1

解得—1<〃z<0或mvTe，，?,的取值范圍是一8,-4涓U(—1,0),故選D.

\7

【點睛】本題考杳利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的問題，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化、分析與計算能力，難度較難.方程

根的數(shù)目問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，也可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點個數(shù)問題.

1~|3

x2

17.(2021?遼寧遼南協(xié)作區(qū)期末)已知函數(shù)/(x)=Z：(x-1)+-e--xf若函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)

間(理解為閉區(qū)間)中包含且僅包含兩個正整數(shù)，則實數(shù)攵的取值范圍為()

-3131、「3131、

A.-?一二，二一二B.-V--,-------

2__j_2__1(3131

7-T2V-8D.

【答案】C

【分析】函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間(理解