平面問題的極坐標解答課件1

平面問題的極坐標解答(SOLUTIONOFPLANEPROBLEMSINPOLARCOORDINATES)4.1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates

對于用徑向線和圓弧線圍成的彈性體,如圓形,圓環(huán)形,楔形,扇形等,宜用極坐標求解.

在極坐標中,pointP的位置由radialcoordinateρand環(huán)向坐標

來表示,asshowninFig.4.1.極坐標和andrectangularcoordinates都是直角坐標.但兩者不同:在rectangularcoordinates中,xandyaxesareallstraightlines,它們有固定的方向,量綱都是

L.但在

polarcoordinates,ρaxis(

=constant)and

axis(ρ=constant)在不同的點有不同的方向;

ρaxis

是

一條

直線,and

axis是圓弧線,ρaxis

的量綱是

L,

axis是無量綱.

為了表明極坐標中的應力分量,我們考慮由d

andd圍成的微分體PACB.在徑向方向的用σ

表示,稱為徑向正應力;σ

,被稱為環(huán)向normalstress或切向正應力,而剪切應力分量用τ

andτ

來表示,且有τ

=τ

.在徑向和環(huán)向的體力分量用f

andf

來表示.符號規(guī)定與

rectangularcoordinates一樣.

即正面的應力以沿正坐標方向為正,負面的應力以沿負坐標方向為正,反之為負.

體力分量以沿正坐標方向為正,反之為負.

現(xiàn)在來推導極坐標下的

thedifferentialequationsofequilibrium,看單元

PACB.設PB

面的

normalandshearstresses是σ

andτ

,而在面

AC,由于坐標

的變化,將是

和

and

同樣,對于面

PA

是σ

andτ

,對面

BC,由于坐標

的變化,是

,對單位厚度的單元,面

PB的面積是

d

,面AC是

(

+d

)d

;面

PAandBC是

d

;單元的體積是

d

d

.

and

和

,

將微分體所受各力投影到微分體中心的徑向軸上,列出徑向微分方程,得因為

d

很小,,可取為

d

/2and1,用τ

代替τ

,將方程簡化,并除于

,得與此相類似,由單元在切向方向的平衡條件可推出:用τ

代替τ

,簡化方程,并除于

d

d

,neglecting高階微分項,得因此,極坐標下的平衡微分方程是(4.1)

4.2極坐標的幾何和物理方程(GeometricalandPhysicalEquationsinPolarCoordinates)

在極坐標中,徑向應變用

表示,環(huán)向應變用

表示,剪應變用

表示.徑向和環(huán)向分別用u

andu

表示.

在Fig.4.2中,通過任意點

P(,

)

分別沿正向和環(huán)向作微分線段

PA=d,PB=

d

.

以下來分析微分線段上形變分量和位移分量的幾何關系.

首先,假定只有徑向位移而沒有環(huán)向位移如

Fig.4.2a.由于這個徑向位移,PA移到了P’A’,PB移到了P’B’.而

pointsP,AandB

的位移分別為則徑向線段

PA

的線應變?yōu)?

環(huán)向線段

PB

移到了

P’B’,從

pointP’

畫一條圓弧線

P’C.P’B’andP’C之間的角

是那樣的小,可認為P’B’P’C.因而環(huán)向應變?yōu)?

PA的轉角為

而

PB

的轉角為

(c)

(d)

因此,剪應變?yōu)?/p>

(e)其次,我們假定只有環(huán)向位移而沒有徑向位移如Fig.4.2b.由于這個環(huán)向位移,線段PAandPB

分別移到

P’’A’’andP’’B’’,P,AandB

的位移分別為在

Fig.4.2b中,畫

P”D

平行于PA,則PA

的轉角為

.因為

很小,忽略高階項后,得因而PB的線應變?yōu)槎h(huán)向應變?yōu)?/p>

(f)

(g)

徑向單元的轉角為

(h)環(huán)向位移引起環(huán)向線段的轉角,如Fig.4.2b可看出,在變形前,linePB

在

pointP

的切線與

lineOP

垂直;變形后,lineP”B”atpointP”的切線與

OP”垂直,

這兩個切線之間的夾角等于圓心角

POP”,這就是環(huán)向線的轉角.這個角度變大,故有

因此,切應變?yōu)?/p>

(j)(i)在一般的情況下,沿徑向和環(huán)向都有位移,故將

Eqs.(a),(b),(e),和方程(f),(g)and(j)疊加,就得到極坐標的幾何方程:(4.2)下面推導極坐標中的物理方程.因為在極坐標中,coordinates

and

是正交的,而直角坐標系中,coordinatesxandy也是正交的,因此在這兩個坐標系中的物理方程應具有相同的形式.這樣將角碼

and

分別代替

xandy,就得到極坐標中的物理方程.

平面應力問題的物理方程:

平面應變問題的物理方程:

(4.4)(4.3)4.3極坐標中的應力函數(shù)和相容方程(StressFunctionandCompatibilityEquationinPolarCoordinates)

極坐標和直角坐標的關系:

得

,

tox,y

的導數(shù)如下:按照復合函數(shù)的求導公式,有重復以上的運算,得(a)

(b)

(c)從

Fig,4.1可看出,如果將

xandyaxes分別轉到

and

使

=0,則應力分量

x,

y,

xy

將變成σ

,σ

,τ

,這樣，當不計體力時,由

(a)to(c),我們得

(4.5)另一方面,將Eqs.(a)and(b)相加,得

于是由直角坐標的相容方程

得到極坐標的相容方程

(4.6)4.4應力分量的坐標變換(CoordinateTransformationofStressComponents)

設已知直角坐標的應力分量

x,

y

and

xy,求極坐標下的應力分量σ

,σ

andτ

..為此,取一個三角單元

A(Fig.4.3),邊

ab

intheydirection,邊

acinthexdirection和邊

cbinthe

direction.并設

bc=

ds,則

ab=ds

cos

,ac=

dssin.單元厚度為1.

根據(jù)單元

A在

direction的平衡條件

F

=0得

用

xy

代替

yx

并簡化,得同樣,根據(jù)

F

=0

得(a)取另據(jù)一個三角形單元

B,由平衡條件

F

=0,得(b)(C)根據(jù)公式(a),(b)and(c),得

(4.7)

或另外寫成(4.7)同理,由極坐標到直角坐標應力的變換式為:

(4.8)(4.8)

(4.8)or4.5軸對稱應力和相應的位移(AxisymmetrialStressesandCorrespondingDisplacements)

所謂軸對稱(

axisymmetry)是指物體的形狀和某些物理量是對某軸對稱.通過對稱軸的平面都是對稱平面.

假如應力對稱于

zaxis,那末任一環(huán)向線上的各點,應力分量的數(shù)值相同,而且方向對稱于zaxis.因而對稱于

zaxis的應力,inpolarcoordinates中僅僅是

的函數(shù),不依賴于

,且theshearstress

為零.

因而,我們有Inthisspecialcase,thestressEqs.(4.5)reduceto

(4.9)

ThecompatibilityEq.(4.6)reducesto

對稱問題

Laplasoperator可以寫為Substitutingintocompatibilityequationyields這是一個四階常微分equationofthefourthorder,它的通解為(4.10)whereA,B,C,Dare任意常數(shù).

將

Eq.(4.10)代入

Eq.(4.9),得軸對稱應力的通解(4.11)將Eqs.(4.11)代入

physicalEqs.(4.3),得可見

strains也是

axisymmetry.

(a)將上式代入Geometricalequations(4.2)andobtainByintegrationofthefirsttermofEqs.(a)withrespectto

,wehavewheref(

)

是

的任意函數(shù).

將(b)代入(a)的第二式有(b)對

積分得

wheref1(

)isanarbitraryfunctionof

.(c)為確定

arbitraryfunctionsf(

)andf1(),將

Eqs.(b)and(c)代進

Eqs.(a)的第三式中.Thisyields

Afterrearrangement,itbecomes

左邊僅僅是

的函數(shù)而右邊僅僅是

的函數(shù)．因此只可能都等于同一常數(shù),sayF.Thisyields,

(d)

(e)differentialequation(d)的解

whereHisanarbitraryconstant.Eq.(e)可以通過求導變換為

(f)這方程的解為

whereIandKarearbitraryconstants.并可由Eq.(e)得

(h)(g)SubstitutionofEq.(g)intoEq.(b),andsubstitutionofEqs.(h)and(f)intoEq.(c)yields其中A,B,C,H,I,K

是待定常數(shù).其中

H,I,K

代表剛體位移．(4.12)以上

equation也可應用于

planestrainproblems,butthe彈性常數(shù)

E要用

代替，and

replacedby

.4.6HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures

設有圓筒或圓環(huán),內徑為

randouterradiusR,承受內壓力

q1and外

pressureq2(Fig.4.4a).很明顯,其應力分布一定是軸對稱的.4.6承受均布壓力的中空圓柱(HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures)因此,取應力Eqs.(4.11).邊界條件是(a)由

Eqs.(4.11)可見,前兩個條件是滿足的,但后兩個條件需要兩個方程不能確定三個

constantsA,B,C,還需要建立單值位移條件(b)

置B=0and解Eqs.(b),得Aand2C從Eqs.(4.12)可見,環(huán)向位移項不單值,.

所以B應當?shù)扔诹?,(4.12)將這三個值代入Eqs.(4.11),得這就是著名的拉梅解答Lame’sformulas.(4.13)

如果

q2=0(onlyinternalpressureq1acts),Eqs.(4.13)變成很明顯,

isalwayscompressionand

isalwaystension.應力分布如

Fig.4.4b.當

R>>r,得到有圓孔的大無限板,方程變?yōu)?/p>

分子分母乘,得Ifq1=0(onlyexternalpressureq2acts),Eqs.(4.13)reduceto(4.14)應力分布如Fig.4.4c所示.4.7壓力隧道(TunnelSubjectedtoUniformPressure)

設有atunnelsubjectedtouniformpressureq,showninFig.4.5.其巖土和支架的彈性常數(shù)分別為

E,

andE’,’.這是一個接觸問題,要考慮接觸條件.無限大彈性體,可以看成是內半徑為

R,外半徑無限大的圓筒.

顯然,圓筒和無限大彈性體的應力分布都是軸對稱的.如果取A,B,C為圓筒的答案中的系數(shù),A’,B’,C’為無限大彈性體的系數(shù),同樣,由位移的單值條件,有即應力為Eqs.(4.11).(a)(b)

取圓筒的

stressexpressions為

(c)無限大彈性體的

stressexpressions為以下根據(jù)

boundaryconditions和接觸

conditions去決定常數(shù)

A,C,A’,C’.(d)(1)圓筒的內表面,(

)

=r=-q,因此我們有

(e)(2)圣維南原理,在遠離圓筒處,應該應力幾乎等于零:因此得

在圓筒和無限大彈性體的接觸面上，有(f)于是，從

formulas(c)and(d),得

(g)（４）應用Eqs.(4.12)第一式,注意這是

planestrainproblem,且

B=0,可寫出圓筒和無限大彈性體的徑向位移為

簡化這兩個

equations,得在接觸表面，圓筒和無限大彈性體應當具有相同的位移:(h)

因為這一方程在接觸面上的任一點都應該成立,也就是在取任何值時都應該相等,所以方程兩邊的自由項必須相等(即

),于是得從(e),(f),(g),(e),可求出A,C,A’,C’,然后代進equations(c)and(d),就可以得到圓筒和無限大彈性體的應力

expressions．where簡化并應用式(f)得(i)

(4.16)Whenn<1,thestressdistribution大致如Fig.4.5所示.接觸問題可分為如下幾類：

(1)完全接觸（Completecontact）.兩個接觸面既不互相脫離又不互相滑動的接觸．這時的應力條件為:接觸面上的正應力和剪應力都相等;位移條件為：接觸面上的法向正位移和環(huán)向位移也都相等．

(2)不完全接觸或光滑接觸（Incompletecontactorfrictionlesscontact）.Inthiscase,兩個接觸面不互相脫離但可以互相光滑滑動的接觸．這時的應力條件為(stressconditions):兩個彈性體在接觸面上的正應力相等,但剪應力等于零(thenormalstressesoftwoelasticbodiesequaleachotheronthecontactsurface,buttheshearstressesequaltozero);位移條件為(thedisplacementconditions):兩個彈性體在接觸面上的法向位移相等,但環(huán)向位移不相等.thenormaldisplacementsoftwoelasticbodiesequaleachotheronthecontactsurface,butthecircumferentialdisplacementsdonotequaleachother.

(3)摩擦滑動接觸(Frictionalslidecontact).Inthiscase,兩個接觸面不互相脫離但有摩擦力滑動的接觸．這時的應力條件為(stressconditions):兩個彈性體在接觸面上的正應力相等,剪應力等于極限摩擦力;位移條件為:法向位移也相等,而在環(huán)向,達到極限滑移狀態(tài)時才發(fā)生移動.(twoelasticbodiedstillkeepcontactinnormaldirection,thenormalstressesanddisplacementsequaleachother;butinthecircumferentialdirection,twoelasticbodiesareinthelimitslidestateandtoyieldslide,theshearstressesequaltothelimitfrictionforces).(4)局部分離接觸(localseparatecontact).兩個接觸面互相脫離,各自的兩個正應力和剪應力都等于零.(Twoelasticbodiesseparateeachotheronlocalcontactsurface,thenormalandshearstressesallequaltozero.)4.8圓孔的孔邊應力集中(StressConcentrationoftheCircularHole)

如果在一個承受一定外力作用的彈性體中開一個圓孔,則圓孔周邊的應力將產生重新分布,孔口附近的應力將遠大于無孔時的應力,也遠大于距孔口較遠處的應力.這種現(xiàn)象叫孔口應力集中(StressConcentrationoftheCircularHole).

設有矩形薄板(或長柱)在離開邊界較遠處有一個半徑為r的小圓孔，在四邊受均布拉力，集度為q，圖(a)．坐標如圖所示.以遠大于r的某一長度Ｒ為半徑，以坐標原點為圓心，作一個大圓，如圖中虛線所示．在大圓周處，應力情況與無孔時相同，也就是代入應力坐標變換式（４.７），得于是,原來的問題就變成這樣一個新問題:內半徑為r而外半徑為R的圓環(huán)或圓筒,在邊界上受均布拉力q.

為了得出這個新問題的解答，只需在圓環(huán)或圓筒受均布外壓力的解答中令-q2=q.于是得因為R>>r,可令，從而得到解答Secondly,weconsiderarectangularplatewithasmallcircularsubjectedtouniformtensileforceofintensityqonleftandrightsides,anduniformcompressiveforceofintensityqonupperandlowersides(Fig.4.6b).Similartoabovecase,thestressconditionatanypointAonthelargecirclewillbethesameasiftherewerenoholeatall,thatis(４.17)Substitutingintothecoordinatetransformationformulae(4.7)ofstresscomponents,weobtainthestressconditionatanypointAonthelargecircleinpolarcoordinates

(a)Fortheholeedge,theboundaryconditionsare

(b)Fromtheboundaryconditions(a)and(b),wecanseethatwhenthesemi-inversemethodisused,wecansuppose

isafunctionof

whichmultipliestocos2

,

isanotherfunctionof

whichmultipliestosin2

.ButwecanassumeSubstitutingformula(c)intothecompatibilityequation(4.6)yieldsCancelingoutthefactorcos2

andsolvingtheordinarydifferentialequation,weobtain(c)whereA,B,C,Dareunknownconstants.Substitutinginto(c),weobtainthestressfunctionHence,fromtheformula(4.5),wecangetthestresscomponents

(d)Substitutingformula(d)intoboundaryconditions(a)and(b),yieldsSolvingfortheconstantsA,B,C,Dandthenputtingr/R

0,wegetSubstitutionofthesevaluesintoformulas(d),weobtainthestresscomponentsasfollowingAttheedgeofthehole(

=r),wehave

Evidently,

hasamaximumvalueof4qattheendsoftheverticaldiameterofthehole,whereiseither

/2or3

/2,andhasaminimumvalueof–4qattheendsofthehorizontaldiameterofthehole,where

iseither0or

.Whentherectangularplateissubjectedtouniformtensileforcesofintensitiesq1andq2inthexandydirectionsrespectively(Fig.4.7a),wecandividetheloadsintotwoparts:thefirstpartsareuniformtensileforcesofintensity