2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：直線和圓的方程（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練直線和圓的方程

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知4(1,-2),8(2,1),經(jīng)過作直線/,若直線/與線段恒有公共點，則

直線/傾斜角的范圍()

7137r7171371

A

-2'TB-72

3兀71713兀

c,7tD.,71

叫T42T

2.我國古代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”，意思是說，

有一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切)，如圖所示已

知圓。的半徑為2丈，過C作圓。的兩條切線，切點分別為N,若MN=&M,則對角線

A.4+2后丈B.2+尤丈

C.10-2&丈D.2+4后丈

3.已矢口點(1,—2)和在直線/:依一y—l=0(aw0)的兩側(cè),則直線I的傾斜角的取值范圍是

()

4.已知直線/的一個方向向量為a=（l,—1）,則直線/的傾斜角為（）

A.45。B，90°C.1200D，i35°

5.已知直線/:%—"9+4加一3=0（〃zeR）,點P在圓必+J=1上，則點p到直線/的距離的最

大值為（）

A.3B.4C.5D.6

6.與直線2x+y=0垂直，且在x軸上的截距為-2的直線方程為（）.

A.x—2y+2=0B.x—2y—2—0

C.2x—y+2—0D.2x—y—2—0

7.在平面直角坐標(biāo)系。孫中，直線工+石〉-1=0的傾斜角等于（）

?兀一?！?兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

8.已知圓￡:/+/—2%—4y—4=0與圓:/+/+41—10丁+4=0相交于A,8兩點，則兩

圓公共弦所在直線的方程為（）

A.3x—3y—4—0B.3x—3y+4—0

C.x+y-3=0D.x+y+3=0

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

22

9.已知雙曲線C.__2L=13〉0）的右焦點為￡直線/：X+加=0是C的一條漸近線,P是1上一

4b2

點，則（）

A.C的虛軸長為2&B.C的離心率為指

C.\PF\的最小值為2D.直線PF的斜率不等于一手

10.已知直線/：/“（％-1）-丁-2=0和圓。：（》+1）2+（,+2）2=9相交于MN兩點，則下列說

法正確的是（）

A.直線/過定點（L—2）

的最小值為百

C.CM.CN的最小值為-9

D.圓C上到直線I的距離為3的點恰好有三個，則m=+V7

2

11.已知直線y=2%與x+y+a=O交于點P。,。)，貝!J()

A.a二一3

B.Z?=2

C.點P到直線ar+外+3=0的距離為"3

D.點P到直線公+紗+3=0的距離為

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

22

~?與~=1(〃>0/〉0)(\2,2_2

12.已知雙曲線。2b2''的兩條漸近線均與圓c：\x-c)+丁=〃相切，雙曲線

左焦點為,則該雙曲線的漸近線方程為.

13.函數(shù)“X)=+9+J(x—5)?+4的最小值為-------------

14.若直線x+(l+/n)y—2=0和直線wu+2y+4=0平行，則機(jī)的值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.定義：尸是圓C外一點，過點尸所作的圓C的兩條切線.，PN(M,N為切點)相互垂直，

記圓。經(jīng)過點P,M,N,C,則稱尸為圓C的“伴隨點”，圓。為“C—P伴隨圓”.已知。為坐標(biāo)原點，

圓0:f+；/=26,尸為圓。的“伴隨點”，圓G為“。―p伴隨圓”.

⑴求點尸所在曲線的方程.

(2)已知點尸的橫坐標(biāo)為6,且位于第一象限.

(i)求圓G的方程；

(ii)已知M,N為過點P所作的圓。的兩條切線的切點，直線MN與x,y軸分別交于點E,F,過

點7(0,5)且斜率為左的直線/與圓G有兩個不同的交點A,B,若04.05=36(|。石|+|。耳),求/

的方程.

16.平面幾何中有一定理：三角形任意一個頂點到其垂心(三角形三條高所在直線的交點)的距離等

于外心(三角形外接圓的圓心)到該頂點對邊距離的2倍.已知△ABC的垂心為D外心為E,。和

E關(guān)于原點。對稱，4(13,0).

(1)若E(3,0),點2在第二象限，直線軸，求點8的坐標(biāo)；

22

(2)若A,D,E三點共線，ZVLBC有一內(nèi)切橢圓7:二+二=1(?！?〉0),證明：D,E為橢圓

ab~

T的兩個焦點.

17.已知圓C經(jīng)過點A(l,3)、3(2,2),并且直線〃2：3x—2y=0平分圓C.

(1)求圓C的方程；

(2)過點0(0,1),且斜率為左的直線/與圓C有兩個不同的交點V、N,且OM.ON=12,

求左的值.

18.已知AABC的三個頂點分別為4(1,0)，6(—3,2),C(0,3).

(1)求A3邊上的高所在直線的方程；

(2)求△AB。的面積.

19.已知直線％—y—2=0經(jīng)過拋物線C：y2=2px(p〉0)的焦點況且與C交于A,8兩點.

(1)求C的方程；

(2)求圓心在x軸上，且過A,2兩點的圓的方程.

參考答案

設(shè)直線/的斜率為左，直線/的傾斜角為。，則0＜。＜兀，

因為直線弘的斜率為「J（一?=一1,直線總的斜率為上.=1，

0-10-2

因為直線/經(jīng)過點尸Q-1）,且與線段.總有公共點，

所以一1〈左<1，W-1<tana<1，

因為0＜。＜兀，

所以0Va?二或型Va＜7i，

44

3兀1

故直線/的傾斜角的取值范圍是0,-

4

故選：C

2.答案：A

解析：記OC與相交于￡,

過。作A8的垂線，與相交于F點，如圖所示,

OM=2丈,MN=6OM=2出文,

則=百丈,

2

MF

在中，sinZMOE=——,

MO2

則NMOE=60。，

中，OC=2OM=4丈,

RtAAOR中，OF=2丈,

ZOAF=45°,則。4=20丈,

所以AC=OC+OA=4+20丈

故選：A.

3.答案：D

有且"0?

易知，直線/的斜率為a,設(shè)直線/的傾斜角為a,則ae［0,7i).

當(dāng)一l<a<0時，貝I型<?<7i；當(dāng)0<<7<6時，則0<1<三?

4

綜上所述，直線I的傾斜角的取值范圍是方］］中,兀)

故選：D.

4.答案：D

解析：由于直線/的一個方向向量為a=(l,_l),

所以直線/的斜率為-1,所以直線/的傾斜角為135°.

故選：D.

5.答案：D

解析：I:x—my+4m—3=0^meR)

即為(％—3)+(4—y)加=0,

所以直線過定點Q(3,4),

所以點P到直線I的距離的最大值為|OQ|+r=A/32+42+1=6,

故選：D

6.答案：A

解析：由題得所求直線的斜率為1，

2

A所求直線方程為y-0=g(x+2),

整理為x—2y+2=0.

故選：A

7.答案：D

解析：設(shè)直線x+百y—1=0的傾斜角為。(0<tz<7i),

由直線x+by—1=0,可得斜率為左=—當(dāng)

即tana=—走，所以&=史，故D正確

36

故選：D

8.答案：B

解析：由題意知，圓G與圓G的方程相減

可得6x—14y+8=0,即3x—7y+4=0,

此即為公共弦AB所在直線的方程.

故選B

9.答案：AD

221卜

解析：雙曲線C?二v_21=1的漸近線方程為bx±2y=Q，依題意,—L9,解得匕=J5,

4b2bl

對于A,C的虛軸長2匕=20，A正確;

對于B,C的離心率e

a2

A/6

=V2，即|PF|的最小值為72，C錯誤;

對于C,點F(瓜0)到直線/:x+s/2y=0的距離臚+(何

對于D,直線/：%+0)；=0的斜率為_也,而點F不在/上，點P在I上,則直線PF的斜率不等于

_顯,D正確.

2

故選:AD

10.答案：AC

解析：A選項，根據(jù)題意/：〃2(尤-1)-丁-2=0變形為y+2=m(x-l),

故直線過定點A(l,-2),A正確;

B選項，由題意可知，當(dāng)時，圓心到直線/的距離最大，此時|加用最小,

其中|AC|=J(-1_Ip+(—2-2)2=2,

此時\MN\=2XA/32-22=275，B錯誤；

C選項,C：(x+l)2+(y+2)2=9的圓心為(-1,-2),半徑r=3,

CMCN=|CM|-|CN|cosZMCN=9cosNMCN,

因為cosNMCN的最小值為-1,所以CMCN的最小值為-9,C正確;

D選項,c：(x+l)2+(y+2)2=9,因為圓C上到直線/的距離為|的點恰好有三個,

所以圓心到直線的距離d=3,

2

即卜:12-二2].解得心土逆,D錯誤;

Vm+(-1)27

故選:AC.

11.答案：ABD

%=2

解析：由題意，得<

l+b+a=0

解得〃二—3,b=2,故A、B正確,

4^/13

13

故C錯誤，D正確

故選：ABD.

12.答案：y=+x

解析：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為"-分=0

因為雙曲線的漸近線與圓C：(X_C)2+y2=q2相切

所以圓心(C,O)到漸近線距離為a

結(jié)合c2-cr+Z?2得2=1，

a

所以雙曲線的漸近線方程為y=±x,

故答案為：y=±x-

13.答案：J石

解析：〃x)=J(x_l)2+9+J(x_5)2+4=J(x_l)2+(0—3)2+J(x_5)2+(0—2)2,

根據(jù)兩點距離公式的幾何意義得，函數(shù)/(九)表示P(x,0)到點A(l,3),8(5,2)距離之和，

如圖所示，作出點A關(guān)于x軸的對稱點4(1,-3),

連接4反交x軸于點耳,連接外,網(wǎng),24,64,6瓦片4，

可得|即+歸固=|%|+|尸/,|斗4|+|耳8|=忸聞+|耳8|,

又由1PAi+|冏>山聞+歸目=14司=J(l-5)2+(-3-2)2=V41，

當(dāng)且僅當(dāng)點P與A重合時，等號成立，

所以|以|+|「目=|241|+歸目2歷，即函數(shù)/(%)的最小值為兩'，

故答案：.

14.答案：1

解析：由于兩直線平行，所以1x2=(1+加)加，解得機(jī)=1或m=—2,

當(dāng)機(jī)=1時，兩直線方程為x+2y—2=0、x+2y+4=0,符合題意.

當(dāng)加=一2時，兩直線方程為x—y—2=0、—2x+2y+4=0，

即x—y—2=0、x—y—2=0,兩直線重合，不符合題意.

所以機(jī)的值為1.

故答案為：1

15.答案：⑴/+丁=52；

(2)(i)(x-3)2+(y-2)2=13；5)y=5.

解析：(1)因為P為圓。的“伴隨點”，所以四邊形PMON為正方形，

則|PO|=夜*質(zhì)=2而,

所以點P的軌跡是以。為圓心，2JB為半徑的圓，

故點P所在曲線的方程為尤2+9=52.

(2)由題可知P(6,4).

(i)因為四邊形？MON為正方形，所以圓心G的坐標(biāo)為(3,2)，

半徑為反亙=舊，

2

故圓G的方程為(x—31+(y—2)2=13.

(ii)因為直線肱V為圓G與圓O的公共弦所在直線，

所以直線肱V的方程為3x+2y-13=0.

令y=0,可得x=U,令％=0,可得y=U,

32

所以到四竺L沃代+竺］=3。.

1313132J

由題意，可知直線/的方程為y=Ax+5，

代入方程(x—3)2+(>—2)2=13，整理得(1+左2)%2—6(1一人)x+5=0.

設(shè)A(ax)，B(x2,y2)>則%=6,?)，^2=^7'

所以O(shè)A-OB=+乂%=再次2+（砧+5）（Ax2+5）

（1+左2）+5左（X+々）+25=3°"。；%）+30.

_￡十/C

由題意可得迎9。+30=30,解得左=1或左=0.

1+42

經(jīng)檢驗，當(dāng)左=1時，不滿足A=[—6(l—左)『―4x(1+左2卜5>0；

當(dāng)左=0時,滿足八=[-6(1—左)了—4><(1+[2)><5>0?

故/的方程為y=5.

16.答案：(1)5(—5,6)

(2)見解析

解析：(1)因為E(3,0),。和￡關(guān)于原點。對稱，所以。(—3,0).

設(shè)BC與x軸的交點為尸(-m,0)(m>0)，如圖所示.

由題意可得|人。|=2|所|,

即13+3=2(m+3),解得加=5.

設(shè)3(—5,")(">0),因為|3E|=|AE|,所以|班T+|E)|2=|A?2,

則/+(3+5)2=(13—3)2,解得〃=6.

所以8(—5,6).

(2)證明：因為。和E關(guān)于原點。對稱，且A,D,E三點共線，

所以A,D,E,。四點共線，即點A,D,E,。都在x軸上.

因為所以軸.

因為ZVIBC的外心為E,所以|5E|=|CE|,所以點8與點C關(guān)于x軸對稱.

設(shè)8c與x軸的交點為F(—m,0),B(-m,n),C(-m,-ri),Z)(—s,與,E(s,0)(利,s>0,且機(jī)ws).

由題意可得IAD|=2|防I，即13+s=2（m+s）,化簡得s=13—2m.

HHij

直線CD的斜率為一^―二一-—，直線A3的斜率為-——,

—s+m3m—1313+m

所以一-—?||=—1,化簡得/=(3m-13)(m+13).@

3m-13I13+mJ

rj

直線AB的方程為y=-------(x-13).

13+m

由△ABC有一內(nèi)切橢圓T:j+2r=1(?！?。〉0),可得F為BC與橢圓的切點，所以。=加.

ab

聯(lián)立\,m整理得

%+丁-1

[/(13+附2+77，/]尤2—26m2/i2x+169m2n2—m2b2(13+in)2=0.

A=(26〃Z2〃2)-4^ZJ2(13+/n)2+rn1n1^169rn2rr—nrb2(13+zn)2^=0,

即169n2(13+w)2-Z?2(13+m)4-m2n2(13+m)2=0.

因為(13+〃)2Ho,所以169〃2-Z?2(13+m)2-mV=0，

即(13+〃7)(13—根)/—32(13+根)2=0,即(is—""小—b2a3+/〃)=o

結(jié)合①可得〃=(13—根)(3根—13).

設(shè)橢圓T的焦距為2c,則f=點—段=m2—H=W-(13-/?)(3/77-13)=(2//7-13)2=52,

所以。，E為橢圓T的兩個焦點.

17.答案:(1)(x—2y+(y—3>=1

(2)1

(1)線段AB的中點￡仁,鼻,如=落

解析:=-1,故線段A3的中垂線方程為

yZZy1—z

53

y——=x——

22

即x-y+l=0,因為圓C經(jīng)過A、3兩點,故圓心在線段A3的中垂線上.

又因為直線〃z:3x-2y=0平分圓C,所以直線m經(jīng)過圓心.

由即x—y+l=0與3x—2y=0的交點即圓心,

所以圓心的坐標(biāo)為。(2,3),而圓的半徑廠=1,(%—2)2+(丁—3)2=1.

（2）直線/的方程為y=履+1.圓心C到直線/的距離d=因尸+”

Vl+k2

公"<1'兩邊平方整理得…「弘+3<。,解之得：

將直線/的方程與圓c的方程組成方程組得=&+1①-

［（x-2）2+（y-3）2=1②

將①代入②得：（1+父）％2—4（1+左）％+7=0,

4（1+k）7

設(shè)M&，X）、N（9%），則由根與系數(shù)的關(guān)系可得:石+々=7^'中2=^'

而=（何+l）,（g+1）=左2+左（石+w）+l,所以