2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 空間幾何體 專項訓(xùn)練【附答案】

H專題突破

專題四立體幾何

第1講空間幾何體

［考情分析］空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考

的重點與熱點，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上.

考點一空間幾何體的折展問題

【核心提煉】

空間幾何體的側(cè)面展開圖

（1）圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.

（2）圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.

（3）圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán).

例1⑴（2023?南寧模擬）如圖，已知圓錐的底面半徑為1,母線長SA=3,一只螞蟻從A點

出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點A,則螞蟻爬行的最短距離為（）

A.2小B.3小

C.6D.2兀

答案B

解析已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的扇形，如圖，一只螞蟻從A點出發(fā)繞著圓錐的側(cè)

面爬行一圈回到點A的最短距離為A4',

s,A

4

設(shè)NASA'=a,

圓錐底面周長為2兀，所以A4'=aX3=2兀，

2兀

所以a=《~,

在△S44'中，由SA=SA'=3和余弦定理，得

AA'^S^+SA'2-2SA-SA'?cosa

=^32+32—2X3X3X（—￡）=35.

（2）（2023?深圳模擬）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=yf3,AB=1,AD=l,

ABA.AC,AB1AD,ZCAE=3Q°,貝！Jcos/FCB等于（）

1133

A，2BgC.gD，

答案D

解析由題意知，AE—AD—AB—1,BC=2,

在中，由余弦定理得

CE2=A序+叱-2AE-AC-cosZCAE

n

=1+3-2*1義小乂苧=1,

：.CE=CF=1,而BF=BD=巾,BC=2,

...在△8CF中，由余弦定理的推論得，

BC2+CF2—BF24+1—23

cos/FCB=2BCCF=2X2X1，

規(guī)律方法空間幾何體最短距離問題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面

中兩點間的最短距離問題，注意展開后對應(yīng)的頂點和邊.

跟蹤演練1（1）（多選）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中

正確的是（）

A.CGGH

B.C￡）與EF是共面直線

C.AB//EF

D.GH與E尸是異面直線

答案ABD

解析由圖可知，還原正方體后，點C與G重合，即CGGH,又可知C。與EF是平行直線,

即CZ）與EP是共面直線，48與斯是相交直線（點2與點尸重合），GH與EF是異面直線,

故A,B,D正確，C錯誤.

（2）（2023?鞍山模擬）如圖，在三棱錐V—A8C中，VA=VB=VC=8,ZAVB=ZAVC=ZBVC

=30。，過點A作截面AEF則△AEP周長的最小值為（）

A.6^2B.6^3C.8^2D.8小

答案C

解析沿側(cè)棱儂把正三棱錐V—ABC展開在一個平面內(nèi)，如圖所示，貝ijA4'即為△AEF周

長的最小值，又因為VC=ZBVC=30°,

所以乙外么'=3X30°=90°,在△儂'中，以1=四'=8,由勾股定理得44'=

yjv^+VA'2=^82+82=8^2.

考點二表面積與體積

【核心提煉】

1.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積

（1）5圓柱側(cè)=2兀4S圓柱表=2兀/（r+/）（r為底面半徑，I為母線長）.

（2）5圓錐側(cè)=?！?S圓錐表=7ir（r+Z）（r為底面半徑，I為母線長）.

（3）S叱=4兀7?2（R為球的半徑）.

2.空間幾何體的體積公式

（1）V桂=W?（S為底面面積，〃為高）.

（2）V""=；S/?（S為底面面積，h為高）.

（3）V臺=g（S上+、5上6下+5下）/?（5上,S下分別為上、下底面面積，刀為高）.

4

（4）V球=］兀尺3（R為球的半徑）.

例2（1）（2023?濰坊模擬）如圖，圓錐的底面半徑為1,側(cè)面展開圖是一個圓心角為生的扇形.把

該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為由則圓臺的

側(cè)面積為（）

A8兀c兀-16兀—c

A.-B.2—C。―D?8兀

答案c

解析假設(shè)圓錐的底面半徑為R,母線長為/,則R=1.設(shè)圓臺上底面半徑為r,母線長為/1,

則r=|.

由已知可得\平=筆解得/=6.

如圖，作出圓錐、圓臺的軸截面，

則有匕4=±=_L

川洞IR3,

所以Zi=4.

所以圓臺的側(cè)面積為無（n+r）/1=4義。+?兀=號.

（2）（2023?全國甲卷）在三棱錐P—A3C中，ZVIBC是邊長為2的等邊三角形，E4=PB=2,PC

=乖,則該棱錐的體積為（）

A.1B.小C.2D.3

答案A

解析如圖，取AB的中點￡>,連接尸￡>,CD,

因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,

所以PD_L48,CDLAB,所以尸。=8=/,又PC=乖,

所以所以P/)_LCD,

又A2CC￡>=。，AB,C￡)u平面ABC,

所以平面ABC,

所以VP-ABC—^^SAABC^PD

=馬義豆義2義小義小=L

規(guī)律方法空間幾何體的表面積與體積的求法

(1)公式法：對于規(guī)則的幾何體直接利用公式進行求解.

(2)割補法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不

熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體.

(3)等體積法：選擇合適的底面來求體積.

跟蹤演練2⑴(2023?貴陽統(tǒng)考)如圖，在棱長為2的正方體ABC。一A向GA中，E,尸分別

為棱AB,8C的中點，則四棱錐8—4EFC1的體積為()

247

A.qB.1CqD.g

答案B

解析方法一%-4￡/孰="破尸F(xiàn)MG_%-4用6=§(，+2+^\^^^)乂2—gX2X2=l.

方法二^B-AEFC~^B-AFC=^A-EBF~^~KA-BFC2+QX

DriiL-,rv.1DnrD/iirc-i/iiL-,Dr/iiQrj-s/-s1X2=1.

(2)(2023?連云港調(diào)研)折扇在我國已有三四千年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意

“善良”“善行”.它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國文化的方方面面，是運籌帷幄，決勝千

里，大智大勇的象征(如圖1).圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖(扇形的一部分)，若扇形的兩個

兀.

圓弧所在圓的半徑分別是1和3,且竽2，則該圓臺的表面積為.

B

圖1圖2

解析設(shè)圓臺的上底面半徑為r,下底面半徑為K,

127t7=冬1,f1

叫解得j31

12兀R=￡?3,、H=1,

且圓臺的母線長為3-1=2,

所以圓臺的上底面面積為7T余下底面面積為無，

側(cè)面積為nX(j+l^X2=y,

所以圓臺的表面積5=1+7t+y=^.

考點三多面體與球

t核心提煉】

求空間多面體的外接球半徑的常用方法

(1)補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長

方體中去求解；

(2)定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，

找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點的距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

例3(1)(2023?聊城模擬)某正四棱臺形狀的模型，其上、下底面的邊長分別為媳cm,2^2cm,

高為3cm,則該模型的外接球的表面積為()

A.20Kcm2B.10兀cm2

)5兀

C.5兀cmD?亍cm

答案A

解析如圖，取上底面EFGH的中心M,下底面ABC。的中心N,則MN=3cm,

HG

故該模型的外接球的球心在MN上，設(shè)為點。，連接ME,NA,OE,OA,

故EM=lcm,NA=2cm,

設(shè)ON=ycm,則OM=(3—y)cm,

由勾股定理得EO1=OM2+EM2=(3-y)2+1,

AO1=ON2+AN2=y2+4,

故(3—y>+l=y2+4,解得>=i,

故外接球半徑為Ny2+4=4(cm),該模型的外接球的表面積為4n-(^/5)2=20n(cm2).

(2)(2023?全國甲卷)在正方體ABC。-4SGD1中，E,歹分別為42,GA的中點.以EF為

直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點.

答案12

解析如圖，線段EF過正方體的中心，所以以EF為直徑的球的球心即正方體的中心，球的

半徑為號，而正方體的中心到每一條棱的距離均為竽，所以以Ef?為直徑的球與每一條棱均

相切，所以共有12個公共點.

規(guī)律方法(1)求錐體的外接球問題的一般方法是補形法，把錐體補成正方體、長方體等求解.

(2)求錐體的內(nèi)切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑.

跟蹤演練3(1)已知三棱錐P—ABC的外接球O,PC為球0的直徑，且PC=2,PA=PB=y[3,

AB=1,那么三棱錐P—ABC的體積為()

答案D

解析由尸C為球。的直徑可知，

PA±AC,PBLBC,BPAC=BC=1,又A8=l,

所以AABC為等邊三角形，則AABC外接圓的半徑7=手，

因為球。的半徑R=l,所以點。到平面ABC的距離d=>R2—面=坐,

故頂點尸到平面48c的距離為24=坐,

（2）（2023?濰坊模擬）在半徑為1的球中作一個圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時，圓柱的母線長為

宏案

u木3

解析設(shè)圓柱的底面半徑為r,球心到圓柱底面的距離為九則圓柱的母線長為2九

由球截面的性質(zhì)得戶+序=1,

則1—Zz2（0</i<l）,

圓柱的體積V=2jir2h=2K/Z（l-h2）=2nh—2TI/Z3,

Vr=2兀一6兀入2=——6兀。+^^,一

當(dāng)〃e（o,用時，->0,

當(dāng)〃e宵，1）時，『<0,

所以函數(shù)在區(qū)間（0,空）上單調(diào)遞增，

在區(qū)間停，1）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)人=乎時，v取得最大值中，此時圓柱的母線長為

2&=￥.專題強化練

一、單項選擇題

1.（2023?唐山模擬）若圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的

比為（）

A.1：B.1：2

C.2:D.2：3

答案A

解析設(shè)球的半徑為r,依題意知圓柱的底面半徑也是r,高是2廠，圓柱的側(cè)面積為2什2r

=4nr2,球的表面積為4兀凡其比為1：1.

2.（2023?錦州模擬）已知正方體AB。一A/1GA的棱長為4,P,。是棱。A的兩個三等分

點，則三棱錐。一P2C的體積為（）

A.|B.f

c16c16

C.gDq

答案B

解析如圖所示.

VQ-PBC=VB-PQC=^SAPQC'BC

11432

義]X4X4=W".

3.（2023?石家莊模擬）一個圓錐的側(cè)面展開的扇形面積是底面圓面積的2倍，若該圓錐的體積

為崎兀，則該圓錐的母線長為（）

A.3B.3小C.6D.6小

答案C

解析設(shè)圓錐的底面圓半徑為廣，高為九母線長為/,則圓錐側(cè)面展開的扇形面積為兀兒底

面圓面積為兀片，

因為?！?2兀戶，所以/=2r,

得h=yll2—t2=y[3r,

所以圓錐的體積丫=；%修/7=；無產(chǎn)?小廠=9\。兀，解得廠=3,所以/=6,即圓錐的母線長為6.

4.已知一個直三棱柱的高為2,如圖，其底面AABC水平放置的直觀圖（斜二測畫法）為

△A'B'C,其中。A'=0,B'=0,C=1,則此三棱柱的表面積為（）

A.4+4^2B.8+4啜

C.4+4小D.8+4小

答案D

解析由斜二測畫法還原底面△ABC的平面圖如圖所示,

因為O,A'=O'B'=O'C=1,

所以04=2,08=0C=l,

所以A8=AC=小，

所以此直三棱柱的底面積為^義2X2=2,

因為直三棱柱的高為2,故直三棱柱表面積為

S=2X2+（2+2?。2=8+4下.

5.（2023?長沙模擬）最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該

書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”“圓罌測

雨”“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.其中“天池測雨”法是下雨時用一個圓臺形的天池盆收

集雨水.已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，當(dāng)盆中積

水深九寸時，平地的降雨量是（）

（注：一尺=10寸，平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積）

A.9寸B.6寸

C.4寸D.3寸

答案D

解析如圖所示，由題意知天池盆盆口半徑是14寸，盆底半徑是6寸，高為18寸,

由積水深9寸知水面半徑為

9（14+6）=10（寸），

則盆中水體積為%><9><（62+102+6X10）=588兀（立方寸），所以平地降雨量為黃*=3（寸）.

6.（2023?日照模擬）紅燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征

美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，

上、下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上、下兩個相同球冠剩下的部分.如

圖2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，

若球冠所在球面的半徑為R，球冠的高為//,則球冠的面積S=2兀如圖1,已知該燈籠的高

為58cm,上、下圓柱的高為5cm,圓柱的底面圓直徑為14cm,則圍成該燈籠中間球面部

分所需布料的面積為（）

A.1940兀cm2B.235071cm2

C.2400?rcm2D.2540TTcm2

答案C

解析由題意得配一

所以R—25cm,

58-10

所以h=25-5-=l(cm),

所以兩個球冠的面積為25=2X2nRh=2X2X7TX25X1=1OO7t（cm2）,

則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為

4nRi—2S—4XnX252—100兀=2400n（cm2）.

7.（2023?廣西聯(lián)考）已知在一個表面積為24的正方體ABC。一AiBCQi中，點E在修。上運

動，則當(dāng)BE+AiE取得最小值時，AE等于（）

A.2B.乎CmD.乎

答案A

解析作出圖形，如圖所示.

4￡>,

B

依題意6AB2=24,故A8=2,

將平面A\B\D翻折至與平面BB\D共面，

易得AAiBiD絲ABBiD,

故當(dāng)時，BE+4E有最小值，此時萼=],過點E作平面ABCD的垂線，垂足為

Un.Z

則BF=^BD=^~^,EF=^BBI=^9

由余弦定理得

AF2=AB2+BF2-2ABBFcos45°

=4+5—23乎X乎號

則7+E尸=4岑+$=2.

8.已知球。的半徑為2,三棱錐P—ABC的四個頂點均在球面上，aABC為等邊三角形，

且邊長為3,則三棱錐P—ABC的最大體積為（）

27^1B至

aA4n,4

空3^3

J42

答案B

解析如圖所示，設(shè)△ABC的中心為。1,連接OP,OC,OQ,OiC,ZsABC為等邊三角形,

邊長為3,

P

?01、-、9V§

,,^AABC2yx'Jx3x24，

01c=3X坐X,=W，

又0C=R=2,

.?.。。嚴(yán)正―（$）2=1,

當(dāng)尸為射線。1。與球的交點時，VP—ABC最大，

（Vp-ABC）max=；用"仁（尸。+。。1）

=lx^3=9^3

X

~34/3—4-

二、多項選擇題

9.有一張長和寬分別為8和4的矩形硬紙板，以這張硬紙板為側(cè)面，將它折成正四棱柱，則

此正四棱柱的體對角線的長度為（）

A.2^2B.2^6C.4鄧D.y/66

答案BD

解析分兩種情況求解：

①若正四棱柱的高為8,則底面邊長為1,此時體對角線的長度為-82+1+1=強;

②若正四棱柱的高為4,則底面邊長為2,此時體對角線的長度為聲加.

10.（2023?新高考全國II）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，ZAPB=120°,

E4=2,點C在底面圓周上，且二面角產(chǎn)一AC—。為45。，則（）

A.該圓錐的體積為兀

B.該圓錐的側(cè)面積為4小兀

C.AC=2P

D.AB4c的面積為《

答案AC

解析依題意，ZAPB=120°,E4=2,

所以。尸=1,0A=0B=p

A項，圓錐的體積為上X兀乂（/）2><1=%，

故A正確；

B項，圓錐的側(cè)面積為兀x/><2=2小兀，故B錯誤；

C項，取AC的中點。，連接?！辏?PD,如圖所示，

則AC_L。。，ACLPD,所以NPDO是二面角尸一AC—O的平面角，

則/PZ）O=45°,

所以。尸=0￡）=1,故AD=CD=、3—l=p,

則AC=2吸，故C正確；

D項，PD=y/"i2=①

所以Sc=｝義故D錯誤.

11.（2023?遼陽統(tǒng)考）若正三棱錐尸一A8C的底面邊長為3,高為乖,則該正三棱錐（）

A.體積為，g

B.表面積為人片

C.外接球的表面積為27兀

3冗

D.內(nèi)切球的表面積為早

答案ABD

解析如圖，三棱錐P—ABC的體積故A正確；

p

取AB的中點。，連接CO,PD,

則在正三棱錐P—ABC中，ABLCD,AB±PD.

作平面ABC,垂足為H,則PH=y[6.

由正三棱錐的性質(zhì)可知X在C￡）上，

且CH=2DH.

因為A8=3,所以CZ）=平，則CH=/.

因為PH=#,所以PC=13+6=3,

則三棱錐P—ABC的表面積為乎X4=”2，

故B正確；

設(shè)三棱錐尸一A5C的外接球的球心為O,半徑為R,則。在PH上，

連接0C,則片=CH2+O”2=（PH—0切2,

即尺2=3+0〃2=（爬一0^2,解得0〃=坐，

?327

所以R2=3+R=W，

oo

則三棱錐P—ABC的外接球的表面積為4%/?2=等277r，故C錯誤；

設(shè)三棱錐產(chǎn)一A8C的內(nèi)切球的半徑為r,

則g><”/§「=乎，

解得廠=坐，從而三棱錐P—ABC的內(nèi)切球的表面積為4兀，=爭，故D正確.

12.（2023?白銀模擬）甲工程師計劃將一塊邊長為6m的正方形鐵片加工成一個無蓋正四棱臺,

其工程平面設(shè)計圖如圖1所示，正方形EFGH和正方形A8C。的中心重合，1,J,K,L,M,

N,0,尸分別是邊AB,BC,CD,D4上的三等分點，且所〃AB,IJ<EF<AB,將圖中的四

塊陰影部分裁下來，用余下的四個全等的等腰梯形和正方形EEG8加工成一個無蓋正四棱臺,

如圖2所示，則（）

A.甲工程師可以加工出一個底面周長為8m的正四棱臺

B.甲工程師可以加工出一個底面面積為8m2的正四棱臺

C.甲工程師可以加工出一個高為1.5m的正四棱臺

D.甲工程師可以加工出一個側(cè)棱長為1.5m的正四棱臺

答案BCD

解析令正四棱臺的底面邊長EE=2am,高為〃m,側(cè)棱長為/m,等腰梯形EE//的高為

h\m,

則由題意可知，IJ—^AB—2m,2a+2hi—AB,

即hi=(3—a)m.

對于A,當(dāng)正四棱臺的底面周長為8m時，

EF=2m,不滿足故A錯誤；

對于B,當(dāng)正四棱臺的底面面積為8m2時，

EF=2y[2m,滿足故B正確；

對于C,如圖，當(dāng)正四棱臺的高為1.5m時，

記正四棱臺的上、下底面的中心分別為5,。2,取〃，EG的中點Q,R,連接。1。2,O1。,

O2R,QR,過點。作。5，。2尺于點s,則QS=L5m,QR=(3—a)m,RS=(a-l)m,

所以iS+g—1)2=(3—a)2,

解得a=v|,則EF=^m,

滿足IJ<EF<AB,故C正確；

MO)UM)

對于D,如圖，當(dāng)正四棱臺的側(cè)棱長為1.5m時,

1=1.5m,

過點/作/UbG于點T,則"=L5m,

JT=(3—(2)m,FT—(?—l)m,

所以1.52=(?—1)2+(3—<2)2,

即8a2—32a+31=0,解得a=左區(qū)，

則EF=卓回m,滿足IJ<EF<AB,故D正確.

三、填空題

13.（2023?鄭州模擬）攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角

攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它

的主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面的等腰三角形的頂角為60°,

則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為.

答案事

解析設(shè)底面棱長為2am