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文檔簡介
微專題32隨機變量及其分布
[考情分析]離散型隨機變量的分布列、均值、方差和概率的計算問題常常結合在一起進行
考查,重點考查超幾何分布、二項分布及正態(tài)分布,以解答題為主,中等難度.
■思維導圖
隨機變量的分布列、均值、方差[
分布列的性質一一求隨機變量的分布列
一求隨機變量的均值、方差
兩點分布一必備常見
—分布列的性質的應用
二項分布一知識題型
一-利用正態(tài)曲線的對稱性求概率
超幾何分布一隨
正態(tài)分布一機一正態(tài)分布中利用3a原則求正態(tài)區(qū)間的概率
變
量
及
^Y=aX+b,則磯Y)=aE(X)+b,其
D(Y)=a2D(X)分
布
求離散型隨機變量分布列時忽視所有事件
一
二項分布乂~55卬),E(X)=nP,D(X)=np(l-p)
必備常見概率和為1
超幾何分布E(XT解法誤區(qū)
」混淆超幾何分布和二項分布的概念
求正態(tài)分布的分布區(qū)間的概率時常用對稱
性求解
考點一分布列的性質及應用
【典例1】(1)(多選)設oy<i,已知隨機變量E的分布列如表所示,則下列結論正確的是()
012
P2p—p2P11—2〃
A.P《=2)的值最大
B.口。=0)>尸(<=1)
C.隨著p的增大而減小
D.當°=;時,砥譚
答案BCD
解析當p=3時,尸《=2)=0,P《=l)=(,尸(。=1)>尸£=2),故A錯誤;
V0<p<l,
0)一尸(。=1)=2。-p2_p2=2p-2p2>0,
...尸《=o)>p(e=1),故B正確;
:£?=加+2—4“0g<l,
隨著p的增大而減小,故C正確;
當P=:時,
3
012
511
P
993
5117
E?=0X:+lX:+2X:=j,
D?=(°—9)2X,+[1—9)2義1+[2—12義1=魚,故D正確.
99381
(2)投資甲、乙兩種股票,每股收益(單位:元)分別如下表:
投資甲種股票收益分布列投資乙種股票收益分布列
收益-102收益012
概率0.10.30.6概率0.20.50.3
則下列說法正確的是()
A.投資甲種股票收益的均值大
B.投資乙種股票收益的均值大
C.投資甲種股票的風險更高
D.投資乙種股票的風險更高
答案C
解析投資甲種股票收益的均值E(X)=-lX0.1+0X0.3+2X0.6=Ll,
方差。⑶=(-l—l.l)2X0.1+(0-l.l)2X0.3+(2-1.1)2X0.6=1.29,
投資乙種股票收益的均值£(y)=0X0.2+lX0.5+2X0.3=l.l,
方差。(y)=(0—l.l)2X0.2+(l—l.l)2X0.5+(2—1.1)2X0.3=0.49,
所以£(X)=£(7),D{X}>D(Y),則投資甲乙兩種股票收益的均值相等,投資甲種股票比投資乙
種股票的風險高.
跟蹤訓練1(2023?桂林模擬)設0<a<l.若隨機變量X的分布列是
X0a1
111
P
333
則當。在(0,1)內(nèi)增大時,()
A.£(&不變
B.£(&減小
C.D(X)先增大后減小
D.O(X)先減小后增大
答案D
解析£(A)=OX-+aX-+lX-=^:tl,
3333
增大;
pz+f|[Q+1]fQ+1]
。(㈤=13J2X-+V3J2X-+13J2X-=^[(?+1)2+(2^z-1)2+(?-2)2]
33327
=2(層—a+l尸巾-4+1,
996
:OVa<l,先減小后增大.
考點二超幾何分布與二項分布
【典例2】(2023?泰安模擬)某公司為活躍氣氛提升士氣,年終以通過抓閹兌獎的方式對所有員
工進行獎勵.規(guī)定:每位員工從一個裝有4個標有面值的閹的袋中一次性隨機摸出2個閹,
閹上所標的面值之和為該員工獲得的獎勵金額.
⑴若袋中所裝的4個閹中有1個所標的面值為800元,其余3個均為200元,求
①員工所獲得的獎勵額為1000元的概率;
②員工所獲得的獎勵額的分布列及均值;
(2)公司對獎勵額的預算是人均1000元,并規(guī)定袋中的4個閹只能由標有面值200元和800
元的兩種閹或標有面值400元和600元的兩種閹組成.為了使員工得到的獎勵總額盡可能符
合公司的預算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個閹的面值給出一個合適
的設計,并說明理由.
解(1)設員工所獲得的獎勵額為X,
G1
①尸(X=l000)焉=;,
所以員工所獲得的獎勵額為1000元的概率為1
2
②X所有可能的取值為400,1000,
產(chǎn)(X=400)*=J尸(X=1000)=J
所以X的分布列為
X4001000
11
P
22
所以員工所獲得的獎勵額的均值E(X)=400xg+l000xg=700(元).
(2)根據(jù)公司預算,每位員工的平均獎勵額為1000元,
所以先尋找均值為1000元的可能方案,
對于面值由800元和200元組成的情況,
如果選擇(200,200,200,800)的方案,因為1000元是面值之和的最大值,
所以均值不可能為1000元;
如果選擇(800,800,800,200)的方案,
因為1000元是面值之和的最小值,所以均值不可能為1000元;
因此可能的方案是(800,800,200,200),記為方案1.
對于面值600元和400元的情況,
同理排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案,
所以可能的方案是(400,400,600,600),記為方案2.
對于方案1,設員工所獲得的獎勵額為X1,X可取400,1000,1600,
產(chǎn)(為=400尸箕=?
C46
尸(Xi=1000)=皆CJCJ=$2,
產(chǎn)(為=1600)=胃C4=g1
C46
101
所以X1的均值為£*(Jri)=400X-+l000X-+1600XA=1000,
636
i71
方差D(Xi)=(400—1000)2X-+(l000-1000)2X-+(l600-1000)2X-=120000.
636
對于方案2,設員工所獲得的獎勵額為生,法可取800/000/200,
C?1
產(chǎn)(蒞=800)=胃=3
o
P(拓=1000)=^^=-,
C*3
產(chǎn)(蒞=1200)=,=?
C46
171
所以蒞的均值為£,(A)=800X-+l000X-+1200X-=l000,
2636
方差。(E)=1X(800—1000)2+-X(l000-1000)2+-X(l200—1000)2=也曬.
6363
由于兩種方案的獎勵額都符合預算要求,但方案2的方差比方案1小,為使每位員工所獲得
的獎勵額均衡,應選擇方案2.
跟蹤訓練2(2023?廣州模擬)某工廠車間有6臺相同型號的機器,各臺機器工作相互獨立,
工作時發(fā)生故障的概率都是L且一臺機器的故障能由一個維修工處理.已知此廠共有甲、乙、
4
丙3名維修工,現(xiàn)有兩種配備方案,方案一:由甲、乙、丙三人維護,每人負責2臺機器;
方案二:由甲、乙兩人共同維護6臺機器.
(1)對于方案一,設X為甲維護的機器同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù),求X的分布列與均值E(X);
(2)在兩種方案下,分別計算機器發(fā)生故障時不能得到及時維修的概率,并以此為依據(jù)來判斷,
哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高?
解(1)由題意可知,x-5f2,
則p(x=o)=O』9,
16
1QQ
P(X=l)=CiXAX-=-,
448
尸(X=2)=02=」-,
所以,隨機變量X的分布列為
X012
931
P
16816
所以即Q=2X冷.
(2)對于方案一,“機器發(fā)生故障時不能及時維修”等價于“甲、乙、丙三人中,至少有一人
負責的2臺機器同時發(fā)生故障”.
其概率為Pi=l—[l—P(X=2)]3=l
對于方案二,機器發(fā)生故障時不能及時維修的概率為
尸2=1-—c&X1義—CVXDX[J=l-36+6X35+15X34=J47_,
440962048
所以即方案二能讓故障機器更大概率得到及時維修,使得工廠的生產(chǎn)效率更高.
考點三正態(tài)分布
【典例3](1)(2023?安慶市示范高中聯(lián)考)某中學高一⑵班物理課外興趣小組在最近一次課外
探究學習活動中,測量某種物體的質量X服從正態(tài)分布N(10,0.04),則下列判斷錯誤的是()
A.P(A>10)=0.5
B.尸(E>10.2)=P(督9.8)
C.尸?9.6)<尸*10.2)
D.P(9.4*10.2)=P(9.8*10.6)
答案C
解析因為正態(tài)分布N(10,0.04)圖形關于X=10對稱,
所以P(A>10)=P(^<10)=0.5,P?10.2)=尸(督9.8),
P(9.4<A<10.2)=JP(9.8<^<10.6),故A,B,D正確;
根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得P(X>9.6)=尸(XD0.4)>尸(XU0.2),故C錯誤.
(2)(2023?聊城模擬)某市統(tǒng)計高中生身體素質的狀況,規(guī)定身體素質指標值不小于60就認為
身體素質合格.現(xiàn)從全市隨機抽取100名高中生的身體素質指標值x/=l,2,3,…,100),經(jīng)
計算錯誤!戶7200,錯誤!?=100X(722+36).若該市高中生的身體素質指標值服從正態(tài)分布
N也,〃),則估計該市高中生身體素質的合格率為.(用百分數(shù)作答,精確到0.1%)
參考數(shù)據(jù):若隨機變量X服從正態(tài)分布o2),則23—0忘年〃+<7)-0.6827,尸仍一
2o<XW〃+2<7)-0.9545,尸@-3o<XW〃+3。)-0.9973.
答案97.7%
解析因為100個數(shù)據(jù)Xi,X2,X3,X100的平均值X=個^錯誤!,.=72,
方差$2='錯誤!8—X)2=J_(錯誤!—100X2)=^-X[100X(722+36)-100X722]=
100100100
36,
所以〃的估計值為72,。的估計值為6.
設該市高中生的身體素質指標值為X,
由P(/,-2<7WXW〃+2(T)-0.95454^^P(72—12WXW72+12)=P(60WXW84)-0.9545,
尸?84)=P[X>n+2(7)=尸(督〃-2(=1-尸:-2—X4+2嘰1-0;545,
所以P(X260)=尸(60WXW84)+PQ>84戶0.9545+1x(l-0.9545)=0.97725^97.7%.
跟蹤訓練3(1)某校高二年級有1000名學生,一次考試后數(shù)學成績X?以110,102),若
產(chǎn)(100WXW110)=0.35,則估計高二年級的學生數(shù)學成績在120分以上的人數(shù)為()
A.130B.140C.150D.160
答案C
解析因為X?N(110,102)且p(ioowxWllO)=O.35,
所以尸(110WXW120)=尸(100WXW110)=0.35,
貝UP(*>120)=0.5—P(U0<X<120)=0.15,
所以該校高二年級的學生數(shù)學成績在120分以上的人數(shù)約為1000X0.15=150(人).
(2)某批待出口的水果罐頭,每罐凈重X(單位:g)服從正態(tài)分布N(184,2S).隨機抽取1罐,
其凈重在[179,186.5]之間的概率約為()
(注:若X?N(?,/),網(wǎng)/一〃良。)-0.6827,P(|X-//|^2(7)^0.9545,尸(任一”?3。)心0.9973)
A.0.8186B.0.84
C.0.9545D.0.9755
答案A
解析由題意可知,〃=184,(7=2.5,可得179=〃-2(T,186.5=〃+cr,
凈重在[179,186.5]之間的概率為尸(179WXW186.5)=&u—〃+力
由正態(tài)分布的對稱性可知,P3—2oWXW"+0)=尸(區(qū)一1[P(\X-fi\<2(7)-
尸(|X-"W<7)]
-0.6827+1(0.9545-0.6827)=0.8186,
所以凈重在[179,186.5]之間的概率約為尸(179或於186.5)=0.8186.
[總結提升]
高考對此部分的考查較為穩(wěn)定,以解答題為主.二項分布、超幾何分布和正態(tài)分布是考查熱
點,要掌握求隨機變量的分布列、均值和方差,可用定義法直接求解.如果能分析出所給的
隨機變量服從常用的分布(兩點分布、二項分布等),則直接利用公式求解.
熱點突破
1.設隨機變量x,y滿足y=3X—1,x?BI2,31則D(y)等于()
A.4B.5C.6D.7
答案A
解析因為x?*寸,
1fl-A4
則7XR=2X:xl3j=3
4
又y=3X—1,所以。(y)=O(3X—1)=32。(㈤=32X:=4.
2.第19屆亞運會在杭州舉辦,為了弘揚奧林匹克精神,某市多所中小學開展了亞運會項目
科普活動.為了調查學生對足球項目的了解情況,在該市中小學中隨機抽取了10所學校,10
所學校中了解足球項目的人數(shù)如圖所示.
?人數(shù),
401cc36
32:32,,、
3()/'、/'、、26
201-24V27支、,/
1818
1()
0八方cb總率校
若從這10所學校中隨機選取2所學校進行足球項目的科普活動,記X為被選中的學校中了
解足球項目的人數(shù)在30以上的學校所數(shù),則下列判斷錯誤的是()
A.尸哈2)=仁13
B.P(X=0)=;
C.E(X)=:3
32
D.D(X)=^
75
答案C
解析根據(jù)題意,X的可能取值為0,1,2,其中了解足球項目的人數(shù)在30以上的學校有4所,
了解足球項目的人數(shù)在30以下的學校有6所,
所以P(X=0)=*=;,
CfoJ
__m_24_A
RprXyTn)—C%—45—15,
尸(X=2)=|^=*=W
2-K2一
1575
1a
由分布列可得,P(右2)=1—P(X=2)=[,故A正確.
3.已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時間互不影響,經(jīng)統(tǒng)計,甲、乙一個月內(nèi)
從家中到工作單位所用時間在各個時間段內(nèi)的頻率如表所示.
時間/分鐘10?2020?3030?4040?50
甲的頻率0.10.40.20.3
乙的頻率00.30.60.1
某日工作單位接到一項任務,需要甲在30分鐘內(nèi)到達,乙在40分鐘內(nèi)到達,用X表示甲、
乙兩人在要求時間內(nèi)從家中到達單位的人數(shù),用頻率估計概率,則X的均值和方差分別是
()
A.E(X)=1.5,。(㈤=0.36
B.E(X)=1A,。(㈤=0.36
C.E(X)=1.5,。⑶=0.34
D.£(R=1.4,。(㈤=0.34
答案D
解析設事件/表示甲在30分鐘內(nèi)到達,2表示乙在40分鐘內(nèi)到達,
則尸(4)=0.5,尸(3)=0.9,A,3相互獨立,
.?.尸(X=0)=P(AB)=尸(A)p(B)=(i-o.5)X(l-O.9)=O.O5,
尸(X=1)=P(A8)+尸(/B)
=尸(A)P(B)+P(A)P(B)
=(l-0.5)X0.9+0.5X(l-0.9)=0.5,
P(X=2)=P(A8)=P(N)P(5)=0.5X0.9=0.45,
/.£(A)=0X0.05+lX0.5+2X0.45=1.4,
。⑶=(0—1.4)2X0.05+(1—1.4)2X0.5+(2—1.4)2X0.45=0.34.
4.隨機變量X的分布列如表所示.
X123
pa2ba
則。(她的最大值為()
2121
A.-B.-C.—D—
992727
答案D
解析由題可知20+26=1,即a+6=l,
2
£(A)=a+4b+3a=4(a+b)=2,
£>(A)=(l-2)2a+(3-2)2a=2a,
則D(bX)=b2D(X)=2ab2=~2b3+b2,
令人6)=—2"+62,
則/(b)=~6l^+2b=-2b(3b-1),
則順在(°y)上單調遞增,在b力
I上單調遞減,
所以人瓦島
則D(AY)的最大值為,.
5.(多選)(2023?湛江模擬)廉江紅橙是廣東省廉江市特產(chǎn)、中國國家地理標志產(chǎn)品.設廉江地
區(qū)某種植園成熟的紅橙單果質量M(單位:g)服從正態(tài)分布N(165,<72),且P(M<162)=0.15,
尸(165<M<167)=0.3.則下列說法正確的是()
A.若從種植園成熟的紅橙中隨機選取1個,則這個紅橙的質量小于167g的概率為0.7
B.若從種植園成熟的紅橙中隨機選取1個,則這個紅橙的質量在167g?168g的概率為0.05
C.若從種植園成熟的紅橙中隨機選取600個,則質量大于163g的個數(shù)的均值為480
D.若從種植園成熟的紅橙中隨機選取600個,則質量在163g?168g的個數(shù)的方差為136.5
答案BCD
解析因為M?N(165,4),所以尸(V<167)=0.5+0.3=0.8,所以A錯誤;
因為P(165<A/<168)=P(162<A/<165)=0.5-0.15=0.35,
所以尸(167cAz<168)=0.35—0.3=0.05,所以B正確;
尸(M>163)=尸("<167)=0.8,若從種植園成熟的紅橙中隨機選取600個,則質量大于163g的
個數(shù)X?3(600,0.8),所以E(X)=600X0.8=480,所以C正確;
因為P(165<“<167)=0.3,所以尸(163<M<165)=0.3,
所以P(163<M<168)=P(163<M<165)+P(165<TW<168)=0.3+0.35=0.65,
若從種植園成熟的紅橙中隨機選取600個,則質量在163g?168g的個數(shù)Y?2(600,0.65),
所以£>(y)=600X0.65X(1-0.65)=136.5,所以D正確.
6.(多選X2023?黃石模擬)乒乓球,被稱為中國的“國球”.某次比賽采用五局三勝制,當參
賽者甲、乙兩位中有一位贏得三局比賽時,就由該選手晉級而比賽結束.每局比賽皆須分出
勝負,且每局比賽的勝負不受之前比賽結果影響.假設甲在任一局勝出的概率為MOWpWl),
實際比賽局數(shù)的均值記為%),則下列說法正確的是()
A.三局就結束比賽的概率為加+(1—p>
B.e)的常數(shù)項為3
C.函數(shù)%)在(°,J上單調遞減
D./E)=Y
8
答案ABD
解析設實際比賽局數(shù)為X,則X的可能取值為3,4,5,
所以P(X=3)=03+(1—p)3,
P(X=4)=C切(31—p)+c切(1-pf,
尸(X=5)=CQ2(1—p)2,
因此三局就結束比賽的概率為p3+(l—p)3,故A正確;
故加)=3X懶3+(1一03]+4X[C切3(1—p)+C步(1—p)3]+5XC瓶2(1_p)2
=6p4—12p3+3/22+372+3,
由負0)=3知常數(shù)項為3,故B正確;
由/'U=6義'—12X—+3X—+—+3=^,故D正確;
168428
由/(p)=24p3-36p2+6p+3=3(2p-l)(4p2~4p-]),
因為OWpWl,所以4加一4°—1=(22—1)2—20,
所以令,。)>0,貝iJOOpg;令,(p)<0,則
則函數(shù)必)在(“』上單調遞增,故C不正確.
7.已知隨機變量卻勺分布列如表所示:
ab
11
p
ba
則當。逐漸增大時,£(0—。(。=.
答案2
解析由題意可知
ab
h但+幻P+父
此時夙。=0+3D(?=E(3)—(£(。)2=〔6J-L曲,
ab
、H11
設冽=一,n=~,0<m<l,0<?<l,
ab
則加+〃=1,且£(?="+%
mn
m2~\-n2
mn
(m+〃)2—2mn
mn
mn
冽3+4
(mn)2
1-2)2
(加+n)[(m+ri)2—3mn]
jnn)
(mn)2
-4
mn
從而£(0—0(9=2.
8.畢業(yè)在即,5位同學各自寫了一封祝福信,并把寫好的5封信一起放在心愿盒中,然后每
人在心愿盒中各取一封,不放回.設X為恰好取到自己祝福信的人數(shù),則E(X)=
答案1
解析由題意可知,X的可能取值為0,1,2,3,5,
對應概率依次為尸(X=5)=2=3
A5120
尸(X=3)比10=1
12。―12,
尸(42)有20=1
12。一6,
產(chǎn)(41)=胃45=3
120-8
__1___1__1
尸(X=0)=l3=11
1201268一30,
111Q
則£(A)=5X—+3X—+2X-+1X-=1.
1201268
9.(2023?濟南模擬)為了切實加強學校體育工作,促進學生積極參加體育鍛煉,養(yǎng)成良好的鍛
煉習慣,某高中學校計劃優(yōu)化課程,增加學生體育鍛煉時間,提高體質健康水平.某體質監(jiān)
測中心抽取了該校10名學生進行體質測試,得到體質測試成績?nèi)缦卤硭?
序號,12345678910
成績雙分)38414451545658647480
記這10名學生體質測試成績的平均分與方差分別為X,$2,經(jīng)計算錯誤!8—X)2=1690.
⑴求x;
(2)規(guī)定體質測試成績低于50分為不合格,從這10名學生中任取3名,記體質測試成績不合
格的人數(shù)為X,求X的分布列;
(3)經(jīng)統(tǒng)計,高中生體質測試成績:近似服從正態(tài)分布a2),用x,S2的值分別作為〃,卓
的近似值,若監(jiān)測中心計劃從全市抽查100名高中生進行體質測試,記這100名高中生的體
質測試成績恰好落在區(qū)間[30,82]的人數(shù)為匕求y的均值夙y).
附:若己?NQi,〃),則—+-0.6827,P(//-2(T^^+2(7)?0.9545,Pg
30<代〃+3。戶0.9973.
解(1)x=^X(38+41+44+51+54+56+58+64+74+80)=56.
(2)因為體質測試成績不合格的學生有3名,
所以X的可能取值為0,1,2,3.
因為P(X=0)=m=2,P(X=1)=手=〃,P(x=2)=^=—,^(X=3)=^-=-.
CJo24C?o40C?o40C?o120
所以X的分布列為
X0123
7
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