2024學(xué)年佛山市順德某中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷（附答案解析）

2024學(xué)年佛山市順德一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷

本試卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.若集合A={1,a,-2）,B={2,4},則“ACB={4}”是“a=2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件

2.已知復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則（）

A.-iB.iC.0D.1

3.在棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD—中，點(diǎn)E是CC'的中點(diǎn).設(shè)通在牙萬(wàn)上的投影向量為￡

則同=（）

12

A.-B.-CD.V2

43.T

22

4.已知橢圓f:■+V￡=1（小>0）與雙曲線X亍72=1（">0）有共同的焦點(diǎn)，則直線s+"y=l必過(guò)定點(diǎn)（）

A.B.c.(1,-1)D.(3,-3)

5.。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為拋物線C:必=4x的焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，若|尸尸|=4,貝隈尸。尸的面積為

A.41B.V3C.2D.3

22

6.已知雙曲線C:三-==l（a>0,6>0）的離心率為右，。的一條漸近線與圓（x-2>+（尸3/=1交于/,

ab

3兩點(diǎn)，貝力/0=（）

A45n2V5「3后n4V5

A.---D.---------C.--------U.--------

5555

7.已知甲、乙兩人射擊的命中率分別是0.4和0.7.現(xiàn)二人同時(shí)向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，

則甲、乙分配獵物的比例應(yīng)該是（）

A.2:7B.3:7C.4:7D.5:7

8.圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)（如圖1所示）：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到

另一個(gè)焦點(diǎn)處；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線

的左焦點(diǎn).如圖2,一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)片，耳的橢圓C與雙曲線。構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)4發(fā)

出，依次經(jīng)過(guò)C，與C的反射，又回到點(diǎn)耳路線長(zhǎng)為加；若將裝置中的C'去掉，則該光線從點(diǎn)片發(fā)出,

1

經(jīng)過(guò)C兩次反射后又回到點(diǎn)片路線長(zhǎng)為”.若C與。的離心率之比為:，則'=（）

3n

圖1圖2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.

9.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/過(guò)原點(diǎn)。，且點(diǎn)/（-3,1）和點(diǎn)8（1,3）到直線/的距離相等，則直線

/的斜率可以是（）

11

A.—2B.---C.—D.2

22

10.已知S“為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，且%+1=2N*）,則（）

a”

A.存在%,使得邑=2B.｛%｝可能是常數(shù)列

C.｛%｝可能是遞增數(shù)列D.｛%｝可能是遞減數(shù)列

22

11.已知雙曲線C:拶-彳=1（°>0,6>0）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)C的右焦點(diǎn)尸作C的一條漸近線的平行線

ab

交C于點(diǎn)尸，交C的另T?條漸近線于點(diǎn)。，則（）

__.1—.

A.向量0尸在礪上的投影向量為］。尸

B.若4。。尸為直角三角形，則C為等軸雙曲線

3

C.若tan/O0尸=一］，則C的離心率為加

D.若國(guó)=4而，則C的漸近線方程為x±2y=0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22

13.設(shè)片、鳥(niǎo)分別是橢圓C：土+匕=1的左、右焦點(diǎn)，在橢圓。上滿足/片產(chǎn)耳=90°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)

42

為?

14.佛山是全國(guó)著名的工業(yè)城市，這里生產(chǎn)的部分產(chǎn)品通過(guò)水路運(yùn)輸?shù)饺珖?guó)乃至全世界.下圖1是佛山

一個(gè)貨運(yùn)碼頭的吊機(jī)，其作用是完成集裝箱的裝船或卸船.為了研究其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)固性，工程師把一個(gè)吊

機(jī)的部分結(jié)構(gòu)（圖1中圈住部分）畫成圖2的空間幾何體45co￡F.若四邊形Z8CD是矩形，AB//EF,

ZABF=NBAE,ZCBF=NDAE=60°>AD=2,AB=AE=BF=3,EF=1,則直線BF與DE

所成角的余弦值為.

四、解答題：本題共5小題.共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

2

15.已知圓C:(x-a)2+e-2)2=4(a>0)及直線/：尤-y+3=0.直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)為2VL

⑴求。的值；

⑵求過(guò)點(diǎn)(3,5)并與圓C相切的切線的一般式方程.

16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD-44GA中，E,尸分別為棱。52的中點(diǎn).

(1)求證：平面&BE；(2)求直線4尸到平面43E的距離.

17.男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內(nèi)

射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進(jìn)入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發(fā)子彈.已知甲乙

兩名運(yùn)動(dòng)員均進(jìn)入了決賽，資格賽中的環(huán)數(shù)情況整理得下表：

環(huán)數(shù)頻數(shù)678910

甲2352327

乙5502525

以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率，甲乙兩人射擊互不影響.

⑴求甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；

(2)決賽打完第9發(fā)子彈后，甲比乙落后2環(huán)，求最終甲能戰(zhàn)勝乙(甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù))的概率.

18.如圖，三棱錐中，AM4c是邊長(zhǎng)為26的等邊三角形，MB=4,V4BC中，ZACB=90°,

ABAC^30°,點(diǎn)Ne平面/3C,點(diǎn)。，口分別為線段/5、的中點(diǎn)，且。?？谄矫鍻OXLMN.

M

⑴證明：8C_L平面M4C；

(2)證明：四邊形2C"W為矩形；

⑶求平面MAC和平面NAB夾角的余弦值.

3

19.已知圓C:（x-2）2+F=4和定點(diǎn)-2,0）,尸為圓C上的任意一點(diǎn)，線段我的垂直平分線與直線尸C

交于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線

（1）求曲線H的方程；

⑵若N是曲線H上的一點(diǎn)，過(guò)N的直線/與直線y=土后分別交于S,7兩點(diǎn)，且N為線段S7的中點(diǎn).

①求證：直線/與曲線H有且只有一個(gè)公共點(diǎn);

21一

②求回f+何川的最小值（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

2024學(xué)年佛山市順德一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷

本試卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.若集合A={l,a,—2},8={2,4}?則208={4}"是七=2"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】B

2.已知復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則zi=（）

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

3.在棱長(zhǎng)為2的正方體48CD-中，點(diǎn)E是CC'的中點(diǎn).設(shè)樂(lè)在彳萬(wàn)上的投影向量為￡,

則口=（）

2

B.-C

3.T

【答案】C

【解析】

【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD、所在直線分別為％、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利

用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合投影向量的定義可求得同的值.

【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、44'所在直線分別為％、＞、z軸建立如下圖所示的空間直

則/（0,0,0）、￡（2,2,1）、H（O,O,2）、￡＞（0,2,0）,

4

/=(2,2,1),ZD=(O,2,-2),

由題意可知，d=cos,

11L4D

,_..,,_.__\|,_..|2E-ZD||2E-ZD|2、歷

所以，同=/E.cos(/E,H￡>>=/￡.匚_!』_L=日.

11111Z111同中叼pZ)|2V22

故選：C.

r2v2r2

4.已知橢圓亍+。=1(加>0)與雙曲線'十=1(">0)有共同的焦點(diǎn)，則直線s+〃y=l必過(guò)定點(diǎn)()

A.B,Q,-1]C.(1,-1)D.(3,-3)

【答案】A

【分析】由雙曲線方程可得°2=〃+1,且焦點(diǎn)在x軸上，由題意和橢圓方程可得：c2=m-4,m>4,即

可得〃+1=〃?-4,運(yùn)算求解即可.

【詳解】由雙曲線二7、1(">0)可知：c2=〃+i,且焦點(diǎn)在x軸上，

n

由題意和橢圓方程可得：c2=m-4,m>4,

BPn+l=m-4,可得(加一!〃=1,

所以直線如C+即=1必過(guò)定點(diǎn)

故選：A.

5.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，若|尸刊=4,貝廠的面積為

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】B

【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程/=4x可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)出尸(x,y),由尸歹=4以及拋物

線的定義列式可得x-(-1)=4,即》=3,再代入拋物線方程可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再由三角形的面積公式

S=g|y|O尸可得.

【詳解】由/=4x可得拋物線的焦點(diǎn)網(wǎng)1,0),準(zhǔn)線方程為x=T,

如圖:過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線x=-l的垂線，垂足為根據(jù)拋物線的定義可知PM=PF=4,

設(shè)尸(x,y),則x-(-l)=4,解得x=3,將x=3代入「=4尤可得y=±2百，

所以△尸。尸的面積為，川。尸=；x2/xl=6.

故選B.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的幾何性質(zhì)，定義以及三角形的面積公式,關(guān)鍵是①利用拋物線的定義求尸點(diǎn)

的坐標(biāo);②利用。尸為三角形的底，點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高計(jì)算三角形的面積.屬中檔題.

丫2,,2

6.已知雙曲線C:三-4=1（。＞0,6＞0）的離心率為石，C的一條漸近線與圓（尤-2『+（尸3＞=1交于/,

ab

3兩點(diǎn)，貝力/刃=（）

【答案】D

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).

【詳解】由《=右，則[=之匕=1+4=5,

aaa

解得2=2,

a

所以雙曲線的漸近線為＞=±2》，

當(dāng)漸近線為N=-2x時(shí)，圓心（2,3）到該漸近線的距離，」2：2+3]=拽＞],不合題意；

VFZ15

當(dāng)漸近線為了=2x時(shí)，則圓心（2,3）到漸近線的距離d=Pj3|="

V22+l5

所以弦長(zhǎng)|=2d戶-科=2^1--=—^—.

故選：D

7.已知甲、乙兩人射擊的命中率分別是0.4和0.7.現(xiàn)二人同時(shí)向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，

則甲、乙分配獵物的比例應(yīng)該是（）

A.2:7B.3:7C.4:7D.5:7

【答案】A

【分析】計(jì)算出只有甲或只有乙打中獵物的概率，即可得出甲、乙分配獵物的比例.

【詳解】因?yàn)榧住⒁覂扇松鋼舻拿新史謩e是0.4和0.7,

現(xiàn)二人同時(shí)向同一獵物射擊，發(fā)現(xiàn)獵物只中一槍，

只有甲打中獵物的概率為04x0.3=0.12,只有乙打中獵物的概率為66x0.7=0.42

所以，甲、乙分配獵物的比例應(yīng)該是0.12:0.42=2:7.

故選：A.

8.圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)（如圖1所示）：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到

另一個(gè)焦點(diǎn)處；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線

的左焦點(diǎn).如圖2,一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)片，片的橢圓C與雙曲線。構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)片發(fā)

6

出，依次經(jīng)過(guò)C，與C的反射，又回到點(diǎn)片路線長(zhǎng)為機(jī)；若將裝置中的C'去掉，則該光線從點(diǎn)片發(fā)出,

1m

經(jīng)過(guò)C兩次反射后又回到點(diǎn)片路線長(zhǎng)為”.若C與。的離心率之比為：，則生=()

3n

【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為生,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為出，由橢圓與雙曲線的定義求出兩個(gè)圖形中三角形

的周長(zhǎng)，再出離心率的比值求得q=32，把絲轉(zhuǎn)化為生，的的關(guān)系得答案.

n

【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為q,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為外,

在圖2左邊圖形中，由橢圓定義可得：忸用+忸用=為①,

由雙曲線定義可得：可-周=2出②，

由①②可得：\AF^+\AB\+\BF]=2ax-2a2

△ABFX的周長(zhǎng)為24-2出.

在圖2右圖中，光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢反射后經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，即直線瓦)經(jīng)過(guò)《，則

△EDF1的周長(zhǎng)為4%,又橢圓與雙曲線焦點(diǎn)相同，離心率之比為:，

所以為=3々，又兩次所用時(shí)間分別為，而光線速度相同，

m_2%-2a2_6a2-2a2_1

所以—=A=—=7?

n4%\2a23

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/過(guò)原點(diǎn)。，且點(diǎn)/(-3,1)和點(diǎn)5(1,3)到直線/的距離相等，則直線

/的斜率可以是()

、11

A.—2B.----C.—D.2

22

【答案】AC

7

【分析】分析可知，〃/45或直線/過(guò)線段48的中點(diǎn)，即可得出直線/的斜率.

1-013-0

【詳解】因?yàn)樽?-----=—,k=--=3,所以，k^k,故A、。、8不共線，

—3—03OB1—0OAOB

因?yàn)橹本€/過(guò)原點(diǎn)O,且點(diǎn)/(-3,1)和點(diǎn)5(1,3)到直線I的距離相等，

1-31

(1)直線〃/48,則直線I的斜率為k=k=----=-；

AB-3-12

2—0

(2)直線/過(guò)線段A8的中點(diǎn)E(-1,2),則直線/的斜率為左=-----=-2.

_1_0

故選：AC.

10.已知為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且%+1=2N*),則()

an

A.存在外,使得星=2B.｛4｝可能是常數(shù)列C.｛4｝可能是遞增數(shù)列D.｛%｝可能是遞減數(shù)列

【答案】ABD

【分析】取4=1,可判斷AB選項(xiàng)；利用反證法可判斷C選項(xiàng)；取4=2,求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式,

結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?1為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且4+1=2-，(〃eN*),

an

‘c11

對(duì)于A選項(xiàng)，取%=1,則％=2-1=1,則52=。1+%=2,A對(duì)；

C1ICI1

對(duì)于B選項(xiàng)，取q=1,貝!］。2=2---=1,4=2----=1,L,

ax4

以此類推可知，對(duì)任意的〃EN*，%=1，所以，｛%｝可能是常數(shù)列，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)數(shù)列｛g｝為遞增數(shù)列，則對(duì)任意的〃￡N*，4+1=2-->%,

an

即a—2+L=(""一。<0，所以，氏<0對(duì)任意的〃eN*恒成立，

anan

但當(dāng)％<0時(shí)，??+1=2-->0,矛盾，故數(shù)列｛%｝不可能是遞增數(shù)列，C錯(cuò)；

,1,1301024

對(duì)于D選項(xiàng)，取4=2,則出=2---=2--=-,a3=2----=2--=-fL,

ax22a233

8

n+\

猜想，見(jiàn)=

n

當(dāng)〃=1時(shí)，猜想成立，

假設(shè)當(dāng)〃=k（keN*）時(shí)，猜想成立，即劭=?,

c1c左左+1

則當(dāng)〃=左+1時(shí)’^=2--=2-^T

k+2

這說(shuō)明當(dāng)〃=左+1時(shí)，猜想也成立，故對(duì)任意的〃eN*，?！?3=1+1，

nn

此時(shí)，數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列，D對(duì).

故選：ABD.

22

II.已知雙曲線C:4=1（°>0,6>0）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)C的右焦點(diǎn)F作C的一條漸近線的平行線

ab

交C于點(diǎn)尸，交C的另一條漸近線于點(diǎn)。，則（）

___1—.

A,向量。廠在礪上的投影向量為］。廠

B.若4。。尸為直角三角形，則C為等軸雙曲線

3

C.若tan/O。尸=一1，則C的離心率為加

D.若瓦=4而，則C的漸近線方程為x±2k0

【答案】ABD

【分析】由題意可得△。。尸是等腰三角形，S.\OQ\=\QF\,可判斷A,由已知可得漸近線的傾斜角為45。，

可判斷B,設(shè)/。妙=2a,解得tana=3,可得巳=上,可判斷C,設(shè)尸（加,〃）,可得加=二,〃=-2—,

a31010。

代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)可求漸近線方程，判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由題意可得4。。尸是等腰三角形，S.\OQ\=\QF\,

__1—.

在O尸上的投影為。尸的中點(diǎn)，尸在礪上的投影向量為］。尸，故A正確；

對(duì)于B,若A。。尸為直角三角形，可得漸近線的傾斜角為45。，.?.2=1,.?/=/,,

a

；.C為等軸雙曲線，故B正確；

對(duì)于C,若tan/OQF=-3,"OQF=2a,則=:，解得tana=3或tana=-：（舍去），設(shè)漸

41-tana43

近線y=2x的傾斜角為"，可得tan￡=:,=...“=36,

a3a3

2222222

?\a=9b9a=9（c—a）9..10a=9c，=故C錯(cuò)誤；

a3

對(duì)于D,設(shè)直線少的方程為y=2（%—°）,與漸近線X―紇的交點(diǎn)坐標(biāo)為。（三—當(dāng)，若網(wǎng)=4而，

aa22a

9

則麗=1匝，設(shè)尸（山,"）,.?.（加一儲(chǔ)口二女一二一巧，

5522〃

QbAe8_1_c_2_b_2_c2_.4r2zb_]_

???加=布,〃=—k，丁尸在雙曲線上，.100100。2?.「■=1

a2

ab

??.c的漸近線方程為了=±；x,即x±2y=0,故D正確.

故選：ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

13.設(shè)片、鳥(niǎo)分別是橢圓C：土+匕=1的左、右焦點(diǎn)，在橢圓。上滿足/耳隼=90。的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)

一42一

為.

【答案】2

【分析】分析可知，點(diǎn)尸在圓/+/=2上，聯(lián)立圓與橢圓的方程，求出公共解的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】在橢圓C中，a=2,bf，則°=二下=，匚5=J5，

若/月/岑=90。，易知原點(diǎn)。為片片的中點(diǎn)，則|00|=。閨閭=c=拒，

所以，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，半徑為正的圓上，即點(diǎn)P在圓/+/=2上,

X2+/=2

x=0

,即點(diǎn)尸（0,、國(guó)或尸（0,—Jq,

聯(lián)立《x2/可得《

——+—=1y=+s/2

[42

即滿足條件的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為2.

故答案為：2.

14.佛山是全國(guó)著名的工業(yè)城市，這里生產(chǎn)的部分產(chǎn)品通過(guò)水路運(yùn)輸?shù)饺珖?guó)乃至全世界.下圖1是佛山

一個(gè)貨運(yùn)碼頭的吊機(jī)，其作用是完成集裝箱的裝船或卸船.為了研究其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)固性，工程師把一個(gè)吊

機(jī)的部分結(jié)構(gòu)（圖1中圈住部分）畫成圖2的空間幾何體45COEF.若四邊形Z8CD是矩形，AB//EF,

ZABF=NBAE,ZCBF=ZDAE=60°，4D=2,AB=AE=BF=3,EF=1,則直線BF與DE

所成角的余弦值為.

圖1圖2

【答案】見(jiàn)

2121

10

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EG//BF交4B于點(diǎn)G,連接。G,分析可知，直線5廠與DE所成角為NOEG或

其補(bǔ)角，計(jì)算出△0￡G三邊邊長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】在VADE中，ZDAE=60°，AD=2,AE=3,

由余弦定理可得DE=yjAD2+AE2-2AD-AEcos600=j+9-2x2x3xg=",

過(guò)運(yùn)E作EG//BF交AB于點(diǎn)、G,連接￡>G,

因?yàn)镋FHBG,EG//BF,則四邊形BG￡廠為平行四邊形，

則EG=8歹=3,BG=EF=T,則NG=N8—5G=3—1=2,

因?yàn)樗倪呅?BCD為矩形，則4D_L/G,則￡>G=J/D?+/G?=飛方+方=20，

因?yàn)镋G//BF,則直線3尸與￡)￡所成角為ZDEG或其補(bǔ)角,

由余弦定理可得cos〃EG=三墨產(chǎn)7+9-8_477

277x3—21

因此，直線2尸與QE所成角的余弦值為也Z

21

故答案為：N.

21

四、解答題：本題共5小題.共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知圓C:(x-a)2+e-2)2=4(a>0)及直線/：尤-y+3=0.直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)為2VL

⑴求。的值；

⑵求過(guò)點(diǎn)(3,5)并與圓C相切的切線的一般式方程.

【答案】⑴。=1

(2)5%-12;；+45=0或l=3

【分析】(1)根據(jù)圓心到直線的距離，結(jié)合垂徑定理可得解；

(2)易知點(diǎn)(3,5)在圓外，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-5=Mx-3),根據(jù)直線與圓相切，可得

k=^~,又當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線x=3與圓相切成立.

【詳解】(1)由已知圓C:(x—a)2+(y-27=4(a>0),

11

即圓心C（a,2）,半徑r=2,

則圓心到直線/：x7+3=0的距離1=啜，

所以弦長(zhǎng)為2獷彳=21J=2夜，

解得4=1或。=-3（舍）；

（2）由（1）得Q=l,

則圓C:6-1）2+G-2）2=4,圓心C（l,2）,半徑r=2,

則點(diǎn)（3,5）在圓C夕卜

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為了-5=左5-3）,即米一廠3無(wú)+5=0,

|左一2—3左+5]s

止匕時(shí)Q1r=2'解得上F'

貝I]直線方程為y—5=卷卜一3）,即5x-12y+45=0；

當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3,此時(shí)滿足直線與圓C相切，

綜上所述，切線方程為5x-12y+45=0或x=3.

16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體/88-44G4中，E,尸分別為棱。2，的中點(diǎn).

（1）求證：BF//平面&BE；

（2）求直線用尸到平面43E的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵W

3

【分析】（1）以4為原點(diǎn)，AB,AD,所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系/-師,

求得平面48E的一個(gè)法向量為五=（x，y,z）,由率_L3證明；

（2）由（1）用尸//平面4成，將求直線用廠到平面4成的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)4到平面48E的距離，由

12

7B,B-n

d=J求解.

\n\

【詳解】（1）以/為原點(diǎn)，AB,AD,ZU/所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系/-平.

由題意得8(2,0,0),4(0,0,2),男(2,0,2),￡(0,2,1),F(1,2,2).

所以礪=(-2,2,1),A4；=(-2,0,2),而=(-1,2,2).

設(shè)平面的一個(gè)法向量為k=(x/,z).

BEii=0f-2x+2y+z=0

易知，--c_n，

BAX-n=0I-2x+2z=0

令x=2,得y=l,z=2,所以元=(2,1,2).

B[F-n=—2+2+0=0,

：.1^FVn,又3/0平面48E,

//平面4BE；

（2）由（1）可知用尸//平面48E,故求直線男尸到平面48E的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)用到平面4BE的距離,

因?yàn)橥甙?（0,0,-2）,由（1）可知平面43E的一個(gè)法向量為元=（2,1,2）,

設(shè)直線B.F到平面AXBE的距離為d.

BB-n0+0-44

貝l]d=x

問(wèn)-3-I

17.男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內(nèi)

射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進(jìn)入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發(fā)子彈.已知甲乙

兩名運(yùn)動(dòng)員均進(jìn)入了決賽，資格賽中的環(huán)數(shù)懵況整理得下表：

環(huán)數(shù)頻數(shù)678910

甲2352327

13

乙5502525

以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率，甲乙兩人射擊互不影響.

⑴求甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；

(2)決賽打完第9發(fā)子彈后，甲比乙落后2環(huán)，求最終甲能戰(zhàn)勝乙(甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù))的概率.

【答案】(1)急99

【分析】(1)先求出甲運(yùn)動(dòng)員打中10環(huán)的概率，從而可求出甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次

10環(huán)的概率；

(2)由于甲比乙落后2環(huán)，所以甲要獲勝，則乙6環(huán)，甲9環(huán)或10環(huán)，或者乙7環(huán)，甲10環(huán)，再利用

獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解即可

【詳解】(1)由表中的數(shù)據(jù)可得甲運(yùn)動(dòng)員打中10環(huán)的概率為27二=工9，

6020

所以甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率為

(2)因?yàn)榧妆纫衣浜?環(huán)，

所以甲要獲勝，則乙打中6環(huán)，甲打中9環(huán)或10環(huán)，或者乙打中7環(huán)，甲打中10環(huán)，

因?yàn)橛深}意可得乙打中6環(huán)的概率和打中7環(huán)的概率均為二，

12

甲打中9環(huán)的概率為2荒3，打中10環(huán)的概率為59,且甲乙兩人射擊互不影響

所以最終甲能戰(zhàn)勝乙的概率為

123191977

一X---1---X---1---X——=---

126012201220720

18.如圖，三棱錐48c中，AM4c是邊長(zhǎng)為26的等邊三角形，MB=4,V48c中，NACB=90°,

/8/C=30。，點(diǎn)N6平面4BC,點(diǎn)0,Q分別為線段/2、的中點(diǎn)，且OQ，平面NBC,OOJMN.

M

AO

⑴證明：8C_L平面建4C；

(2)證明：四邊形8cMV為矩形；

(3)求平面MAC和平面NAB夾角的余弦值.

【答案】Q)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)3雷

【分析】(1)結(jié)合已知條件，首先利用幾何關(guān)系證明然后利用線面垂直判定定理證明即可；(2)

14

利用線面垂直性質(zhì)和判定定理證明平面N8C，進(jìn)而得到四邊形。為矩形，再結(jié)合V/2C的

中位線性質(zhì)即可證明；(3)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面M4c和平面M48的法向量，然后利用面

面夾角的向量公式求解即可.

【詳解】

(1)VZACB=90°,NBAC=30°,AC=2y[i，

:.BC=2,AB=4=MB,

?.?△肪1C是邊長(zhǎng)為2月的等邊三角形，即/C=MC=2g,

:.“ABC*MBC,故/801=乙65=90。，即8C_LMC,

又?.?8C_L4C,ACQMC=C,AC,MCu平面M4C,

8C_L平面M4c.

(2)取NC的中點(diǎn)。，連接。M、DO,如下圖所示：

4c是邊長(zhǎng)為2。的等邊三角形，MD

：8C_L平面腿4C,DWu平面M4C,

BC工DM,

VACHBC=C,：.DMABC,

又：001_L平面NBC,OMP。。，即。、M、O、。|四點(diǎn)共面，

?/OO.YMN,OOXVOD,

：.O,M\\OD,從而四邊形。為矩形，O、M=OD,

：。為線段42的中點(diǎn)，；.。?！?。，

從而OD」BC,OD1AC,

2

；為線段"N的中點(diǎn)，:.MN〃BC,MN=BC,

故四邊形8C腦V為平行四邊形，

又；BCLMC,

，四邊形8cMN為矩形.

(3)由(1)(2)知。/、DO、DM兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，D4為x軸，。。為了軸，DM■為z軸,

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

15

由題意可得/解,0,0）,C（-V3,0,0）,S（-V3,2,0）,N（0,2,3）,

平面K4C的一個(gè)法向量為1=（0,1,0）.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為J=（“/），/=12百,2,0）,=（-73,2,3）

?AB=0—2,y/3x+2y=01—_

由「一得r，令x=V3，貝!JP=3,z=-1,

n2?AN=0-y/3x+2y+3z=0

故平面NAB的一個(gè)法向量為n2=（6,

—>—>

?r?233岳

則平面K4c與平面N43的夾角。的余弦值為cos0=.一=/-----=——,

；；V3+9+1-113

"1〃2

故平面K4c和平面N43夾角的余弦值為士叵.

13

19.已知圓。:（工-2）2+必=4和定點(diǎn)-2,0）,P為圓。上的任意一點(diǎn)，線段我的垂直平分線與直線尸C

交于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線

⑴求曲線H