2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：離心率的范圍問題 專項(xiàng)訓(xùn)練【附答案】

微重點(diǎn)U離心率的范圍問題

圓錐曲線離心率的范圍問題是高考的熱點(diǎn)題型，對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解

決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡潔.

考點(diǎn)一利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍

22

例1（1）（2023?樂清模擬）設(shè)尸1,尸2分別為橢圓匕+9=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)，若在直線x

a1b1

=-Q（c為半焦距）上存在點(diǎn)尸，使1PBi恰好等于橢圓的焦距，則橢圓離心率的取值范圍為

C

()

答案B

解析如圖所示,

橢圓

可得焦距4iB|=2c,

因?yàn)樵谥本€x=一且上存在點(diǎn)P,使『門|恰好等于橢圓的焦距，

C

可得即---cW2c,

c

可得.2W3c2,即9^1,解得也，

a23a3

又因?yàn)闄E圓的離心率ee（0,l）,

所以e—「也1J1.

（2）（2023?湖北星云聯(lián)盟模擬）已知雙曲線C：三一三=1（心0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F2,

a1b1

尸為C右支上一點(diǎn)，尸B與C的左支交于點(diǎn)。.若|尸。=|尸則C的離心率的取值范圍是

()

A.(1,3]B.(2,3]

C.&5,3]D.(2,通

答案C

解析由題意得QFi|一|尸尸2|

=|尸0|+|0E|一|尸尸2|

=\QF\\=2a,

所以10尸2|=4a,

設(shè)/FiPF2=e,\PF2\=m,

由余弦定理的推論可得

.(加+2。)2+冽2—4c2

COS0=------------------

-16a2

2m2

El8。3

則m=-----

cz—5az

貝U02-5Q2>。.反

設(shè)點(diǎn)P(xo,yo)(xo》a),

P-11

則%=/l?2J,

m2=(c—xo)2+%=(exo-a)2,

即m=ex()—a^c—a9

所以了三九一

cz~5a2

(e+l)(e+l)(e—3)W0=>eW3,

故eG(3，3].

規(guī)律方法此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)

于a,b,c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍.

跟蹤演練1橢圓G：，+，=1(介6>0)與雙曲線。2有公共的焦點(diǎn)尸1,尸2,C1與。2在第一

象限內(nèi)交于點(diǎn)M,凡是以線段板1為底邊的等腰三角形，若橢圓G的離心率的取值

范圍是[!'u\,則雙曲線C2的離心率的取值范圍是()

[4q口+81

C.Ls'5」DU'J

答案B

解析設(shè)尸i尸2|=2c,雙曲線G的實(shí)軸長為2加，

因?yàn)镚與。2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)△必'正2是以線段〃為為底邊的等腰三角形，

^\MF2\=\FiF2\=2c,由橢圓的定義可得|〃Fi|=2a—2c,由雙曲線的定義可得|MFi|=2加+2c,

所以2a—2。=2冽+2。，則a—m=2c,

設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為ei,￡2,

則4—%=2,即‘一1=2,

cce\ei

[12

因?yàn)槿?，則■—2￡_5‘3_,

811eie\

3,5

故￡2^3J.

考點(diǎn)二利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍

例2（1）（2023?張掖模擬）若橢圓氏N+上^=1（0〈冽〈1）上存在點(diǎn)尸，滿足Q尸尸冽（O為坐

1一加2

標(biāo)原點(diǎn)），則E的離心率的取值范圍為（）

A.[0>￡B.j'I

fo,gii

C.l2」D.12J

答案D

解析設(shè)橢圓E的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a,b,c,

由題意知a=l,b=N1-m?,c=m,

橢圓￡上存在點(diǎn)P滿足QP尸加，等價(jià)于以。為原點(diǎn)，以。為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，得cN6,

所以c2^b2=a2-c\

解得WnL

a12

所以e=g?也.又0<e<l,

a2

Mi]

所以￡的離心率的取值范圍為[2'J.

⑵已知雙曲線三一三=1（心0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,尸2,若雙曲線上存在點(diǎn)尸，使

sinZPFiF2=g；則該雙曲線的離心率的取值范圍為（）

sinNTWic

A.（1,1+卷B.（1,1+峋

c.(1,1+也］D.(1,1+峋

答案A

ac

解析若點(diǎn)尸是雙曲線的頂點(diǎn),無意義，故點(diǎn)尸不是雙曲線的頂點(diǎn),

sinZPFiF2sinNP&Fi

在△朋仍中，由正弦定理得8k2〉

sinZPFiF2,

Fac

又二一:-----叫=￡,即|PFI|=T尸尸2],???尸在雙曲線的右支上,

sinNPFi尸2sinN尸尸汨\PFQ\aa

r

由雙曲線的定義，#|FFi|-\PF2\=2a,.-.^2)-|PF2|=2a,即尸仍尸石^,

ac-a

由雙曲線的幾何性質(zhì)，^>\PF2\>c—a,：.---->c—a,即c?—2℃—序<0,

c-a

：.e2-2e-l<0,解得一啦+I<e</+1,又e>l,

二雙曲線離心率的取值范圍是（1,1+也）.

規(guī)律方法利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大危，通徑，三角形中的邊角關(guān)系，曲線上

的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等，建立不等式（不等式組）求解.

22

跟蹤演練2已知尸為橢圓q十5=136>0）上一點(diǎn)，F(xiàn)i,尸2為橢圓焦點(diǎn)，且|PE|=3|Pg|,

則橢圓離心率的取值范圍是（）

kqriii

A.l3」B.L3J

kqI]

c.l2」DUJ

答案D

22

解析由尸為橢圓++《=1（Q>6>0）上一點(diǎn)，

可知|尸人|+|尸歹2|=2Q.

又|尸。|=3|尸7司，所以|尸尸2|=昌

又Q—CW|PF2|WQ+C,即q—cW：Wa+c.

一q

q—c:一,

2

即

12

考點(diǎn)三利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍

例3（1）（2023?長春模擬）橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，小，A2,BI，&分別為橢圓的左、右、上、

下頂點(diǎn)，尸2為其右焦點(diǎn)，直線8班2與直線在昆交于點(diǎn)尸，若/瓦以2為鈍角，則該橢圓的離

心率的取值范圍為()

HB.&0

&J〕fo.J〕

C122JD.l2J

答案A

22

解析如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三十4=1(。>6>0),

a102

F2(C,0).

由題意得，2(a,0),5i(0,b),32(0,~b),

則瓦京=(0,b),

FTB\={—C,b).

因?yàn)?為以2為向量瓦石與不濟(jì)的夾角,

且/當(dāng)以2為鈍角,

所以瓦卻月面<0,所以62一℃<0.

又b2—a2~c2,所以a2—ac—c2<0,

兩邊同時(shí)除以得1—g—e2<0,

解得或e」^5,

22

因?yàn)閑G(0,l),所以一Ij'veU.

(2)(2023?合肥模擬)雙曲線，一三=1(0>2,6>0)的焦距為2c(c>0),已知點(diǎn)/(a,0),3(0,b),

a1b1

點(diǎn)(2,0)到直線48的距離為力，點(diǎn)(一2,0)到直線48的距離為心，且小+必則雙曲線離

心率的取值范圍為()

D.M，2^3]

答案B

解析依題意得直線/2：工+4=1,

ab

即bx-\~ay—ab=O,又a>2,

|26—羽6(q—2)

所以di=

^a*2+b27a2+b2'

|一26一3b(a+2)

di=

W+62、層+左'

,,,6(。—2)工6(a+2)_2a6>4

所6fr以P/d\~VU2—/----十I------c,

\Ja2+b2\la2+b2c5

所以5yle2—q2.Q22c2,

即25(。2—〃2).〃2三4c4,

即4e4—25e2+25W0,解得，We2W5,

4

又e>l,所以e￡12'

規(guī)律方法利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之

間的關(guān)系.

跟蹤演練3（2023?成都模擬）已知尸1,尸2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是右支上一點(diǎn),

f71￡|

且/尸1尸尸2=四，設(shè)尸2=。，當(dāng)。的范圍為【12'61時(shí)，雙曲線C的離心率的范圍為（）

3

1,f

A.[f司B.I

C.(1,^3)D."T

答案A

解析在尸尸2中,

由

sinN尸1尸尸2

sinZPFzFi—sinN尸7。尸2

出

2

smM

-sin<9

r7i2?1

*—J、因?yàn)閑e〔i2'eJ,

2cosl2jS+。J]

他叫

所以31,

6

所以cosl

所以

專題強(qiáng)化練

1.若橢圓上存在點(diǎn)P,使得尸到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為2：1,則該橢圓的離心率e的

取值范圍是（）

答案C

解析由題可設(shè)點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為2加，m,

所以2加+加=2。，得到加=—Q,

3

71

又冽2Q—C,所以一QNQ—C,得到°三一〃，

33

所以eN1，又故^Wevl.

33

2.（2023?新鄉(xiāng)模擬）雙曲線C：]一三=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸2,過正2且傾斜角為三的直線

出b14

與雙曲線右支交于4,8兩點(diǎn)，則雙曲線離心率的范圍為（）

3

A.（1,勺「2）B.l「2J1

他+T件+8]

C.l2JD.l2J

答案A

解析因?yàn)檫^色的直線/的傾斜角為四，所以直線/斜率左=1,因?yàn)橹本€/與雙曲線右支交于

4

A,8兩點(diǎn)，如圖所示，由圖象知紇1,

所以e=C=\J1+H?〈也

a

又e>l,所以l<e<也.

3.設(shè)M是橢圓C：l（a>b>0）的上頂點(diǎn)，P是C上的一■個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到下頂點(diǎn)時(shí),

1PM取得最大值，則C的離心率的取值范圍是（)

答案B

解析設(shè)尸(xo,yo),M(Q,b),

因?yàn)椤?,=1,a2=b2+c2,

所以|PM2=x8+s)-6)2

=/1制+i2

一bWyoWb,

由題意知，當(dāng)次=-b時(shí)，|尸4行取得最大值,

所以一6,可得2c2,即e2W1，

c22

貝U—.

2

4.已知雙曲線￡：三一三=1（心0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,若E上點(diǎn)/滿足"i|

azb1

2兀

=2|/尸2],且向量加，加夾角的取值范圍為LJ'□，則E的離心率取值范圍是（）

A.[他，啊B.[小，3]

C.[3,5]D.[7,9]

答案B

解析由雙曲線定義得||4Fi|一|/B||=2a,

V\AFX\=2\AF^,

\AF^\=2a,\AF\|=4Q,

在中，由余弦定理得

^MFI|2+|^F|2-|FIF|2

COS/F[AF222

2\AFi\\AF2\

16。2+4。2-4/

2X4QX2Q

5層一。2

4a2

2兀

---7T

由題意得NE/尸2晝[3'_

r

—1,2」,

cosN尸/BE_

.1七5層一c2

??11&---------

4〃2

5/1

442

；.7We2W9,；.正印,3].

5.（2023?北京房山區(qū)模擬）已知尸2是雙曲線三一與=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，若在右

/b1

支上存在點(diǎn)力,使得點(diǎn)尸2到直線的距離為3。，則雙曲線離心率e的范圍是（）

A。3J

后，+1D仔+T

答案D

解析設(shè)尸1（—C,0）,尸2（C,0）,其中。2=層+62,

設(shè)直線/E的方程為y=k（x+c）,則0<|用<2

a

因?yàn)辄c(diǎn)反到直線//i的距離為3。,

3層

…3g層……,

3。2扶。2一。2

則也=----------------<—=--------

4c2—3a2a2a2

_cr27

=>c2(4c2—7a2)>0^~=e2>~,

a24

貝U

2

三一三=1（心0,6>0）的上、下焦點(diǎn)分別為B,F2,點(diǎn)、M

6.（2023?泉州模擬）已知雙曲線C：

a2-b2-

在。的下支上，過點(diǎn)〃作C的一條漸近線的垂線，垂足為D,若此@>|尸1尸2|一由碎恒成立,

則。的離心率的取值范圍為（）

A."t]BM

D.[?+V

c.(1,2)

答案A

解析如圖，過點(diǎn)尸2作漸近線的垂線，垂足為左連接g,

be

設(shè)尸典=2c,則點(diǎn)F2到漸近線尸一巖的距離叮2|==b.

\]a2+b2

由雙曲線的定義可得—|g|=2a,ik\MF!\=\MF2\+2a,

所以附。|+依科|=+2。，田尸2|+2a=6+2a,

即|MD|+|VFi|的最小值為2a+b,

因?yàn)椴肥?HMFi值成立，

所以此份十|九田1|>/內(nèi)|恒成立，即2a+6>2c恒成立，

222

所以b>2c-2a9即b>4c+4a—Sac,

即c2—a2>4c2+4a2—Sac,

所以3c2+542—8QC<0,

即3e2-8e+5<0,解得l<e<-.

3

7.（多選）已知曲線C：」^+二^=l,下列說法正確的是（）

3~mm-v\

A.若C是圓，則機(jī)=1

B.若C是雙曲線，則一1<加<3

C.若C是長軸在y軸上的橢圓，則1<小<3

D.若C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則其離心率的范圍是（1，/）

答案ACD

解析對于A選項(xiàng)，若C是圓，

3—m=1,

則?加+1>0,解得冽=1,A正確；

3—m>0,

對于B選項(xiàng)，若。是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，

,[3—機(jī)>0,,心

則?解得加v—1,

m+1<0,

若。是焦點(diǎn)在歹軸上的雙曲線,

.3—m<0,j

則“解得a加>3.

m+1>0,

所以若。是雙曲線，則冽<—1或加>3,B錯(cuò)誤;

對于C選項(xiàng)，若C是長軸在》軸上的橢圓，

,\m-\-1>3—m,,1,

則，解得1<冽<3,C正確；

3—m>0,

對于D選項(xiàng)，若。是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，

則m<—1,

22222

a=3—m,b=-m—\,c=a+b=2—2m1

所以02=[=紀(jì)也

a3—m

=2（3f）-4=2_、e（l,2）,

3—m3—m

則D正確.

22

8.（多選）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)i（-c,0）,尸2（c,0）為橢圓［+々=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

Wb1

尸為橢圓上一點(diǎn)，且前?巨芭=2c2,下列說法正確的是（）

A.QP|=3C

B.離心率范圍為12,3_

C.當(dāng)點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，△尸尸1尸2為等腰直角三角形

D.若S^pF'F,=石。2,則tan/E/T^u也

答案ABD

角星析V=（pb+~OF^{pb+~OF^

=（西+話）.（西一萬）

=|PO|2-|OFi|2,

?配=|尸。產(chǎn)」2,

又而'?成=2c2,

.,.2c2=|PO|2-c2,

：.\OP\=^3c,故A正確；

：|OP|=^c,b^\OP\^a,

：.bW\hcW：a,

即Q2—02W3c2WQ2,

「.IWeW-故B正確；

23

當(dāng)點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，

,?,|。尸|=品,\FIF2\=2C9

???△尸人尸2為等邊三角形，故C錯(cuò)誤;

右S△尸阿爸一,

又S△尸耳丹-2s△尸0巳

=\OP\\