2024蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)題型專訓(xùn)：整式的乘法【十大題型】（含答案）

整式的乘法【十大題型】

【蘇科版2024]

A題型梳理

【題型i由整式乘法求代數(shù)式的值1.............................................................................................1

【題型2由整式乘法求字母的值】................................................................1

【題型3利用整式乘法解決不含某項(xiàng)問題】.......................................................2

【題型4利用整式乘法解決與某個(gè)字母取值無關(guān)的問題】...........................................2

【題型5利用整式乘法解決污染問題】...........................................................3

【題型6利用整式乘法解決誤看問題】...........................................................3

【題型7整式乘法的應(yīng)用】......................................................................4

【題型8整式乘法中的規(guī)律問題】...............................................................5

【題型9整式乘法中的新定義問題】.............................................................6

【題型10整式乘法中的幾何圖形問題】...........................................................7

?舉一反三

【題型1由整式乘法求代數(shù)式的值】

【例1】(23-24九年級(jí)上.安徽銅陵?期中)已知a2+a—1=0,則代數(shù)式(a+2)(a—2)+a(a+2)值

為.

【變式1-1](23-24七年級(jí)?福建泉州?期中)若a—6=3,ab=-4,則(a—2)(b+2)值為.

【變式1-2](23-24七年級(jí)?山東聊城?期中)如果(5-a)(6+a)=12,那么一2a2-2a+8的值為.

【變式1-3](23-24七年級(jí)?福建?期中)已知一一3乂-1=0,則代數(shù)式爐-IOX+2019值為.

【題型2由整式乘法求字母的值】

【例2】(23-24七年級(jí)?安徽合肥?期中)已知(%+〃)(1+5)=%2+5+12,m、a、都是整數(shù)，那么根的可能值的

個(gè)數(shù)為()

A.4B.5C.6D.8

【變式2-1](23-24七年級(jí).江蘇揚(yáng)州.期中)若(％+1)(%—3)=/+根%—3,則m值是.

【變式2-2](23-24七年級(jí)?浙江杭州?期中)不論x為何值，(%+2)(%+a)=%2+ax+2%+2a=%2+(a+

2)x+2a,(%+2)(%+a)=x2+fcx+6,貝味=.

【題型3利用整式乘法解決不含某項(xiàng)問題】

【例3】(23-24七年級(jí)?山東聊城?期末)已知多項(xiàng)式M=/一33+6,N=x+3,且MN=4當(dāng)多項(xiàng)式A

中不含x的2次項(xiàng)時(shí)，。的值為()

A.-1B.--C.0D.1

3

【變式3-1](23-24七年級(jí)?河南商丘?期末)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式a久-b與3/+%+2的乘積的展開式中不

含尤的二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為-5,則a的值為()

A.--B.-C.-3D.3

33

【變式3-2](23-24七年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí))小萬和小鹿正在做一道老師留下的關(guān)于多項(xiàng)式乘法的習(xí)題：(久2+

3%—2)(%—a).

(1)小萬在做題時(shí)不小心將％-a中的x寫成了久2,結(jié)果展開后的式子中不含x的二次項(xiàng)，求a的值；

(2)小鹿在做題時(shí)將/+3%-2中的一個(gè)數(shù)字看錯(cuò)成了人，結(jié)果展開后的式子中不含x的一次項(xiàng)，則上的值可

能是多少？

【變式3-3](16-17七年級(jí)?四川成都?期末)已知4+3+1)(/-2彳+〃)的展開式中不含/和/項(xiàng).

(1)分別求相、力的值；

(2)化簡(jiǎn)求值:(m+2/7+l)(m+2n-1)+(.2rr^n-4mn2+m3')4-(-m)

【題型4利用整式乘法解決與某個(gè)字母取值無關(guān)的問題】

【例4】(23-24七年級(jí)?湖南常德.期中)知識(shí)回顧：七年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到過這樣一類題“代數(shù)式ax-

y+6+3久-5y-1的值與x的取值無關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合

并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0,即原式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=

0,則a=-3.

理解應(yīng)用：

(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式2爪2-3久-m(3-5x)的值與x的取值無關(guān)，求m值；

(2)已知力=(2x+l)(3久一1)一久(5+3y),B=2x2-3xy+4,且24—6B的值與x的取值無關(guān)，求y的值.

【變式4-1](23-24七年級(jí)?陜西咸陽?階段練習(xí))已知4=/+3久一a,B=-%,C=爐+3久2+5,若4?B+C

的值與x的取值無關(guān)，當(dāng)久=-4時(shí)，A的值為()

A.0B.4C.-4D.2

【變式4-2](23-24七年級(jí)?四川成都?期中)若代數(shù)式(2x+2)(3比+m)-2x(3%+6)的值與x的取值無關(guān)，

則常數(shù)a=

【變式4-3]（23-24七年級(jí)?浙江金華?期末）若代數(shù)式x（5k久-3xy）-（fc-3）（3久2y-4/）的值與y無關(guān)，則

常數(shù)k的值為（）

A.2B.-2C.-4D.4

【題型5利用整式乘法解決污染問題】

【例5】（23-24七年級(jí).貴州遵義?期末）小明作業(yè)本發(fā)下來時(shí)，不小心被同學(xué)沾了墨水：（24/y3—■+

6x2y2）（-6x2y）--4x2y2+3xy-y,你幫小明還原一下被墨水污染的地方應(yīng)該是（）

A.—18久3y2B.18x3y2C.—2x3y2D.|x3y2

【變式5-1]（23-24七年級(jí)?湖北十堰?期末）右側(cè)練習(xí)本上書寫的是一個(gè)正確的因式分解.但其中部分代數(shù)式

被墨水污染看不清了.

（1）求被墨水污染的代數(shù)式；

（2）若被污染的代數(shù)式的值不小于4,求x的取值范圍.

【變式5-2]（23-24七年級(jí)?上海奉賢?期中）小紅準(zhǔn)備完成題目：計(jì)算（10%+2）（/-x）.她發(fā)現(xiàn)第

一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)被墨水遮擋住了.

（1）她把被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)猜成3,請(qǐng)你完成計(jì)算：（f+3x+2）（爐-尤）；

（2）老師說：“你猜錯(cuò)了，這個(gè)題目的正確答案是不含三次項(xiàng)的.”請(qǐng)通過計(jì)算說明原題中被遮住的一次項(xiàng)系

數(shù)是多少？

【題型6利用整式乘法解決誤看問題】

【例6】（23-24七年級(jí)?山東荷澤?期中）某同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘4/時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上4/,

得到的結(jié)果是3/+2K-1,那么正確的計(jì)算結(jié)果是（）

A.-4x4+8%3—4x2B.4%4+8%3—4%2

C.-4x4+%3—4x2D.4x4-8x3—4x2

【變式6-1]（23-24七年級(jí)?江西萍鄉(xiāng)?期中）小穎在計(jì)算一個(gè)整式乘以3ac時(shí)，誤看成了減去3ac,得到的答

案是[兒-3ac-|防，該題正確的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是多少？

【變式6-2]（23-24七年級(jí)?江西九江?階段練習(xí)）已知B均為整式，A=（xy+l）（xy-2）-2%2y2+2,

小馬在計(jì)算4+B時(shí)，誤把“一”抄成了“-”，這樣他計(jì)算的正確結(jié)果為-/必.

(1)將整式力化為最簡(jiǎn)形式.

(2)求整式8.

【變式6-3](23-24七年級(jí)?河南南陽?階段練習(xí))甲、乙二人共同計(jì)算一道整式乘法：(2x+a)(3久+6),由

于甲抄錯(cuò)為(2x—a)(3x+6),得到的結(jié)果為6/+11%一10；而乙抄錯(cuò)為(2%+a)(x+6),得到的結(jié)果為

2x2—9%+10.

(1)你能否知道式子中的。，。的值各是多少？

(2)請(qǐng)你計(jì)算出這道整式乘法的正確答案.

【題型7整式乘法的應(yīng)用】

【例7】(23-24七年級(jí)?浙江杭州?階段練習(xí))有總長(zhǎng)為/的籬笆，利用它和一面墻圍成長(zhǎng)方形園子，園子的

寬度為a.

墻墻

(1)如圖1,①園子的面積為(用關(guān)于/,。的代數(shù)式表示).

②當(dāng)1=100,a=30時(shí)，求園子的面積.

(2)如圖2,若在園子的長(zhǎng)邊上開了長(zhǎng)度為1的門，則園子的面積相比圖一一(填增大或減小)，并求此時(shí)園

子的面積(寫出解題過程，最終結(jié)果用關(guān)于/,。的代數(shù)式表示).

【變式7-1](23-24七年級(jí).黑龍江哈爾濱?期中)一家住房的結(jié)構(gòu)如圖所示，房子的主人打算把臥室鋪上地

板，臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？如果這種地磚的價(jià)格為a元/平方米，地板

的價(jià)格(a-10)元/平方米，那么購(gòu)買地板和地磚至少共需要多少元？

衛(wèi)生恒

臥室

廚房

客廳

4y

【題型8整式乘法中的規(guī)律問題】

【例81(23-24七年級(jí)?四川成都?期中)觀察:下列等式(x-l)(x+1)=%2-l,(x-1)(/+x+i)=婷—i,

(X—l)(x3+X2+X+1)=X4—L..據(jù)此規(guī)律，當(dāng)(X—1)(久6+%5+%4+%3+%2+%+1)=0時(shí)，代數(shù)式

/024-2的值為.

【變式8-11(23-24七年級(jí)?廣東揭陽?期中)在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2020

年11月份的日歷，我們?nèi)我庥靡粋€(gè)2X2的方框框出4個(gè)數(shù)，將其中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再用較大的

數(shù)減去較小的數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

2020年“月

H—.四K六

1734567

891011121314

15161718192021

22232425262728

2930

(1)圖中方框框出的四個(gè)數(shù)，按照題目所說的計(jì)算規(guī)則，結(jié)果為.

(2)換一個(gè)位置試一下，是否有同樣的規(guī)律？如果有，請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以證明；如果

沒有，請(qǐng)說明理由.

【變式8-2](23-24七年級(jí)?福建寧德?期末)“九章興趣小組”開展研究性學(xué)習(xí)，對(duì)兩位數(shù)乘法的速算技巧進(jìn)

行研究.

小明發(fā)現(xiàn)“十位相同，個(gè)位互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘有速算技巧.

例如：

24x26=100x(2x3)+4x6,結(jié)果為624；

42X48=100X(4x5)+2x8,結(jié)果為2016；

小紅發(fā)現(xiàn)“十位互補(bǔ)，個(gè)位為5”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘也有速算技巧.

例如：

45x65=100x(4x6+5)+25,結(jié)果為2925；

35x75=100x(3x7+5)+25,結(jié)果為2625；

(1)請(qǐng)你按照小明發(fā)現(xiàn)的技巧，寫出計(jì)算63x67的速算過程；

(2)請(qǐng)你用含有字母的等式表示小明所發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律，并驗(yàn)證其正確性；

(3)小穎發(fā)現(xiàn)：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補(bǔ)，個(gè)位相同”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘.請(qǐng)你直接用含有字母

的等式表示該規(guī)律.

友情提示：如果兩個(gè)正整數(shù)和為10,則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ).

【變式8-3](23-24七年級(jí)?福建寧德?期中)下圖揭示了(a+b)”("為非負(fù)整數(shù))的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系

數(shù)的有關(guān)規(guī)律.請(qǐng)觀察并解決問題：今天是星期五，再過7天也是星期五，那么再過514天是星期.

121

\/\/

1331

\/\/\/

I4()()1

...(a+b)1=a+b

...(a+6)2=a2+2ab+b2

33

...(a+b)=a+3a2。+3ab2+/

...(a+b)。-

【題型9整式乘法中的新定義問題】

【例91(23-24七年級(jí)?陜西榆林?期末)【問題背景】現(xiàn)定義一種新運(yùn)算“?！睂?duì)任意有理數(shù)m,n,規(guī)定：mQn=

mn(m—n).

例如：102=1x2x(1—2)=-2.

【問題推廣】(1)先化簡(jiǎn)，再求值：(a+6)。(a—b),其中a=5b=—1；

【拓展提升】(2)若％2y。(%。y)=/yQ一”yP,求p,g的值

【變式9-1](23-24七年級(jí)?浙江寧波?期中)定義J：4=ad—bc,如，^|=1X4-2x3=-2.已知

4=產(chǎn)+；11B=|%+1x-ll(〃為常數(shù))

mx—12%11%—1%+11

(1)若B=4,求％的值；

(2)若4中的n滿足2x2"+i=22時(shí)，且力=B+2,求8久3-4久+3的值.

【變式9-2](23-24七年級(jí)?湖南株洲?期末)定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1,記為產(chǎn)=-1,這個(gè)數(shù)i叫做

虛數(shù)單位，把形如a+萬(。、6為實(shí)數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中。叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部,

它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似.例如：(2-。+(5+3。=(2+5)+(-1+3)i=7+

2i；(1+i)x(2—i)=1x2+1x(—i)+2xi+ix(—i)=2+(-1+2)i—產(chǎn)=2+i—(—1)=3+i

根據(jù)以上信息，完成下列問題:

(1)計(jì)算：落j4.

(2)計(jì)算：(l+i)x(3-4i)；

(3)計(jì)算：i+下++j4+j5+…+j2023

【變式9-3](23-24七年級(jí).內(nèi)蒙古烏蘭察布?期末)定義：L(4)是多項(xiàng)式A化簡(jiǎn)后的項(xiàng)數(shù)，例如多項(xiàng)式4=x2+

2比一3,則LQ4)=3,一個(gè)多項(xiàng)式A乘多項(xiàng)式8化簡(jiǎn)得到多項(xiàng)式C(即C=2x8),如果L(4)ML(C)WLQ4)+

1.則稱B是A的“郡園多項(xiàng)式”如果L(4)=L(C),則稱8是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”.

⑴若4=x—2,B=x+3,則B是不是A的“郡園多項(xiàng)式”？請(qǐng)判斷并說明理由；

(2)若4=%-2,B=久2+。％+4是關(guān)于天的多項(xiàng)式，且8是A的“郡園志勤多項(xiàng)式”，則￡1=；

(3)若4=/一x+3m,B=/+%+m是關(guān)于尤的多項(xiàng)式，且2是A的“郡園志勤多項(xiàng)式“，求小的值.

【題型10整式乘法中的幾何圖形問題】

【例10】(23-24七年級(jí)?遼寧遼陽?期中)現(xiàn)定義了一種新運(yùn)算“⑥”，對(duì)于任意有理數(shù)a,b,c,d,規(guī)定(a,b)因

(c,d)=ad—bc,等號(hào)右邊是通常的減法和乘法運(yùn)算.例如：(1,3)0(2,4)=1X4-2X3=-2.

請(qǐng)解答下列問題：

(1)填空：(-2,3)0(4,5)=；

(2)若(2/+1,九久一1)⑤(5,%-2)的代數(shù)式中不含x的一次項(xiàng)時(shí)，求n的值；

(3)求(3x+1,%-2)0(%+2,%-3)的值，其中/-4-x+1—0；

(4)如圖1,小長(zhǎng)方形長(zhǎng)為a,寬為b,用5張圖1中的小長(zhǎng)方形按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形4BCD內(nèi)，

其中4B=5,大長(zhǎng)方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分(圖中陰影部分)，設(shè)左下角長(zhǎng)方形的面積為S「右上角長(zhǎng)

方形的面積為S2.當(dāng)251-352=20,求(2a+瓦—6b)⑤(6—3,3a—66)的值.

【變式10-1](23-24七年級(jí)?浙江溫州?期中)小陳用五塊布料制作靠墊面子，其中四周的四塊由長(zhǎng)方形布料

裁成四塊得到，正中的一塊正方形布料從另一塊布料裁得，靠墊面子和布料尺寸簡(jiǎn)圖，如圖所示：

耳

(1)用含a,6的代數(shù)式表示圖中陰影部分小正方形的面積.

(2)當(dāng)a?+4b2=592,ab=48時(shí)，求陰影部分面積.

【變式10-2](23-24七年級(jí).廣東佛山?期中)如圖，長(zhǎng)為y(cm),寬為x(cm)的大長(zhǎng)方形被分割為7小塊,

除陰影A,8外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短的邊長(zhǎng)為4cm.

(1)小長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)邊為_cm(用代數(shù)式表示)；

(2)陰影A的一條較短邊和陰影8的一條較短邊之和為(2x-y+4)cm,是一的(填正確/錯(cuò)誤)；陰影A和

陰影8的周長(zhǎng)值之和與久(填有關(guān)/無關(guān))，與丫_(填有關(guān)/無關(guān))；

(3)設(shè)陰影A和陰影8的面積之和為Scm2,是否存在x使得S為定值，若存在請(qǐng)求出x的值和該定值，若不

存在請(qǐng)說明理由.

【變式10-3](23-24七年級(jí)?上海青浦?期中)如圖所示，有4張寬為a,長(zhǎng)為6的小長(zhǎng)方形紙片，不重疊的

放在矩形2BCD內(nèi)，未被覆蓋的部分為空白區(qū)域①和空白區(qū)域②.EF=2GH

(1)用含a、b的代數(shù)式表示：AD=；AB=

(2)用含a、b的代數(shù)式表示區(qū)域①、區(qū)域②的面積；

(3)當(dāng)ag,6=弓時(shí)，求區(qū)域①、區(qū)域②的面積的差.

參考答案與試題解析

整式的乘法【十大題型】

【蘇科版2024]

＞題型梳理

【題型1由整式乘法求代數(shù)式的值】.............................................................1

【題型2由整式乘法求字母的值】................................................................1

【題型3利用整式乘法解決不含某項(xiàng)問題】.......................................................2

【題型4利用整式乘法解決與某個(gè)字母取值無關(guān)的問題】...........................................2

【題型5利用整式乘法解決污染問題】...........................................................3

【題型6利用整式乘法解決誤看問題】...........................................................3

【題型7整式乘法的應(yīng)用】......................................................................4

【題型8整式乘法中的規(guī)律問題】...............................................................5

【題型9整式乘法中的新定義問題】.............................................................6

【題型10整式乘法中的幾何圖形問題】...........................................................7

?舉一反三

【題型1由整式乘法求代數(shù)式的值】

【例1】(23-24九年級(jí)上?安徽銅陵?期中)已知a?+a—1=0,則代數(shù)式(a+2)(a-2)+a(a+2)值

為.

【答案】-2

【分析】由已知得a2+a=l,然后對(duì)所求式子展開后進(jìn)行變形，再整體代入計(jì)算即可.

【詳解】解：Va2+a-l-0,

??a?+a=1,

:.(a+2)(a—2)+a(a+2)=a?-4+a?+2a=2(ci2+a)—4=2x1—4=-2)

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，代數(shù)式求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1](23-24七年級(jí)?福建泉州?期中)若a—6=3,ab=-4,則(a—2)(b+2)值為.

【答案】-2

【分析】本題主要考查代數(shù)式的值及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵；因此此題先把所

求整式進(jìn)行展開，然后再代值求解即可.

【詳解】解：—b=3,ab=—4,

(a-2)(/?+2)

=ab+2(a—h)—4

=-4+6—4

=-2；

故答案為：-2.

【變式1-2](23-24七年級(jí)?山東聊城?期中)如果(5—a)(6+a)=12,那么一2a2-2a+8的值為.

【答案】-28

【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，代數(shù)式求值，先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求出-。2一

a=-18,再根據(jù)一2。2—2a+8=2(—a2—a)+8進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：：(5-a)(6+a)=12,

**?30-6a+5a—a?=12,

；?—a?—CL——18,

—2a2-2a+8=2(—a2—a)+8=-18X2+8=-28,

故答案為:-28.

【變式1-3](23-24七年級(jí)?福建?期中)已知/一3久一1=0,則代數(shù)式式一IOX+2019值為.

【答案】2022

【分析】由x2-3xT=0,變形X2=3X+1,利用此等式進(jìn)行降次，化簡(jiǎn)整體代入計(jì)算即可.

【詳解】由X2-3XT=0,變形X?=3X+1,X2-3X=1,

X3-10X+2019,

=x(3x+l)-10x+2019,

=3X2-9X+2019,

=3(X2-3X)+2019,

=3+2019,

=2022.

故答案為：2022.

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的值，關(guān)鍵是把條件等式變形會(huì)降次，會(huì)整體代入求值.

【題型2由整式乘法求字母的值】

【例2】(23-24七年級(jí)?安徽合肥?期中)已知(元+a)(x+6)=/+〃ix+12,m、a、b都是整數(shù)，那么根的可能值的

個(gè)數(shù)為()

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則，求得。+。=如ab=n,再進(jìn)行分類討論，從而解決此題.

【詳解】解：(x+a)(x-^b)=x2+bx+ax+ab=x2-^{a+b)x-^ab.

*.*(x+a)(x+b)=x2+mx+12,

/.a+b=m,ab=12.

*.*m>a、b都是整數(shù),

?,?當(dāng)a=\時(shí)，則b=\2,此時(shí)m=?+/?=l+12=13；

當(dāng)a=-l時(shí)，則b=-12,此時(shí)m=a+b=-1-12=-13；

當(dāng)a=2時(shí),則b=6,此時(shí)根=。+/?=2+6=8；

當(dāng)a=-2時(shí)，則b=-6,此時(shí)m=?+Z?=-2-6=-8；

當(dāng)〃=3時(shí)，則。=4,此時(shí)m=。+6=3+4=7；

當(dāng)〃二-3時(shí)，貝！JZ?=-4,止匕時(shí)m=a+b=-3-4=-l；

當(dāng)〃二12時(shí)，則Z?=L此時(shí)m=a+b=12+l=l3；

當(dāng)〃二12時(shí)，則b=-L止匕時(shí)m=〃+/?=-12-1=-13；

當(dāng)a=6時(shí),則b=2,此時(shí)m=a+/?=6+2=8；

當(dāng)a=-6時(shí)，貝！Jb=-2,止匕時(shí)m=a+b=-6-2=-?>；

當(dāng)〃=4時(shí)，則b=3,此時(shí)機(jī)=。+/?=4+3=7；

當(dāng)a=-4時(shí)，貝！Jb=-3,此時(shí)m=a+b=-4-3=-l.

綜上：加=±13或±8或±7,共6個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則、分類討論的思想是解決本題

的關(guān)鍵.

【變式2-1](23-24七年級(jí).江蘇揚(yáng)州.期中)若(％+1)(%—3)=M+租％一3,則zn值是.

【答案】-2

【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，正確計(jì)算出產(chǎn)-2%-3=%2+mx-3是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則把等式左邊去括號(hào)得到m的值即可得到答案.

【詳解】解：?.?(%+1)(%—3)=x2+mx—3,

Ax2+x—3x—3=%2+mx—3，

/.x2—2x—3=%2+mx—3,

Am=-2.

故答案為：-2.

【變式2-2](23-24七年級(jí)?浙江杭州?期中)不論x為何值，(%+2)(%+a)=%2+ax+2%+2a=%2+(a+

2)x+2a,(x+2)(%+a)=%2+fcx+6,則/c=.

【答案】5

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則展開，求出〃的值以及〃與人的關(guān)系，然后可得答案.

本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】V(x+2)(%+a)=%2+ax+2x+2a=x2+(a+2)x+2a,

又+2)(%+a)=x2+fcx+6,

.*.x2+(a+2)%+2a=/+k工+6,

：?a+2=k,2a=6,

???a=3,

.**/c=3+2=5.

故答案為：5.

【題型3利用整式乘法解決不含某項(xiàng)問題】

【例3】(23-24七年級(jí)?山東聊城?期末)已知多項(xiàng)式M=/—3a久+6,N=x+3,且MN=4當(dāng)多項(xiàng)式A

中不含x的2次項(xiàng)時(shí)，a的值為()

A.-1B.--C.0D.1

3

【答案】D

【分析】本題考查的是整式的乘法一多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法是解答此題的關(guān)鍵.根據(jù)題意

列出整式相乘的式子，再計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，最后進(jìn)行合并同類項(xiàng)，令二次項(xiàng)的系數(shù)等于0即可.

【詳解】解：：MN=(x2-3ax+6)(%+3)

=x3—3a久2+6X+3X2—9ax+18

=/+(3-3a)/+(6-9a)x+18

A=MN=/+(3-3獷+(6-9a)x+18

:多項(xiàng)式A中不含尤的2次項(xiàng)時(shí)，

3-3a=0

/.a=1

故選D.

【變式3-1](23-24七年級(jí)?河南商丘?期末)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式。久-b與3/+久+2的乘積的展開式中不

含尤的二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為-5,則a的值為()

11

A.--B.-C.-3D.3

33

【答案】c

【分析】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是明確不含％的二次項(xiàng)，則二次項(xiàng)的

系數(shù)為0.根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再將計(jì)算結(jié)果中，利用二次項(xiàng)系數(shù)為零與一次項(xiàng)的系數(shù)為

-5的要求建立方程組，即可求解.

【詳解】解：(ax-6)(3x2+%+2)；

=3ax3+ax2+2ax—3bx2—bx—2b；

=3ax3+(a-3b)/+(2a—b)x—2b；

多項(xiàng)式a%-b與3/+%+2的乘積的展開式中不含二次項(xiàng)，且一次項(xiàng)系數(shù)為-5；

.(a—3b=0

Fa-b=-5；

解得：的二:，

??CL—3;

故選：C.

【變式3-2](23-24七年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí))小萬和小鹿正在做一道老師留下的關(guān)于多項(xiàng)式乘法的習(xí)題：(/+

3%—2)(%—a).

(1)小萬在做題時(shí)不小心將尤-a中的x寫成了久2,結(jié)果展開后的式子中不含x的二次項(xiàng)，求。的值；

(2)小鹿在做題時(shí)將產(chǎn)+3久-2中的一個(gè)數(shù)字看錯(cuò)成了上結(jié)果展開后的式子中不含x的一次項(xiàng)，則％的值可

能是多少？

【答案】(l)a=-2

(2)fc=1或一6

【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則將對(duì)應(yīng)算式展開并合并同類項(xiàng)，令二次系數(shù)為0,即可求出答案，

(2)根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則將對(duì)應(yīng)算式展開并合并同類項(xiàng)，令一次系數(shù)為0,即可求出答案.

【詳解】⑴解:(%2+3%-2)(x2-a)

=x4-ax2+3x3—3ax—2x2+2a

=%4+3x3-(a+2)x2—3ax+2a

???展開后的式子中不含x的二次項(xiàng)，

???a+2=0,

解得Q=-2；

(2)解：①若將％2+3%-2中的3看成上

(x2+kx-2)(%+2)

=%3+2x2+kx2+2kx—2x—4

=7+(2+fc)x2+(2k—2)x-4,

???展開后的式子中不含x的一次項(xiàng)，

???2k—2=0,

k=1.

②若將％2+3%-2中的一2看成k,

(%2+3%+fc)(x+2)

=%3+2x2+3x2+6%+fcx+2fc

=7+5/+(6+k)x+2k,

???展開后的式子中不含x的一次項(xiàng)，

???6+k=0,

解得k=-6.

③若指數(shù)2看作％,當(dāng)k=0時(shí)，

原式二(1+3%—2)(%+2)

=3%2+5%—2

不符合題意；

④若指數(shù)2看作鼠當(dāng)k=1時(shí)，

原式=(%+3%—2)(%4-2)

=4x2+6x—4,

不符合題意;

k=1或一6.

【變式3-3](16-17七年級(jí)?四川成都?期末)已知(f+znx+DCx2-2x+〃)的展開式中不含％2和一項(xiàng).

(1)分別求機(jī)、〃的值；

(2)化簡(jiǎn)求值：(m+2n+l)(m+2?-1)+(2m2n-4mn2+m5)4-(-m)

【答案】(1)根的值為2,〃的值為3(2)2w〃+8/-1；83

【分析】(1)先將題目中的式子化簡(jiǎn)，然后根據(jù)(/+TH%+1)(?一2%+九)的展開式中不含%2和第3項(xiàng)，可

以求得相、兒的值；

(2)先化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將相、幾的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題.

【詳解】解：(1)(%24-mx+l)(x2—2x+n)

=x4-2x3+nx2+mx3-2mx2+mnx+x2-2x+n

=x4+(-2+m)x3+(n-2m+l)x2+Cmn-2)x+n

*.*(X2+mx+1)(%2—2x+71)的展開式中不含%2和％3項(xiàng),

(-2+m=0解得｛:聶

(n-2m+1=0

即機(jī)的值為2,〃的值為3；

(2)(m+2n+l)(m+2n-1)+(2m2n-4mn2+m3)4-(-m)

=[(m+2n)+1][(m+2n)-1]-2mn+4n2-m2

2

=(m+2n)-1-2m?+4n2-m2

=m2+4mn+4n2-1-2mn+4n2-m2

=2mn+8n2-1

當(dāng)祖二2,行3時(shí)，

原式二2x2x3+8x32-1=83.

【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算一化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【題型4利用整式乘法解決與某個(gè)字母取值無關(guān)的問題】

【例4】(23-24七年級(jí)?湖南常德?期中)知識(shí)回顧：七年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到過這樣一類題“代數(shù)式。％-

y+6+3x-5y-l的值與X的取值無關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把％、y看作字母，a看作系數(shù)合

并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與l的取值無關(guān)，所以含%項(xiàng)的系數(shù)為0,即原式=(a+3)%-6y+5,所以a+3=

0,則a=-3.

理解應(yīng)用：

(1)若關(guān)于％的多項(xiàng)式27n2-3%-m(3-5%)的值與久的取值無關(guān)，求？n值；

(2)已知/=(2%+l)(3%—l)—%(5+3y),F=2x2-3xy+4,且22-68的值與支的取值無關(guān)，求y的值.

【答案】(l)m=|

Q)y=|2

【分析】(1)先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，結(jié)合多項(xiàng)式的值與久的取值無關(guān)，即可求出答案；

(2)先把/進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后計(jì)算24-6B,結(jié)合多項(xiàng)式的值與％的取值無關(guān)，即可求出答案.

【詳解】(1)解：2m2—3%—m(3—5x)

=27n2—3x—3m+5mx

=(5m—3)x+2m2—3m,

???其值與％的取值無關(guān)，

???5m—3=0,

解得：m=I，

即：當(dāng)m=|時(shí)，多項(xiàng)式27n2一3%-m(3一5%)的值與％的取值無關(guān)；

(2)解：???/=(2%+l)(3x-1)-x(5+3y),B=2x2-3xy+4,

???2A-6B=2[(2x+l)(3x-1)-x(5+3y)]-6(2%2-3xy+4)

=2(6x2—2%+3%—1—5%—3xy)-12x2+18xy—24

=12x2—8x—2—6xy—12x2+18xy—24

=12xy—8x—26

=4x(3y-2)-26；

???24—68的值與式無關(guān)，

???3y-2=0,即y=|.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減乘混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1](23-24七年級(jí)?陜西咸陽?階段練習(xí))已知4=/+3%-a,8=C=7+3/+5,若/?8+C

的值與x的取值無關(guān)，當(dāng)％=-4時(shí)，A的值為()

A.0B.4C.-4D.2

【答案】B

【分析】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算無關(guān)型題目，代數(shù)式求值，首先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法，求出

4的值是多少，然后用它加上C,求出+C的值是多少，最后根據(jù)4-B+C的值與尤的取值無關(guān)，可

得x的系數(shù)是0,據(jù)此求出a的值，最后代入求值即可.

【詳解】W："A-x2+3x—a,B——x,C—x3+3/+5,

"B+C

=(%2+3%-a)(-%)+(x3+3x2+5)

=—x3—3x2+ax+x3+3x2+5

=ax+5,

A-B+C的值與無的取值無關(guān)，

a—0,

A=x2+3x—a=x2+3x,

當(dāng)x=-4時(shí)，A=(-4)2+3x(-4)=4,

故選：B.

【變式4-2](23-24七年級(jí)仞川成都?期中)若代數(shù)式(2x+2)(3x+m)-2x(3x+6)的值與x的取值無關(guān)，

則常數(shù)m.

【答案】3

【分析】此題考查整式的混合運(yùn)算，先運(yùn)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后合并，進(jìn)而根據(jù)與

尤的取值無關(guān)得到2爪-6=0,解方程即可.

【詳解】解：(2%+2)(3%+m)-2x(3久+6)=6x2+2mx+6%+2m-6x2—12%=(2m-6)x+2m,

???代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，

2m—6—0,解得m=3,

故答案為：3.

【變式4-3](23-24七年級(jí)?浙江金華?期末)若代數(shù)式x(5fcv-3xy)-(fc-3)(3x2y-4/)的值與y無關(guān)，則

常數(shù)k的值為()

A.2B.-2C.-4D.4

【答案】A

【分析】本題考查整式的四則混合運(yùn)算，先將題目中的式子化簡(jiǎn)，然后根據(jù)此代數(shù)式的值與y的取值無關(guān)，

可知關(guān)于y的項(xiàng)的系數(shù)為0,從而可以求得左的值.

【詳解】解：x(5fcx—3xy)—(fc-3)(3x2y—4x2)

=Skx2—3x2y—3k久2y+4fcx2+9x2y-12x2

——3kx2y+9kx2+6x2y—12x2

=(—3k+6)x2y+9fcx2-12x2

?關(guān)于y的代數(shù)式：x(5kx—3xy)-(fc-3)(3x2y-4/)的值與了無關(guān)，

-3fc+6=0,

解得k=2,

即當(dāng)k=2時(shí)，代數(shù)式的值與y的取值無關(guān).

故選：A.

【題型5利用整式乘法解決污染問題】

【例5】(23-24七年級(jí).貴州遵義?期末)小明作業(yè)本發(fā)下來時(shí)，不小心被同學(xué)沾了墨水：(24婷>3一■+

6x2y2)(-6x2y)=-4x2y2+3xy-y,你幫小明還原一下被墨水污染的地方應(yīng)該是()

A.-18x3y2B.18x3y2C.—2x3y2D.|x3y2

【答案】B

【分析】利用多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解.

【詳解】解：(-4/盧3k>)?(-6丹)=24療-18-盧6//，

■=18xJy2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法則是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1](23-24七年級(jí)?湖北十堰?期末)右側(cè)練習(xí)本上書寫的是一個(gè)正確的因式分解.但其中部分代數(shù)式

被墨水污染看不清了.

(1)求被墨水污染的代數(shù)式；

(2)若被污染的代數(shù)式的值不小于4,求x的取值范圍.

-<2r+5XJr-2)

【答案】(1)一2萬一4；(2)%<-4.

【分析】(1)根據(jù)題意，被墨水污染的代數(shù)式=(2x+5)(%—2)—(2/+3%—6),再結(jié)合整式的乘法法則及

加減法則解題，注意運(yùn)算順序；

(2)由(1)中結(jié)果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解題.

【詳解】解：(1)由已知可得，

(2尤+5)(x-2)—(2x2+3x-6)

=2x2—4%+5x—10—2x2—3%+6

=—2x—4；

(2)由已知可得，一2支一424

-2x>8

解得x<-4.

【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算、解一元一次不等式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解

題關(guān)鍵.

【變式5-2】(23-24七年級(jí)?上海奉賢?期中)小紅準(zhǔn)備完成題目：計(jì)算x+2)(%2-%).她發(fā)現(xiàn)

第一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)被墨水遮擋住了.

(1)她把被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)猜成3,請(qǐng)你完成計(jì)算：(/+3x+2)C?-x)；

(2)老師說：“你猜錯(cuò)了，這個(gè)題目的正確答案是不含三次項(xiàng)的.”請(qǐng)通過計(jì)算說明原題中被遮住的一次項(xiàng)系

數(shù)是多少？

【答案】(1)x4+2x3—x2—2%；(2)1

【分析】(1)根據(jù)多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)設(shè)一次項(xiàng)系數(shù)為Q,計(jì)算(/+Q%+2)(/-%),根據(jù)其結(jié)果不含三次項(xiàng)，則結(jié)果的三次項(xiàng)系數(shù)為0,據(jù)

此即可求得a的值，即原題中被遮住的一次項(xiàng)系數(shù).

【詳解】解：(1)(f+3x+2)(x2-x)

=——/+3x3-3x2+2x2—2x

=x4+2x3—x2—2x

(2)設(shè)一次項(xiàng)系數(shù)為a,

(%2+ax+2)(x2—x)

=-%3+ax3—ax2+2%2-2x

=x4+(a—l)x3+(2—a)x2—2x

???答案是不含三次項(xiàng)的

a-1=0

a=1

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【題型6利用整式乘法解決誤看問題】

【例6】（23-24七年級(jí).山東荷澤?期中）某同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘4/時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上4/,

得到的結(jié)果是3/+2K-1,那么正確的計(jì)算結(jié)果是（）

A.-4%4+8%3—4x2B.4x4+8x3-4x2

C.-4x4+x3-4x2D.4x4—8x3—4x2

【答案】A

【分析】設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式為M,根據(jù)題意可得M=-/+2X-1,最后利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則即可

解答.本題考查了整式的加減運(yùn)算法則，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法

則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式為M,

???計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘4小時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上4/,得到的結(jié)果是3/+2x-1,

M+4x2=3x2+2x-1,

.,.M=3x2+2x-1—4/=—x2+2x—1,

正確的結(jié)果為（――+2x—1）（4/）=-4x4+8x3—4%2,

故選A.

【變式6-1]（23-24七年級(jí).江西萍鄉(xiāng)?期中）小穎在計(jì)算一個(gè)整式乘以3ac時(shí)，誤看成了減去3ac,得到的答

案是[be-3ac-]ab,該題正確的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是多少？

【答案】abc2—2a2be

【分析】本題主要考查了整式乘法運(yùn)算，根據(jù)一個(gè)整數(shù)減去3ac,得到的答案是[be-3ac-|尤，得出這個(gè)

整式為（be-3ac-lab+3ac,然后用3ac乘這個(gè)整式得出結(jié)果即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

/I2\

3acI-be—3ac--ah4-3acj

=3ac（^-bc—^-ab\

\33）

=abc2—2a2bc.

故該題正確的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是ab/_2a2bc.

【變式6-2](23-24七年級(jí)?江西九江?階段練習(xí))已知4、B均為整式，A=(xy+l)(xy-2)-2x2y2+2,

小馬在計(jì)算4+B時(shí)，誤把“土”抄成了“-”，這樣他計(jì)算的正確結(jié)果為-久2y2.

(1)將整式4化為最簡(jiǎn)形式.

(2)求整式B.

【答案】⑴f2y2一秒;

(2)8=—xy.

【分析】(1)根據(jù)整式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；

(2)根據(jù)題意可得4-B=-x2y2,根據(jù)整式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

【詳解】(1)4=(久y+1)(孫—2)-2/y2+2,

=x2y2—2xy+xy—2—2x2y2+2,

=—22—xy；

(2)由題意，得4—8=—/y2

由(1)知4=-%2y2—尤y,

—x2y2—xy—B=—x2y2,

'.B=—xy.

【變式6-3](23-24七年級(jí).河南南陽?階段練習(xí))甲、乙二人共同計(jì)算一道整式乘法：(2x+a)(3x+6),由

于甲抄錯(cuò)為(2x—a)(3x+6),得到的結(jié)果為6/+11久一io；而乙抄錯(cuò)為(2久+。)(久+6),得到的結(jié)果為

2%2—9%+10.

(1)你能否知道式子中的。，。的值各是多少？

(2)請(qǐng)你計(jì)算出這道整式乘法的正確答案.

【答案】(l)a=-5,b=—2

(2)6/-19%+10

【分析】(1)按照甲、乙兩人抄的錯(cuò)誤的式子進(jìn)行計(jì)算，得到2b-3a=11①，2b+a=-9②，解關(guān)于①②

的方程組即可求出。、6的值；

(2)把a(bǔ)、b的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)題意可知，甲抄錯(cuò)為(2x—a)(3x+6),得到的結(jié)果為+—10,

那么(2x—a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x—ab=6x2+11%—10,

可得2b-3a=110

乙抄錯(cuò)為(2%+a)(x+b),得到的結(jié)果為2/—9x+10,

可知(2x+a)(%+b)=2x2+(2b+a)x+ab=2x2—9%+10

可得2b+a=-9(2),

解關(guān)于①②的方程組，可得a=-5,b=—2；

(2)正確的式子：

(2%-5)(3%-2)=6%2-4%-15%+10=6x2-19x+10

【點(diǎn)睛】本題主要是考查多項(xiàng)式的乘法以及二元一次方程組，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則是正確解決問題

的關(guān)鍵.

【題型7整式乘法的應(yīng)用】

【例7】(23-24七年級(jí)?浙江杭州?階段練習(xí))有總長(zhǎng)為/的籬笆，利用它和一面墻圍成長(zhǎng)方形園子，園子的

寬度為a.

墻墻

圖1圖2

(1)如圖1,①園子的面積為一(用關(guān)于/,a的代數(shù)式表示).

②當(dāng)1=100,a=30時(shí)，求園子的面積.

(2)如圖2,若在園子的長(zhǎng)邊上開了長(zhǎng)度為1的門，則園子的面積相比圖一一(填增大或減小)，并求此時(shí)園

子的面積(寫出解題過程，最終結(jié)果用關(guān)于/,a的代數(shù)式表示).

【答案】⑴①—2a)；②1200

(2)增大;al—2a2+a

【分析】本題考查了列代數(shù)式及代數(shù)式求值，正確列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵.

(1)①先用/和a的代數(shù)式表示出園子的長(zhǎng)，再表示出園子的面積；②把2=100,a=30代入①中的代數(shù)式

進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)由園子的寬不變，長(zhǎng)增加了，即可判斷出園子的面積增大了，表示出園子的長(zhǎng)，即可求出園子的面積.

【詳解】(1)解：①???總長(zhǎng)為寬為a,

.,.園子的長(zhǎng)為：Q—2a),

.,.園子的面積為：aQ-2a)；

故答案為：aQ-2a)；

②當(dāng)2=100